12. Линии второго порядка.Гипербола.

Гиперболой назовём геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний от двух данных точек этой же плоскости, называемых фокусами ,является постоянной величиной(равной 2_a).

Если оси координат расположены по отношению к гиперболе так , что фокусы гиперболы находятся на оси абсцисс на равных расстояниях от начала координат в точках F₁(-c,0) и F₂(c,0), то ур-ние гиперболы имеет канонический вид: ˗=1 гдеc=.

При этом ОА = а есть действительная полуось ,а ОВ = b есть мнимая полуось гиперболы. Начало координат О ˗ центр гиперболы. Точки А(а,0) и С (-а,0) ,пересечения гиперболы с осью О_х назовём вершинами гиперболы.

Эксцентриситетом гиперболы назовём отношение фокусного расстояния 2с к длине действительной оси 2а,то есть : =.

В виду того, что с > а ,эксцентриситет гиперболы ɛ >1.

Асимптотами гиперболы назовём прямые :y= x и y= ˗ x.

Расстояние некоторой точки М гиперболы до её фокусов F1 и F2 назовём фокальными радиусами-векторами точки М и обозначим соответственно r1 и r2. Точки ,для которых r1 –r2=2a, принадлежат правой ветви гиперболы ,а точки ,для которых r2-r1=2a, принадлежат левой ветви гиперболы.

Фокальные радиусы-векторы точки правой ветви гиперболы вычисляются по формулам : r1 = ɛx +a; r2 = ɛx ˗a; фокальные радиус-векторы точки левой ветви гиперболы вычисляются по формулам : r₁ = ˗ɛx ˗a; r₂ = ˗ɛx + a.

В частном случае, когда а =b,гиперболу назовём равносторонней, а её каноническое уравнение будет иметь вид :x² ˗ y² = a².

Уравнение гиперболы в полярных координатах: ƿ = , где фокальный параметр p =, оно определяет одну ветвь гиперболы.

Директрисы – прямые, перпендикулярные к действительной оси и расположены на расстоянии d = от её центра. Уравнениями директрис гиперболы являются :x = ˗ ,x = :

Гиперболы :-= 1 и-=1 назовём сопряжёнными. У сопряжённых гипербол общие асимптоты .Действительная ось одной из них совпадает с мнимой осью другой, и наоборот.

Геометрическое место точек, определяемое уравнением второй степени :

xy = a (a ≠ 0) ,является равносторонней гиперболой. Это уравнение обычно записывают в виде :y = .

её асимптотами являются координаты оси 0х и 0у. Если а >0, то ветви гиперболы расположенные в первом и третьем квадрантах , а если а <0, то ветви гиперболы расположены во втором и четвёртом квадрантах.

13 Линии второго порядка. Парабола

Парабола – геометрическое место точки плоскости, равноудаленное от данной точки(фокуса) и данной прямой(директрисы), лежащих в той же плоскости.

Каноническое уравнение параболы симметрично относительно оси ОХ и проходит через начало координат(рис 1) имеет вид

Уравнение ее директрисы , а фокус расположен в т.F(;0) на расстоянииот вершины параболы О(0;0). Ось ОХ назовем осью параболы, число р – фокальным параметром параболы. Эксцентриситет параболы равен 1.

Расстояние т.М параболы до фокуса F назовем фокальным радус-вектором т.М обозначим r

Фокальный радиус-вектор т.М(х; у)равен

14 .Основные понятия и определения. Теория матрицы

Матрицы – прямоугольный массив чисел, записанный в виде строк и столбцов. Строки и столбцы называются ее рядами.

Матричной записью пользуются во всех областях знаний. Например, если надо нормы расходов и видов ресурсов на изготовление единицы каждого из 3-ех видов продукции , то это удобно написать в виде таблицы

Ресурсы	Вид продукции
Сырье	1,4	2,4	0,8
Электроэнергия	1,0	0,6	1,6
Оборудование	2,0	1,0	3,0
Труд	1,7	2,3	1,5

В случае необходимо приведенное в таблице число записывать в более компактной форме, в которой содержится значение каждого показателя, определяющего его местоположение. Так число 1,6 означает затраты электроэнергии на изготовление единицы продукции вида . Записанный таким образом массив чисел называетсяматрицы, а числа в массиве – элементы матрицы.

Матрицы обозначают прописными буквами латинского алфавита: А, В, С … , а их элементы строчными: а, b, с … . Для обозначения каждого из элементов матрицы используют 2-ые индексы: 1-ый означает номер строки, 2-ой – номер столбца.

Так означает элемент стоящий вi-той строке j-том столбце.

В общем случае матрицы, состоящие из m строк и n столбцов, записывают в виде

А=(1)

Иногда используют сокращенные записи ; ()

Иногда (m*n)читается как «m на n», означает размерность матрицы. В примере приведенном выше размерность матрицы равна 4*3

Если число строк матрицы равна число столбцов матрицы, т.е. m=n,то матрица называется квадратного порядка n, т.е

А=(2)

Говорят, что элемент в строке квадратной матрицы (2) образуют ееглавную диагональ, а элементы -вторую (побочную) диагональ.

Квадратная матрица называется симметричной, если равны ее элементы симметричны относительно главной диагонали. Например:

Диагональной матрицей называется квадратная матрица, у которой все элементы, которые не принадлежат главной диагонали, равны 0. Например:

Обозначим diag()=(3)

Если все элементы главной диагонали матрицы (3) равны 1, то матрицу называют единичной(Е).

Е=

Если в квадратной матрице все элементы, лежащие выше или ниже главной диагонали равны 0, то ее называют треугольной. Например:

Матрицу называют нулевой, если все ее элементы равны 0

0=

2 матрицы одинаковой размерности называют равными, если равны их элементы, состоящие на соответствующих местах.

Матрицы, состоящие из 1-ой строки – матрицой-строкой, а из 1-ого столбца – матрицой-столбцом.