6.3. Установившиеся ошибки при гармоническом воздействии

Если		главная передаточная функция замкнутой		системы имеет вид
F(s) =	W (s)		, то при входном сигнале v(t) = sin wt выходной сигнал в уста-
1 + W (s)
новившемся режиме y y (t) будет определяться выражением
			y y (t) = A3 (w) sin(wt + j3 (w)) ,	(6.13)

где A3 (w) = F( jw) , j3 (w) = arg F( jw) .

Аналогично, зная Fe (s) , можно найти закон изменения ошибки в устано-

вившемся режиме при гармоническом входном сигнале v(t) = sin wt :
e y (t ) = F e ( jw) sin( wt + je (w)) ,	(6.14)

где je (w) = arg Fe ( jw) .

Выражения (6.13), (6.14) позволяют оценить ошибки воспроизведения гармонического сигнала в установившемся режиме. Из этих выражений следует, что, кроме ошибки воспроизведения амплитуды входного гармонического сигнала, существуют и постоянные фазовые ошибки, которые определяются видом фазочастотных характеристик замкнутой системы. Обычно при анализе точности систем управления их не рассматривают, ограничиваясь лишь анализом ошибок воспроизведения амплитуды.

Из (6.13), (6.14) можно получить ошибки воспроизведения амплитуды гармонического сигнала на заданной частоте, равные

D y =	1 - A3 (w)					,	(6.15)
De =			Fe ( jw)		,		(6.16)

первая из которых характеризует разность между максимальными значениями амплитуды входного и выходного сигналов, а вторая – максимальную величину ошибки ey (t) . Очевидно, всегда D y ³ De . Так как Fe ( jw) = 1 - F( jw) =

= A3 (w)e	jj	3 (w)	то Fe ( jw) =	2	(w) . Если	j3 = 0 , то
				1 - 2A3 (w) cos j3 (w) + A3

Fe ( jw) = 1 - A3 (w) . Таким образом, при малых фазовых сдвигах на заданной

частоте w оценки (6.15) и (6.16) будут близки между собой. Это обычно выполняется в диапазоне низких частот.

На рис. 6.2 представлен типичный вид АЧХ замкнутой системы A3 (w) для случая астатической системы, при этом A3 (0) = 1. В случае статической си-

	стемы A (0) =	K		. На рисунке заштрихованная область соответствует вели-
		K +1
	3

чинам ошибок D y .

68

Рис. 6.2

Под полосой пропускания системы понимают диапазон частот 0 £ w £ wn , при котором ошибка D y будет меньше некоторой заданной D , т. е. D у < D .

Иногда полосу пропускания определяют как диапазон частот 0 £ w £ wn , при котором выполняется условие A3 (wn ) £ 0,707 A3 (0) .

Полоса пропускания является важной характеристикой системы. С одной стороны, чем шире полоса пропускания, тем с меньшими ошибками система воспроизводит управляющие сигналы. Однако, с другой стороны, увеличение wn приводит к тому, что система становится чувствительной к влиянию высо-

кочастотных помех.

Из

выражения (6.16) можно получить

приближенные оценки

величины

ошибки

Dе . Так

как Fe ( jw) =

1

, то для

статической

системы

1 + W ( jw)

W ( jw) =

KN ( jw)

и при достаточно

низких

частотах можно полагать

L( jw)

N ( jw) » 1, L( jw) » 1, W ( jw) » K , откуда имеем

De @

1

.

(6.17)

1

+ K

Для	астатической системы W ( jw) =				KN ( jw)			и при низких частотах
				( jw)n L			( jw)
	K				0
W ( jw) @		, откуда получим
	( jw)n
		De @		wn				(6.18)
					.
		w2n + K 2
Если выполняется условие K >> w, то формула (6.18) принимает вид
					wn
		De	@			.		(6. 19)
					K
								69