В комплексной плоскости параметра K

при изменении w от - ¥ до ¥

будем иметь кривую, изображенную на рис. 5.10.

Im

K

+¥

D(1)

®

w

D(2)

w = 0

D(0)

B

Re K

A

1

1

+

w

T1

T2

®

-

¥

Рис. 5.10

В точке В величина w =

1

, a

Re

=

1

+

1

. Областью устойчивости

K

T1T2

T1

T2

будет область D(0) , что определяется с помощью критерия Гурвица. Так как К

– действительная величина,

то получаем отрезок

устойчивостиАВ,

т. е.

об-

æ

1

1

ö

ласть устойчивости будет определяться неравенством0 < K < ç

+

÷

, что

T

çT

÷

è

1

2

ø

совпадает с результатом примера 5.3.

6. ТОЧНОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

6.1. Понятие точности. Постоянные ошибки

Обратимся к стандартной структуре системы автоматического управления, представленной на рис. 3.1. Основным назначением системы является как можно более точное воспроизведение управляющего сигнала. Естественно, что точность системы можно оценивать величиной разности управляющего сигнала v(t) и выхода y(t) , т. е. величиной ошибки e(t) = v(t) - y(t) . Очевидно, чем меньше величина e(t) пo модулю в каждый данный момент времени, тем система с большей точностью(меньшей ошибкой) воспроизводит управляющий сигнал. На практике интересуются не полной ошибкой системыe(t) , а так называемой установившейся ошибкой ey (t) , которую определяют для доста-

точно больших моментов времени после затухания переходной составляющей.

Изображение ошибки в соответствии с рис. 3.1 можно записать в виде
E(s) = Fe (s)V (s) - F f (s)F(s) ,	(6.1)

62

	где F f	(s) =	W2 (s)	, Fe (s) =	1	, W (s) = W1	(s)W2	(s) .
			1 + W (s)		1 + W (s)

Из (6.1) следует, что ошибка системы будет определяться суммой двух составляющих: ошибкой системы от управляющего и ошибкой системы от возмущающего воздействий. В силу линейности системы методика вычисления каждой из этих составляющих будет однотипной, поэтому рассмотрим лишь методы вычисления ошибки системы от управляющего сигнала.

При определенных типах воздействий и определенной структуре системы установившаяся ошибка в системе будет постоянной и может быть вычислена на основании правил операционного исчисления по выражению

ey = lim e(t)=lim sE(s)=lim sFe (s)V (s) .

(6.2)

t ®¥

s ®0

s ®0

Рассмотрим

входные

воздействия:

v(t) = v 1[t] ,

v(t) = v t , v(t) = v t 2 ,

0

1

2

v(t) = v + v t + ... + v t n , v

= const ,

изображения которых

будут

соответ-

0

1

n

i

ственно равны: V (s) =

v0

,

V (s) =

v1

,

V (s) =

2v2

, V (s)

=

v0

+

v1

+ ... +

n! vn

.

s

s 2

s

s 2

s3

sn+1

Пусть

передаточная

функция

разомкнутой

системыW (s) =

KN (s)

,

snL (s)

n = 0, 1....

0

Если

n = 0

(статическая

система),

v(t ) = v0 1[t ]

то,

подставляя

в (6.2)

1

v

Fe (s) =

и V (s) =

0

, получим

1 + W (s)

s

e0y =

v0

.

(6.3)

1 + K

Ошибку e0y будем называть статической ошибкой системы.

При n = 1 (система с астатизмом первого порядка) вычислим ошибку при

воздействиях v(t) = v01[t] и v(t) = v1t . Подставляя				передаточную функцию
Fe (s) и изображение входного сигнала	в(6.2), получим соответственно для
первого и второго типов входного сигнала
e0y = 0 , e1y	=	v1	,	(6.4)
		K

где ошибку e1y будем называть ошибкой по скорости (скоростной ошибкой).

При n = 2 и входных сигналах v(t) = v01[t] , v(t) = v1t , v(t) = v2t 2 соответственно получим следующие выражения ошибок:

63

e0y = 0 , e1y	= 0 , e2y	=	2v2	.	(6.5)
			K

где e2y – ошибка системы по ускорению.

	При воздействии вида v(t) = v	+ v t + ... + v t n				для системы с астатиз-
	0	1		n
	мом n - го порядка получаем				n!vn
	e0y = 0,..., eny -1 = 0,		eny	=			.	(6.6)
					K

Из приведенных выражений следует, что ошибки в системе уменьшаются с ростом порядка астатизма системы и увеличением общего коэффициента усиления К.

На рис. 6.1 показаны переходные процессы в различных системах при отработке скачка по положению и скорости: кривая 1 – для статической системы, 2 – для системы с астатизмом первого порядка, 3 – для системы с астатизмом второго порядка.

Рис. 6.1

Пример 6.1. Пусть в системе,

изображенной на рис. 6.1, W1

(s) =

K1

,

T1s

+1

K2

W (s) =

,

v(t) = v 1[t] ,

f (t) = f

0

1[t] . Найдем изображение сигнала ошибки,

2

s

0

равное

s(T1s + 1)

K2 (T1s + 1)

E(s) =

V (s) -

F (s) .

s(T s + 1) + K

K

2

s(T s + 1) + K

K

2

1

1

1

1

Подставляя в это выражение V (s) = v0 s и F (s)

= f0

s и используя (6.2),

получим ey = - f0 K1 .

Таким образом, установившаяся ошибка от управляющего воздействия равна нулю (система астатическая по отношению к управляющему сигналу), а

64

ошибка от возмущающего воздействия постоянна(система статическая по отношению к возмущению). Для уменьшения этой ошибки следует увеличивать коэффициент усиления K1 первого звена; величина K2 не влияет на ошибку.

Рассмотрим ту же систему при

условии, что W (s) =

K1

, W (s) =

K2

,

1

s

2

T1s + 1

т. е. интегрирующее

звено

находится до точки приложения

возмущения.

В этом случае E(s) =

s(T1s + 1)

V (s) -

K2 s

F (s) .

s(T s + 1) + K

K

2

s(T s + 1) + K

K

2

1

1

1

1

Если v(t) = v01[t] ,

f (t) = f01[t] ,

то используя (6.2),

получим ey

= 0 , т. е.

статическая ошибка как от управляющего, так и от возмущающего воздействий равна нулю и система обладает астатизмом первого порядка по отношению к обоим внешним воздействиям. Если v(t) = v1t , f (t) = f1t , то нетрудно полу-

чить ey =	v1	-	f1	, т. е. в системе имеется скоростная ошибка.
	K1K2
			K1

Из рассмотренных примеров следует общий вывод: система будет обладать астатизмом n - го порядка по отношению к управляющему и возмущаю-

щему сигналам, если W	(s) =	K1N1 (s)		, а W (s) =	K2 N2 (s)	. Если передаточные
1		sv L	(s)	2	L (s)
	1				2

функции поменять местами, то система по отношению к возмущению будет статической.

6.2. Установившиеся ошибки при произвольном входном сигнале

Обозначим весовую функцию замкнутой системы по ошибке через je (t) = L-1{Fe (s)}. Тогда соотношению E(s) = Fe (s)V (s) во временной области

t

будет соответствовать свертка e(t) = òje (t - t)v(t)dt.

0

Так как нас интересует установившаяся ошибка после затухания переходной составляющей, то отнесем нижний предел интегрирования, соответствующий моменту подачи входного сигнала, в - ¥. В этом случае получим выра-

жение, справедливое для

установившегося

значения

сигнала

ошибки:

t

ey (t) = ò je (t - t)v(t)dt.

-¥

Заменив переменную интегрирования t - t =

t

, получим

¥

ey (t) = òje (

t

)v(t -

t

)d

t

.

(6.7)

0

65

Полагая функцию v(t) аналитической, разложим ее в ряд Тейлора при

(1)

t

(2)

(-

t

)i

(i)

t = 0

: v(t - t) = v(t) - tv

(t) +

v

(t) + ... +

v

(t) +... и подставим по-

i!

2!

лученный ряд в (6.7). В результате получим

ey	(t) = c0v(t) + c1v(1) (t) +... +	(ci )	v(i ) (t) +...,							(6.8)
		i!
	¥				)i je (
где коэффициенты ci определяются выражением ci = ò(-				t		t	)d	t	.
	0
Так как передаточная функция замкнутой системы по ошибке есть прямое
	¥

преобразование Лапласа от весовой функции Fe (s) = òje ( t)e-std t , то очевид-

но соотношение							0
		d i Fe
ci	=		(s)			.	(6.9)
		dsi
						s = 0
Коэффициенты ci носят название коэффициентов ошибок и характеризу-
ют, с каким весом функция v(t)	и ее производные входят в общее выражение

для установившейся ошибки (6.8). Если входной сигнал изменяется достаточно медленно, то в выражении (6.8) можно ограничиться конечным числом членов ряда.

Если W (s) =

KN (s)

,

то

Fe (s) =

1

=

sn L0 (s)

. В статиче-

+W (s)

n

(s) + KN (s)

sn L (s)

1

s L0

0

1

ской системе n = 0 и c0 = Fe (0) =

, для системы с астатизмом первого

sL0 (s)

1 + K

порядка имеем Fe

(s) =

и c0 = Fe (0) = 0 , а

KN (s) + sL0 (s)

d

é

L0 (s)

ù

c =

ês

ú

=

1

ds

ê KN

(s) + sL (s)

ú

s = 0

ë

0

û

=

L0 (s)

+ s

d

é

L0 (s)

ù

=

1

.

s = 0

ê

ú

s = 0

KN (s) + sL (s)

ds êKN (s) + sL

(s) ú

K

0

ë

0

û

Аналогично можно показать, что для астатической системы с астатизмом

n -го порядка

c

0

= c = ... = c

v -1

= 0 , c

v

=

1

.

1

K

Коэффициент c0 называют коэффициентом статической ошибки,

c1 – ко-

эффициентом

скоростной ошибки, c2

–

коэффициентом

ошибки по

ускоре-

66

нию. Из (6.8) следует, что если v(t) = v0 = const , то ey = c0v0 , если v(t) = v1t ,

то ey = c0v1t + c1v1 .

В общем случае формула (6.9) редко используется для вычисления ci . На

практике применяется другой способ. Разложим передаточную функцию Fe (s) в ряд Маклорена при s = 0:

F

(s) = F

(0) +

dFe

× s + ... = c

+ c s +

1

c

s 2 + ... +

1

c

si + .... (6.10)

ds

e

e

s = 0

0

1

2!

2

i! i

sv L

(s)

С другой стороны, так как Fe (s) =

0

есть отношение поли-

KN (s) + sv L

(s)

0

номов, то деля полином числителя на полином знаменателя, получим ряд

F

e

(s) = a

0

+ a s + ... + a

si

+ ... .

(6.11)

1

i

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степеняхs в (6.10), (6.11),

получим

ci

= i!ai .

(6.12)

Величина коэффициентов ошибок в конечном итоге определяет величину ошибки в системе. Из изложенного выше вновь следует, что величины ci бу-

дут тем меньше, чем выше порядок астатизма системы и чем больше величина коэффициента усиления К разомкнутой системы.

Пример 6.2. Пусть передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

W (s) =

K

.

Найдем первые три коэффициента ошибок. Передаточная

s(Ts +1)

функция замкнутой системы по ошибке будет равна Fe (s) =

s(Ts +1)

. Деля

s(Ts +1)+ K

полином

æ T

числителя

на

полином

,

знаменателяполучим

1

1

ö

Fe (s) =

s + ç

-

÷s2 + ....

K

K 2

è K

ø

В соответствии с (6.12) найдем c0

= 0 , c1 =

1

, c2

æ T

1

ö

= 2ç

-

÷ .

K

K 2

è K

ø

Определим

установившуюся

ошибку

в

системе

при

воздействии

v(t) = v

+ v t + v t 2 . Подставляя найденные значения c и заданные значения

0

1

2

i

функции v(t) и ее производных в (6.8), получим e	y	(t) =	1	év + 2		æT
			ê		1	ç
			K ë			è

1öù

-K v2 ÷ú . øû

67