Пусть a1 = 6 ,	a2 = 8 , c1 = 2 , c2 = 1. Очевидно, l1 = -2 , l2 = -4 , c1¢ = 0 ,
c¢	= -2 . Система	является ненаблюдаемой по координатеz ( y = [0, - 2]z) .
2						1
Подстановка значений коэффициентов в передаточную функцию дает
	W (s) =		(2b1 + b2 )(s + 2)	=	(2b1 + b2 )(s + 2)	=	2b1 + b2	,	(8.48)
			s 2 + 6s + 8		(s + 2)(s + 4)
							s + 4

т. е. передаточная функция 2-гo порядка вырождается в передаточную функцию 1-го порядка.

Если выбрать, например,	b1 = 1,	b2 = -2 , b1¢ = 1,			b2¢ = 0 , то система будет
неуправляема по второй координате z2 .
Таким образом, система с уравнениями состояния
é 0	1 ù	é 1 ù		= [2,	1]x	(8.49)
x& = ê	úx + ê		úv, y
ë- 8	- 6û	ë- 2û

является неуправляемой по одной из внутренних координат и ненаблюдаемой по другой. При этом передаточная функция(8.48) при b1 = 1, b2 = -2 вообще вырождается в нулевую W (s) = 0 и между переменными v и y отсутствует всякая связь. Очевидно, по виду уравнения (8.49) трудно было бы предвидеть такие результаты.

К (8.49) применим критерий управляемости и наблюдаемости

K

é

1

M

é 0

1 ù

é

1 ù

ù

=

é 1

- 2

ù

, K

é2

M

é0

- 8ù

é2ù

ù

=

é2

- 8ù

.

= ê

ê

ú

ê

ú

ú

ê

ú

H

= ê

ê

ú

ê ú

ú

ê

ú

У

ë1

ë- 2

ë- 2 4

û

ë- 8

- 6û

ë- 2ûû

ë1

- 6û

ë1ûû

ë1

- 4û

Ранг обеих матриц меньше двух(равен единице). Система не полностью управляема и не полностью наблюдаема.

9. СИНТЕЗ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

9.1. Предварительные замечания

Рассмотренные до сих пор разделы касались задач математического описания элементов и систем, анализа их динамических свойств, различных качественных показателей и влияния на них отдельных параметров.

Конечной же целью анализа САУ является обратная задача: синтез системы, удовлетворяющей функциональному назначению и заданным качественным показателям. При этом частными случаями синтеза могут быть следующие задачи: обеспечения устойчивости (стабилизации), повышения точности, улучшения быстродействия, оптимизации каких-либо показателей качества.

К настоящему времени разработан ряд методов синтеза линейных систем. Их можно разделить на 3 группы. Графоаналитическая группа включает мето-

107

ды: корневые, стандартных переходных характеристик и частотные; аналитическая – синтез САУ по интегральным критериям качества, с использованием вариационного исчисления, динамического программирования, принципа максимума, аналитического конструирования регуляторов, модального управления; наконец, к третьей группе относятся методы прямого синтеза с использованием компьютерного моделирования. Наиболее распространенными являются частотный метод, относящийся к классическим, и метод модального управления, относящийся к современным. Естественно, что и тот и другой дополняются расчетами на ПЭВМ.

При выборе метода синтеза необходимо учитывать режимы работы системы. Пусть модель САУ имеет вид

ìX& = AX + BV + F,

ï

íïîY = CX ,

где F – возмущение.

t	t
Как известно, y(t) = Ce At X (0) + ò CeA(t-t)BV (t)dt + ò Ce A(t-t)F (t)d t .
0	0
Первая (свободная) составляющая в этом выражении соответствует режи-
му отработки начальных условий при V = 0 ,	M = 0 ; вторая (вынужденная) со-

ставляющая соответствует режиму отработки входа при нулевых начальных условиях; третья (вынужденная) составляющая отражает процесс отработки возмущений при фиксированных начальных условиях и входном воздействии.

При расчете САУ, отрабатывающих входные воздействия, предпочтительнее частотный метод; при синтезе САУ, работающих в режиме отработки начальных условий и возмущений, – модальный метод.

При постановке задачи синтеза одномерной САУ в качестве цели работы системы выдвигается требование обеспечить с заданной точностью равенство выходной координаты y(t) и входного воздействия v(t) при t ® ¥ (условие статики) при выполнении требований к динамике: обеспечение заданного времени переходного процесса и перерегулирования. Если объект управления сложный, необходимо оценить возможность выполнения синтеза. При этом рассматриваются следующие ограничения:

–ресурсное ограничение, связанное с формированием управляющего воздействия на объект по мощности, величине линейной зоны и т.п.;

–устойчивость «обратных» объектов или его частей, связанная с сокращаемыми (передаточными или другими) сомножителями;

–условие управляемости; в случае не полностью управляемой системы– устойчивость неуправляемой части;

–условие наблюдаемости, в случае не полностью наблюдаемой САУ– устойчивость ненаблюдаемой части.

При решении задачи синтеза САУ центральным вопросом является проектирование регулятора по заданным требованиям к статическим и динамическим показателям САУ.

108

9.2. Корректирующие устройства

Любое устройство, включаемое в систему управления с целью изменения ее свойств для обеспечения заданных показателей качества, можно рассматривать как корректирующее. По способу включения корректирующие устройства

делятся	на последовательные, параллельные, встречно-параллельные
(местные	обратные	связи), которые соответственно представлены на

рис. 9.1, а, б, в. Обозначим передаточную функцию последовательного корректирующего устройства WK1 (s) , параллельного WK 2 (s) и встречно–

параллельного WK3 (s) .

При отсутствии корректирующего устройства любого типа передаточная функция разомкнутой системы, как это видно из .рис9.1, будет равна W0 (s) = W1(s)W2 (s)W3 (s) . Включение корректирующего устройства изменяет

передаточную	функцию	прямой	,цепикоторая	соответственно	для
рис. 9.1, а, б, в будет иметь следующий			вид:

W (s) = W1 (s)W2 (s)W3 (s)WK1					(s) ,		(9.1)
W (s) = W	(s)[W (s) + W		(s)]W			(s) ,	(9.2)
1	2		K 2		3
W (s) =		W1 (s)W2 (s)W3 (s)		.			(9.3)
		1 + W2 (s)WK3 (s)

Приравнивая попарно соотношения (9.1) – (9.3), можно найти связь одного типа коррекции с любым другим и выбрать нужный тип коррекции, исходя из технических возможностей.

Отметим, что вид передаточной функции скорректированной системы зависит не только от вида передаточной функции корректирующего устройства WKi (s) , но и от места включения звеньев WK 2 (s) , WK3 (s) в прямой цепи.

Представленные на рис. 9.1 способы включения корректирующих устройств видоизменяют передаточную функцию прямой цепи, не изменяя принципов управления.

В качестве корректирующего устройства может использоваться любое устройство, реализующее требуемую передаточную функцию. Выбор того или иного устройства, а также способа коррекции часто обусловлен техническими возможностями и с этой точки зрения достаточно субъективен.

Наиболее часто в электромеханических системах управления корректирующие устройства реализуются в виде пассивных или активных четырехполюсников, содержащих резисторы, конденсаторы (реже индуктивности) и в случае активных четырехполюсников – операционные усилители. Такие четырехполюсники можно применять в системах управления, у которых сигналы управления представляют собой напряжение постоянного тока.

109

+	W1(s)	WK1 (s)
å			W2 (s)	W3 (s)

+						+
			W1(s)
	å				W2 (s)		å		W3(s)

+

WK2 (s)

+	å		W1(s)	+	å		W2 (s)		W3(s)
							WK3 (s)

Рис. 9.1

9.2.1. Последовательные корректирующие устройства. Последователь-

ные корректирующие устройства включаются в прямую цепь системы управления в соответствии с рис. 9.1, а.

При последовательной коррекции передаточная функция разомкнутой скорректированной системы будет равна W (s) = WK1 (s)W0 (s) . Выбором пере-

даточной функции WK1 (s) можно добиться требуемой передаточной функции

W(s), обеспечивающей желаемые свойства системы.

Последовательная коррекция часто применяется для обеспечения заданной точности системы. В этом случае передаточная функция корректирующего

устройства выбирается в виде W	K1	(s) =	K1	, т. е.	в прямую цепь системы вво-
			sv
дится усилительное звено с коэффициентом усиленияK1 и интегрирующее
звено с передаточной функцией	1	, так что WK (s) =				K1W0 (s)	. Выбор величин
	sn	1				sv

K1 и n обусловлен необходимой точностью системы в установившихся режи-

мах. Пусть исходная система статическая W	(s) =	K0 N (s)	и требуется, чтобы
0		L(s)

110

она имела статическую ошибку eoy = 0 и скоростную ошибку e¢y £ A . В соот-

ветствии с результатами подразд. 6.1 требуется, чтобы скорректированная система обладала астатизмом первого порядка, а общий коэффициент усиления

K = K

K

был выбран из условия e¢ =

v1

£ A , откуда K ³

v1

, где величина

0 1

y

K

A

v1

задана.

Таким

образом, параметры

корректирующего

устройства

W

K1

(s) =

K1

следует выбрать из условия K

1

³

v1

, n = 1.

sv

AK0

В случае задания точности системы при отработке гармонического сигнала требуемый общий коэффициент усиления K = K0 K1 (и соответственно ве-

личина K1) и порядок астатизма можно найти аналогично, если воспользовать-

ся выражениями (6.17), (6.19).

Наряду с использованием последовательных корректирующих устройств для повышения точности эти устройства могут использоваться и для улучшения показателей качества системы. В этом случае в соответствии с выражени-

ем (9.1) выбором WK1	(s) изменяют среднечастотную часть исходной частотной
характеристики W0 ( jw) , добиваясь требуемой частотной характеристики
W ( jw) .

Последовательные корректирующие устройства в виде пассивных или активных четырехполюсников обычно включаются после устройства сравнения или между каскадами предварительного усилителя. При этом применяют устройства с отставанием по фазе, с опережением по фазе и с отставанием и опережением по фазе.

На рис. 9.2, а представлены частотные характеристики системы при коррекции с отставанием по фазе. Здесь L0 (w) – ЛАХ исходной системы, Lж (w) – ЛАХ желаемой (скорректированной) системы, LК 1 (w) – ЛАХ корректирующего устройства. На рис. 9.2, б изображена цепочка, реализующая эту коррекцию.

Комплексная передаточная функция корректирующего устройства равна:

W

jw =

(1 + jwaT )

a

R2

1

1

К1

(

)

(1

+ jwT ) ,

T = (R1 + R2 )C ,

=

R1

+ R2 ,

w = T ,

w2 = aT . (9.4)

Эта коррекция приводит к повышению устойчивости, подавлению высокочастотных помех, но к снижению быстродействия.

111

	а L(ω)		L0 (ω)				б
	-1					DLж
	ω - 2	ω2	ω	с.ж.	- 2		Uвх
	1				}	ωсо	ω
	0		-1
	-1			0			- 3
	L0ж	LK1 (ω)			- 2
	0 j(ω) jK1 (ω)						-3

-	π	-		j		(ω)
					0
2			Djж			jкр.0
-π - jж (ω)				jкр.ж

Рис. 9.2

R1

R2 Uвых

С

На рис. 9.3 изображены частотные характеристики и цепочка при коррекции с опережением по фазе. Надо помнить, что цепочка вносит ослабление L1 (w), которое необходимо скомпенсировать.

L(ω)		L		(ω)			R1
-1
		ж
0 -LK1	ω1	-1	ωс.ж. ω2		ω 0
LK1 (ω)		+1			}DLж	Uвх		R	U
		ωс.о. - 2			- 3		С	2		вых

L0 (ω)

			j(ω)						- 3
+			π	-		φK1	(ω)
		2								ω
-			π	-		φж. (ω)
		2				(ω)			ω
				j	0		Dj	ж.		кр.ж.
-π				-		ωкр.0.

Рис. 9.3

Комплексная передаточная функция корректирующего устройства равна:

	(	+ jwT	)			R2		1		1
WК1 ( jw )= a	1			, T = R1C , a=				, w =		, w2 =		. (9.5)
	(1 + jawT )				R	1	+ R		T		aT
							2

112

Эта коррекция приводит к повышению устойчивости и быстродействия, но
к снижению помехоустойчивости на высоких частотах.
Объединение этих двух видов коррекции позволяет расширить среднеча-
стотную зону (рис. 9.4).
В этом случае
					W		( jw )= (1 + jwT2 )(1 + jwT3 ) ,												(9.6)
						К1			(1 + jwT1 )(1 + jwT4 )
где T > T > T > T , T = R C ,							T = R С			,	T T = T T , T + T = T +							R1 + R2 T .
1	2	3	4	2	1	1	3	2	2		2	3	1	4	1	4	2		3
																			R2
	LK1(w)				w2			w3				w4 w					R
		0	w						+1				0				1
				-1
			1				0
+	p j	K1	(w)												Uвх		С	R2	Uвых
	-																1
	2													w			С2
- p-
	2
								Рис. 9.4
Эта коррекция существенно улучшает качественные показатели САУ.

9.2.2. Параллельные корректирующие устройства. Одним из распро-

страненных способов улучшения качества системы является введение произ-

водной		от сигнала в прямой . цепиПусть на рис. 9.1, б W2 (s) = K2 ,
WK2	(s) = Ts , тогда передаточная функция прямой цепи скорректированной си-
стемы		будет	равнаW (s) = W1 (s)W3 (s)K 2 (1 + T ¢s) = W0 (s)(1 + T ¢s), где

T ¢ = T K2 .

Введение корректирующего устройства изменяет амплитудную и фазовую характеристики системы, которые примут вид

A(w) = A0 (w) 1 + T ¢2w2 , j(w) = j0 (w) + arctgT ¢w,

(9.7)

A0 (w) = W0 ( jw) , j(w) = arg W0 ( jw) .

Из (9.7) следует, что введение производной увеличивает положительные фазовые сдвиги и позволяет при соответствующем выбореT ¢ в диапазоне частоты среза системы «поднять» фазовую характеристику и увеличить запасы устойчивости. При этом при малых частотах вид частотных характеристик исходной и скорректированной системы не изменится. Такая коррекция часто применяется для стабилизации или демпфирования систем.

113

	Так как реализовать звено, осуществляющее чистое дифференцирование
WK2	(s) = Ts , достаточно сложно, то используют введение производной с инер-
ционностью, что соответствует WK2 (s) =		Ts		. При этом эффект демпфирова-
	T1s + 1
ния несколько ослабевает.

Другой вид параллельного корректирующего устройства, находящего широкое применение, – это введение интеграла и производной от сигнала прямой

	цепи. Пусть W (s) = K	2	, a	W	K2		(s) =		1	, тогда передаточная функция прямой
	2								Ts
						1 + T ¢s
	цепи будет равна W (s) = W			(s)				, а ее частотные характеристики
			0				T¢s

A(w) = A (w)	1 + T ¢2w2	, j(w) = j	(w) - 90o + arctgT ¢w, T ¢ = K T .	(9.8)
0	T ¢w	0	2

В системе повышается порядок астатизма на единицу и соответственно увеличивается точность. При этом путем выбора величины T ¢ , как следует из (9.8), отрицательный фазовый сдвиг в значительной степени можно на частоте

	среза скомпенсировать					положительным arctgT ¢w, что			позволяет обеспечить
	устойчивость системы.
		Пример 9.1. Пусть в нескорректированной системе(рис. 9.1, а) W1(s) = K1,
	W2	(s) =	K2		, W3 (s) =	K3		, T2 = 0,1с, T3 = 0,5 с, K1	= 2 , K 2 = 2 , K3 = 3.
						T3s + 1
			T2s + 1

Требуется, чтобы статическая ошибка в системе была равнойeoy = 0 , а ско-

ростная		ошибка при скачке по скорости управляющего сигналаv(t) = v1t и
v = 1	была e¢			£ 0,04 . Так как				eo = 0 , то требуемый порядок астатизма си-
1			y					y
стемы	n	должен быть не					меньше единицы. Принимаем n = 1. Скоростная
ошибка		e1y =	v1	=	1	£ 0,04 ,	откуда требуемый коэффициент передачи разо-
			K
					K
мкнутой системы K ³ 25 . Принимаем К = 30. В прямую цепь введем последо-

вательное корректирующее устройство с передаточной функцией WK (s) =								2,5		,
			1						s
тогда передаточная		функция	разомкнутой скорректированной системы					будет
равна W (s) =	K1K 2 K3 × 2,5		30		.
			=
	s(T s + 1)(T s + 1)			s(0,1s + 1)(0,5s + 1)
2		3
По критерию Гурвица (см. пример 5.3) замкнутая система с такой переда-
точной функцией будет устойчива при выполнении условия0 < K <						1	+		1		,
которое при K = 30 ,						T2			T3
		T2 = 0,1,	T3 = 0,5 не выполняется.

114

Итак, введение в прямую цепь последовательного корректирующего

	устройства с передаточной функцией WK	(s) =	2,5		из условия обеспечения тре-
			s
	1

буемой точности приводит к неустойчивости системы.

Попытаемся скорректировать систему с помощью параллельного корректирующего устройства, для чего параллельно звену с передаточной функцией

W (s)	подключим звено с передаточной функцией W					(s) =	K ¢	. Тогда переда-
1						K1	s
точная	функция	прямой	цепи	с	учетом			коррекции	будет

¢

æ K1

ö

K K

2

K

3

ç

s +1÷

W (s) =

è K ¢

ø

.

s(T s

+ 1)(T s + 1)

2

3

Система становится астатической, и для обеспечения точности, как и вы-

ше, примем

коэффициент передачи равным K ¢K2 K3

= 30 ,

откуда

K ¢ = 5 . С

учетом этого передаточная функция W (s) =

30(0,4s +1)

.

s(0,1s +1)(0,5s +1)

Проверим скорректированную систему на устойчивость. Характеристиче-

ское уравнение замкнутой системы будет иметь вид

D(l) = l(0,1l + 1)(0,5l + 1) + 30(0, 4l + 1) = a l3 + a l2

+ a l + a = 0 ,

0

1

2

3

где a0 = 0,05 ,

a1 = 0,6 , a2 = 13 , a3 = 30 .

Условие

устойчивости a1a2 - a0a3 > 0

для уравнения

третьего порядка

выполняется ( 7,8 - 1,5 = 6,3 > 0 ).

Итак, введение параллельной коррекции приводит к тому, что скорректированная система удовлетворяет заданным показателям по точности и является устойчивой.

9.2.3. Встречно-параллельные корректирующие устройства. Встречно-

параллельные корректирующие устройства выполняются в виде местных -об ратных связей. Наиболее часто обратными связями охватывают силовую часть системы управления (исполнительные элементы и усилители мощности).

Рассмотрим общие

свойства таких

корректирующих

устройств. Для

рис. 9.1, в

частотная характеристика участка, охватываемого обратной связью,

имеет вид

W2

¢

( jw) =

W2 ( jw)

.

1 +W2 ( jw)WK3 ( jw)

Обычно в диапазоне рабочих частот системы(в диапазоне низких частот)

выполняется

условие

W2 ( jw)WK3 ( jw)

>>1

и

частотная

характеристика

W2¢( jw) @

1

, т. е. характеристика участка

цепи, охваченного обратной

WK3 ( jw)

связью, определяется только видом частотной характеристики корректирующего элемента и не зависит от звена прямой цепиW2 (s) . В ряде случаев это

115

позволяет скомпенсировать нежелательное влияние звенаW2 (s) на динамику

системы, например, влияние малых нелинейностей или малого изменения параметров этого звена прямой цепи.

В зависимости от вида передаточной функцииWK 3 (s) корректирующие

обратные связи делятся на жесткие и					гибкие. Если звено WK 3		(s) является ста-
тическим		(WK3	(0) ¹ 0 ), то	обратная	связь называется жесткой. Если звено
WK 3	(s)	является звеном		дифференцирующего типа(WK3		(0) = 0 ), то имеем

гибкую обратную связь. Жесткая обратная связь действует как в переходных, так и в установившихся режимах, а гибкая – только в переходных.

Рассмотрим несколько частных задач коррекции с помощью обратных связей.

Пусть W2 (s) =	K2		, WK 3	(s) = K3 . Тогда передаточная функция участка
	Ts + 1
цепи W2¢(s) , охваченного отрицательной обратной связью, будет иметь вид

W ¢(s) =

K2

=

K2¢

, где K¢ =

K2

, T ¢ =

T

.

2

Ts +1 + K2 K3

¢

+1

2

1

+ K

K

1 + K

K

T s

3

2

3

2

Итак, структура звена не изменилась, оно осталось апериодическим, но произошло уменьшение коэффициента передачи и эквивалентной постоянной времени T ¢ . Отсюда следует, что охват в прямой цепи наиболее инерционного звена позволяет уменьшить инерционность всей цепи, что благоприятно сказывается на показателях качества системы(быстродействии, устойчивости). Уменьшение коэффициента передачи можно компенсировать введением -до полнительного усилительного устройства.

K

3

K ¢

(Ts + 1)

Пусть

W (s) = K

2

,

W

(s) =

,

тогда

W ¢(s) =

2

,

2

K3

Ts +1

2

T ¢s + 1

K2

T

K ¢

=

,

T ¢ =

.

В этом

случае меняется тип

звена. При

2

1

+ K2 K3

1 + K2 K3

K2 K3 ? 1, T ¢ = T

и можно записать приближенное выражение для передаточ-

ной функции W ¢

(s) @ K ¢

(Ts + 1) . Итак,

получили эквивалентное форсирующее

2

2

звено, влияние которого аналогично влиянию введения производной при -па раллельной коррекции.

	Рассмотрим				изменение	свойств охваченного участка		прямой цепи		при
	охвате	его			гибкой	обратной . связьюПусть	W2	(s) =	K2	,
									s(Ts + 1)
	W (s) =	K	3s		.
		T0 s	+ 1
	K3

116

В этом случае передаточная функция участка цепи с обратной связью

W2¢(s) =

K ¢(T0 s +1)

K2

2

TT0

T + T0

, где

K ¢ =

,

T2

=

, T1 =

.

s(T 2 s2

+ T s +1)

1 + K

2

K

3

1 + K

2

K

3

1 + K

2

K

3

2

1

Итак, при сохранении интегрирующих

свойств эквивалентная передаточ-

ная функция обладает форсирующими свойствами из-за сомножителя (T0 s + 1) .

	Если сделать величину K 2 K3 достаточно			большой, то малыми постоянными
	времени		T1 и T2 можно пренебречь. При	этом получим W2¢(s) @	K ¢(T0 s +1)	,
					s
		1
	K ¢ @		. В этом случае получаем в прямой цепи изодромное звено.
		K3

Пример 9.2. Рассмотрим нескорректированную систему; как и в приме-

ре 9.1,	передаточная		функция		системы		без	коррекции		будет	иметь вид
W (s) =		K1K2 K3	=		12	.	Требуется,		чтобы статическая
	(T s + 1)(T s + 1)			(0,1s + 1)(0,5s + 1)
	2	3
ошибка в системе при управляющем входном сигнале v(t )									= v0 1[t ] , v0		= 1 не
превосходила величины 0,1, т. е.					e oy £ 0,1 , а время регулирования t p £ 0,25 с.
При		K = K1K 2 K3	= 12 статическая ошибка					в системе		будетeoy	@ 0,08 ,

т. е. будет удовлетворять заданным требованиям.

Оценим в системе время регулирования, базируясь на корневых оценках качества. Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид:

D(l) = (T2 s + 1)(T3s + 1) + K = 0,05l2 + 0,6l + 13 = 0 .

Это уравнение имеет два комплексных корня, действительная часть которых Re li = -6 , откуда следует, что система устойчива. Степень устойчивости

системы h = 6 и в соответствии с(7.4) t p	@	3	= 0,5 с. Таким образом, время
		h

регулирования в системе не удовлетворяет заданному. Для уменьшения времени регулирования следует уменьшить максимальную постоянную времени. Для этого охватим последнее звено с передаточной функциейW3 (s) жесткой

отрицательной обратной связью		с	передаточной функциейW (s) = K ¢,
											K3
K ¢ = 2 . Тогда передаточная функция скорректированного участка цепи будет
равна							3
	W (s)
W3¢(s) =				=		7					,
		3
		¢				0,5
	1 + K W3		(s)					s + 1
						7

а передаточная функция разомкнутой скорректированной системы будет равна

117