34. Длина вектора. Линейные операции над векторами в прямоугольных координатах: сумма, разность, умножение на число. Признак коллинеарности двух векторов в прямоугольных координатах.

Длина a вектора (а₁, а₂, а₃) вычисляется,

Пусть в пространстве введена прямоугольная система координатв которой векторыимеют координаты(1),тогда

1. 

2. 

Признаком коллинеарности векторов является пропорционально их координат, при этом , имеем,

Сложение векторов

По правилу треугольника: если данный два вектора , то вектороткладываем от любой точки А пространства. Затем от конца В вектораоткладываем вектор. Суммойвекторовибудет вектор. Итак.

Суммой векторов называется третий вектор, начало которого совпадает с началом вектора, а конец – с началом вектора, отложен из конца вектора.

Правило параллелограмма: если даны два неколлинеарных вектора , то откладываем их от одной произвольным образом выбранной точки А пространства. Затем строим на отрезках АВ иAD параллелограмм ABCD. Вектор

Естественно, что сумма векторов, найденная по правилу параллелограмма не зависит от выбора точки А и совпадает с суммойвекторов, найденной по правилу треугольника.

Правило параллелепипеда: если даны три некомпланарных вектора , то откладываем их от одной произвольным образом выбранной точки А пространства. Затем строим на отрезках АВ, АС иAD, как на рёбрах, параллелепипед. Вектор , где– диагональ на рёбрах параллелепипеда, есть суммавекторов, то есть.

Вычитание векторов.

Вычесть из вектора вектор– значит найти такой вектор, который в сумме с векторомдаст вектор. если из вектора,вычитается вектор, то будем писать. Векторбудем называть разнице векторов. Итак,двух векторов, необходимо их одной произвольным образом выбранной точки А пространства отложить векторы. затем конец С векторасоединить с концом В вектора. Получим вектор, который и будет разностьювекторов.

Умножение вектора на число.

Пусть дан вектор и действительное числоβ≠0

Произведением вектора на числоβ≠0 называется вектор такой, что

1. Модуль

2. Вектор сонаправлен с вектором, если числоβ >0; вектор направлен противоположно вектору, если числоβ< 0.

Если илиβ = 0, то полагаем, что β×=и 0×=

35. Скалярное произведение векторов

, ортогонален(). Длины ;.

Угол между векторами

36.

Векторным произведением векторовa и b называется вектор c , который определяется следующими условиями:1) Его модуль равен a*b*sin где - угол между векторами .

2) Вектор cперпенд к плоскости, опр-мой перемнож векторами a и b .

3) Вектор c направлен так, что наблюдателю, смотрящему с его конца на перемножаемые векторы a и b, кажется, что для кратчайшего совмещения первого сомножителя со вторым первый сомножитель нужно вращать противчасовой стрелки (см. рисунок).

Основные свойства векторного произведения

1) Векторное произведение a*b=0 , если векторы a и bколлинеарны или какой-либо из перемножаемых векторов является нулевым.

2) При перестановке местами векторов сомножителей векторное произведение меняет знак на противоположный вектора a*b=-b*a .Векторное произведение не обладает свойством переместительности.