частота w [1/с] в логарифмическом масштабе, т. е. величина lg w . Увеличение A(w) в 10 раз соответствует приращению L(w) вдоль оси ординат на20 дБ. При построении ЛФЧХ величину j откладывают по оси ординат в обычном масштабе (в градусах или радианах), a w – в логарифмическом масштабе.

На рис. 2.6 приведены иллюстративные графики ЛАЧХ и ЛФЧХ для некоторого звена. Частота wC , при которой A(w) = 1, носит название частоты

среза. Левее wC значения A(w) > 1 (усиление), правее – < 1 (ослабление амплитуды гармонического сигнала).

Рис. 2.6

2.5.Элементарные звенья и их характеристики

Вобщем случае звено САУ описывается линейным дифференциальным уравнением произвольного порядка вида(2.1) – (2.3), или соответствующей

передаточной функцией (2.7). Введем понятие элементарного звена и покажем, что любое звено может быть представлено в виде совокупности элементарных звеньев.

Передаточная функция (2.7) есть отношение двух полиномов порядка m и n соответственно. Каждый из полиномов всегда можно представить в виде про-

изведения простых

сомножителей

вида: d

0

s, (d s + d

2

), (d

s2 + d

4

s + d

5

) ,

где

сомножитель d0s

1

3

соответствует

нулевому

корню

уравненийB(s) = 0

или

A(s) = 0, d s + d

2

– действительному корню, d

3

s2 + d

4

s + d

5

– паре комплекс-

1

но–сопряженных корней.

Исходя из этого, введем в рассмотрение элeмeнтaрные звeнья со следую-

щими передаточными функциями:

W (s) = K ;

W (s) = Ks ;

W (s) = K (Ts +1) ;

W (s) = K (T 2 s2 + 2xTs +1) ; W (s) =	K	; W (s) =	K		; W (s) =		K		.
	s						T 2 s 2 + 2xTs +1
		Ts +1
Обозначим произвольную передаточную функцию						элементарного			звена

через Wi (s) . Нетрудно показать, что звено с передаточной функциейW(s) можно представить в виде

21

W (s) = ÕWi (s)	или W (s) = åWi (s) .	(2.17)
i	i

Представление W(s) в виде (2.17) оказывается удобным при вычислении и построении соответствующих характеристик звена, если известны характеристики элементарных звеньев. Действительно, из (2.17) нетрудно получить следующие полезные соотношения:

если W (s) = ÕWi (s) , то A(w) = Õ Ai (w) , j(w) = å ji (w) , L(w) = å Li (w) ;

i i i i

если W (s) = åWi (s) , то h(t) = å hi (t) , w(t) = å wi (t) .

i	i	i
Перейдем к рассмотрению характеристик элементарных звеньев.
Идeальноe усилитeльноe (бeзынepционноe или			пpопоpциональноe) звено.
Его уравнение и передаточная функция имеют видx2 (t) = Kx1(t) ,				W (s) = K ,
(полагаем K > 0 ), а частотные		характеристики–	W ( jw) = K ,	A(w) = K ,

j(w) = 0 , L(w) = 20 lg K .

Временные характеристики звена таковы: w(t) = Kd(t) , h(t) = K1[t ] . Графики частотных и временных характеристик вполне очевидны. Идeальноe интeгpиpующee звeно. Дифференциальное уравнение и переда-

точная функция имеют вид px2 (t) = Kx1(t) ,						x2 = K ò x1	(t)dt , W (s) =	K	.
								s
Характеристики				звена	определяются		следующими			выражениями:
W ( jw) =	K	, A(w) =	K	, j(w) = -90o ,		L(w) = 20 lg K - 20 lg w,				h(t) = Kt ,
			w
	jw

w(t) = K ×1[t] , графики которых представлены на рис. 2.7.

w = ¥

0 w®

	-20	дБ
		дек
	20lg K

-90o

arctgK

Рис. 2.7

22

Идeальноe дифференцирующееe звeно.

Звено имеет следующие диффе-

ренциальное уравнение и передаточную функцию:

x2 (t) = px1(t) , W (s) = Ks и

соответственно

характеристики: W ( jw) = Kjw ,

A(w) = Kw,

j(w) = +90o ,

L(w) = 20 lg K + 20 lg w , h(t) = Kd(t) ,

w(t) = Kd(1) (t) ,

графики

которых пред-

ставлены на рис. 2.8.

jV

дБ

L

20

дек

w= 0

U

20 lg K

1

A

90o

0

0

Рис. 2.8

Aпepиодичeскоe (инepционноe) звeно пepвого поpядка. Дифференциальное

уравнение звена имеет вид (Tp +1)x2 (t) = Kx1(t) .

Передаточная

функция и частотные

характеристики имеют следующий

вид:

K

K

K

W (s) =

, W ( jw) =

, A(w) =

,

T 2w2 +1

Ts +1

Tjw +1

j(w) = -arctgTw, L(w) = 20 lg K - 20 lg T 2w2 + 1 .

Весовая и переходная функции звена определяются выражениями

t

w(t) = K e-T , h(t) = T

графики которых представлены на рис. 2.9.

æ	-	t	ö	,
K ç1	- e T ÷
è	ø

K

T

Рис. 2.9

23

На рис. 2.10 изображены частотные характеристики звенаW ( jw) , A(w) , j(w) . При этом годограф вектора W ( jw) представляет собой полуокружность.

w = ¥

K A

2

1

T

0

- 45o

- 90o

Рис. 2.10

ЛАЧХ L(w) может быть построена по приведенному выше выражению по точкам. Однако возможен более простой способ построения приближенной или асимптотической ЛАЧХ в виде отрезков прямых линий с наклонами: 0 до ча-

стоты w < 1 и -20 дБ на декаду после частоты w = 1 . Соответствующий гра-

T T

фик приближенной (асимптотической) ЛАЧХ приведен на рис. 2.11, там же представлена и ЛФЧХ.

Штриховой линией показан точный графикL(w) . Максимальная ошибка

D между точным графиком L(w)	и асимптотическим будет при w =					1	и со-
ставит						T
D = 20 lg K - [20 lg K - 20 lg	T 2w2 +1]		w =	1 = 20 lg 2 @ 3,03 дБ,
что вполне допустимо.				T

Колeбатeльноe звeно. Дифференциальное уравнение колебательного эвена имеет вид

	(T 2 p2 + Tp +1)x		2		(t) = Kx (t) .
						1
Будем полагать, что T1 < 2T2 , тогда корни характеристического уравнения
T 2l2	+ T l +1 = 0 будут комплексными.			Чаще		передаточную функцию звена
2	1						T1
записывают в виде W (s) =		K		, где T = T , x =				, 0 < x < 1.
		T 2 s2 + 2xTs +1				2	2T
							2
24

	20 lg K	- 20	дБ
			дек

1

T

Рис. 2.11

Частотные и временные характеристики звена имеют следующий вид:

W ( jw) =

K

; A(w) =

K

;

T 2 ( jw)2 + 2xTjw +1

(1 - T 2w2 )2 + 4x2T 2w2

ì

2xT w

1

ï-arctg

, w £

1 - T

2

2

T

ï

w

j(w) = í

2xT w

1

ï-180o

- arctg

,

w ³

,

2

2

ï

1 - T

T

î

w

L(w) = 20lg K - 20lg (1 - T 2w2 )2 + 4x2T 2w2 ,

K (a

2

2

)

é

a

2

+ b

2

ù

w(t) =

+ b

e-at sin bt ,

h(t) = K ê1 -

e- at sin(bt + j)ú ,

b

b

ê

ú

ë

û

x

1 - x2

1 - x2

где a =

,

b =

, j = arctg

x

.

T

T

25

Анализ АЧХ показывает, что A(w) £ K для любого w , если 0,707 < x < 1. При x < 0 ,707 на графике A(w) появляется «горб», который уходит в бесконечность при x ® 0 . Величину x называют параметром затухания. Чем меньше x, тем медленнее затухает колебательная составляющая в выражениях w(t) и h(t).

Асимптотическая ЛАЧХ в виде ломаной может быть получена только при x = 1 и имеет следующий вид: L(w) = 20 lg K - 20 lg(1 + T 2w2 ) .

Переход от прямой с наклоном 0 дБ/дек на прямую с наклоном –40 дБ/дек

происходит по частоте излома w = 1 . Считается, что такую аппроксимацию

T

можно использовать при 0,5 < x < 1. При x < 0,5 в окрестностях точки w = 1

T

на ЛАЧХ также появляется «гopб». В этом случае при построении L(w) в диа-

пазоне w, близких к w = 1 , следует использовать точное выражение для L(w)

T

или воспользоваться специальными номограммами.

Графики частотных характеристик колебательного звена приведены на рис. 2.12, а временных характеристик – на рис. 2.13.

	jV		L(w)
w = ¥	K	U
			x < 0,5
1		20lg K	x > 0,5	- 40 дБ
				дек
T		1	1	w
			T
	A(w)		j(w)
	x = 0	- 90o	x = 0	w
K

-180o

x = 1

w

Рис. 2.12

26

K

Рис. 2.13

Частные случаи колебательного звена: консepвативноe звeно при x = 0 ,

				K
имеющее передаточную	функцию W (s) =				и апериодическое звено
			T 2 s 2 + 1
второго поpядка при x ³ 1, передаточная функция которого равна
W (s) =	K			T
		, T1,2		= x ± x2 - 1 .
	(T1s +1)(T2s +1)

Фоpсиpующеe звeно пepвого поpядка. Дифференциальное уравнение и передаточная функция звена имеют вид x2 (t) = K (Tp +1)x1(t) , W (s) = K (Ts +1) , а частотные и временные характеристики определяются выражениями

W ( jw) = K (Tjw +1) , A(w) = K T 2w2 +1 , j(w) = arctgTw,

L(w) = 20 lg K + 20 lg 1 + T 2w2 , h(t) = K[Td(t) +1[t]], w(t) = K[Td(1) (t) + d(t)].

Графики частотных характеристик представлены на рис. 2.14. Фоpсиpующeе звeно второго поpядка. Диффференциальное уравнение и

передаточная функция равны соответственно x	2	(t) = K (T 2 p2	+ 2xTp + 1)x (t) ,
			1
W (s) = K (T 2 s2 + 2xTs +1) при условии 0 £ x < 1. При x ³ 1			это звено можно

представить как произведение двух элементарных форсирующих звеньев первого порядка.

27