f

	+	d	+
v +	+	+	+
å	å	å	å

y

v	+	+	+	f
			å	y
	å

Рис. 3.4

3.2. Передаточные функции и уравнения систем

Рассмотрим структурную схему стандартной системы автоматического управления, представленную на рис. 3.1. Обозначим произведение передаточных функций W1(s) , W2 (s) через W (s) . Эту передаточную функцию будем называть пepeдаточной функциeй pазомкнутой систeмы, которая связывает изображение выходного сигнала Y(s) и входа V(s) при размыкании цепи главной обратной связи и при f = 0.

Передаточная функция (как любая передаточная функция линейной системы или звена) есть отношение двух полиномов вида

W (s) =	KN(s)	,	(3.1)
	L(s)

где N (s) = tmm sm + tmm --11sm -1 + ... + t1 s +1, L(s) = Tnn sn + Tnn--11s n -1 + ... + T1 s +1.

Для физически реализуемых систем должно выполняться условие: m < n. Величину К будем называть коэффициeнтом пepeдачи (усилeния) разомкнутой системы. Полином L(s) назовем xapактepистичeским пoлиномом разомкнутой системы, а алгебраическое уравнение n-й степени L(l) = 0 , где l – комплексная переменная, будем называть xарактepистичeским уpавнeниeм разомкнутой системы.

33

Если L(l) = 0 не содержит нулевых корней, то систему управления будем называть статичeской пo отношению к управляющему воздействию. Очевид-

но, W (0) = K .

При наличии нулевых корней передаточную функцию(3.1) можно пред-

ставить в виде
W (s) =	KN (s)	,	(3.2)
	sv L (s)
0

где L0 (l) = 0 не имеет нулевых корней; n – количество нулевых корней уравнения L(l) = 0 , т. е. говорят, что передаточная функция содержит s n -й степени в чистом виде.

Систему управления с передаточной функцией вида(3.2) будем называть астатичeской с астатизмом n -го порядка по отношению к управляющему воздействию. Очевидно, (3.1) есть частный случай (3.2) при n = 0 .

Перейдем к рассмотрению характеристик замкнутой системы(рис. 3.1), для которой можно из структурной схемы записать следующие уравнения:

Y (s) = W2 (s)[F (s) + W1 (s)E(s)], E(s) = V (s) - Y (s) .

(3.3)

Из (3.3)

нетрудно

определить

эти

связи: Y (s) =

W (s)

V (s) +

1 + W (s)

+

W2 (s)

F (s) ,

E(s) =

1

V (s) -

W2 (s)

F(s) . Обозначим

W(s)

= F(s),

1 + W (s)

1 +W (s)

1+W (s)

1 +W(s)

W2 (s)

= F f (s) ,

1

= Fe (s) , тогда

Y (s) = F (s)V (s) + F f (s)F (s) ,

1 + W (s)

1 + W (s)

E(s) = Fe (s)V (s) - F f (s)F (s) .

Передаточную функцию F(s) назовем главной

пepeдаточной функциeй

замкнутой систeмы, F f (s) – пepeдаточной функцией замкнутой систeмы по возмущeнию, Fe (s) – пepeдаточной функциeй замкнутой систeмы по ошибке.

Если W(s) представлена в виде (3.1), то
F(s) =	KN (s)	; Fe (s) =	L(s)	;	F f (s) =	R(s)	,	(3.4)
	D(s)
			D(s)			D(s)

где полином D(s) = L(s) + KN (s) , а R(s) – полином, который получается в результате перемножения L(s) и W2 (s) .

Полином D(s) носит название xapактеpистичeского полинома замкнутой систeмы, а уравнение D(l) = 0 – xapактepистичeского уpавнeния замкнутой систeмы. Степень полинома D(s) определяется величиной n (если m < n) или

34

m (если m > n). Для физически реализуемой разомкнутой системы степень полинома D(s) равна n.

	Важной характеристикой замкнутой системы является еедифференциаль-
ное	уравнение. Из уравнения Y (s) = F(s)V (s) + F f (s)F(s) , заменяя	F(s) и
F f	(s) выражениями (3.4), получим D(s)Y (s) = KN (s)V (s) + R(s)F (s)	и, пере-

ходя к оригиналам (или формально заменяя s на оператор дифференцирования p), имеем следующее дифференциальное уравнение замкнутой системы:

D( p) y(t) = KN ( p) v(t) + R( p) f (t) .

(3.5)

Порядок n дифференциального уравнения (порядок полинома D(s) ) бу-

дем называть поpядком систeмы.

Уравнение (3.5) описывает поведение системы в динамическом режиме, частным случаем которого является установившийся или статический режим. Полагая в (3.5) величины f, v, y = const, а производные этих величин равными нулю, что соответствует p = 0 в полиномах D, N , R, получим уравнение статического режима:

D(0) y = KN (0)v + R(0) f .

(3.6)

Величина N(0) = 1, a D(0) = K для астатических систем и D(0) = K + 1 – для статических систем. Таким образом, имеем следующие уравнения стати-

ческого режима: y = v +	R(0)	f при v ³ 1; y =	K	v +	R(0)	f при v = 0 .
			1 + K
	K				K

Значение величины R(0) зависит от вида передаточных функций W1(s) , W2 (s) . По аналогии со звеньями систем можно ввести временные характеристики замкнутой системы, используя соответствующие передаточные функции F(s) , Fe (s) или F f (s) . Оригинал j(t) передаточной функции F(s) замкнутой си-

стемы относительно входа v и выхода y определится как j(t) = L-1{F(s)}, а пе-

реходная функция как hз (t) = L-1 {F(s) / s}.

Аналогично можно определить

эти характеристики, используя Fe (s) и

F f (s) .

Пример 3.2. Пусть задана структурная схема системы(см. pиc. 3.1), где

W1

(s) =

K1

,

W2 (s) =

K2

. Используя результаты,

приведенные выше,

T1s +1

s(T2s +1)

определяем основные характеристики системы:

W (s) =

K1K2

, F(s) =

K1K2

,

s(T s +1)(T s +1)

s(T s +1)(T s +1)+ K K

2

2

1

2

1

1

Fe (s) =

s(T2s +1)(T1s +1)

, F f (s) =

K2

(T1s + 1)

.

s(T2s +1)(T1s +1)+ K1K2

s(T2 s +1)(T1s +1)+ K1K2

35

Дифференциальное уравнение замкнутой системы (3.5) примет вид:

T1T2 y(3) + (T1 + T2 ) y(2) + y(1) + K1K2 y = K1K2 v + K2 (T1 f (1) + f ) .

Система является системой с астатизмом первого порядка, порядок системы равен трем.

3.3. Частотные характеристики систем

Частотные методы анализа и синтеза систем управления находят широкое применение в инженерной практике. По аналогии с частотными характеристиками звеньев можно ввести соответствующие частотные характеристики для системы автоматического управления.

Важным классом частотных характеристик являются частотные характеристики разомкнутой системы, определяемые из передаточной функции W(s). Это амплитудно-фазовая частотная характеристикаW ( jw) = A(w)e jj(w) =

= U(w) + jV (w) , где A(w) = W( jw) – АЧХ; j(w) = argW ( jw) = arctg V (w) – ФЧХ; U (w)

U (w) , V (w) – соответственно вещественная и мнимая частотные характеристики, L(w) = 20 lg A(w) – логарифмическая амплитудная частотная характеристика разомкнутой системы.

Отметим некоторые общие свойства частотных характеристик для систем

	минимально-фазового типа. Пусть W (s) =				KN (s)	и степень полинома числи-
					s v L0 (s)
	теля m меньше степени полинома знаменателя n, тогда
		ìK ,	n = 0,			ì0,	n = 0,
	lim			lim	j(w) =	ï	p
		A(w) = í	n ³ 1;			í		, n ³ 1;
	w®0	î¥,		w®0		ï- n	2
						î
	lim	A(w) = 0, при любых n ;			lim j(w) = -(n - m) p .
	w®¥				w®¥			2
	При этом годограф W ( jw) на			комплексной		плоскости приw ® ¥ стре-

мится к началу координат, при w = 0 для статической системы он начинается на действительной оси на расстоянииК от начала координат, а для астатических систем при w ® 0 уходит в бесконечность в третьем квадранте при n = 1, во втором квадранте при n = 2 , в первом квадранте при n = 3 и т.д. по часовой стрелке.

При построении частотных характеристик разомкнутой системы полезно

представить W(s) в виде произведения передаточных функцийWi (s)			элемен-
тарных звеньев	(см. подразд. 2.5),	т. e. W (s) = ÕWi (s) . В этом	случае
		i
A(w) = Õ Ai (w) ,	j(w) = å ji (w) , L(w) = å Li (w) , что может существенно об-
i	i	i

36

легчить вычисление и построение характеристик. Если L(w) = å Li (w) , то

i

каждую элементарную характеристику Li (w) строят в виде отрезков ломаных

(асимптот) и далее производят суммирование. Отметим, что первая низкочастотная асимптота определяется выражением 20 lg K - 20 lg w – это есть прямая с наклоном ( -n×20 дБ/дек), проходящая при w = 1 через точку с координа-

той 20 lg K .

Рассмотрим теперь частотные характеристики замкнутой системы. Их можно получить по передаточным функциям замкнутой системы F(s) , F f (s) ,

Fe (s) . Чаще всего рассматривают частотные характеристики на базе главной передаточной функции замкнутой системы F(s) . Из них обычно используются

A3 (w) =	F( jw)	– АЧХ и R(w) = Re F( jw) – вещественная частотная характе-
ристика замкнутой системы.
Остановимся на основных свойствах A3 (w) и R(w) . Для физически реали-
зуемых систем		lim A (w) = lim R(w) = 0 . Начальные значения этих характери-
		w®¥ 3	w®¥
стик будут таковы:
			ì1, для астатических систем,
			ï		K
		A3 (0) = P(0) = í				, для статических систем.
			ï
					+ K
			î1

Между частотными характеристиками разомкнутой и замкнутой системы существует однозначная связь, которая следует из выражения

F( jw) =

W ( jw)

.

(3.7)

1 + W ( jw)

Представляя F( jw) = A (w)e jj3 (w)

= R(w) + jQ(w) и W ( jw) = A(w)e jj(w) =

3

= U (w) + jV (w) из (3.7) можно получить следующие выражения:

A3

(w) =

A(w)

, j3 (w)

= arctg

sin j(w)

,

A(w) + cos j(w)

A2 (w) + 2 A(w) cos j(w) + 1

R(w) =

U (w)[1

+ U (w)] + V 2

(w)

, Q(w) =

V (w)

,

[1 + U (w)]2 + V 2 (w)

[1 + U (w)]2 + V 2

(w)

R(w) =

A(w)[A(w) + cos j(w)]

,

Q(w) =

A(w) + cos j(w)

.

A2 (w) + 2 A(w) cos j(w) + 1

A2 (w) + 2 A(w) cos j(w) + 1

Эти выражения можно использовать для вычисления частотных характеристик замкнутой системы по частотным характеристикам разомкнутой. Существуют специальные номограммы, решающие такие задачи графически.

37