Пример 2.2. Пусть звено описывается нелинейным дифференциальным

уравнением 5 x2(1)

+ x2

= 10 e 2 x1 .

= 10e2 x1 .

Уравнение

статики имеет

видx2

Положим

входной сигнал

x1* = 0, 5, тогда очевидно, что x*2 @ 27 . Линеаризация исходного уравнения дает

D5x(1)

+ Dx

2

=

¶

10e2 x1

× Dx = 54Dx .

2

¶x1

x1 = 0,5

1

1

Если x* = 1, то получим уравнение D5x(1)

+ Dx

2

=148Dx .

1

2

1

Таким образом, в

зависимости от координат

точки

разложения будем

иметь уравнения с различными коэффициентами.

2.3. Передаточная функция и временные характеристики звеньев

Основной характеристикой звена САУ является его дифференциальное уравнение. Однако наряду с ним в теории управления нашли применение и другие характеристики. Важнейшей из них является передаточная функция, получаемая на основе применения преобразования Лапласа к исходному дифференциальному уравнению звена. Прямое и обратное преобразования Лапла-

			¥
	са определяются	следующими выражениями: Y (s) = L{y(t)} = ò y(t)e- st dt ;
			0
	y(t) = L-1{Y (s)} = =	1	c + j¥
			ò Y (s )e st ds , где y(t) – оригинал; Y(s) – изображение
		2 pj
			c - j¥

функции y(t); s – комплексная переменная; c = Re s; L и L-1 – символы прямого и обратного преобразования Лапласа.

Наиболее важные свойства преобразования Лапласа, а также соответствие между рядом оригиналов и изображений приведены в приложении.

Если в

дифференциальном

уравнении

звена(2.1)

положить

x2 (0) =

= x(1) (0) = ... = x(n-1) (0) = 0; x (0) = x(1)

(0) = ... = x( m -1) (0) = 0 ,

то после

приме-

2

2

1

1

1

нения прямого преобразования Лапласа получим алгебраическое уравнение

относительно изображений:

a sn X

2

(s) + a sn-1X

2

(s) + ... + a

n

X

2

(s) = b sm X

1

(s) +

+b sm-1X

0

1

0

1

(s) + ... + b

X

1

(s) , откуда

1

m

X

2

(s)

b sm

+ b s m -1

+ ... + b

W (s) =

=

0

1

m

.

(2.7)

X

(s)

sn

+ a sn -1

1

a

0

+ ... + a

n

1

Пepeдаточная функция звена W(s) есть отношение изображения выходно-

го

сигнала

к

изображению

входного

сигнала при

нулевых

начальных

условиях.

16

Если взять дифференциальное уравнение звена в операторной форме (2.3), то формально W(s) получим делением оператора B(p) на оператор A(p) с заме-

ной p на s: W (s) =		B( p)			=	B(s)	.
		A( p)
					p = s A(s)
Из (2.7) следует связь изображений входа и выхода через передаточную
функцию:						X 2 (s) = W (s) X1(s) .					(2.8)
Звено САУ		на		структурных				схемах изображают , таккак			показано на
рис. 2.3.						При использовании уравнения(2.2) переда-
					точную функцию звена будем записывать в виде
								W (s) =	KN (s)	,	(2.9)
	Рис. 2.3
									L(s)
где N(s) и L(s)		– многочлены с						единичными коэффициентамив младших
членах.

Полином L(s) будем называть xapактepистичecким полиномом, а уравне-

ние L(l) = 0 – характеристическим уравнением звена.

Следующий класс характеристик звена – это временные характеристики:

весовая и переходная функции звена.

Если рассматривать W(s) как изображение, то приходим к понятию весовой (импульсной) функции звeнa w(t), формально определяемой как обратное преобразование Лапласа от передаточной функции

w(t) = L-1{W (s)}.

(2.10)

Вeсовая функция звена w(t) ecть реакция звена на входной сигнал в виде дельта-функции, которая определяется соотношением

ì¥,	t = 0	¥
d(t) = í	t ¹ 0	, причем òd(t)dt =1.
î0,		-¥
		¥
Дельта–функция обладает фильтрующим свойством: ò y(t -t)d(t)dt = y(t) .
		-¥
Если положить x1(t) = d(t) , то		X1 (s) = L{d(t)} = 1 и X 2 (t) = W (s) , откуда
X 2 (s) = L-1{d(t)} = w(t) , т. е. w(t) –		реакция звена на входной сигнал d(t) .
К такому же результату можно прийти следующим образом. Правой части
(2.8) соответствует в области оригиналов свертка функций w(t) и x1(t) :
		t
x2 (t) = L-1{W (s) X1(s)} = òw(t - t)x1(t)dt.			(2.11)
		0

17

Если в (2.11) положить x1 (t) = d(t) , то на основании фильтрующего свой-

ства дельта-функции будем иметь x2 (t) = w(t) .

Пepexодной функциeй звена h(t)

называется реакция звена на единичное

ступенчатое воздействие

ì1, t ³ 0,

1[t] = í

î0, t < 0.

Так как L{1[t]} =

1

, то w(t) =

dh(t)

и по определению

dt

s

-1

ìW (s) ü

h(t) = x2 (t) = L

í

ý .

(2.12)

s

î

þ

d

dh(t)

t

Так как d(t) =

1[t] , тo w(t) =

, а h(t) = òw(t)d t.

dt

dt

0

Пример 2.3.

Дифференциальное

уравнение двигателя

постоянного тока

(пример 2.1) по углу поворота в предположении, что TM ?TЭ , можно записать

в виде Tx(2)

+ x(1)

= Kx , где принято T = T .

2

2

1

M

Передаточная функция и временные характеристики будут иметь вид

	W (s) =	K			, w(t) = L-1{W (s)} =
		s(Ts +1)
			ìW (s) ü				é	æ
	h(t) = L-1		í			ý	= K êt - T ç1		-
			î		s þ		ê	ç
							ë	è

æ				-	t	ö
			- e				,
K ç1				T ÷
ç				÷
è				ø
-	t		öù
e T ÷ú .

÷ú øû

2.4. Частотные характеристики звеньев

Частотные характеристики определяют динамические свойства звеньев при воздействии на них гармонических сигналов. Формально частотные характеристики получаются из передаточной функцииW(s) при s = jw, где w – угловая частота, имеющая размерность [рад/с]. Сделав такую замену, получим

		¥
W ( jw) = W (s)	s = jw	= ò w(t)e- jwtdt,	(2.13)
		0
т. е. частотная передаточная функция W ( jw) есть прямое			преобразование

Фурье от весовой функции w(t).

Комплекснозначную функцию W ( jw) частоты w будем называть ампли-

тудно-фазовой частотной xаpактepистикой (АФЧХ) звена.

18

Как любое комплексное число АФЧХ можно представить в виде
W ( jw) = U (w) + jV (w) = A(w)e jj(w) ,	(2.14)

где

A(w) = W ( jw) = U 2 (w) + V 2 (w) ,

j(w) = argW ( jw) = arctg V (w) .

U (w)

Если передаточная функция звена представлена в видеW (s) =

w

K

N ( jw)

W( jw) =

KN( j )

. При этом, очевидно,

A(w) =

(считаем

L( jw)

L( jw)

(2.15)

(2.16)

KN(s) , то L(s)

K > 0 ) и

j(w) = arg N ( jw) - arg L( jw) .

В соответствии с (2.14) – (2.16) имеем еще ряд частотных характеристик:

A(w) = W ( jw) – амплитудно-частотная xаpактepистика (АЧХ); j(w) = = argW ( jw) – фазово-частотная xаpактepистика (ФЧХ); U (w) , V (w) – соответственно вeществeнная и мнимая частотные характеристики.

Рассмотрим физический смысл частотных характеристик. Если на вход

звена	с передаточной						функциейW(s)	поступает	гармонический сигнал
x1 = A1	sin w1t , то в установившемся режиме после затухания переходной со-
ставляющей				выходной			сигнал x2 y (t)	будет	также	гармоническим:
x2 y (t)	= A1		W ( jw1 )			sin(w1t + arg W ( jw1 )) ,		т. е. той	же частоты,	но изменен-
ных амплитуды и фазы.

Изменение амплитуды определяется модулем W ( jw) , а фазы – аргументом W ( jw) на соответствующей частоте w1 .

На практике для наглядности частотные характеристики изображают в ви-

де графиков при изменении частоты w от 0 до + ¥.
Частотные	характеристики		обладают	следующими	свойствами:
U (-w) = U (w) , V (-w) = -V (w) ,		A(w) = A(-w) , j(-w) = -j(w) , которые непо-
средственно следуют из(2.14)		– (2.16). Другими		словами: характеристики
U (w) , A(w) являются четными,		V (w) , j(w) – нечетными. В силу этого графи-
ки при изменении частоты oт –∞ до 0 не строятся. АФЧХ W ( jw) представляет
собой годограф на комплексной плоскости с координатами U, V или А,					j при

изменении w от 0 до ¥ .

На рис. 2.4 и 2.5 представлены иллюстративные графики частотных характеристик некоторого звена.

19

Рис. 2.4

Штриховой линией показаны части графиков, соответствующие w < 0 . Вполне понятно, что из графика (см. рис. 2.4) нетрудно получить графики а, б или соответственно в, г (см. рис. 2.5) и наоборот.

0

0

j(w)

0

0

Рис. 2.5

На практике часто применяются соответствующие логарифмические -ча стотные характеристики: логаpифмичeская амплитудная частотная характеристика (ЛАЧХ) L(w) = 20lg(w) и логарифмическая фазовая частотная xаpактepистика (ЛФЧХ) j(w) , графики которых строятся в логарифмическом масштабе. При построении L(w) по оси ординат откладывается величина 20 lg A(w) , единицей измерения которой является децибел, а по оси абсцисс –

20