19. Обратная матрица

Матрицей, обратной квадратной матрице А, назыв. квадратная матрица В, удовлетворяющая равенством.

АВ=ВА=Е ( 1) ,где Е- единичная матрица

Из определения следует, что обратная матрица может существовать только для квадратной матрицы и обе матрицы имеют один и тот же порядок. Обозначение A^-1=1/A

Рассмотрим квадратную матицу:

(2)

Матрицей присоединенной к матрице А, называется матрица

(3)

составленная из алгебраических дополнений А_ijэлементом а_ijматрицы( 2). Матрица 3 является транспонированной матрицей.

Квадратная матрица называется невыраженной (или не особой), если ее определитель отличен от нуля, если наоборот - матица выраженная.

Для невыраженной матрицы существует единая обратная матрица А^-1 определяется формулой:

и умножить на А *

Свойства обратных матриц:

1. Определитель det A^-1=1/detA

2. (А^-1)^-1=А

3. (АБ) ^-1=В^-1 А^-1

20. Ранг матрицы

Рассмотрим матрицу размерности m^xn

Выберем в ней произвольным образом S-строк и столько же столбцов (S различных), причем

1≤S≤min элемент {m;n}. Элементы стоящие на пересечении строк и столбцов образуют квадратную матрицу порядка S. Определитель этой матрицы называется, минором порядка S матрицы А. Некоторые миноры могут быть равные нулю.

Рангом матрицы называется наибольший из порядков его миноров, отличных от нуля.

Ранг матрицы обозначает:

rang^А(ran……..)

Если все миноры матрицы = нулю,

Из определения ранга матрицы, получает следующие свойства:

1. Ранг матрицы удовлетворяет двойному неравенству

0≤ r ≤ min {m;n}

2. ранг матрицы равен нулю, когда матрица нулевая

3. Для квадратной матрицы n-ного порядка ранг r=n , когда матрица невырожденная detA неравен 0.

21. Система линейных уравнений. Основные понятия

Системой mлин. Уравнений с n неизвестными x₁ , x₂ , … x_n , называется система вида:

а₁₁х₁ +а₁₂х₂+… +а_1nx_n=b₁

a₂₁x₁+a₂₂x₂+… +a_2nx_n=b₂ (1)

………………………………….

a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mnx_n=b_n

где a_ij (i=1,m; j=1,n)

коэффициенты системы b_i (i=1,m) свободные члены системы.

Если все b_i=0, то систему называют однородной, а если среди b_i есть отличные от нуля, то неоднородные . Решением линейной системы (1) назыв. Набор чисел:

х₁=с₁ , х₂=с₂ …, х_n=с_n, если в результате подстановки этих чисел вместо неизвестных каждое из уравнений системы превращается в торжество (верное равенство).

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной, а система не имеющая ни одного решения – несовместной. Заметим, что однородная система всегда совместна, т.к. имеет нулевое решение. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если имеет более одного решения.

Две системы называются эквивалентными или равносильными, если любое решение одной из них является решение другой и наоборот.

Элементарными преобразованиями СЛУ (сист. лин. уравн.) назыв. преобразования:

1. умножение уравн. сист. на число отличное от нуля.

2. Прибавление к одному уравнению системы другого его уравн. умноженное на любое число.

3. Перестановка местами двух уравн. сист.

Линейную систему (1) можно записать в матричном виде. Матрица:

(а₁₁… а_1n)

А=(…………….) (2)

(a_m1…a_mn)

Составленная из коэффициента системы (1) назыв. основной матрицей систем, а матрица

(а₁₁…a_1nb_1n )

A=(………………..)

(a_m1…a_mnb_mn)

Полученная из основной присоединением столбца и свободных членов назыв. расширенной матрицей системы (1).

Рассмотрим матрицы-столбцы составленные из неизвестных свободных членов:

(х₁) (b₁)

Х=(х₂) B=(b₂) (4)

(…) (b_m)

(х_n)

Поскольку матрица А согласована с матрицей Х (А имеет размерность m^xn, а Х – n^x1), то можно найти произведение

АХ=(а₁₁х₁+…+а_1nx_n)

(a_m1x₁+…+a_mnx_n)

Поэтому систему (1) можно записать в матричном виде

А*Х=В (5)

И можно решить ее матричным способом :

Выражении «решить систему» означает вычислить совместна она или нет, и в случае совместности решения, найти ее решение.