- •2. Нелинейные системы автоматического управления
- •2.1 Общие сведения о нелинейных системах
- •2.2. Математические модели замкнутых нелинейных систем автоматического управления
- •2.3. Исследование нелинейных систем методом фазовой плоскости
- •2.3.1. Основные понятия
- •2.3.2. Классификация фазовых портретов
- •2.3.3. Построение фазовых траекторий
- •2.3.4. Скользящие режимы в нелинейных системах
- •2.3.5. Система с переменной структурой
- •2.4. Метод припасовывания
- •2.5. Метод точечного преобразования
- •2.6.Метод гармонической линеаризации
- •2.6.1. Исходные положения метода гармонической линеаризации
- •2.6.2. Вычисление коэффициентов гармонической линеаризации
- •2.6.3. Алгебраический метод определения симметричных колебаний
- •2.6.4. Частотный метод определения симметричных колебаний
- •2.6.5. Вынужденные колебания в нелинейных системах
- •2.7.Устойчивость процессов в нелинейных системах
- •2.7.1.Основные понятия и определения
- •2.7.2.Теоремы Ляпунова
- •2.7.3. Абсолютная устойчивость
- •2.8. Коррекция нелинейных систем
- •2.8.1. Коррекция нелинейной системы с помощью обратной связи
- •2.8.2. Коррекция нелинейной системы с помощью вибрационного сглаживания
- •3. Случайные процессы в системах автоматического управления
- •3.1. Случайные процессы и их характеристики
- •3.2. Прохождение случайных сигналов через линейную непрерывную систему автоматического управления
- •3.3. Расчёт точности системы при случайных воздействиях
- •3.4. Особенности синтеза систем автоматического управления
- •3.5. Случайные процессы в импульсных системах
- •3.6. Случайные процессы в нелинейных системах
- •4. Элементы современной теории автоматического управления
- •4.1. Оптимальное управление
- •4.2 Интеллектуальные сау
- •4.2.1. Экспертные информационные системы
- •4.2.2. Нейросетевые сау
- •4.2.3. Сау с ассоциативной памятью
- •4.2.4. Системы управления с нечёткой логикой
- •Литература
2.6.2. Вычисление коэффициентов гармонической линеаризации
Если нелинейная характеристика представлена в виде кусочно-линейной, то получить коэффициенты гармонической линеаризации несложно. Отметим общие свойства этих коэффициентов. Если является нечетно-симметричной однозначной характеристикой, то всегда, а (2.46) будет иметь вид
. (2.54)
Для петлевых нечетно-симметричных характеристик можно в интегралах (2.46), (2.47) брать пределы интегрирования от 0 до и удвоить полученные результаты.
Рассмотрим простейший случай. Пусть , т.е. рассматривается идеальное реле. Так как– однозначная нечетно-симметричная нелинейность, то, а
, (2.55)
Для этой же характеристики для случая несимметричных колебаний можно получить
,. (2.56)
В литературе [6, 7] можно найти аналитические выражения коэффициентов гармонической линеаризации ,,практически для любых видов нелинейностей, а также графики их зависимостей от величины амплитуды.
2.6.3. Алгебраический метод определения симметричных колебаний
Пусть нелинейная система, изображенная на рис. 2.2, имеет и передаточную функцию линейной части. Полагаем, что выполняется гипотеза фильтра, т.е. АЧХ является фильтром низких частот, а нелинейность нечетно-симметричной, т.е.. В этом случае имеем следующую модель системы:
,,.
Уравнение замкнутой системы будет
. (2.57)
Полагаем, что нелинейное уравнение (2.57) имеет решение , где,следует определить. После гармонической линеаризации
,
так что с учетом этого уравнение (2.57) будет
. (2.58)
Уравнение (2.58) является гармонически линеаризованным уравнением замкнутой системы. Это линейное дифференциальное уравнение, коэффициенты которого зависят от двух постоянных и− параметров искомого гармонического режима, оно справедливо только для решений подобно типа.
Характеристическое уравнение замкнутой системы будет
. (2.59)
Линейное дифференциальное уравнение имеет гармоническое решение вида только в том случае, если его характеристическое уравнение содержит пару чисто мнимых корней, т.е. подставляя в (2.59), получим условие существования гармонического решения
. (2.60)
Выделяя в (2.60) действительную и мнимуючасти, и приравнивая их к нулю, получим условия существования периодического решения
,. (2.61)
Уравнения (2.61) представляют собой систему двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными ,и могут не иметь решения − периодический режим видане существует, иметь единственное решение, что соответствует существованию единственного периодического решения с амплитудойи частотой, и, наконец, иметь несколько решений (возможно бесчисленное множество).
Полагая периодический режим с найденными амплитудой и частотойсуществующим, рассмотрим вопрос об устойчивости этого режима. Предполагается приближенный способ оценки устойчивости периодического режима. Найдем для функцийичастные производные пои
,,
,.
В полученных выражениях положим ,, тогда получим
,,,.
Периодический режим с параметрами ,будет устойчивым, если выполняется неравенство
(2.62)
при условии, что для коэффициентов многочлена
(2.63)
выполняется условие критерия Гурвица [7].
Если найденный периодический режим устойчив, то в системе существуют автоколебания гармонической формы с параметрами ,. если неустойчив, то автоколебаний нет, хотя периодический режим существует.
Предложенный подход можно применить и для анализа несимметричных колебаний. При этом вместо системы двух уравнений (2.61) получим систему из трех уравнений для определения параметров ,,.
Пример 2.4. Пусть в нелинейной САУ рис. 2.2 нелинейный элемент − идеальное реле с характеристикой , а передаточная функция линейной части имеет вид
.
Для нелинейного элемента имеем , а(2.55). Уравнение (2.60) имеет вид
,
из которого получаем уравнения (2.61)
,.
Решая полученные уравнения, найдем амплитуду и частоту периодического режима:
,.
Нетрудно проверить, что для найденных ,, условия (2.62), (2.63) выполняются, т.е. в системе возникают автоколебания и
.