Из (6.17) – (6.19) видно, что ошибка системы обратно пропорциональна коэффициенту усиления разомкнутой системы.

Итак, для повышения точности САУ следует увеличивать коэффициент усиления разомкнутой системы либо увеличивать порядок астатизма. Однако это будет приводить в общем случае к ухудшению устойчивости. Таким образом, требования к точности системы и ее устойчивости являются противоречивыми.

Пример 6.3. Пусть передаточная функция разомкнутой системы имеет

вид: W (s) =

K

при K = 20 ,

T = 0,02 с,

T = 0,03 с, w = 0,9 с-1.

s (T1s +1)(T2s +1)

1

2

( 1

)(

2

)

Передаточная

функция

системы

по

ошибкеFe

(s) =

s T s +1

T s +1

=

s(T1s +1)(T2s +1)+ K

=

6 ×10-4 s3 + 5 ×10-2 s 2 + s

.

Находим

величину

Dе

(6.16):

6 ×10

-4 s3

+ 5 ×10-2 s 2 + s + 20

De =

6 ×10-4 ( jw)3 + 5 ×10-2 ( jw)2 + ( jw)

= 0,045 с

-1

.

Если

воспользоваться

6 ×10

-4

( jw)

3

+

5 ×10

-2

( jw)

2

+ ( jw)

+ 20

приближенной формулой (6.19), то De

@

0,9

= 0,045 с-1, т.e. с точностью до тре-

20

тьего знака оба результата совпадают.

7. ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

Численные величины, характеризующие работу системы автоматического управления, носят название показателей качества, которые условно можно разделить на три группы: характеризующие а) устойчивость системы, б) точность системы и в) качество переходных процессов. Обеспечение устойчивости является необходимым условием функционирования любой системы управления и гарантирует затухание свободной или переходной составляющей процесса. К этой первой группе показателей относятся запасы устойчивости по амплитуде DL и фазе Dj.

После затухания свободной составляющей через достаточно большой промежуток времени в системе протекает установившийся процесс, который обуславливает точность системы. Показателями качества в данном случае выступают величины ошибок в установившемся режиме, которые рассмотрены в разд. 6 (вторая группа).

Наконец, к третьей группе относятся показатели качества переходного процесса, которые характеризуют вид процесса для достаточно малых моментов времени после его начала. Среди таких показателей – время регулирования

t p , перерегулирование s и ряд других, приведенных в подразделе 4.1.

70

Показатели качества могут быть вычислены двумя способами. Первый – непосредственно по виду переходного процесса. В этом случае их называют прямыми оценками качества. Второй способ – это использование косвенных оценок показателей качества без построения кривой переходного процесса.

В данном разделе рассмотрим наиболее распространенные косвенные методы оценки показателей качества переходного процесса.

7.1. Корневые оценки качества

Переходная функция замкнутой системы как реакция системы на единичный скачок по положению вычисляется в соответствии с выражением (4.11), в котором второе слагаемое в виде суммы определяет переходную составляющую

			n	KN (l		)			l t
			hn (t) = å		i		e		i	,	(7.1)
			i =1 li D¢(li )
a li – различные корни характеристического									уравнения		замкнутой системы
D(l) = 0 .
Если Re l	i	< 0 ,	i = 1,..., n , то lim h		(t) = 0 ,			т. е. с течением времени пере-
			t ®¥ n

ходная составляющая затухает.

В выражении (7.1) перейдем к модулям в левой и правой частях:

	n	eli t
hn (t)	£ å ci		,	(7.2)
	i =1

	где ci =	KN (li )		.
		li D¢(li )

Обозначим расстояние от мнимой оси до ближайших действительного корня (рис. 7.1, а) или пары комплексно-сопряженных корней(рис. 7.1, б) на плоскости корней l через h.

Im Im

l		jb	l
Re	a		Re

h

h	jb

Рис. 7.1

71

Величину

h

будем называть степенью устойчивости.

Очевидно, что

h = min

Re li

.

Так

как

el i t

=

e(Re l i )t e j (Im l i ) t

=

e(Re l i )t

,

то для любого

множителя

eli t

в (7.2) будет справедлива оценка

eli t

< e-ht . Таким образом,

(7.2) равносильно выражению

n

hn (t)

£ Me-ht , а M = åci .

(7.3)

i =1

Из (7.3) следует, что переходная составляющая hn (t) затухает быстрее, чем экспонента с показателем– h. Если принять время регулирования t p как время, начиная с которого hn (t) войдет в 5% трубку от некоторого начального значения, то из (7.3) получим Me-ht p = 0, 05M , откуда

	t p £	ln 0,05	@		3	.	(7.4)
		- h			h
Выражение	(7.4) и соответственно величина h характеризуют предельное
быстродействие	системы, поэтому иногда			величину h			называют еще мерой

быстродействия системы.

Из рассмотренного выше следует, что доминирующее влияние на характер переходного процесса оказывают ближайшие к мнимой оси корни. Если ближайшими являются комплексно-сопряженные корни l1,2 = -h ± jb, то наряду

со степенью устойчивости вводят в рассмотрениеколебательность системы

(колебательность переходного процесса) m = b . Паре комплексно-сопряжен- h

ных корней в (7.1) соответствует составляющая

c e(-h+ jb)t + c		e(-h- jb)t = Ae-ht sin(bt + j),	(7.5)
1	2

где c1 , c2 – комплексно-сопряженные величины; A, j – действительные вели-

чины.

Составляющая (7.5) носит колебательный характер. Период колебания

определяется величиной T = 2p . Уменьшение амплитуды в (7.5) за период Т b

æ	2p ö			2p
-hç t +		÷	-
ç	÷			m , т. е. определяться величиной
будет равно Ae è	b ø = Ae-ht ×e

Перерегулирование в % может быть оценено по формуле:

- 2p

e m .

-	p		-	p
		= 100e		tga .		(7.6)
s = 100e m

72

Сувеличением m увеличивается число колебаний за время регулирования

ивозрастает перерегулирование. Величина m носит чаще качественный харак-

тер и является оценкой переходного процесса сверху, поэтому в действительности переходной процесс может иметь лучшие показатели.

Характер переходного процесса в значительной степени зависит от корней li характеристического уравнения, т. е. от полюсов передаточной функции

F(s) = KN (s) замкнутой системы. Однако на величину амплитуды переход-

D(s)

ных составляющих будут влиять и нули передаточной функции. Пусть полином N(s) имеет m нулей si , тогда N (s) = (s - s1 )...(s - sm ) и выражение (7.1)

n	K (l	i	- s )...(l	i	- s	m	)		l t
примет вид hn (t) = å			1					e	i	.
			li D¢(li )
i=1
Очевидно, если какой-то полюс li							будет близок (или в идеальном случае

равен) нулю передаточной функции, то составляющая, соответствующая корню li , будет мала по амплитуде (или равна нулю).

Впервые корневые оценки качества переходных процессов для систем третьего порядка были предложены в работе И. А. Вышнеградского (1876), положившей начало развитию теории автоматического управления.

Характеристическое

уравнение

системы третьего

порядкаD(l) = a l3

+

+a l2

0

+ a l + a

= 0 путем замены переменной приводится к виду

1

2

3

q3 + Aq2 + Bq +1 = 0 ,

(7.7)

где q = l3

a0

,

A =

a1

, B =

a2 .

a3

3 a2a

3

3 a

0

a2

0

3

Коэффициенты А, В – параметры Вышнеградского – являются комбинацией коэффициентов ai и в конечном итоге зависят от реальных параметров

системы. Условие асимптотической устойчивости для уравнения(7.7) несложно получить с помощью критерия Гурвица, оно имеет вид АВ > 1. В области устойчивости, ограниченной гиперболой АВ = 1 в плоскости параметров А, В, нанесем кривые, разделяющие область устойчивости на области с одинаковым расположением корней характеристического уравнения (7.7).

На рис. 7.2 представлена диаграмма Вышнеградского, где для каждой области показано расположение корней и вид переходного процесса.

Таким образом, выбирая из диаграммы требуемый вид переходного процесса, можно найти необходимые значения параметров А, В или ai .

В заключение отметим ряд простых случаев, когда получены оценки степени устойчивости h и соответственно быстродействия системы. Рассмотрим систему управления стандартной структуры, изображенной на рис. 3.1. Пусть

73

передаточная			функция		объекта			управленияW (s)		имеет	:вид
		K2						2
W2	(s) =				, где T1 > T2		> ... > Tr .
		(T1s +1)(T2 s	+1)... (Tr s +	1)
						пл.l
			пл.l
						пл.l
					Рис. 7.2
	Передаточную		функцию W1(s)			будем		рассматривать	как	передаточную
функцию регулятора (управляющего устройства). Рассмотрим три случая зако-

на управления: интегральный W (s) =

K1

, пропорциональный W (s)

=

K

1

,

про-

1

s

1

K1

порционально-интегральный W (s) = K

0

+

. Быстродействие

объекта

1

s

1

управления может быть охарактеризовано величиной

. Доказано,

что

для

T1

интегрального закона управления быстродействие замкнутой системы, характеризуемое величиной степени устойчивости h, не будет превосходить быст-

родействия объекта, т. е. h < 1 .

T1

Для пропорционального и пропорционально-интегрального законов управления быстродействие замкнутой системы управления может превосходить быстродействие объекта управления, но будет ограничено неравенством

h < 1 .

T2

Приведенный частный результат распространяется на более общий случай: астатические системы уступают по быстродействию системам статическим.

74