15. Линейные действия над матрицами

Линейные действия наматрицами – сложение и вычитание матриц, умножение матриц на число. Сложение и вычитание матриц определяется только для матриц одинаковой размерности.

Суммой(разностью) матриц А и В одинаковой размерности m*n называется матрица С, элементы которой (

Произведение матрицы А на число называется матрица αА, полученный из данной матрицы А умножением всех ее элементов на число α

Матрицу (-1)А называют противоположной матрице А и обозначают –А

Свойства линейных операций над матрицами

• А+В=В+А

• (А+В)+С=А+(В+С)

• А+0=А

• А+(-А)=0

• 1(А)=А

• α(βА)=(αβ)А

• α(А+В)=αА+αВ

• (α+β)А=αА+βА

16.Произведение матриц

Произведением матрицы А=(а_ij),(m×n) на матрицу В(b_ij),(n×k)называется матрица C=(c_ij),(n×k) у которой каждый элемент( C_ij)вычисляется по формуле C_ij=a_ij*b_ij+a_i2*b_2j+…+a_in*b_nj=a_ilb_lj, i=1,m, j=1,n

Произведение матрицы А на матрицу В обозначают АВ

Умножение матрицы А на матрицу В можно лишь тогда, когда число столбцов матрицы А= числу строк матрицы В

Свойства умножения матриц:

1. (АВ)*С = А*(ВС)

2. Α*(АВ)=(αА)В=А(αВ)

3. (А+В)*С=АС+ВС

4. С*(А+В)=СА+СВ

5. А*Е=Е*А=А

6. А*0=0*А=0

17.Транспонировние матрицы

Матрица полученная из данной матрицы заменой каждой её строки столбцом с тем же номером называется транспонированной относительно данной обозначают: А^Т, так по определению транспонированная матрица к матрице A=( ) имеет вид А^Т=

Свойства операции транспонирования:

1. (А^Т)^Т=А

2. (А+В)^Т=А^Т+В^Т

3. (α*А)^Т=α*А^Т

4. (АВ)^Т=В^Т*А^Т

18. Определители 2-ого и 3-ого порядков.

Определителем квадратной матрицы 2-ого порядка А=); (1)

а₁₁* а₂₂ – а₂₁*а₁₂

Определитель называют так же детерминантом, обозначают: lAl, ∆, detA, det(a_ij) значит по определению: lAl= =

Элементы, строки, столбцы, диагонали и порядок матриц называют соответственно элементами, строками, столбцами, диагоналями и порядками.

Определителем квадратной матрицы 3-ого порядка ;(2) называется числоlAl=(3) .

заметим что каждое слагаемое алгебраической суммы(3) представляет собой произведение элементов определителя взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца. Этому произведению приписывается соответственный знак для запоминания которого используют схему.

Минором какого-либо элемента определителя называют определитель полученный из данного определителя вычёркиванием строки и столбца которым принадлежит данный элемент. Минор элемент , обозначают. Минором определителя 3-ого порядка является определитель 2-ого порядка.

Алгебраическим дополнением элементаопределителя называют его минором взятый со знаком

Свойство определителей:

1. Определитель не изменится при заме всех его соответствующим столбцам,т.е. detA = detA^T

2. При перестановке 2 строк(столбцов) определитель меняет знак

3. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен 0

4. Множитель общий для некоторой строки (столбца) можно выносить за знак определителя

5. Определитель равен 0, если все элементы некоторой строки (столбца) равен 0

6. Определитель не изменится если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответственные элементы другой строки (столбца) предварительно умножив их на один и тот же множитель

7. Теорема Лапласа: определитель равен сумме произведения элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

= , гдеj–пробегает всё множество j=1,n

8. Определитель равен 0 если элементы некоторых двух строк (столбцов) пропорциональны

9. Если элементы некоторой строки (столбца) представляет собой сумму двух слагаемых, то такой определитель равен сумме двух определителей в первом из которых соответствует строка (столбец) состоит из первых слагаемых, а во втором из вторых слагаемых.