29.Умножение вектора на число. Свойства линейных операций над векторами.

Произведением ненулевого вектора на действительное числоназывается вектор, удовлетворяющий условиям:

1) длина вектора равна, т.е.;

2) векторы иколлинеарные;

3) векторы иодинаково направлены, если, и противоположно направлены, если. (рис. 9). Если среди сомножителей есть 0, то под произведениемпонимается нулевой вектор.

Геометрический смысл операции умножения вектора на число следующий: если , то при умножении векторана числовектор«растягивается» враз, а если– «сжимается» враз. На рис. 9 изображен случай.

Утверждение 1. Если векторы иколлинеарны и, то существует единственное число, что.

Свойства линейных операций над векторами

Сложение векторов и умножение вектора на число называются линейными операциями над векторами. Для любых векторов ,,и любых действительных чиселсправедливы равенства:

30.Угол между векторами. Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

31. Составляющие вектора: на плоскости, по прямой и плоскости, по трем прямым

Проведём a и b,, ,ab, . Из точки О отложим .По правилу парал. сложения векторов устанав, что, гдесост вектора , леж на прямыхa и b, соответственно. Предст вектора равенством назразлож вектора на состав, леж на прямых a и b.Заданы прямая и плоскость , причёмне лежит ви не паралл..

Возьмём и отложим его от О. Получим. Пусть точка– проекцияV на в направлении в направлении, то есть.навыбрана так, что

Тогда(1)

или(2),гдеявл сост, леж наи на.Представлениеравенствами(1) или(2) назывразложна составл, леж на и на.Пусть заданы три прямые a, b, c, пересек в O и не леж в одной плоскости.. Разлаживаем по прямa и плосa:

на составляющие Теперь разложим на составляющие , леж наb и c, в a :В итоге имеем, что.где составляющиеv,леж на a, b, c,соответственно.Представление назыв разлож на сост, леж наa, b, c.

Вопрос32. Разложение вектора по базису

Разложить по базису – это значит представить его.Числкоэфx, y, zв правой части равенства – координаты в базисе .Координаты векторов (как и их сост.) обладают след.св-ми (операции слож. векторов и умн. на число): При слож векторов их координаты складываются. Разл. вектора по базисуимеет вид

, где – действ.числа. Тогда сум., и предст. векторс координатами,,в базисе

При умнож.вектора на число его координаты умнож. на это число. - действ. число. Разлож по базису имеет вид. Тогда.Тройка базисных векторов в пространстве наз. Правой (левой), если эти векторы, отлож. от одной точки, распол. так, как распол. большой, указательный и средний пальцы правой (левой) руки.

Вопрос33.Прямоугольные декартовы координаты в пространстве

Координатами вектора , начало кот. Точка А(), а конец В() в прям. дек. системе координатOxyz наз. числа ,,. Сначала фикс. в прям. дек. сист. координат Охуz точку А(х, у, z). Потом строят точку В(х+, у+, z+). Получаемравн.. Радиусом-вектором – наз. векторс точкой прилож. в нач. координат О, а конец - в А..