44. Понятие сложной функции. Четные и нечетные функции, переодические функции.Основные элементарные функции.

1) Определение. Если на некотором промежутке Х определена функция Z = φ(X) с множеством значений Z и на множестве Z Определена функция У = F(Z), то функция У = F[φ(X)] называ­ется сложной функцией от X (или суперпозицией функций), а переменная Z — промежуточной переменной сложной функции.2)Функция у = f (х) называется четной, если для любого х из области определения функции выполняется равенство f (- х) = f (x).Функция у = f (х) называется нечетной, если для любого х из области определения функции выполняется равенство f (- x) = - f (x).Например, у = х², у = х⁴, у = x⁶ - четные функции, а у = х³, у = х⁵, у = х⁷ - нечетные функции; Функция у = f (х) называется периодической, если существует такое отличное от нуля число Т, что для любого х из области определения функции справедливо равенство f (х + Т) = f (х) = f (x - Т). если Т - период функции у = f (х), то 2Т, ЗТ, 4Т, -Т, -2 Т, - 3Т, - 4Т - периоды функции. Значит, у периодической функции бесконечно много периодов.3) Простейшими элементарными функциями обычно называют линейную (y=kx+b), квадратичную (y=ax²+bx+c), степенную (y=xⁿ, где n целое число, не равно 1), показательную (y=a^x,где a больше 0 и не равно 1), логарифмическую (y=log_a x, где a больше 0 и не равно 1), тригонометрические (y=sin x, y=cos x, y=tg x, y=ctg x), обратные тригонометрические (y=arcsin x, y=arccos x, y=arctg x, y=arcctg x).

45. Функция натурального аргументы и ее предел.

Число  называетсяпределомфункции  вточке , еслионаопределенананекоторойокрестности , т. е. нанекотороминтервале , где  , заисключением, бытьможет, самойточки , иеслидлявсякого  можноуказатьзависящееотнего  такое, чтодлявсех  ,длякоторых , имеетместонеравенство

Свойства предела:

1) Если f(x) и g(x) имеют пределы в точке x0, то функции f(x)±g(x) и f(x)g(x) также имеют пределы в точке x0, причем

limx→x0(f(x)±g(x))=limx→x0f(x)±limx→x0g(x);

limx→x0(f(x)g(x))=(limx→x0f(x))(limx→x0g(x))

2) Для любого числа C,limx→x0(Cf(x))=Climx→x0f(x)

3) Если функции f(x) и g(x) имеют пределы в точке x0 и limx→x0g(x)≠0, то функция f(x)g(x) также имеет предел в точке x0, причем

limx→x0f(x)g(x)=limx→x0f(x)limx→x0g(x).

.

4) Пусть существует limx→x0f(x)=a (f(x)≠a при x≠x0) и limy→ag(y); тогда в точке x0существует предел композиции g(f(x)), причем limx→x0g(f(x))=limy→ag(y).

Если разность f(x)−g(x) представляет собой неопределенность вида ∞−∞, или частное f(x)g(x) представляет собой при неопрделенность вида ∞∞или 00, то вычисление пределов называют "раскрытием неопределенностей."

46. БМиББпоследоват.Последоват (Xn) наз.БМП, если Xn, при n стремящееся к бесконечности равен нулю. Св-ва БМП: сумма и произв.конечного числа БМП есть БМП; произв. БМП на постоянную и произведение БМП на ограниченную последоват.есть БМП; связь числовой последовательности ее предела и БМП: числовая последов.(Хn) имеет своим пределом число а, тогда, когда Хn можно представить в виде x_n=a+α_n, где α_n – б.м.п.

Числовая последов. (x_n) назыв. ББ если для любого сколь угодно большого числа А>0 сущ.такой номер N, что для всех n>N выполняется нер-во|Xn|>A, в этом случае пишут

Между БМП и ББП сущ. простая связь, кот.выражает сл теорема: если (x_n) – б.м.п., - б.б.п.; если (x_n) – б.б.п., то – б.м.п. В этой связи в теории пределов объяснимы рав-ва 1/0=∞, 1/∞=0.