Для этого же примера получим другую структуру схемы моделирования и соответственно другую форму уравнений состояния. Выходной сигнал y и сигнал ошибки e можно связать следующим уравнением в области изображений:

Y (s) = [K1K2 / s(Ts +1)]E(s) , откуда нетрудно получить дифференциальное уравнение разомкнутой системы Ty (2) + y (1) = K1K2e . С учетом уравнения замыкания e = v - y получим дифференциальное уравнение замкнутой системы

y(2) = - 1 y(1) - K1K2 y + K1K2 v , в соответствии с которым нетрудно получить

T T T

схему моделирования (рис. 8.4).

Если обозначить выходы интеграторов черезx1 и x2 , как показано на рис. 8.4, то можно в соответствии со схемой моделирования записать следую-

щие уравнения: x&

= x ,

x&

2

= -

K1K2

x

-

1

x

2

+

K1K2

v ,

y = x .

1

2

T

1

T

T

1

K1K2

å

ò

ò

T

1

T

K1K2

T

Рис. 8.4

Вводя вектор состояния x = col[x1x2 ], уравнения представим в виде

é

0

1

ù

é

0

ù

y = [1,

0] x .

x& = ê

K1K2

1

úx + êK1K2 úv,

(8.7)

ê-

-

ú

ê

ú

T

T

T

ë

û

ë

û

Уравнения (8.4) и (8.7) имеют различный вид, как и схемы моделирования (см. рис. 8.3 и 8.4), но описывают одну и ту же систему. Уравнения состояния (8.7) имеют нормальную форму, они составлены относительно фазовых координат.

8.3. Преобразование уравнений состояния

Пусть система описывается уравнениями состояния общего вида(8.3). Сделаем в этих уравнениях замену переменныхx = Qz, где z = col [ z1 ,..., zn ] –

новый вектор состояния, Q – произвольная матрица размерностью n ´ n с постоянными коэффициентами. На матрицу Q накладывается единственное ограничение – она должна быть невырожденной (неособенной), т. е. определи-

89

тель этой матрицы det Q ¹ 0 . В этом случае всегда существует обратная мат-

рица, которую	будем обозначать черезQ-1 , такая, что Q-1Q = E , где
E = diag [1,...,1]	– единичная матрица размерностью n ´ n . Очевидно, что при

этих условиях существует однозначная связь между векторамиx и z: x = Qz ,

z= Q-1x .

Вуравнениях (8.3) сделаем замену x = Qz и с учетом того, что x& = Qz& , получим

z& = Q-1 AQz + Q-1Bv , y = CQz .

(8.8)

Уравнения (8.8) будут новыми уравнениями состояния, имеющими основную матрицу системы Q-1 AQ , входа Q-1B и выхода CQ. Так как Q – произвольная матрица, то исходным уравнениям (8.3) соответствует бесчисленное

количество эквивалентных уравнений состояния (8.8).
Отметим,	что две	матрицыA и A1 , связанные	преобразованием
A = Q-1 AQ называются подобными. Подобные матрицы имеют одинаковые
1
собственные значения.
Используя	линейное	преобразование, можно поставить	задачу о выборе

при исследовании той или иной формы уравнений состояния. Наиболее часто решается задача преобразования исходной системы(8.3) к нормальной или канонической форме уравнений состояния (8.8).

Доказано, что для произвольной матрицы А всегда существует невырожденная квадратная матрица размерностью n ´ n , которую обозначим через M и

назовем модальной, такая, что матрица M -1AM будет иметь форму Жордана. Если матрица А имеет различные собственные значения(числа) l1 ,..., ln , являющиеся корнями характеристического уравнения

det[ A - lE] = 0 ,

(8.9)

то матрица M -1AM будет диагональной: M -1 AM = diag[l1,...,ln ].

Таким образом, преобразование произвольной системы уравнений (8.3) к канонической форме всегда возможно. Наиболее просто задача определения модальной матрицы решается для случая различных собственных чисел матрицы А, которые обозначим через l1 ,..., ln . Для каждого собственного числа

l	i	находится собственный вектор xi = col[xi	, xi	,..., xi	] из решения векторно-
		1	2	n
матричного уравнения
		[ A - li E]xi = 0 .			(8.10)

90

Матрица, образованная вектор-столбцами xi , т. е. матрица

éx11

M= êêx12

ê×

êëx1n

x12		×	×	×	x1n ù
x	2	×	×	×	xn ú		(8.11)
	2				2	ú ,
×		×	×	×	×	ú
x	2	×	×	×	xn ú
	n				n	û

ибудет искомой модальной матрицей.

Всоответствии с (8.9) при l = li определитель системы линейных урав-

нений (8.10) равен нулю, т. е. система имеет бесчисленное множество решений, каждое из которых можно принять за собственный вектор. Отсюда матрица М является неединственной.

Вслучае кратных собственных значений матрицыА задача определения модальной матрица значительно усложняется.

Вчастности, если исходная матрица А является матрицей Фробениуса

вида

é

0

1

×

×

×

0

ù

A =

ê

×

×

×

×

×

×

ú

(8.12)

ê

0

0

×

×

×

1

ú

ê- a

n

- a

n -1

×

×

×

- a

ú

ë

1

û

и собственные числа l1 ,..., ln , являющиеся

корнями

характеристического

уравнения

det[A - lE] = ln

+ a ln -1

+ ... + a

n

= 0,

(8.13)

1

различны, то модальная матрица будет иметь следующий вид:

é	1	×	×	×	1	ù
ê l1		×	×	×	ln	ú	(8.14)
M = ê	×	×	×	×	×	ú .
ê	n -1	×	×	×	n -1	ú
ël1					ln	û
Пример 8.3. Пусть в САУ, которая рассматривалась в примерах 8.1 и 8.2,
T1 = 0,25 с, K1K2 = 5 , тогда уравнения (8.7) будут иметь вид
é 0	1 ù		é 0 ù		y = [1,	0] x .	(8.15)
x& = ê	úx +		ê	úv ,
ë- 20	- 4û		ë20û

Преобразуем уравнения состояния к канонической форме. Основная матрица системы А является матрицей Фробениуса. Найдем ее собственные значения из решения характеристического уравнения

é - l	1 ù	= l2 + 4l + 20 = 0 .
det[ A - lE] = detê	ú
ë- 20	- 4 - lû

91

	Корни уравнения будут различными l1			= -2 + j4 , l2		= -2 - j4 . Таким
	образом, в соответствии с (8.14) определяем модальную матрицу M и обрат-
	ную ей M -1:	1	1 ù		é(-2 - j4) -1ù
	é			1
	M = ê		ú , M -1 =		ê	ú .
		+ j4		- j8
	ë- 2		- 2 - j4û		ë (2 - j4)	1 û

Далее M–1AM = diag[–2+ j4, –2 – j4], M -1B = col[- j2,5; j2,5] , CM = [1, 1] .

Итак, уравнения состояния (8.15) преобразуются к канонической форме:

é- 2 + j4		0	ù	é- j2,5ù		= [1, 1]z .
z& = ê	0		ú z + ê		úv, y
ë		- 2 - j4û		ë j2,5	û
Пример 8.4. Пусть система описывается уравнениями состояния
	é 1	3 ù	é1 2ù		é1 8ù
x& = ê		úx + ê		úv, y	= ê	úx .
	ë- 5	- 7û	ë4 2û		ë2 3û
Корни характеристического			уравнения det[ A - lE] = l2 + 6l + 8 = 0 бу-

дут l1 = -4 , l2 = -2 .

Находим собственные векторы из решения системы линейных уравнений

[ A - li E]xi = 0 ,

i =1,2 .

Полагая l1

= li = -4 , будем иметь

ì

1

1

= 0

ì

1

1

= 0

ï(a11 - l1 )x1

+ a12 x2

ï(1

+ 4)x1

+ 3x2

í

x1

+ (a

- l

)x1

= 0

, í

1

1

.

ïa

22

ï

= 0

î

21 1

1

2

î- 5x1

- 3x2

Из последних двух	уравнений 5x11 + 3x12 = 0 , откуда, задавая, например,
x11 = 3, получим x12 = -5 .	Итак, первый собственный вектор x1 = col[3,-5] . При

li = l2 = -2 в конечном итоге для определения координат второго собственно-

го вектора получим x12 + x22 = 0 . Полагая x12 = 1,								будем иметь x12 = -1 и соот-
ветственно x2 = col[1,-1] . Итак, матрицу М можно выбрать в виде
	é 3	1 ù	M -1		1 é-1 -1ù
	M = ê	ú ,		=			ê	ú .
					2
	ë- 5	-1û					ë 5 3 û
		é- 2,5		- 2ù				é- 37 - 7ù
M -1AM = diag[-4,-2], M -1B = ê			8,5		8		ú ,	CM = ê	ú .
		ë					û	ë	- 9 -1û
Окончательно уравнения в канонической форме будут иметь следующий
вид:
é- 4	0 ù	é- 2,5	- 2ù					é- 37	- 7ù
z& = ê	úz +	ê	8	úv , y				= ê	úz .
ë 0	- 2û	ë 8,5		û				ë - 9	- 1û

92