9. Угол между двумя прямыми. Расстояние от точки до прямой.

у

x

Углом между 2-мя пересек. рпямымииназ. <отсчитываемый против хода часовой стрелки от первойи 2-ой. Если прямые параллельны, то угол между ними равен 0, значитπ. Из рис.видно, что –, тогдаtg= tg(–)=

Т.к. =, то=, то

tg (1)

Если прямыеII, то , т.е..

Если прямыеи,то(90®) и=±,tg ()= –==>= –.

Заметим, что если принять такую условность в формуле 1 прировнять к нулю числитель и знаменатель, то получим условия параллельности и условия перпендикулярности.

Расстояние от точки до прямой.

у ()

d L

1. x

Расстояние d от т. () до прямойLимеющиеур-ние, находится по формуле:d=

10. Линии второго порядка. Окружность.

Окружностью с центром в точке С и радиусом R назовём геометрическое место точек плоскости, удалённых от точки С той же плоскости на расстоянии R. Каноническоеур-ние окружности:

(x-a)² + (y-b)²=R²

с центром в точке С(a,b) радиуса R

Если центром окружности является начало О(0,0) прямоугольный декартовой системы координат О_ху, то уравнение примет вид: x² + y²=R²

В полярной системе координат О_pφ ур-ние окружности с центром в полюсе О радиуса R , будет :_p=R.

у

b С R

ax

11.Линии второго порядка.Эллипс

Эллипсом назовём геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек этой же плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная (равная 2a).

Если оси координат расположены по отношению к эллипсу так, как это выполнено на рисунке ,то есть фокусы эллипса находятся на оси абсцисс на равных расстояниях от начала координат в точках F₁ (-c,0) и F₂ (c,0), то ур-ние эллипса имеет канонический вид: +=1,

где c =

При этом ОА = а есть большая полуось ,а ОВ = b есть малая полуось эллипса (a>b). Начало координат О- центр эллипса. точки А₁С и В,D пересечения эллипса с осью О_х и осью О_у назовём вершинами эллипса.

Форма эллипса(мера его сжатия) хар-ся числом : ɛ=(ур-ние 4) ,которое называетсяэксцетриситетом эллипса. Эксцентриситет ɛ<1 ,ибо фокусное расстояние 2_с меньше длинны большой оси 2_а. Расстояние некоторой точки М эллипса до фокусов F₁ и F₂ назовём фокальными радиус-векторами точки М и обозначим r₁ и r₂ соответственно . Из определения эллипса следует ,что :

r₁ + r₂ = 2_a.Фокальные радиусы-векторы точки М (x,y) эллипса равны: r₁=a+ɛx, r₂=a-ɛx

В частном случае, когда a = b (c=0,или ɛ=0, или фокусы F₁ и F₂ сливаются в одну точку) эллипс(ур-ние2) превращается в окружность x²+y²=a² с центром в начале координат (точке слияния фокусов F₁ и F₂ ) радиуса a.

Взаимное расположение точки М₀(x₀,y₀) и эллипса определяется условиями :

1. Если +<1 ,то точка М₀(x₀,y₀) лежит внутри эллипса;

2. Если +=1,то точка М₀(x₀,y₀) лежит на эллипсе ;

3. Если +>1,то точка М₀(x₀,y₀) лежит вне эллипса;

Ур-ние эллипса в полярных координатах : p =,где фокальный параметр ƿ =.

Директрисы – прямые, параллельные малой оси эллипса и расположенные на расстоянии d=от неё. Уравнениями директрис эллипса являются :x=иx=.

Для любой точки М(x,y) эллипса: ==ɛ, гдеd₁ –расстояние от точки М до директрисы ,близлежащей к её фокусу F₁ , а d₂- расстояние от очки М до директрисы, близлежащей к фокусу F₂.

Диаметры эллипса – хорды ,проходящие через центр эллипса. Диаметры в центре делятся пополам.