Уравнения состояния (8.25) имеют каноническую форму, основная матрица – форму Жордана. Корню кратности k соответствует клетка Жордана размерностью k ´ k . Очевидно, при наличии нескольких кратных корней будем получать соответствующие клетки Жордана для каждого корня.

Пример 8.6. Обратимся к системе управления из примера8.5 и найдем уравнения состояния в канонической форме для разомкнутой системы. Харак-

теристическое уравнение		разомкнутой системыl(0,1l + 1)(0,006l + 1) = 0
имеет три различных корня l1 = 0 , l2			= -10 , l3 @ -166,6 . Используя выра-
			величины bi : b1 = 500 , b2 = -370 ,
жение bi = (s - li )W(s)	s = li	, находим

b3 = -125 . Таким образом, уравнения состояния в канонической форме для разомкнутой системы имеют вид

é0	0	0	ù	é 500 ù			y	= [1,1,1] x .
x& = ê0	-10	0	úx + ê- 370ú e ,
ê	0		ú	ê	ú
ë0		-166,6û		ë-125	û
С учетом уравнения замыкания e = v - y						нетрудно получить следующие
уравнения состояния замкнутой системы:
é- 500	- 500	- 500 ù		é 500 ù			y	= [1 , 1 , 1 ] x .	(8.26)
x& = ê 370	360	370 úx + ê- 370úv,
ê	125		ú	ê		ú
ë 125		- 41,6û		ë- 125		û

Сравнивая (8.21) и (8.26), видим, что одна и та же система описывается разными уравнениями состояния, которые эквивалентны между собой.

8.6. Переходная матрица состояния

Пусть линейная САУ описывается следующие уравнениями состояния:

x& = Ax + Bv , y = Cx ,	x Î Rn , v Î Rm ,				y Î R p .	(8.27)
Рассмотрим матричный ряд, который обозначим через e At :
e At = E + At +	A2t 2	+	A3t3	+ ...,		(8.28)
	2!
		3!
где Е – единичная n ´ n матрица.					любомt к
Доказано, что этот ряд абсолютно	сходится			при		некоторой

n ´ n матрице, обозначенной нами через e At (экспоненциал матрицы).

97

Свойства ряда (8.28):

1. При t = 0 матрица eAt = E .

2.

d

At

A2t 2

A3t 3

At

e

= At +

+

+ ... = A[E + At + ...] = [E + At + ...]A =

Ae

=

dt

2!

3!

d k

= e At A , или в более общем виде

e At = Ak e At

= e At Ak .

t

dt k

3. òe At dt =A-1(e At - E) = (e At - E) A-1 , где A-1 – обратная матрица.

0

4. Если A = diag[l1 ,..., ln ], то e At = diag[el1t ,..., elnt ] .

Рассмотрим однородное уравнение

x& = Ax ,

(8.29)

соответствующее

неоднородному

дифференциальному

уравнению

x& = Ax + Bv, и зададим начальное состояние вектора х(0) при t = 0.

Общее решение однородного уравнения (8.29) задается выражением

x(t) = e At x(0) .

(8.30)

Действительно, подставляя (8.30) в (8.29), с учетом свойства 2 получим тождество, справедливое при любом начальном значении х(0). Это значит, что (8.30) определяет общее решение уравнения (8.29).

Введем обозначение F(t) = e At . Матрицу F(t) размерностью n ´ n будем называть переходной матрицей состояния(в математике ей соответствует фундаментальная матрица), а выражение (8.30) в этом случае будем записывать в виде

x(t) = F(t)x(0) .

(8.31)

Выражение (8.31) можно трактовать как линейное преобразование(переход) начального значения вектора состояниях(0) в текущее значение x(t) в пространстве состояний.

Свойства переходной матрицы состояния:

1.F(0) = E .

2.F(t1 + t2 ) = F(t1) ×F(t2 ) .

3.F-1(t) = F(-t) .

Эти свойства следуют из общих свойств экспоненциала матрицы.

Если известна переходная матрица состояния, то общее решение неоднородного уравнения x& = Ax + Bv записывается в виде (формула Коши):

t

x(t) = F(t)x(0) + òF(t - t)Bv(t)dt .	(8.32)
0

98

В силу y = Cx получим выражение для вычисления вектора выхода y(t):

t
y(t) = CF(t)x(0) + Cò F(t - l)Bv(l)dl .	(8.33)
0

В (8.32), (8.33) первое слагаемое определяет свободную составляющую, обусловленную ненулевым начальным состоянием х(0), а второе – вынужденную составляющую, обусловленную входным сигналом v(t) .

Выражение (8.28) редко употребляется для определения матрицыF(t) , так как в случае произвольной матрицыА элементы матрицы F(t) представляют собой ряды Тейлора при t = 0, пo которым трудно найти исходную функцию в замкнутой форме.

Переходную матрицу состояния обычно находят с помощью операционного исчисления. Применим к (8.29) преобразование Лапласа, тогда получим sX (s) - x(0) = AX (s) , где X (s) = L{x(t)}. Из полученного выражения находим

[sE - A]X (s) = x(0) , X (s) = [sE - A]-1 x(0) , где [sE - A]-1	– обратная матрица к
матрице [sE - A] .
Переходя к оригиналам, имеем
x(t) = L-1{[sE - A]-1}x(0) .	(8.34)
Сравнивая (8.34) с (8.31), приходим к выводу, что
F(t) = L-1{[sE - A]-1}.	(8.35)

Каждый элемент матрицы [sE - A]-1 есть дробно-рациональная функция переменной s. Знаменатель каждого элемента представляет собой полином n-й степени det(sE - A) , а числитель – полином не выше (n–1)-й степени. Полином det(sE - A) называется характеристическим полиномом системы, а алгебраи-

ческое уравнение n-й степени

det[lE - A] = det[ A - lE] = 0

(8.36)

назовем характеристическим уравнением системы.

Применяя к каждому элементу матрицы [sE - A]-1 обратное преобразование Лапласа, получим матрицу F(t) , элементами которой будут некоторые функции времени.

Переходную матрицу состояний можно найти, используя модальную матрицу M. Пусть в уравнении (8.29) матрица А имеет различные собственные

значения	l1 ,..., ln . Тогда в (8.29)	сделаем замену переменных x = Mz ,
где М –	модальная матрица. В	результате получим: z& = M -1AMz =

= diag[l1,...,ln ]z .

Общее решение полученной системы с диагональной матрицей будет таково: z(t) = diag[el1t ,..., el nt ]z(0) . Так как x(t) = Mz(t) , z(0) = M -1x(0) , то

99

общее

решение

исходного

уравнения(8.29)

запишется

в

виде

x(t) = Mdiag[el1t ,..., elnt ]M -1x(0) .

Отсюда следует, что

F(t) = Mdiag[el1t ,..., elnt ]M -1 .

(8.37)

Пример 8.7. Рассмотрим однородное уравнение в нормальной форме

é 0

1 ù

x& = ê

úx .

ë- 8 - 6û

Собственные

числа

матрицы А

определяются

из

решения

уравнения

det[ A - lE] = l2 + 6l + 8 = 0 и будут l1 = -2 ,

l2 = -4 .

Ищем модальную матрицу М в виде (8.14):

é 1

1 ù

é 1

1 ù

1 é- 4 -1ù

M = ê

ú

= ê

ú , M -1

=

ê

ú .

- 2

2

ël1

l2 û

ë- 2

- 4û

ë

1 û

Находим F(t)

в соответствии с (8.37):

é	-2t	0	ù	é	2e	-2t		- e	-4t
F(t) = M êe			úM	-1 = ê
ê	0 e	-4t	ú	ê			-2t			-4t
				ë- 4e				+ 4e
ë			û

	1	[e-2t - e-4t ]ù
	2
			-2t		-4t	ú .
	e			+ 2e		ú
						û

Можно найти F(t) , используя (8.35). Находим [sE - A] и затем [sE - A]-1 .

és

-1 ù

é

s + 6

1

ù

ê

ú

,

[sE - A]-1

s

2

+ 6s + 8

s

2

+ 6s + 8

[sE - A] = ê

ú

= ê

ú .

ë8 s + 6û

ê-

8

s

ú

2 + 6s + 8

ë s

s2 + 6s + 8û

Переходя от [sE - A]-1 к оригиналам, найдем выражение для матрицы F(t) , не отличающееся от полученного ранее.

8.7. Передаточная и весовая матрицы

Наряду с переходной матрицей состояния при описании и исследовании линейных многомерных систем находят применение матричные аналоги обычных передаточных функций одномерных систем.

Применим к уравнениям (8.27) преобразование Лапласа, полагая x(0) = 0, тогда получим X (s) = AX (s) + BV (s) , Y (s) = CX (s) или, исключая из уравнений вектор X (s) , получим

100

	Y (s) = C[sE - A]-1 BV (s) = W (s)V (s) .		(8.38)
Передаточной	матрицей (матричной	передаточной	функцией)
W (s) = C[sE - A]-1 B	будем называть матрицу	размерности p ´ m,	связываю-
щую изображение вектора входа V (s) и вектора выхода Y (s) .
Элементами передаточной матрицы Wij (s)		являются обычные скалярные

передаточные функции, связывающие i - й выход Yi (s) с j - м входом V j (s)

при условии, что все остальные входы равны нулю. Передаточная функция Wij (s) есть отношение двух полиномов относительноs. Полином знаменателя

является для всех Wij (s) одним и тем же и равен det[sE - A] (степень его n), а

полиномы числителя будут степени не выше (n – 1).

В уравнении (8.33) будем полагать x(0) = 0 . Внесем матрицу С под знак интеграла и запишем это уравнение в виде

t t

y = òCF(t - t)Bv(t)dt = òw(t - t)v(t)dt .		(8.39)
0	0
Матрицу w(t) = CF(t)B	размерностью p ´ m будем называть весовой

матрицей (импульсной переходной матрицей).

Смысл её такой же, как и у весовой функции скалярной системы. Элементы wij (t) матрицы w(t) являются скалярными весовыми функциями. Если j–й

вход v j (t) = d(t) , а остальные входы равны нулю, то yi (t) = wij (t) . Передаточная и весовая матрицы связаны между собой преобразованием

Лапласа
W (s) = L{w(t)}, w(t) = L-1{W (s)}.	(8.40)
Частотные характеристики системы в многомерном случае не нашли ши-
рокого применения. Хотя формально сделав вW (s) замену s = jw ,	можно

ввести аналогичные понятия и рассматривать p ´ m обычных скалярных частотных характеристик Wij ( jw) .

Если уравнения (8.27) описывают одномерную систему, то v, y Î R ,

B = col[b ,...,b ] , C = [c ,...,c ]. В этом случае W (s) = C[sE - A]-1 B , w(t) = CФ(t)B
1	n		1 n
будут скалярными функциями.
Пример 8.8. Рассмотрим систему, имеющую два входа и один выход:
x&	=	é 0	1 ù	é1	3ù
		ê	úx	+ ê	úv , y = [1, 1]x , v = col[v1, v2 ] .
		ë- 8	- 6û	ë1	4û

В примере 8.7 найдена матрица [sE–A]–1. Используя выражение W(s) = C[sE–A]–1B, нетрудно получить передаточную матрицу размерностью1×2

101