ское уравнение l2 + K = 0 имеет чисто мнимые корни l1,2 = ± j K (коэффи-

циент a1 = 0 и условие (5.7) не выполняется).

Пример 5.2. Пусть передаточная функция разомкнутой системы

K

W (s) = snL0 (s) , n ³ 2 , а L0

Характеристическое уравнение

= T isi + T i-1si-1		+ ... +1,	i + n = n .
i	i-1

замкнутой системы будетlnL0 (l) + K =

= Tiiln + ... + T1 ln+1 + ln + K = 0 , из которого следует, что при n ³ 2 ряд коэффициентов характеристического уравнения an -1 (при n = 2 ), an -1 и an -2 (при

n = 3 ) и т.д. равен нулю. В этом случае не выполняется необходимое условие устойчивости (5.3) и система ни при таких значениях параметров К и Ti не мо-

жет быть асимптотически устойчивой. Такой класс систем называютстpук-

туpно нeустойчивыми.

Пример 5.3.		Передаточная		функция разомкнутой	системы	задана в
виде W (s) =		K	.	Характеристическое	уравнение	будет

s(T1s + 1)(T2 s + 1)

T T l3		+ (T + T )l2 + l + K = 0 . Используя (5.8), найдем условие устойчиво-
1	2	1	2
сти системы в виде T1T2 > 0 , T1 + T2 > 0 , K > 0 , (T1 + T2 )- KT1T2 > 0 , из которо-
го следуют неравенства: T > 0 ,				T > 0 , K > 0 , K <	1	+	1	.
			1	2	T1		T2

Таким образом, при заданных T1 и T2 максимальное значение коэффициента усиления ограничено и увеличение приведет к потери устойчивости. Это свойство, как будет показано дальше, является весьма характерным для систем автоматического управления и в общем случае. Система будет находиться на границе устойчивости, если выполняется одно из соотношений: T1 = 0 , T2 = 0 ,

K = 0 , K = 1 + 1 .

T1 T2

5.3. Критерий устойчивости Михайлова

Этот критерий относится к группе частотных и был предложен1938в г. А. Михайловым. Он базируется на известном в теории функции комплексного переменного принципе аргумента. Характеристический полином замкнутой системы представим в виде D(s) = a0 (s - l1 )...(s - ln ) , где li – корни уравне-

ния D(l) = 0 .

Сделаем замену s = jw , тогда D( jw) = a0 ( jw - l1 )...( jw - ln ). Приращение аргумента вектора jw - li при изменении частоты w от -¥ до ¥ будет равно p для левого корня и -p для правого корня (рис. 5.1). Приращение аргумента вектора D( jw) , имеющего l правых и n - l левых корней, будет равно

52

Darg D( jw) = (n - l)p - lp = (n - 2l)p, а

-¥£w£¥

меньше, т. е. Darg D( jw) = (n - 2l) p .

0£w£¥

2

jw

	jw- li	jw- li
li	p	- p	li

Re

Рис. 5.1

при изменении w от 0 до ¥ – в 2 раза

Из последнего выражения следует, что для устойчивой САУ l = 0 и

	Darg D( jw) = n		p	.	(5.12)
	0£w£¥	2
Полином D(s)		после замены
s = jw	представляет				собой - ком

плексное число, действительная и мнимая части которого зависят от частоты w:

D( jw) = X (w) + jY(w) ,

где X (w) = an - an-2 w2 +...,

Y (w) = an-1w - an-3 w3 + ... .

Изменяя w от нуля до ¥ , на комплексной плоскости строится годограф, который называется кpивой Mиxайлова. При w = 0 он всегда будет находиться на действительной оси в точке X = an , а при w = ¥ значения Х и Y равны ¥ или - ¥ , т. е. годограф будет уходить в бесконечность в каком-либо квадранте комплексной плоскости.

Кpитepий Миxайлова. Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы приращение аргумента функции D( jw) при изменении

w от нуля до ¥ равнялось n p , что означает последовательное прохождение

2

кривой Михайлова n квадрантов против часовой стрелки в комплексной плоскости.

Обычно критерий Михайлова применяется посла проверки необходимого условия устойчивости (5.3).

На рис. 5.2 представлен ряд кривых Михайлова для систем различного порядка.

Кривые 1, 2 соответствуют устойчивым системам приn = 3, 4 соответственно, кривая 3 – неустойчивой системе при n = 4 , так как нарушена последовательность прохождения квадратов комплексной плоскости.

53

Рис. 5.3

n = 3

Y

Рассмотрим определение с

n = 4

помощью кривой

Михайлова

1

3

границ устойчивости. Система

будет

находиться

на

границе

w = 0

X

устойчивости,

если

чисто

мнимая величина l = jw0

бу-

w

an

¬

D( jw)

дет являться корнем уравнения

¥

D( jw0 ) = 0 ,

что

означает

w ®

2

¥

D( jw0 ) = 0 , т. е. кривая

Ми-

n = 4

хайлова должна проходить че-

рез

начало

координат.

При

Рис. 5.2

w0 = 0

имеем апериодическую

границу, при

w0 ¹ 0 –

колеба-

тельную, w0 = ¥ соответствует бесконечному корню. При этом следует прове-

рить, чтобы все остальные корни были левыми. Такую проверку можно осуществить, исследуя соответствующий график кривой Михайлова в точке пересечения начала координат. Если малые деформации кривой приводят к устойчивой системе, то это соответствует границе устойчивости.

На рис. 5.3 представлены два годографа, проходящие через начало координат.

Для кривой 1 малые деформации ее в начале координат приведут к устойчивой системе, что соответствует границе устойчивости, а для кривой 2 система при малых -де

формациях графика все равно будет неустойчивой.

Пример 5.4. Передаточная функция разомкнутой системы име-

K

ет вид W (s) = s(Ts + 1). Характери-

стический полином замкнутой системы будет Ts 2 + s + K и соответственно D( jw) = [K - Tw2 ] + jw.

При любом K > 0 , T > 0 кривая Михайлова при w = 0 будет начинаться на действительной оси в точке с координатами(K, j0) и всегда проходить последовательно первый и второй квадранты комплексной области, так как мнимая часть D( jw) всегда положительна, а действительная с ростом W меняет знак с плюса на минус.

Система при любых K > 0, T > 0 всегда устойчива, что совпадает с результатом примера 5.1.

54

5.4. Критерий устойчивости Найквиста

Критерий устойчивости Найквиста— это также частотный критерий, предложенный в 1932 г. Найквистом. Он позволяет судить об устойчивости замкнутой системы управления по виду АФЧХ разомкнутой системы.

Пусть задана				передаточная			функция разомкнутой системы в виде
W (s) =	KN (s)	, где L(s) – полином степени n; N(s) – полином степени m, m < n .
	L(s)
Тогда ее АФЧХ будет W ( jw) =						KN ( jw)			. Составим вспомогательную функцию
						L( jw)
W ( jw) = 1 + W ( jw) =				L( jw) + KN ( jw)			=	D( jw)		, где D(s) – характеристический
1					L( jw)				L( jw)
полином замкнутой системы, степень которого будет n.
Предположим,			что		характеристическое уравнение разомкнутой системы
L(l) = 0 имеет l правых корней и (n - l) левых корней. Тогда приращение ар-
гумента функции L( jw)					при изменении w oт - ¥ до ¥ будет (n - 2l)p. Если

система устойчива в замкнутом состоянии, то характеристическое уравнение замкнутой системы D(l) = 0 имеет n левых корней и приращение аргумента D( jw) будет paвнo np. Найдем приращение аргумента функции W1 ( jw) при

изменении w oт - ¥ до ¥ , которое будет в этом случае равно
DargW1( jw) = Darg D( jw)- Darg L( jw) = 2lp .			(5.13)
-¥£w£¥	-¥£w£¥	-¥£w£¥
В случае, если передаточная функция W (s)		соответствует статической си-
стеме (соответствие астатической	системе рассмотрим ниже), то		при m < n

АФЧХ W ( jw) при изменении w от - ¥ до ¥ всегда образует замкнутую кривую. Соответственно W1 ( jw) в комплексной плоскости также всегда образует

замкнутую	кривую. Таким		образом, условие			(5.13) для	замкнутой	кривой
W1 ( jw) соответствует тому,			что вектор W1 ( jw)			при изменении w от - ¥ до ¥
должен в	положительном		направлении обойти(охватить)				начало координат
l раз. Из связи W1 ( jw) = 1 + W ( jw)				для АФЧХ W ( jw) это соответствует охвату
точки с координатами (–1,			j0) на	комплексной плоскости l раз годографом
W ( jw) . На основании изложенного сформулируем критерий.
Кpитepий Hайквиста. Если разомкнутая система автоматического управ-
ления имеет l правых		корней, то для			того, чтобы замкнутая система была
устойчива,	необходимо	и	достаточно,		чтобы	АФЧХ разомкнутой		системы

W ( jw) при изменении частоты w от - ¥ до + ¥ охватывала точку (–1, j0) на комплексной плоскости в положительном направлении l раз.

55

Частный случай критерия Найквиста относится к системе, устойчивой в разомкнутом состоянии (l = 0). При этом годограф W ( jw) не должен охватывать точку (–1, j0).

Так как при w < 0 график W ( jw) является зеркальным отображением относительно действительной оси графика при w > 0 , то обычно достаточно построить W ( jw) для w > 0 . При этом в формулировке критерия полагают охват

точки (–1, j0) l раз. 2

На рис. 5.4, а, б представлены графики W1 ( jw) , W ( jw) в предположении

l = 2 для случая устойчивой в замкнутом состоянии системы.

Из изложенного следует, что при корректном применении критерия устойчивости Найквиста следует сначала исследовать устойчивость разомкнутой системы и знать число правых корней ее характеристического уравнения.

На практике обычно это нетрудно сделать по виду передаточной функции W (s) если она представлена в виде произведения передаточных функций -от дельных звеньев.

	jV	jV
W1( jw)	w > 0	W ( jw)	w > 0
	w = ¥ w = 0	w = ¥	w = 0
	U		U
	1
	w < 0		w < 0

Рис. 5.4

В случае астатической системы формулировка критерия Найквиста сохраняется, однако при этом возникает проблема понятия охвата и неохвата точки (–1, j0), так как при w ® 0 годограф W ( jw) уходит в бесконечность и кривая

W ( jw) не является замкнутой. В этом случае АФЧХ дополняется дугой бесконечного радиуса по часовой стрелке и после этого проверяется выполнение условия критерия Найквиста. Изображенная на рис. 5.5 система устойчива.

56

Для нормального функцио-
нирования система управления
должна обладать и некоторыми
запасами	устойчивости, т. е.
при изменении параметров си-
стемы в процессе работы свой-
ство устойчивости должно со-
храняться.
Вполне очевидно, что чем
дальше	находится	кривая
W ( jw) от	точки (-1, j0) , тем
система	будет	находиться

0

дальше от границы устойчиво-

сти.

Числовые

величины,

ха-

Рис. 5.5

рактеризующие

это

свойство,

носят название запасов

устой-

чивости и могут быть введены

различными способами.

На рис. 5.6 представлена АФЧХ разомкнутой системы для устойчивой за-

мкнутой системы.

3апас устойчивости по фазe

определяется

как

величина

угла

Dj = 180o -

j(wc )

,

где

j(wc )

значение фазы

при w = wc , а

ча-

стота среза wc – это значение ча-

стоты,

при которой A(wc ) = 1.

Из

рис. 5.6 видно,

что точка В полу-

чается

пересечением

W ( jw)

и

окружности единичного

радиуса

(штриховая линия).

Запас устойчивости по ам-

плитуде DA – это

величина

отрезка оси абсцисс между крити-

ческой точкой (-1,

j0)

и

точкой

Рис. 5.6

С пересечения W ( jw)

c

осью

абсцисс (там, где j(w) = -180o ).

Очевидно, в данном случае величина DA всегда меньше единицы.

Если характеристика W ( jw) имеет более сложные очертания (так называемая клювообразная характеристика представлена на рис. 5.7), то запас по амплитуде характеризуют двумя числами D A1 , D A 2 , а запас по фазеDj определяется обычным образом.

57

DA2 DA1

	(-1, j0)	w = ¥
		w = 0

Dj

Рис. 5.7

Рассмотрим интерпретацию критерия Найквиста в логарифмической области. Для простоты рассмотрим систему, устойчивую в paзoмкнутом состоянии, для которой АФЧХ разомкнутой системы W ( jw) не должна охватывать точку (–1, j0). Очевидно, «опасным» с точки зрения устойчивости является отрезок действительной оси (-¥, - 1) ,

когда	фазовая характеристика равна- p , - 3p и	т.д При	этом модуль
A(w) > 1.Пересечение же отрезка действительной		оси(–1, 0)	годографом
W ( jw)	безопасно с точки зрения устойчивости. Если перейти к логарифмиче-

ским частотным характеристикам L(w) и j(w) , то характеристики, приведенные на рис. 5.7, будут соответствовать логарифмическим характеристикам, изображенным на рис. 5.8.

L(w)

	DL2	wc
		w
		DL1
j(w)
		w
- 90°
-	+	Dj
-180°

Рис. 5.8

В общем случае критерий Найквиста применительно к логарифмическим характеристикам формулируется так: для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы разность между числом положительных и отрицательных переходов логарифмической фазовой частотной характеристикой j(w) разомкнутой системы прямых± p(2i + 1), i = 0,1... во всех областях,

L(w) > 0 была равна l (l – число правых корней характеристического уравне-

2

ния разомкнутой системы).

58