Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Даны три точки

,

не лежащие на одной прямой. Требуется написать уравнение плоскости, проходящей через эти три точки. Из геометрии известно, что такая плоскость существует и единственная. Так как она проходит через точку , то ее уравнение имеет вид

,      (9)

где , ,  одновременно не равны нулю. Так как она проходит еще через точки , , то должны выполняться условия:

                                          (10)

Составим однородную линейную систему уравнений относительно  неизвестных , , :

                                           (11)

Здесь  есть произвольная точка, удовлетворяющая уравнению плоскости (9). В силу (9) и (10) системе (11) удовлетворяет нетривиальный вектор , поэтому определитель этой системы равен нулю

.

Мы получили уравнение вида (9), т. е. уравнение плоскости, в чем легко убедиться, разложив полученный определитель по элементам первой строки. При этом эта плоскость проходит через точки , , , что вытекает из свойств определителя. Наша задача решена.

Уравнение (12) можно еще написать и в следующем виде:

.                         (13)

Если из первой, третьей и четвертой строк определителя в (13) вычесть вторую строку, то он не изменится. Разлагая результат по элементам четвертого столбца, получим уравнение (12).

Уравнение плоскости, проходящей через две точки и параллельной данному вектору. Если задан векторИ две точки

Причем векторыИ. неколлицеарны (рис. 4.6), то уравне-

Ние плоскости, проходящей через эту точку параллельно вектору а, имеет вид

(4-15)

Равенство (4.15) выражает необходимое и достаточное, условие компланарности трех векторов

- любая точка данной rmoikOtm

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и параллельной двум неколлннеарным векторам. Были даны два неколлинеарных вектора (рис. 4.7)И точка: то уравнение плос

Кости, проходящей через данную точку параллельно векторам а и Ь, имеет вид

(4.16)

Равенство (4.16) выражает необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов:Где- произвольная точка данной плоскости.

41. Прямая в пространстве (направляющий вектор, каноническое уравнение) .Параметрическое уравнение прямой. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

Направляющим вектором прямой называется любой не нулевой вектор параллельный этой прямой.

Каноническое уравнение прямой в пространстве, проходящей через M₀ (x₀y₀ z₀) и имеющий направленный вектор а (а₁ а₂ а₃)

х-х₀₌ y-y_{0 =} z-z₀ (1)

а₁ a₂ a₃

Прямую линию в пространстве можно задать еще как результат пересечения плоскостей, т.е. систему уравнений

Если каждую из дробей равенства (1), обозначить через t, то путем алгебраических преобразований перейдем к параметрическому заданному уравнению прямой

x= x₀ +a₁t, y= y₀+a₂t, z=z₀+a₃t (2)

Если даны 2 точки М₁ (x₁y₁z₁) и М₂(x₂y₂z₂), то в качестве направляющего вектора, можно взять вектор

М₁М₂ = (x₂-x₁, y₂-y₁, z₂-z₁)

Поэтому равенство (1) примет вид

= =(3)

Которое называется уравнение прямой, проходящей через 2 точки.

43.Постоянные и переменные величины.Функциональнаязависимость.Понятие функции и основные способы ее задания. Переменные величины — это такие величины, которые в условиях данного вопроса могут принимать различные значения. Постоянные величины — это такие величины, которые в условиях данного вопроса сохраняют неизменные значения.2) Функциональной зависимостью называется связь между двумя величинами, при которой изменение одной из них вызывает изменение другой.3)Функция- зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у, где переменная х- независимая переменная или аргумент и переменная у- зависимая переменнаяТабличный способ. Довольно распространенный, заключается в задании таблицы отдельных значений аргумента и соответствующих им значений функции. Преимущества табличного способа ~он дает возможность определить те или другие конкретные значения сразу, без дополнительных измерений или вычислений.. Графический способ. Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению. он имеет большое преимущество перед другими способами - наглядность. В технике и физике часто пользуются графическим способом задания функции, причем график бывает единственно доступным для этого способом. Чтобы графическое задание функции было вполне корректным с математической точки зрения, необходимо указывать точную геометрическую конструкцию графика, которая, чаще всего, задается уравнениемАналитический способ. Чаще всего закон, устанавливающий связь между аргументом и функцией, задается посредством формул. Такой способ задания функции называется аналитическим. Этот способ дает возможность по каждому численному значению аргумента x найти соответствующее ему численное значение функции y точно или с некоторой точностью. Если зависимость между x и y задана формулой, разрешенной относительно y, т.е. имеет вид y = f(x), то говорят, что функция от x задана в явном виде.