- •4. Полярная система координат на плоскости.
- •5. Прямоугольные декартовые координаты пространств.
- •9. Угол между двумя прямыми. Расстояние от точки до прямой.
- •10. Линии второго порядка. Окружность.
- •11.Линии второго порядка.Эллипс
- •12. Линии второго порядка.Гипербола.
- •13 Линии второго порядка. Парабола
- •14 .Основные понятия и определения. Теория матрицы
- •15. Линейные действия над матрицами
- •16.Произведение матриц
- •17.Транспонировние матрицы
- •18. Определители 2-ого и 3-ого порядков.
- •19. Обратная матрица
- •20. Ранг матрицы
- •21. Система линейных уравнений. Основные понятия
- •22.Решение систем линейных уравнений с помощью определителя(теорема Крамера)
- •23. Исследование систем линейных уравнений (теорема Кронекера-Капелли, базисный минор, базисные и свободные неизвестные)
- •24.Матричный метод решения систем линейных уравнений
- •25)Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.
- •29.Умножение вектора на число. Свойства линейных операций над векторами.
- •31. Составляющие вектора: на плоскости, по прямой и плоскости, по трем прямым
- •Вопрос32. Разложение вектора по базису
- •Вопрос33.Прямоугольные декартовы координаты в пространстве
- •34. Длина вектора. Линейные операции над векторами в прямоугольных координатах: сумма, разность, умножение на число. Признак коллинеарности двух векторов в прямоугольных координатах.
- •35. Скалярное произведение векторов
- •37.Смешанное произведение 3 векторов.
- •38. Линейная зависимость векторов
- •39.Уравнение поверхности и линии
- •Уравнение плоскости, проходящей через три точки
- •41. Прямая в пространстве (направляющий вектор, каноническое уравнение) .Параметрическое уравнение прямой. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
- •44. Понятие сложной функции. Четные и нечетные функции, переодические функции.Основные элементарные функции.
- •45. Функция натурального аргументы и ее предел.
- •47. Предел функции в точке и на бескон. Определение
- •49. Основныесв-ва пределов функций.
- •50.Замечательные пределы
- •51. Непрерывные ф-ции.Точки разрыва ,их классификация.
47. Предел функции в точке и на бескон. Определение
1) Число Аназыв. Пределом функции у=f(x), в точке Xo, если для любой последоват.(Хn) принадлежащие D(y), n принадлежит Nимеющ.в своих пределах точку Хо, то есть предел числа Хn и стремящееся к бесконечности равно Хo, последоват.(f(Xn)) имеет в своих пределах большое число A, то есть . Еслии А- дейсвит.число, то говорят, что в точке Хо функция у=f(x) имеет конечный предел равный А. Пусть функция у=f(x) определена в нек. ε-окрестности точки Хо, за исключением Хо. Сформулируем определ. предела ф-ции в терминах окрестности и называемым определение предела ф-ции по Коши. Определение 2 Число А-предел функции у=f(x) в точке Хо (при x→x0), где x0R, если для любого ε˃0 сущ. δ=δ(ε)˃0, для всех x, ˂δ→˂ε,
Геометрический 8предел А функции у=f(x) при Х стремящейся к Хо означает, что какую бы горизонтальную Е полосу мы не взяли симметричную вдоль прамой у=А, всегда найдется дельта полоса симметричная прямой Х=Хо, такая что все точки графика функции расположенные в вертикальной полосе, кроме точки наход.на прямой Х=Хо обязательно попадет в горизонтальную полосу. При изучении ф-ций иногда оказывается полезным рассмотреть пределы на мн-вах являющихся частями множеств определенияф-ций и лежащими по одну сторону от точки в кот.рассм. предел. Такие пределы назыв. односторонними. Это понятие содержательно лишь тогда, когда x0R. . Односторонние пределы. В определении предела функции считается, чтох стремится к а любым способом: оставаясь меньше, чем а (слева от а) или больше, чем а (справа от а).
Бывают случаи, когда способ приближения аргумента хка существенно влияет на значение предела функции. Поэтому вводят понятие односторонних пределов.
Число b называется правым пределом (пределом справа) в точке , если для любой сходящейся ка последовательности , члены которой больше или равныа (), соответствующая последовательностьсходится кb; обозначается: .
Аналогично, число b называется левым пределом (слева) в точке , если,, соответствующая последовательностьсходится кb; обозначается: .
Естественно, что можно сформулировать эти определения «на языке ».
Правый и левый пределы функций в точке называются односторонними. В случае, когда , используются обозначения:,.
Коротко предел слева и справа обозначают .
Очевидно, если существует , то существуют и оба односторонних предела, причемсовпадает с ними. Справедливо и обратное утверждение: если существуют оба предела,, и они равны, то существует предели.
Если же , тоне существует.
48. БМ и ББ фу-ции. Определение и основные свойства.Функция называетсябесконечно малойпри, если.Функцияназываетсябесконечно большой при , если.Например, функцияесть бесконечно большая функция при.
Имеет место следующее утверждение, характеризующее связь между б. м. функциями б.б функциями.
Утверждение 1. Для того, чтобы функция прибыла б.м.функцией, необходимо и достаточно, чтобы функциябылаб. б. функцией при .
Для б. м. функции выполняются те же свойства, что и для б. м.последовательностей.
Пример 1. Показать, что функция прих 1 является б. м.
Решение. Т.к. , то функцияестьб. м.прих 1. Функция ,х 1, ограничена: . Функцияпредставляет собой произведение ограниченной функции наб. м.. Значит –б. м. при х 1 Основные св-ва пределов функций.
1.если ф-я f(х) имеет в т.x0,то он единственный
2.если ф-я f(х)імеет в т. x0предел,то сущ. окресность в т. х0,в кот. Ф-я f(х) ограничена
3.если у=С-пост. Ф-я,то
4.если,,то а)lim(f±g)=A+B; б)(f*g)=A*B; в)f/g=A/B, B≠0
5.если в окрестности в т. х0 выполняются нер-ваf1(x)≤f(x)≤f2(x) и , то и
6.сохранение знака предела. Если ,то сущ. окрестность в т.x0 такая, что f(х)>0 (f(x) <0)при всех х из этой окрестности.