11.Закон сохранения момента импульса

.

Определим, от чего зависит изменение момента импульса частицы. Для этого возьмем производную по времени от левой и правой части ур-ния момента импульса.

В первом члене этой суммы есть ∑ результирующих сил, действующ. на частицу.

2-й член = 0 по опред. вект. произвед. , тогда , т.е. ск-ть изменения мом. импульса частицы со временем = суммарному мом. сил, действующему на частицу.

Проекц. вект. изменения мом. импул. на произвольную ось z есть величина

Таким образом, производная по времени от момента импульса относительно произвольной оси = моменту сил, действующих на частицу, относительно той же оси.

Для системы м.т. изменение момента импульса запишется в виде ур-ния , где– моменты импульсов отдельных частиц;- момент силы внутр. сил;- мом. силы внешн. сил.

Тогда производная суммарного момента импульса системы м.т. будет = .

Каждое из слагаемых правой части этого ур-ния представляет сумму моментов сил, действующих на i-ю частицу.

Суммарный момент внутр. сил = 0 и ур-ние принимает вид .

Если сист. замкнута, т.е. внешние силы на сист. не действуют, , то

Закон сохр. мом. импульса:

Мом. импульса замкнутой сист. м.т-ек остается постоянным.

Мом. импульса тела относит. неподвижной т.О, вокруг кот. это тело вращается с угл. ск-тью , равен, где– радиус-вектор, проведенный из т.О в малый элемент тела массойdm, - лин. ск-ть.

Из ур-ния для момента импульса рассм. двойное вект. произведение .

Из всех этих записей следует, что и вект.в общем случае не совпадают по направлению

Интеграл вида обознач.и наз. мом. инерции м.т. или системы м.т., или тв. тела.

Момент импульса тела, закрепленного в т.О егосовпадают по направлению, если тело вращается вокруг одной из его главных осей инерции, проходящих через т.О, тогда 2-е слагаемое = 0 и, где– мом. инерции тела относит. этой главн. оси.

13.Момент инерции

Мом. инерции мех. сист. относит. неподвижн. оси ОО’ наз. физ. величина I₀ = сумме произведений масс всех N м.т-ек сист. на квадрат из расстояния до этой оси.

, где и- масса м.т. и ее расстояние до оси.

Мом. инерц. тв. тела относит. оси ОО’ запис. формулой. (1), где- масса малого элемента тела,- плотность тв. тела,R – расстояние от элемента объема до оси ОО’.

Если тело однородное, то плотность его во всех т. Одинаковая и = const и ее можно вынести за знак интеграла. (2).

Если тело оси симметричное, то можно опред. мом. инерц. такого тв. тела относительно любой оси, || -ной данной.

Рассм. произвольное тело и 2 || друг другу оси, одна из кот. – ось С проходит через центр масс тела, а другая – ось О - || оси С и отстоит от нее на расстояние l. Выберем оси координат как показано на рис. Момент инерции I относит. оси О опред. выр.

Первая сумма в () дает координаты точки массой относительно центра тяжести, в произведение под суммой дает произведениеI_c относительно центра масс

Во вторую сумму входит сумма координат , кот. =всехтела, а это есть координата центра масс. Эта сумма = 0, т.к. мы поместим начало первой системы координат в эту точку.

В третьей сумме мы имеем, а это есть масса нашего тела. Тогда момент инерции тела относительно оси О, находящейся на расстоянииl от оси С, проходящей через центр масс и || оси О, запишется ур-нием . Это ур-ние наз.т.Штейнера, или т. о переносе осей симметрии. Это теор. формулируется так: момент инерции тела относительно произвольной оси (О) равен сумме моментов инерции относительно оси, || данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы m тела на квадрат расстояния между осями.

Учитывая т.Штейнера, вводятся след. физ. понятия:

1)оси инерции, проходящие через центр инерции тела (центр масс), наз. главными центральными осями инерции тела, а момент инерции тела относительно этих осей – главными центральными моментами инерции.

2)Ось симметрии однородного тела всегда явл. одной из его главных центральных осей инерции.