Пример 7.1. Пусть передаточная функция разомкнутой системы							имеет
	W (s) =		K
вид				.	Характеристическое	уравнение замкнутой системы
			s(Ts + 1)
D(l) = Tl2 + l + K = 0 имеет корни l1,2 = - 1						± 1 - 4KT .
					2T	2T		1
	Если 4KT > 1, то				имеем два комплексно-сопряженных корня		иh =		,
m = 4KT -1 , t p £ 6T .								2T
	Если 0 < 4KT £ 1,				то имеем два действительных корня и h = 1 -		1 - 4KT ,
			6T				2T
m =	0 , t p £				.
		1 - 1 - 4KT

Из приведенных соотношений следует, что при 4KT > 1 процессы в системе будут носить колебательный характер, а быстродействие системы будет ограничено величиной 6Т. При 0 < 4KT £ 1 процессы носят апериодический характер, но быстродействие в системе уменьшается.

7.2. Интегральные оценки качества

Интегральные оценки качества являются интегралами по времени от некоторых функций координат системы (выходной координаты, сигнала ошибки) и оценивают одним числом как величину отклонения, так и время регулирования. В качестве исследуемого процесса обычно выбирается разность между установившимся процессом в системе и самой координатой. Рассмотрим замкнутую систему управления стандартной структуры, на вход которой поступает единичный ступенчатый сигнал v(t) = 1[t]. Тогда реакция системы будет представлять собой переходную функцию h(t) , которая в соответствии с (4.10)

определяется выражением h(t) = hy	+ hn (t) , где hy	=	KN (0)	= F(0) – устано-
			D(0)

вившаяся составляющая; hn (t) – переходная составляющая, характеризующая

переходной процесс.

Введем отклонение Dh(t) = hy - h(t) процесса h(t) от его установившего-

ся значения. Очевидно, что Dh(t) = -hn (t) .

Простейшими интегральными оценками качества являются следующие:

¥
I0 = ò Dh(t)dt ,					(7.8)
0
¥
I1 = ò		Dh(t)		dt ,	(7.9)
0

75

¥
I 2 = ò Dh2 (t)dt .	(7.10)
0
Оценка I0 носит название линейной интегральной оценки,	I1 – абсолют-
ной интегральной и I 2 – квадратичной интегральной оценки.

Значение интегралов будет конечной величиной только в том случае, если

lim Dh(t) = lim[-hn (t)] = 0 , т. е. только для асимптотически устойчивых систем.

t ®¥ t ®¥

Поясним физический смысл оценок(7.8) – (7.10), для чего обратимся к рис. 7.3. Для h(t) , соответствующих кривым 1, 2, 3 (см. рис. 4.2), построены графики отклонения Dh(t) (на рис. 7.3 соответственно кривые 1, 2, 3).

Величина I0 для кривой1 есть величина площади, ограниченной этой

кривой и координатными осями.

Очевидно, чем меньше I0 , тем меньше текущие отклонения h(t) от

установившегося значения и тем меньше будет время регулирования в системе. В идеальном случае, если

I0 = 0 , то время регулирования бу-

дет равно		нулю.	Для	кривых 2,	3 в
силу	того,	что	они	меняют	свой
знак,	оценка I0		неприменима,		так

Рис. 7.3

как величина интеграла может оказаться очень малой(даже равной нулю), но процессы будут затухать

медленно. Поэтому линейные интегральные оценки можно применять, если заведомо известно, что переходная составляющая имеет монотонный характер.

Для колебательных процессов обычно применяются оценкиI1 , I 2 , кото-

рые имеют аналогичный смысл: чем меньше величина I, тем меньше время регулирования и меньше отклонения координаты системы от установившегося процесса.

Любые интегральные оценки носят качественный и сравнительный характер, т. е. по величине I нельзя определить, например, время регулирования или перерегулирование в системе. Но если для двух вариантов проектируемой системы окажется, что I ¢ < I ¢¢, то считается, что качественные показатели первой системы лучше, чем второй.

Наиболее просто вычисляются интегральные оценки I0 и I 2 . Пусть передаточная функция замкнутой системы имеет вид

F(s) =	KN (s)	=	b0 sm + b1s m -1 + ... + bm				.	(7.11)
	D(s)
			a	sn + a sn -1	+ ... + a	n
		0		1

76

Найдем изображение

отклонения Dh(t) = hy - h(t)

с

учетом того , что

L{h(t)} = F(s) / s ,

hy = F(0) = const и {hy } = F(0) s :

DH (s) = L{Dh(t)}=

F(0) - F(s)

.

(7.12)

s

¥

¥

Так как I 0 = ò Dh(t)dt = lim ò Dh(t)e- st dt = lim DH (s) ,

то

с

учетом (7.11)

имеем

0

s ®0 0

s ®0

I0

= lim

b (a sn + ... + a

) - a

(b sm + ... + b

)

=

m

0

n

n

0

m

san (a0 s

n

+ a1s

n -1

+ ... + an )

s®0

s ébm (a0 sn -1 + ... + an -1 ) - an (b0sm -1 + ... + bm-1)ù

b a

- a b

=

ë

û

=

m

n -1

n

m -1

.

(7.13)

sa (a sn

+ a sn -1 + ... + a )

a

2

n

0

1

n

n

Квадратичная интегральная оценка I 2 может быть определена на основе

формулы Парсеваля (или Релея).

В частности, для астатических систем

I 2

=

1

¥

Fe ( jw)

2

dw.

(7.14)

ò

p

w2

0

Изображение отклонения DH (s)

всегда можно представить как отношение

двух полиномов

DH (s) =

1

[F(0) - F(s)]=

b0 s m + b1sm -1

+ ... + bm

.

(7.15)

a0 s n + a1sn -1

s

+ ... + an

При этом оценка I 2 может быть аналитически вычислена приm < n через коэффициенты ai , bi (7.15). Выражение для вычисления I 2 имеет достаточно

сложный вид и здесь не приводится. Для наиболее распространенного случая m = n -1 приведем несколько конечных выражений для вычисления I 2 :

	b2				b2a	0	+ b2a	2
n = 1, I2 =	0	; n = 2,	I2	=	1		0		;
	2a0a1				2a0a1a2
								(7.16)

n = 3, I		b2a		a	3	+ (b2	- 2b	b	2	)a	a	3	+ b2a	a	1
	2 =		0 2			1	0			0			2 0			.
						2a0a3 (a1a2 - a0a3 )
Наряду с оценками I0 ,			I 2 употребляются и более сложные интегральные

оценки, учитывавшие не только само отклонение Dh(t) , но и его производные.

77

При использовании интегральных оценок можно выделить два направления: анализ системы – получение оценки для заданной системы и синтез -си стемы – минимизация оценки по каким-либо параметрам.

Пример 7.2. Рассмотрим методику применения интегральных оценок к системе, исследуемой в примере 7.1. Передаточная функция замкнутой систе-

мы имеет вид F(s) =	K		и в соответствии с(7.11) имеем a0 = T ,
	s(Ts +1)
		+ K

a1 =1, a2 = K , b0 = bm = K . Линейная интегральная оценка (7.13) в этом случае

I0 = 1 . Оценка справедлива для монотонных процессов, когда корни характе-

K

ристического уравнения замкнутой системы различны, т. е. выполняется усло-

вие 0 < 4KT £ 1, 0 < K £

1

. Итак,

увеличение величины К уменьшает I0 и

4T

= 4T при t p

£ 6T .

время регулирования. Минимальное значение I0

Вычислим для этой же системы величинуI 2 , для чего найдем изображе-

ние отклонения DH (s) =

1

[F(0) - F(s)]=

Ts +1

.

s

Ts 2 + s + K

Коэффициенты в (7.15) будут b0

= T , b1 = 1,

a0

= T , a1 = 1, a1 = K .

Используя (7.16), получим I2

=

1

æ

1

+ T

ö

ç

÷,

откуда

следует, что для

2

K

è

ø

уменьшения I 2 надо увеличивать величину К, либо уменьшать Т, что повышает быстродействие системы.

7.3. Частотные оценки качества

Частотные оценки качества базируются на связи частотных и временных характеристик системы управления, в частности, на связи переходной функции замкнутой системы hз (t) и вещественной частотной характеристикиP(w) (4.13). Из (4.13) можно получить две категории оценок, одна из которых строго обоснована и математически доказана, а другая получена на основе построения большого числа переходных процессов для различных P(w) и осреднения по-

лученных результатов.
Рассмотрим первую группу оценок.
1. Начальное значение Р(0) и конечное значение P(w)					связаны с конеч-
ным значением hз (¥) и начальным hз (0) соотношениями
lim h (t) = h		= P(0) ,	lim P(w) = h (0) .		(7.17)
t ®¥ з	зy		w®¥	з

78

Эти свойства фактически являются следствием теорем о конечном и начальном значениях оригинала в преобразовании Лапласа. Так как для аста-

тических систем P(0) =

F( j0)

= 1, а для статических P(0) =

F( j0)

=

K

, то

+ K

1

ì

1

для астатических систем,

h

ï

K

= P(0) = í

зy

ï

для статических систем.

+ K

î1

2. Сжатию характеристики P(w)

по оси w соответствует пропорциональ-

ное растяжение характеристики hз (t) по оси t. Это свойство является

след-

ствием из свойств преобразования Фурье об изменении масштаба по оси ординат. Приведенное свойство дает важную сравнительную оценку переходных процессов в системах: более пологим характеристикам P(w) (более растянутым вдоль оси w) соответствуют более быстро протекающие переходные процессы, а более крутым или сжатым вдоль оси w – замедленные процессы. Соответственно следует ожидать, что для первого случая время регулирования t p

будет меньше, чем для второго.

3. Достаточным условием того, чтобы перерегулирование s в системе не

	превышало 18%, является выполнение соотношений
	P(w) ³ 0 ,	dP(w)	£ 0 ,	(7.18)
		dw

т. е. P(w) является невозрастающей положительной функцией частоты.

4. Достаточным условием монотонности переходного проходного процесса, т. е. s = 0 % , является выполнение соотношений

	P(w) ³ 0 ,	dP(w)	< 0 .	(7.19)
		dw
	На рис. 7.4, а представлены две вещественные частотные характеристики,
	из которых для первой s = 0 % , а для второй –		s = 18 % .

Рис. 7.4

79

4. Если характеристическое уравнение замкнутой системы D(l) = 0 имеет чисто мнимый корень l = jw0 , то характеристика P(w) при w = w0 имеет раз-

рыв непрерывности, что соответствует незатухающей гармонической составляющей с частотой w0 в переходном процессе hз (t) . График такой характери-

стики представлен на рис. 7.5, а. Поэтому если характеристика вблизи некоторой частоты w0 имеет резкий перепад и большие пики, то следует ожидать

наличие в переходной функции медленно затухающей гармонической составляющей частоты w0 . Такой случай представлен на рис. 7.5, б.

Оценки второй группы, как указывалось выше, имеют приближенный и в значительной степени эмпирический характер.

На рис. 7.5, а, б показаны случаи аппроксимации вещественной характеристики P(w) соответственно одной и суммой двух трапецеидальных характеристик.

P(w)

P(w)

Pmax

1

wa	wп	w	wd	wп	w
		wa wb
		Рис. 7.5
Для случая, изображенного на рис. 7.5, а, время регулирования t p					оцени-

вается по неравенству

p	< t p <	4p	.	(7.20)
wn
		wn

Для случая аппроксимации в виде суммы двух трапеций (см. рис. 7.5, б) время регулирования t p и перерегулирования s более сложным образом зави-

сит от параметров аппроксимирующих трапеций.

		На рис.		7.6 представлены графики зависимостей t p и s от Pmax при
	wв	³ 0,5 ,	wd	³ 0,8 ;	wa	³ 0, 4 .
	w		w		w
	n		n		в

На этом рисунке время регулирования t p построено в относительных еди-

ницах, где wc – частота среза разомкнутой системы.

80

	s %		t p
	40	t p	3p
	30		wc
		s	2p
	20		wc

p

10	wc

Оценку (7.20) приближенно
можно применять и для системы,
имеющей	произвольную	-веще
ственную	характеристику	P(w) .
При этом величину wn следует вы-
бирать	такой, после	которой
P(w) < 5 % P(0) .

Для характеристики рис. 7.5, б справедлива такая оценка перерегулирования:

	1,1 1, 2 1,3 1, 4 1,5 Pmax		1,18Pmax	- P(0)
	Рис. 7.6	s =			100 % .
			P(0)

Наряду с оценками качества системы по переходной функции hз (t) широкое распространение получили оценки качества системы при отработке гармонических входных сигналов. Особенно это касается исследования следящих систем, для которых изменяющиеся по амплитуде и знаку входные сигналы наиболее характерны. При таком подходе удобнее пользоваться АЧХ замкну-

той системы A3 (w) =

F( jw)

,

типичный

график

которой

представлен

на

рис. 7.7.

Величина A3 (0)

для

астатиче-

ских систем равна1, а

для

статиче-

ских

K

и при большом К близка

1 + K

к единице. Частота wp - резонансная

частота, при которой A3 (w) достига-

ет

максимального

значения A3 max .

Частота wcp – частота среза замкну-

той

системы,

при

которой

Рис. 7.7

A(wcp )

= 1

( wcp

не

совпадает

с

частотой среза разомкнутой системы,

которая обозначается wc ). Интервал частот [0, wn ] определяет полосу пропус-

кания системы. Величина A3 (wn ) может задаваться из условий точности вос-

произведения гармонического сигнала (см. подраздел 6.3).

Частота wcp косвенно характеризует время регулирования в замкнутой си-

стеме, которое оценивается величиной tp @ (1...2)

2p

.

wcp

Для оценки склонности системы к колебаниям вводят так называемый

показатель колебательности, который определяется как

81

M =

A3 max

=

F( jw)

max

,

(7.21)

A3 (0)

F( j0)

либо иногда как

M = A3 max =

F( jw)

max .

(7.22)

Так как A3 (w) = 1 для астатических и A3 (w) » 1 для статических систем

при большом коэффициенте усиления К разомкнутой системы, то отличие выражений (7.21), (7.22) друг от друга незначительно.

Физически показатель колебательности М характеризует склонность системы к колебаниям: чем больше М, тем более колебательный характер переходного процесса. Этот показатель имеет менее прозрачный смысл, чем, например, время регулирования t p и перерегулирование s . Считается, что

если М не превосходит величины1,2 – 1,3, то качество процессов в системе будет удовлетворительным и при других внешних воздействиях, отличных от гармонических.

Величина М также косвенно характеризует запасы устойчивости системы: чем больше М, тем меньше запасы устойчивости. Однако количественно свя-

зать М и величины Dj, DL не удается.
Для определения величины М можно		воспользоваться графиком АЧХ
разомкнутой	системы W ( jw) . Пусть	W ( jw) = U (w) + jV (w) . Тогда

F( jw) = W ( jw) 1 + W ( jw)

или
где C =		F			2	, R =
			2
	F			-1

=	U 2 + V 2	, откуда U 2 + V 2	=		F		2 [(1 + U )2 + V 2 ],
	(1 + U )2 + V 2
	(C + U )2	+ V 2 = R2 ,	(7.23)

F

F 2 -1

.

Задавая F = const и находя С и R по уравнению (7.23) в комплексной

плоскости U, jV, получим кривые, которые будут представлять собой окружности радиусом R с центрами на действительной оси. Эти окружности для разных значений F приведены на рис. 7.8.

Все эти окружности (линии равных значений F ) охватывают при F < 1

начало координат, а при F > 1 – точку с координатам (–1, j0). При F = 1 они

вырождаются в прямую.

На рис. 7.8 нанесен график АЧХ W ( jw) = U (w) + jV (w) . Фактически представленная серия кривых при F = const является номограммой для определе-

ния	F( jw)		по кривой W ( jw) . В точках пересечения W ( jw) и соответствую-
щей кривой				F		= const находим для заданного значения w величину		F( jw)		.

82

Из рис. 7.8 видим, что при w1 величина F( jw 1) = 1, при w 2 величина

F( jw2 ) = 1,2 и т. д. Очевидно, что показатель колебательности М определит-

ся в точке касания годографа W ( jw) с окружностью, имеющей максимальное значение F . Для данного случая видно, что это будет окружность, соответствующая M = 1,5.

Ф = 1

∞

Рис. 7.8

Из рис. 7.8 видно, что чем больше величинаМ (или F ) для данной системы, тем ближе АФЧХ W ( jw) подходит к точке с координатами (–1, j0), тем меньше у системы будут запасы устойчивости.

Наконец, возможна оценка качественных показателей системы по виду логарифмических частотных характеристик разомкнутой системы. Всю характеристику можно условно разбить по оси частот на три диапазона, как это показано на рис. 7.9, где НЧ – диапазон низких частот, СЧ – средних и ВЧ – высоких частот.

Логарифмическая характеристика DL в диапазоне НЧ влияет на точностные характеристики системы, так как первая асимптота

определяется двумя	величинами:
К – коэффициентом	усиления

разомкнутой системы и n – порядком астатизма. Область средних частот вблизи частоты среза wc в

значительной степени определяет Рис. 7.9 такие показатели системы, как за-

пасы устойчивости Dj, DL , время

83