25)Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.

При больших числах л применение формул КрамераΔ ≠1 затруднительно.

В общем случае для решения системы применяется метод Гаусса.Соглачно которому в систему с помощью элементарных преобразований приводят к виду:

x₁+ b12x₂ +…+b1n-1xn-1+b1nXn=C1

x₂+…+b2n-1+xn=С2

Xn-1+bn-1nXn=Cn-1

Xn=Cn (1)

Начиная с последнего систему(1) легко решить.

Начиная подставлять в n-1, уравнение системы 1 ,вместо неизвестного Xn,его значение Xn=Cn/

Найдем неизвестную Xn-1 и так далее .

Заметим ,что переход от системы 1 пар.2 и системы 1 пар.4всегда возможен,если определитель

Системы 1 из пар2 отличен от 0.

Совокупность преобразований приводим к системе 1 пар.4-прямой ход Гаусса.

А нахождения решения начиная с последнего уравнения системы (1) до первого уравнения-Обратным ходом Гаусса.

͠͠͠

͠͠͠ 3X2+2(-2), 3X3+6

X3=2

X1+2+2(-2)=-1

X1=1

Ответ: (1,2,-2)

Выражение” решить систему “означает выяснить совместна она или нет. И в случае совместности решения найти её решения.

27. ВЕКТОР.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. Векторными величинаминазываются величины, которые характеризуются не только числовым значением, но и напра­влением.

Масса, длина, площадь, объём — это всё скалярные вели­чины, а скорость, ускорение, сила — векторные величины.

Скалярные величины кратко называют скалярами, а век­торные величины — векторами.

Напра­вленный отрезок есть вектор.

Модулем (или длиной) вектора называют длину соответ­ствующего ему направленного отрезка.

Модуль вектора это числовое значение вектора. Особый случай представляет нулевой вектор или (нуль-вектор) — его модуль равен нулю, а направления он не имеет.

Вектор, длина которого равна единице, называютединич­ным вектором.

Векторы будем обозначать строчными буквами латинского алфавита счёртойнаверху(а,b)

На рис. .1 приведены векторы а, bи с, направления которых указаны стрелкой.

Рис.1. Рис, 2.

Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых называютсяколлинеарными(или параллельными).

Коллинеарные векторы, имеющие одинаковое направление, называютсясонаправлениыми векторами.

О двух коллинеарных векторах, которые не являются ну­левыми, говорят, что они направлены противоположно.

Равные по модулю сонаправленные векторы называются равными векторами.

Противоположнымивектораминазываются направленные противоположно векторы с равными длинами.

Вектор, противоположный векторуа будем обозна­чать - а.

Векторы, лежащие в одной плос­кости или в параллельных плоскостях называютсякомпланарными. Если для вектора а указаны его начало А и конец В, то введём обозначение АВ . Тогда а = А В . Точкой приложения вектора АВ называется его начало А .Если хотят подчеркнуть, что точка приложения вектора может быть выбрана произвольно, то такой вектор принято называть произвольнымвектором.

28.Линейными операциями над векторами называют операции сложения векторов и умножения вектора на число.

Пусть даны два вектора и.Суммой называется вектор, который имеет началом начало вектора и концом – конец векторапри условии, что начало векторасовпадает с концом вектора(или диагональ параллелограмма, построенного на векторахи).

Отсюда следует, что сумму неколлинеарных векторов иможно найти по правилу треугольника (рис. 8а)) или параллелограмма (рис. 8б)).

Рис. 8а) Рис. 8б)

По определению суммы двух векторов можно найти сумму любого числа заданных векторов. В частности, пусть заданы три вектора и. Сложиви, получим векторПрибавив к нему вектор, получим вектор

Вычитание векторов. Разностью векторовиназывается такой вектор, который в сумме с векторомдает вектор: .

Если векторы ипривести к общему началу, то разность представляет собой отрезок, соединяющий их концы и направленный от «вычитаемого» к «уменьшаемому» (рис. 4).

 

Рис. 4

Таким образом, если на векторах и, отложенных из общей точкиО, построить параллелограмм ОАСВ, то вектор , совпадающий с одной диагональю, равен сумме, а вектор, совпадающий с другой диагональю, – разности(рис. 5).

 Рис. 5