Статистическая физика

100

ª®­ç ⥫쭮, ¤«ï ®á樫«¨àãî饩 ç á⨠¯®â¥­æ¨ «

¯®«ãç ¥¬:

p2(m BH)3=2T V 1 cos

k ;

~

BH

4

=

k=1

:

(5.100)

2h3

k3=2sh

2kT

B H

ਠ¢ëç¨á«¥­¨¨ ¬ £­¨â­®£® ¬®¬¥­â

X

ª ª ¯à®¨§¢®¤­®© ®â (5.100) ¯® ¯®«î, ­ã¦­®

¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ âì ⮫쪮 ­ ¨¡®«¥¥ ¡ëáâà® ¬¥­ïî騥áï ¬­®¦¨â¥«¨ cos ¢ ç¨á«¨â¥- «ïå ç«¥­®¢ á㬬ë. â® ¤ ¥â १ã«ìâ â ­¤ ã:

p2 Bm3=2 T V

1

sin

k ;

~

BH

4

X

BH

(5.101)

M = ;

h3pH

p

2kT

:

k=1

ksh

®«ã祭­®¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ ®á樫«¨àã¥â, ¯¥à¨®¤¨ç­®áâì ¨¬¥¥âáï §¤¥áì ¯® ®¡à â­®¬ã ¯®«î 1=H. ¥à¨®¤ ¯® ¯¥à¥¬¥­­®© 1=H ¥áâì:

1		=	2 B
				(5.102)
	H
¨ ­¥ § ¢¨á¨â ®â ⥬¯¥à âãàë. ਠí⮬ (1=H)H BH= 1, â.¥. ®á樫«ï樨
¯à®¨á室ïâ á ¡®«ì让 \ç áâ®â®©". ª¨¥ ®á樫«ï樨 ¬ £­¨â­®£® ¬®¬¥­â				¢ ¯®«¥

­ ¡«î¤ îâáï ¢ ¬¥â «« å ¯à¨ ¤®áâ â®ç­® ­¨§ª¨å ⥬¯¥à âãà å ¨ \ç¨áâëå" ®¡à §-

æ å ¨ ­ §ë¢ îâáï íä䥪⮬ ¤¥-

§ { ¢ ­- «ì䢥­ . à¨

BH

T

¬¯«¨âã¤

~

V H

1=2

(m B)

3=2

3

ª®«¥¡ ­¨© ¬ £­¨â­®£® ¬®¬¥­â M

h;

. ®­®â®­­ ï ç áâì ­ -

¬ £­¨ç¥­­®á⨠M ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¢ëç¨á«¥­­®© ¢ëè¥ ¢®á¯à¨¨¬ç¨¢®áâìî (5.89), â ª

1=2

3=2 2

3

~

1=2

çâ® M

V

Hm Bh; . ®í⮬ã M=M

( = BH)

1 ¨ ¬¯«¨âã¤

®á樫-

2

«¨àãî饩 ç á⨠¢¥«¨ª

¯® áà ¢­¥­¨î á ¬®­®â®­­®©. ¯à®â¨¢, ¯à¨ BH

T íâ

¬¯«¨â㤠íªá¯®­¥­æ¨ «ì­® ã¡ë¢ ¥â ª ª exp(; T= BH) ¨ áâ ­®¢¨âáï ¯à¥­¥¡à¥-
¦¨¬® ¬ «®©.
ëà ¦¥­¨¥ ¤«ï ¯¥à¨®¤			(5.102) ¬®¦­® ¯¥à¥¯¨á âì á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:
		1		= jejh	1	= 2jejh		= 2 jejh	(5.103)
		H		mc "F		c pF2		cSF

£¤¥ SF = p2F { ¯«®é ¤ì ¬ ªá¨¬ «ì­®£® \á¥ç¥­¨ï" áä¥à¨ç¥áª®© ¯®¢¥àå­®á⨠¥à¬¨ £ § ᢮¡®¤­ëå í«¥ªâà®­®¢. ª §ë¢ ¥âáï, çâ® ¯®á«¥¤­¥¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ ¯à¨¬¥­¨¬® ¨ ¤«ï ¬¥â ««®¢ á ¯à®¨§¢®«ì­ë¬¨ ¯®¢¥àå­®áâﬨ ¥à¬¨, ¥á«¨ ¯®¤ SF ¯®­¨¬ âì ¯«®- é ¤ì «î¡®£® íªáâ६ «ì­®£® á¥ç¥­¨ï á«®¦­®© ¯®¢¥àå­®á⨠¥à¬¨ [21]. ®áª®«ìªã â ª¨å á¥ç¥­¨© ã ॠ«ì­®© ¯®¢¥àå­®á⨠¥à¬¨ ¬®¦¥â ¡ëâì ­¥áª®«ìª®, ¢®§­¨ª ¥â ¨ ­¥áª®«ìª® ¯¥à¨®¤®¢ ®á樫«ï権 ¤¥- § | ¢ ­- «ì䢥­ . ªá¯¥à¨¬¥­â «ì­®¥ ¨§ã祭¨¥ íâ¨å ®á樫«ï権 ¯®§¢®«ï¥â ­ ©â¨ íªáâ६ «ì­ë¥ á¥ç¥­¨ï ¯®¢¥àå­®á⨥ନ ॠ«ì­®£® ¬¥â «« ¨ ãáâ ­®¢¨âì, â ª¨¬ ®¡à §®¬, ¥¥ ä®à¬ã ¨ ⮯®«®£¨î.

ä䥪⠤¥- § { ¢ ­- «ì䢥­ ï¥âáï ¯¥à¢ë¬ ¢ 楫®¬ àï¤ã ®á樫«ïæ¨- ®­­ëå ¥­¨© ¢ ¬¥â «« å, ­ 室ïé¨åáï ¢ ª¢ ­âãî饬 ¬ £­¨â­®¬ ¯®«¥ ¯à¨ ­¨§- ª¨å ⥬¯¥à âãà å. ¯®¬ï­¥¬, ­ ¯à¨¬¥à, ­ «®£¨ç­ë¥ ®á樫«ï樨 í«¥ªâà®á®¯à®- ⨢«¥­¨ï ¬¥â ««®¢ (íä䥪â ã¡­¨ª®¢ { ¤¥- § ). ᥠí⨠íä䥪âë á¢ï§ ­ë á « ­¤ ã¢áª¨¬ ª¢ ­â®¢ ­¨¥¬ ᯥªâà í«¥ªâà®­®¢ ¢ ¬ £­¨â­®¬ ¯®«¥ (5.80) ¨ á \¯à®- 宦¤¥­¨¥¬" ¤¨áªà¥â­ëå ã஢­¥© ¯®¯¥à¥ç­®£® ¤¢¨¦¥­¨ï ç¥à¥§ ã஢¥­ì ¥à¬¨ ¯à¨ ¨§¬¥­¥­¨¨ ¢­¥è­¥£® ¬ £­¨â­®£® ¯®«ï [21]. ªá¯¥à¨¬¥­â «ì­®¥ ­ ¡«î¤¥­¨¥ íâ¨å íä- 䥪⮢ ï¥âáï ¬®é­ë¬ á।á⢮¬ ¢®ááâ ­®¢«¥­¨ï £¥®¬¥âਨ ॠ«ì­ëå ¯®¢¥àå- ­®á⥩ ¥à¬¨ ¬¥â ««®¢.

101

ë஦¤¥­­ë© ¡®§¥{£ §.

ਠ­¨§ª¨å ⥬¯¥à âãà å ᢮©á⢠¡®§¥-£ § à ¤¨ª «ì­® ®â«¨ç îâáï ®â ᢮©á⢠ä¥à¬¨-£ § . ਠT = 0 ¢á¥ ç áâ¨æë £ § § ­¨¬ îâ á®áâ®ï­¨¥ á ­ ¨¬¥­ì襩 í­¥à- £¨¥© " = 0, ®£à ­¨ç¥­¨©, á¢ï§ ­­ëå á ¯à¨­æ¨¯®¬ 㫨 ¤«ï ­¨å ­¥â. áᬮâਬ

ãà ¢­¥­¨¥ ¤«ï ¯®«­®£® ç¨á« ç áâ¨æ, ®¯à¥¤¥«ïî饥 娬¯®â¥­æ¨ « (5.30) ¢ ¡®§¥¢- ᪮¬ á«ãç ¥:

N g(mT )3=2	1		p
				z
V = p2 2h3	Z0	dz					(5.104)
			ez; T ; 1
᫨ ¯à¨ § ¤ ­­®© ¯«®â­®á⨠£ § N=V ¯®­¨¦ âì ⥬¯¥à âãàã, â® ¨§ (5.104) ¢¨¤­®,
ç⮠娬¨ç¥áª¨© ¯®â¥­æ¨ « , ®áâ ¢ ïáì ®âà¨æ ⥫ì­ë¬, 㬥­ìè ¥âáï ¯®							¡á®«îâ-

­®© ¢¥«¨ç¨­¥. ਠí⮬ ®­ ®¡à é ¥âáï ¢ ­ã«ì ¯à¨ ª®­¥ç­®© ⥬¯¥à âãà¥, ®¯à¥¤¥- «ï¥¬®© à ¢¥­á⢮¬:

N g(mT)3=2	1		p
				z
V = p2 2h3	Z0	dz							(5.105)
			ez ; 1					10
â®ï騩 §¤¥áì ¨­â¥£à « ¥áâì ¯à®áâ® ¡¥§à §¬¥à­ ï ª®­áâ ­â								2:315. ®£¤ , à¥è ï
(5.105) ®â­®á¨â¥«ì­® T, ¯®«ãç ¥¬ å à ªâ¥à­ãî ⥬¯¥à âãàã T0									:
3:31 h2	N	2=3
T0 = g2=3 m	V								(5.106)

­ §ë¢ ¥¬ãî ⥬¯¥à âãன ¡®§¥-ª®­¤¥­á 樨. ¨§¨ç¥áª¨© á¬ëá« í⮣® â¥à¬¨­ , â ª¦¥ ª ª ¨ ¢®§­¨ª î饣® ¯à¨ í⮩ ⥬¯¥à âãॠíä䥪⠬®¦­® ¯®­ïâì ¨§ á«¥¤ã- îé¨å à áá㦤¥­¨©.

ਠT < T0 ãà ¢­¥­¨¥ (5.105) ­¥ ¨¬¥¥â ®âà¨æ ⥫ì­ëå à¥è¥­¨© ¤«ï , ⮣¤ ª ª ¢ áâ â¨á⨪¥ ®§¥ 娬¯®â¥­æ¨ « ¤®«¦¥­ ¡ëâì, ª ª ¯®ª § ­® ¢ëè¥, ®âà¨æ ⥫ì­ë¬ ¯à¨ «î¡ëå ⥬¯¥à âãà å. â® ª ¦ã饥áï ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥ á¢ï§ ­® á ⥬, çâ® ¢ ¤ ­­ëå ãá«®¢¨ïå ­¥§ ª®­¥­ ¯¥à¥å®¤ ®â á㬬¨à®¢ ­¨ï ¯® ª¢ ­â®¢ë¬ á®áâ®ï­¨ï¬ ¢ (5.11) ª ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨î ¯® ­¥¯à¥à뢭®© ¯¥à¥¬¥­­®© (í­¥à£¨¨) ¢ (5.30), (5.104). á ¬®¬ ¤¥«¥, ¯à¨ â ª®¬ ¯¥à¥å®¤¥, ¯¥à¢ë© ç«¥­ ¢ á㬬¥ ¯® k ¢ (5.11), ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ã஢­î á "k = 0, 㬭®¦ ¥âáï ­ p" = 0 (áà. ä®à¬ã«ã ¤«ï ¯«®â­®á⨠á®áâ®ï­¨© (5.28)) ¨ ¯à®áâ® ¢ë¯ ¤ ¥â. á ¬®¬ ¦¥ ¤¥«¥, ¯à¨ ¯®­¨¦¥­¨¨ ⥬¯¥à âãàë T ¡®§¥- ç áâ¨æë ¡ã¤ãâ ᪠¯«¨¢ âìáï ¨¬¥­­® ¢ í⮬ á®áâ®ï­¨¨ á ­ ¨¬¥­ì襩 í­¥à£¨¥©, ¯®ª ¯à¨ T = 0 ­¥ ¯®¯ ¤ãâ â㤠¢á¥.

®í⮬ã, ¢ ¤¥©á⢨⥫쭮áâ¨, ¯à¨ T < T0

¤¥«® ®¡á⮨â á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬.

áâ¨æë á í­¥à£¨¥© " > 0 à á¯à¥¤¥«¥­ë ¯® ä®à¬ã«¥ ( = 0!):

gm3=2V p

"d"

dN" =

p2 2h3

(5.107)

"

eT

; 1

®®â¢¥âá⢥­­®, ¯®«­®¥ ç¨á«® ç áâ¨æ á í­¥à£¨ï¬¨ " > 0 à ¢­®:

gV (mT )3=2

1

p

T

3=2

z

N">0 = Z dN" = p

2h3

Z0

dz

= N

(5.108)

ez ; 1

T0

2

10 ¬¥â¨¬, çâ® â ª ¦¥ ª ª ¨ ¢ á«ãç ¥ ⥬¯¥à âãàë ¥à¬¨, ¤ ­­®¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ ¯® ¯®à浪㠢¥«¨- 稭ë, ä ªâ¨ç¥áª¨, ᮢ¯ ¤ ¥â á ⥬¯¥à âãன ¢ë஦¤¥­¨ï £ § (3.79).

102

	áâ «ì­ë¥	T		3=2
	N"=0 = N "1 ;				#	(5.109)
		T0

ç áâ¨æ ­ 室ïâáï ¢ á®áâ®ï­¨¨ á ­¨§è¥© í­¥à£¨¥© " = 0. ⮠¥­¨¥ ­ ª®¯«¥­¨ï ¬ - ªà®áª®¯¨ç¥áª®£® ç¨á« ç áâ¨æ (ª®­¥ç­®© ç á⨠¯®«­®£® ç¨á« ç áâ¨æ) ­ ­ã«¥¢®¬ ã஢­¥ ¨ ­ §ë¢ ¥âáï ª®­¤¥­á 樥© ®§¥ { ©­è⥩­ . ®¤ç¥àª­¥¬, çâ® à¥çì ¨¤¥â ® \ª®­¤¥­á 樨" ¢ ¨¬¯ã«ìá­®¬ ¯à®áâà ­á⢥ (p = 0), ­¥ ¨¬¥î饩 ­¨ç¥£® ®¡é¥£® á ®¡ëç­®© ª®­¤¥­á 樥© £ § . áâ¨æë ¢ ¡®§¥-ª®­¤¥­á ⥠®¡à §ãîâ ¬ ªà®áª®¯¨ç¥-

᪮¥ ª¢ ­â®¢®¥ á®áâ®ï­¨¥ á ¢¥áì¬

ᯥæ¨ä¨ç¥áª¨¬¨ ᢮©á⢠¬¨.

­¥à£¨ï £ § ¯à¨ T < T0 ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ç áâ¨æ ¬¨ á " > 0 (áà. ä®à¬ã«ã (5.33),

§ ¯¨á ­­ãî ¤«ï = 0):

gV (mT )3=2T

1

z3=2

T

3=2

m3=2T 5=2

E =

p2 2h3

Z0

dz

0:770NT

= 0:128g

h3

V (5.110)

ez ; 1

T0

âáî¤

¯®«ãç ¥¬ ⥯«®¥¬ª®áâì:

@E

5E

T

3=2

Cv =

@T

V

= 2T

(5.111)

­â¥£à¨àãï ⥯«®¥¬ª®áâì, ­ 室¨¬ í­âய¨î:

S = Z0

T Cv

dT =

5E

(5.112)

T

3T

¨ ᢮¡®¤­ãî í­¥à£¨î F = E ; T S:

2

F = ;3 E

(5.113)

«ï ¤ ¢«¥­¨ï £ §

¨¬¥¥¬:

P = ;

@F

0:0851g

m3=2T 5=2

(5.114)

@V T

h3

á ¬®© â®çª¥ T = T0 ¢á¥ à áᬮâ७­ë¥ 䨧¨ç¥áª¨¥ ¢¥«¨ç¨­ë ­¥¯à¥à뢭ë, ­® ¬®¦­® ¯®ª § âì, çâ® ¯à®¨§¢®¤­ ï ⥯«®¥¬ª®á⨠¯® T ¨á¯ëâë¢ ¥â ¢ í⮩ â®çª¥ ᪠- 箪 [1, 2]. ®í⮬ã, â®çª ¡®§¥-ª®­¤¥­á 樨, ä ªâ¨ç¥áª¨, ï¥âáï â®çª®© ­¥ª®- â®à®£® ä §®¢®£® ¯¥à¥å®¤ . ¬¥â¨¬, ¢¯à®ç¥¬, ç⮠᢮©á⢠í⮣® ¯¥à¥å®¤ áãé¥- á⢥­­® § ¢¨áï⠮⠢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï ç áâ¨æ, ª®â®àë¬ ¬ë ¯®«­®áâìî ¯à¥­¥¡à¥£ «¨.

â¥ç¥­¨¥ ¬­®£¨å «¥â ¥­¨¥ ¡®§¥-ª®­¤¥­á 樨 ¢ £ § å ®áâ ¢ «®áì ç¨á⮠⥮- à¥â¨ç¥áª¨¬ १ã«ìâ ⮬, å®âï ¢ ¦­®áâì í⮣® ¥­¨ï ¯à¥ªà á­® ®á®§­ ¢ « áì ¨, ä ªâ¨ç¥áª¨, ¥­¨¥ ¡®§¥-ª®­¤¥­á 樨 ­ ¡«î¤ «®áì ¢ ¥­¨ïå ᢥàå⥪ãç¥á⨠¨ ᢥàå¯à®¢®¤¨¬®á⨠¢ ª®­¤¥­á¨à®¢ ­­ëå ⥫ å (£¤¥, ª®­¥ç­®, à®«ì ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï ï¥âáï ®¯à¥¤¥«ïî饩). ⨠¯à®¡«¥¬ë ¡ã¤ãâ ®¡á㦤 âìáï ­¨¦¥. ¯®á«¥¤­¨¥ £®¤ë, ®¤­ ª®, ¥­¨¥ ¡®§¥-ª®­¤¥­á 樨 㤠«®áì ­¥¯®á।á⢥­­® ­ ¡«î¤ âì ¢ ã­¨- ª «ì­ëå íªá¯¥à¨¬¥­â å á ¯ à ¬¨ 饫®ç­ëå ¬¥â ««®¢, ®å« ¦¤¥­­ë¬¨ ¤® ४®à¤­® ­¨§ª¨å ⥬¯¥à âãà 10;7K ¢ б¯¥ж¨ «м­ле ¬ £­¨в­ле «®¢гиª е. в¨ б¨бв¥¬л, ª ª ®ª § «®бм, ¤®¢®«м­® е®а®и® ®¯¨бл¢ овбп ¨¬¥­­® ¬®¤¥«мо ¯®зв¨ ¨¤¥ «м­®£® ¡®§¥- £ § . в¨ ¨бб«¥¤®¢ ­¨п п¢«повбп б¥©з б ®¤­®© ¨§ ­ ¨¡®«¥¥ ¨­в¥а¥б­ле ¨ ªв¨¢­® а §¢¨¢ ой¨ебп ®¡« бв¥© д¨§¨ª¨ б¨бв¥¬ ¬­®£¨е з бв¨ж [22].

	103
â â¨á⨪	ä®â®­®¢.

¦­¥©и¨¬ ®¡к¥ªв®¬ ¯а¨¬¥­¥­¨п бв в¨бв¨ª¨ ®§¥ п¢«п¥вбп н«¥ªв஬ £­¨в­®¥ ¨§- «гз¥­¨¥, ­ 室пй¥¥бп ¢ а ¢­®¢¥б¨¨ (в.­. ¨§«гз¥­¨¥ з¥а­®£® в¥« ), в.¥. бв в¨бв¨ª д®в®­®¢. ¨­¥©­®бвм га ¢­¥­¨© (¯а¨­ж¨¯ бг¯¥а¯®§¨ж¨¨) н«¥ªвத¨­ ¬¨ª¨ ®§­ - з ¥в ®вбгвбв¢¨¥ ¢§ ¨¬®¤¥©бв¢¨п д®в®­®¢ { ®­¨ ®¡а §гов ¨¤¥ «м­л© £ §. б¨«г ж¥«®з¨б«¥­­®бв¨ б¯¨­ д®в®­®¢ (s = 1) нв® ¥бвм £ § ¡®§®­®¢. ªв¨з¥бª¨ ¢ ¤ ­­®© § ¤ з¥ ¯®¤а §г¬¥¢ ¥вбп ­ «¨з¨¥ б« ¡®£® ¢§ ¨¬®¤¥©бв¢¨п д®в®­®¢ б ¢¥й¥бв¢®¬, ­¥- ®¡е®¤¨¬®¥ ¤«п гбв ­®¢«¥­¨п в¥а¬®¤¨­ ¬¨з¥бª®£® а ¢­®¢¥б¨п. ¥е ­¨§¬, ®¡¥б¯¥- з¨¢ ой¨© гбв ­®¢«¥­¨¥ а ¢­®¢¥б¨п б®бв®¨в ¢ ¯®£«®й¥­¨¨ ¨ ¨б¯гбª ­¨¨ д®в®­®¢ ¢¥й¥бв¢®¬ 11. в® ®¡бв®пв¥«мбв¢® ¯а¨¢®¤¨в ª ¢ ¦­®© ®б®¡¥­­®бв¨ д®в®­­®£® £ § : з¨б«® з бв¨ж N ¢ ­¥¬ ­¥ б®еа ­п¥вбп ¨ ¤®«¦­® ®¯а¥¤¥«пвмбп ¨§ гб«®¢¨© в¥¯«®- ¢®£® а ¢­®¢¥б¨п. а¥¡гп ¬¨­¨¬ «м­®бв¨ б¢®¡®¤­®© н­¥а£¨¨ (¯а¨ § ¤ ­­ле T ¨ V ),

	¯®«ãç ¥¬ ®¤­® ¨§ ãá«®¢¨© í⮣® ¬¨­¨¬ã¬ ¢ ¢¨¤¥:	;	@F			= = 0, â ª ç⮠娬-
			@N		T;V
	¯®â¥­æ¨ « £ § ä®â®­®¢:
	= 0:					(5.115)

ã­ªæ¨ï à á¯à¥¤¥«¥­¨ï ä®â®­®¢ ¯® ª¢ ­â®¢ë¬ á®áâ®ï­¨ï¬ á ®¯à¥¤¥«¥­­ë¬¨ §­ - 祭¨ï¬¨ ¨¬¯ã«ìá hk ¨ í­¥à£¨¨ h! = hck (¨ ®¯à¥¤¥«¥­­ë¬¨ ¯®«ïਧ æ¨ï¬¨ { ¯à®¥ªæ¨ï¬¨ ¨å ᯨ­ ) ¤ ¥âáï ä®à¬ã«®© ®§¥ á = 0:

nk =			1	(5.116)
	e	h!	; 1
		T
çâ® ­ §ë¢ ¥âáï à á¯à¥¤¥«¥­¨¥¬ « ­ª .

ç¨â ï ®¡ê¥¬ V ¤®áâ â®ç­® ¡®«ì訬, ¯¥à¥©¤¥¬ ®¡ëç­ë¬ ®¡à §®¬ ®â ¤¨áªà¥â- ­®£® ª ­¥¯à¥à뢭®¬ã à á¯à¥¤¥«¥­¨î ᮡá⢥­­ëå ç áâ®â ¨§«ã祭¨ï. ¨á«® ª®«¥¡ - ­¨© á ª®¬¯®­¥­â ¬¨ ¢®«­®¢®£® ¢¥ªâ®à k ¢ ¨­â¥à¢ « å d3k = dkxdkydkz à ¢­®, ª ª

¨§¢¥áâ­®, V	d3 k	[8]. ¨á«® ª®«¥¡ ­¨© á		¡á®«îâ­®© ¢¥«¨ç¨­®© ¢®«­®¢®£® ¢¥ªâ®à
	3
	(2 )
¢ ¨­â¥à¢ «¥ k; k + dk ¥áâì:
			V	4 k2dk:	(5.117)
	(2 )3
ᯮ«ì§ãï ! = ck ¨ 㬭®¦ ï ­ 2 (¨¬¥¥âáï ¤¢					­¥§ ¢¨á¨¬ëå ­ ¯à ¢«¥­¨ï ¯®«ï-

ਧ 樨), ¯®«ãç ¥¬ ç¨á«® ª¢ ­â®¢ëå á®áâ®ï­¨© ä®â®­®¢ á ç áâ®â ¬¨ ¢ ¨­â¥à¢ «¥

!; ! + d!:
V !2d!	:	(5.118)
2c3

®£¤ ç¨á«® ä®â®­®¢ ¢ ¤ ­­®¬ ¨­â¥à¢ «¥ ç áâ®â:

dN! =	V			!2d!						(5.119)
		2 3				h!
		c		e		T		;	1
¬­®¦ ï ­ h!, ¯®«ã稬 í­¥à£¨î ¨§«ã祭¨ï, § ª«î祭­ãî ¢ í⮬ ãç á⪥ ᯥªâà :
dE! =	V h			!3d!						(5.120)
	2c3 e				h!		;		1
					T

{ ä®à¬ã«ã « ­ª . ®®â¢¥âáâ¢ãî騩 £à 䨪 ¯®ª § ­ ­ ¨á.5-2. ëà ¦ ï ¢á¥

11 ®à®è¨© ¯à¨¬¥à â ª®© á¨á⥬ë { \५¨ªâ®¢®¥" ¨§«ã祭¨¥ ¢® ᥫ¥­­®©, ®á⠢襥áï ¯®á«¥ \¡®«ì讣® ¢§àë¢ ".

104

¨á. 5-2 ã­ªæ¨ï « ­ª

x3

; x =

h!

.

ex;1

T

ç¥à¥§ ¤«¨­ã ¢®«­ë =

2 c

, ¨¬¥¥¬:

!

dE

=

16 2chV

d

:

(5.121)

5

e

2 hc

; 1

T

ਠ¬ «ëå ç áâ®â å h! T ¨§ (5.120) ¯®«ãç ¥¬ ä®à¬ã«ã í«¥ï { ¦¨­á :

dE! = V		T	!2d!	(5.122)
		2 3
		c

¤¥áì ­¥â § ¢¨á¨¬®á⨠®â h, íâ® ª« áá¨ç¥áª¨© ¯à¥¤¥«, ª®â®àë© ¬®¦­® áà §ã ¦¥ ¯®«ãç¨âì 㬭®¦¥­¨¥¬ (5.118) ­ T , â.¥. ¯à¨¬¥­¥­¨¥¬ § ª®­ à ¢­®à á¯à¥¤¥«¥­¨ï ª ª ¦¤®¬ã ®á樫«ïâ®àã í«¥ªâ஬ £­¨â­®£® ¯®«ï 12. ®¡à â­®¬ ¯à¥¤¥«ì­®¬ á«ãç ¥ h! T (ª¢ ­â®¢ë© ¯à¥¤¥«) ¨§ (5.120) ¯®«ãç ¥¬ ä®à¬ã«ã ¨­ :

		h		h!
	dE! = V		!3e; T		d!	(5.123)
		2c3

«®â­®áâì ᯥªâà «ì­®£® à á¯à¥¤¥«¥­¨ï í­¥à£¨¨ ç¥à­®£® ¨§«ã祭¨ï ¯® ç áâ®â ¬ dE!=d! ¨¬¥¥â ¬ ªá¨¬ã¬ ¯à¨ ! = !m, ®¯à¥¤¥«ï¥¬®© à ¢¥­á⢮¬:

h!m	2:822	(5.124)
T

12 ¥âà㤭® ¢¨¤¥âì, çâ® ¨­â¥£à « (5.122) ¯® ¢á¥¬ ç áâ®â ¬ à á室¨âáï, â ª çâ® í­¥à£¨ï ä®â®­- ­®£® £ § ®ª §ë¢ ¥âáï ¡¥áª®­¥ç­®©. â® â ª ­ §ë¢ ¥¬ ï ã«ìâà 䨮«¥â®¢ ï ª â áâà®ä , ª®â®à ï ¡ë« ®¤­¨¬ ¨§ ᨫì­ëå 㪠§ ­¨© ­ ­¥¤®áâ â®ç­®áâì ª« áá¨ç¥áª®© ⥮ਨ, çâ® ¨ ¯à¨¢¥«® « ­ª ª ¢¢¥¤¥­¨î ª¢ ­â®¢. ¬¥â¨¬, çâ® « ­ª ¯à¥¤«®¦¨« ᢮î ä®à¬ã«ã (5.120), ª ª ¯à®á⥩èãî ¨­- â¥à¯®«ïæ¨î ¬¥¦¤ã (5.122) ¨ íªá¯¥à¨¬¥­â «ì­® ®âªàëâë¬ § ª®­®¬ (5.123).

105

ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯à¨ ¯®¢ë襭¨¨ ⥬¯¥à âãàë ¬ ªá¨¬ã¬ à á¯à¥¤¥«¥­¨ï á¬¥é ¥âáï ¢ áâ®à®­ã ¡®«ìè¨å ç áâ®â ¯à®¯®à樮­ «ì­® T (§ ª®­ ᬥ饭¨ï) 13.

ëç¨á«¨¬ â¥à¬®¤¨­ ¬¨ç¥áª¨¥ ¢¥«¨ç¨­ë ä®â®­­®£® £ § . ਠ= 0 ᢮¡®¤­ ï
í­¥à£¨ï F = ; P V = N + . ®£¤ , ¯®« £ ï = 0 ¨ ¯¥à¥å®¤ï ®â á㬬¨à®¢ ­¨ï
¯® k ª ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨î ¯® ! ¢ (5.12), ¯®«ãç ¥¬:
V	1	d!!2 ln 1	h!
F = T 2c3 Z0			; e; T	(5.125)

¢®¤ï x = h!=T ¨ ¨­â¥£à¨àãï ¯® ç áâï¬, ¯®«ã稬:

		T 4	1					x3
F = ;V				Z0			dx		:	(5.126)
	3 2h3c3							ex ; 1
­â¥£à « §¤¥áì à ¢¥­ 4=15 [1, 2], â ª çâ®:
		2T 4					4
F = ;V						= ; 3c V T 4				(5.127)
		45(hc)3
£¤¥ ª®íää¨æ¨¥­â (¯®áâ®ï­­ ï â¥ä ­			{ ®«ìæ¬ ­ ) à ¢¥­:
			2k4
=						B				(5.128)
			60h3c2
¥á«¨ ¨§¬¥àïâì T ¢ £à ¤ãá å. ­âய¨ï ä®â®­­®£® £ § :
		@F	16				V T 3:
S = ;@T			=							(5.129)
						3c

®«­ ï í­¥à£¨ï ¨§«ã祭¨ï:

E = F + T S = 4c V T4 = ;3F

{ § ª®­ ®«ìæ¬ ­ . ¥¯«®¥¬ª®áâì £ § ä®â®­®¢:

Cv = @E

@T V

¢«¥­¨¥ ¨§«ã祭¨ï:

P = ; @F @V

â ª çâ® \ãà ¢­¥­¨¥ á®áâ®ï­¨ï":

P V

= 16c T 3 T 3:

	=	4 T 4
	T	3c
=	E
	3

(5.130)

(5.131)

(5.132)

(5.133)

çâ® å à ªâ¥à­® ¨¬¥­­® ¤«ï ५ï⨢¨áâ᪮£® £ § ᮠᯥªâ஬ ! = ck. ®«­®¥ (á।- ­¥¥) ç¨á«® ä®â®­®¢ ¯à¨ ¤ ­­®© ⥬¯¥à âãॠ¥áâì:

V

1

!2

V T

3 1

x2

T

3

N =

d!

=

dx

0:244

V:

(5.134)

2c3

Z0

e

h!

; 1

2c3

h3 Z0

ex ; 1

hc

T

13 «ï ª®á¬®«®£¨ç¥áª®£® \५¨ªâ®¢®£®" ¨§«ã祭¨ï íâ®â ¬ ªá¨¬ã¬ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â T 3K.

106

« ¢ 6

¢¥à¤ë¥ ⥫ . ¨§ª¨¥ ⥬¯¥à âãàë.

ªà¨áâ «« å ¯à¨ ­¨§ª¨å ⥬¯¥à âãà å ⮬ë ᮢ¥àè îâ ¬ «ë¥ ª®«¥¡ ­¨ï ¢¡«¨§¨ ­¥ª®â®àëå ¯®«®¦¥­¨© à ¢­®¢¥á¨ï, ®¡à §ãîé¨å ªà¨áâ ««¨ç¥áªãî à¥è¥âªã. ªâ¨- ç¥áª¨, â ª ï ¦¥ á¨âã æ¨ï ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¨ ¢ ¬®àä­ëå ⢥à¤ëå ⥫ å, £¤¥ à ¢­®¢¥á- ­ë¥ ¯®§¨æ¨¨ ­¥ã¯®àï¤®ç¥­ë ¢ ¯à®áâà ­á⢥ 1.

ãáâì N { ¥áâì ç¨á«® ¬®«¥ªã« ( ⮬®¢), ®¡à §ãîé¨å ⢥म¥ ⥫®, { ç¨á«® ⮬®¢ ¢ ¬®«¥ªã«¥ ( = 1, ¥á«¨ ⥫® á®á⮨⠨§ ⮬®¢). ®£¤ ¯®«­®¥ ç¨á«® ⮬®¢ à ¢­® N . § ®¡é¥£® ç¨á« 3N á⥯¥­¥© ᢮¡®¤ë âਠᮮ⢥âáâ¢ãîâ ¯®áâ㯠⥫ì- ­®¬ã ¨ âਠ¢à é ⥫쭮¬ã ¤¢¨¦¥­¨î ⥫ ª ª 楫®£®. ®í⮬ã ç¨á«® ª®«¥¡ ⥫ì- ­ëå á⥯¥­¥© ᢮¡®¤ë ¥áâì 3N ; 6. ãç¥â®¬ ⮣®, çâ® ç¨á«® 3N ®£à®¬­®, ¬®¦­® ᯮª®©­® ¯à¥­¥¡à¥çì ç¨á«®¬ 6 ¨ áç¨â âì ç¨á«® ª®«¥¡ ⥫ì­ëå á⥯¥­¥© ᢮¡®¤ë à ¢­ë¬ ¯à®áâ® 3N .

¨¦¥ ¬л ­¥ гз¨вл¢ ¥¬ ¢®¢б¥ н«¥ªва®­­л¥ бв¥¯¥­¨ б¢®¡®¤л, в ª зв® ¢¥бм ¨§« £ - ¥¬л© ¬ в¥а¨ « ®в­®б¨вбп, бва®£® £®¢®ап, ª ¤¨н«¥ªва¨ª ¬. ¯а®бв¥©и¥¬ ¯а¨¡«¨¦¥- ­¨¨, ¢ ¬¥в «« е ¬®¦­® бз¨в вм, зв® н«¥ªва®­­л¥ ¢ª« ¤л ¢® ¢б¥ в¥а¬®¤¨­ ¬¨з¥бª¨¥ ¢¥«¨з¨­л ¯а®бв® ¤®¡ ¢«повбп ¤¤¨в¨¢­®.

¬¥å ­¨ç¥áª®© â®çª¨ §à¥­¨ï á¨á⥬ã á 3N ª®«¥¡ ⥫ì­ë¬¨ á⥯¥­ï¬¨ ᢮- ¡®¤ë ¬®¦­® à áᬠâਢ âì ª ª ­ ¡®à 3N ­¥§ ¢¨á¨¬ëå ®á樫«ïâ®à®¢, ª ¦¤ë© ¨§ ª®â®àëå (¢ £ ମ­¨ç¥áª®¬ ¯à¨¡«¨¦¥­¨¨) ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ®â¤¥«ì­®¬ã ­®à¬ «ì­®¬ã ª®«¥¡ ­¨î [13]. § ª¢ ­â®¢®© ¬¥å ­¨ª¨ ¨§¢¥áâ­® [7], çâ® í­¥à£¨ï £ ମ­¨ç¥áª®£®

1 ®«ìè ï ç áâì ¯®á«¥¤ãî饣® ¬ â¥à¨ « ®á­®¢ ­ ­ [1, 2].

107

108
®á樫«ïâ®à ¨¬¥¥â ¢¨¤:
1
"n = h! n + 2			(6.1)
£¤¥ h! { ª®«¥¡ ⥫ì­ë© ª¢ ­â, n = 0; 1; 2::: { ª®«¥¡ ⥫쭮¥ ª¢ ­â®¢®¥ ç¨á«®. ®£¤
áâ âá㬬 ®¤­®£® ®á樫«ïâ®à ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª ª:
X
Zosc = 1 e;	h!	(n+1=2):	(6.2)
	T

n=0

г¤¥¬ ®вбз¨вл¢ вм н­¥а£¨о ®бж¨««пв®а ®в ­ ¨¡®«¥¥ ­¨§ª®£® (n = 0) ª®«¥¡ в¥«м- ­®£® га®¢­п, ¢ª«оз¨¢ ­г«¥¢го н­¥а£¨о ¢ ¯®бв®п­­го "0, ®¯а¥¤¥«пойго ­ з «® ®вбз¥в н­¥а£¨¨. ®£¤ :

1

Zosc = X e; h!T n = 1 h! ; (6.3)

n=0 1 ; e; T

᢮¡®¤­ ï í­¥à£¨ï:

			h!
Fosc = T ln 1 ; e; T				:
®®â¢¥âá⢥­­®, ᢮¡®¤­ãî í­¥à£¨î ⢥म£® ⥫				¬®¦­® ­ ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥:
					h!
F = N"0 + T	ln 1 ; e; T							;
X

(6.4)

(6.5)

£¤¥ б㬬¨а®¢ ­¨¥ ¨¤¥в ¯® ¢б¥¬ 3N ­®а¬ «м­л¬ ª®«¥¡ ­¨п¬, ª®в®ал¥ ­г¬¥аговбп ¨­¤¥ªб®¬ . ¤¥бм N"0 { н­¥а£¨п ­г«¥¢ле ª®«¥¡ ­¨©, ª®в®а п, ®з¥¢¨¤­®, ¯а®¯®а- ж¨®­ «м­ з¨б«г ¬®«¥ªг« в¥« , "0 { н­¥а£¨п, ®в­¥б¥­­ п ª ®¤­®© ¬®«¥ªг«¥ ¯а¨

T= 0.

áᬮâਬ ¯à¥¤¥«ì­ë© á«ãç © ­¨§ª¨å ⥬¯¥à âãà. ਠ¬ «ëå T ¢ á㬬¥ ¯®

¨£à îâ à®«ì «¨èì ç«¥­ë á ¬ «ë¬¨ ç áâ®â ¬¨ h! T . ®«¥¡ ­¨ï ¬ «ëå ç áâ®â ¢ ⢥म¬ ⥫¥ { íâ® ®¡ëç­ë¥ §¢ãª®¢ë¥ ¢®«­ë. «¨­ §¢ãª®¢®© ¢®«­ë = u=!, £¤¥ u {

᪮à®áâì §¢ãª . «ï §¢ãª®¢ëå ¢®«­ ¤«¨­ ¢®«­ë ¢¥«¨ª ¯® áà ¢­¥­¨î á ¯®áâ®ï­­®© à¥è¥âª¨ ªà¨áâ «« (¨«¨ á।­¨¬ ¬¥¦ ⮬­ë¬ à ááâ®ï­¨¥¬ ¢ ¬®àä­®¬ ⢥म¬ ⥫¥): a. ®®â¢¥âá⢥­­®, ¨å ç áâ®âë ! u=a. «ï ⮣®, çâ®¡ë ¬®¦­® ¡ë«® à áᬠâਢ âì áãé¥á⢥­­ë¥ ¤«ï ­ á ª®«¥¡ ­¨ï ª ª §¢ãª®¢ë¥ ¢®«­ë, ⥬¯¥à âãà á¨áâ¥¬ë ¤®«¦­ 㤮¢«¥â¢®àïâì ãá«®¢¨î:

T hua :

(6.6)

гбвм в¥«® ¨§®ва®¯­® (нв® ¢¥а­® ¤«п ¬®ад­ле в¥«). ®£¤ ¢ ­¥¬ ¬®£гв а б¯а®- бва ­пвмбп ¯а®¤®«м­л¥ (бª®а®бвм ul) ¨ ¯®¯¥а¥з­л¥ (бª®а®бвм ut) §¢гª®¢л¥ ¢®«­л.а¨ н⮬ ¤«п ¨е з бв®в ¨¬¥¥¬:

! = ulk	¨ ! = utk	(6.7)
£¤¥ k = jkj { ¬®¤ã«ì ¢®«­®¢®£® ¢¥ªâ®à .
¨á«® ᮡá⢥­­ëå ª®«¥¡ ­¨© ¢ ᯥªâॠ§¢ãª®¢ëå ¢®«­ á		¡á®«îâ­®© ¢¥«¨ç¨­®©
¢®«­®¢®£® ¢¥ªâ®à ¢ ¨­â¥à¢ «¥ k; k + dk ¨ á ¤ ­­®© ¯®«ïਧ 樥© à ¢­®:
V	4 k2dk
	(2 )3 :	(6.8)

109

®« £ ï ¤«ï ¯à®¤®«ì­®© ¯®«ïਧ 樨 k = !=ul,

¤«ï ¤¢ãå ¯®¯¥à¥ç­ëå { k = !=ut,

­ 室¨¬, çâ® ¢ ¨­â¥à¢ «¥ ç áâ®â !; ! + d! ¨¬¥¥âáï á«¥¤ãî饥 ç¨á«® ª®«¥¡ ­¨©:

!2d!

1

2

V 2 2

+

:

(6.9)

ul3

ut3

¢¥¤¥¬ ­¥ª®â®àãî á।­îî ᪮à®áâì §¢ãª

u á ¯®¬®éìî á«¥¤ãî饣® ᮮ⭮襭¨ï:

3

=

2

+

1

(6.10)

3

3

3

u

u

t

u

l

®£¤ (6.9) § ¯¨è¥âáï ¢ ¢¨¤¥:

V

3!2d!

:

(6.11)

2

2

3

u

â ª®¬ ¢¨¤¥ íâ® ¢ëà ¦¥­¨¥ ¯à¨¬¥­¨¬® ­¥ ⮫쪮 ª

¬®àä­ë¬ ⥫ ¬, ­® ¨ ª ªà¨-

áâ «« ¬, ¥á«¨ ¯®¤ u ¯®­¨¬ âì ®¯à¥¤¥«¥­­ë¬ ®¡à §®¬ ãá।­¥­­ãî ᪮à®áâì §¢ãª ¢ ªà¨áâ ««¥ ¤ ­­®© ᨬ¬¥âਨ. ®£¤ , ¯¥à¥å®¤ï á ¯®¬®éìî (6.11) ®â á㬬¨à®¢ ­¨ï ¯® ¢ (6.5) ª ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨î ¯® !, ¯®«ã稬:

	3V T	1		h!
F = N"0 +		Z0	d!!2 ln 1 ; e; T			(6.12)
	2 2u3
£¤¥ ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¥ ¬®¦­® ¢¥á⨠¤® ¡¥áª®­¥ç­®á⨠¢¢¨¤ã ¡ëáâன á室¨¬®á⨠¨­-
â¥£à « ¯à¨ ¬ «ëå T. ⢫¥ª ïáì ®â ¢ª« ¤ N"0, ¢¨¤¨¬, çâ® íâ® ¢ëà ¦¥­¨¥ ®â«¨-
ç ¥âáï ®â ¢ëà ¦¥­¨ï (5.125) ¤«ï ᢮¡®¤­®© í­¥à£¨¨ ä®â®­­®£® £ §						«¨èì § ¬¥­®©

᪮à®á⨠ᢥâ c ­ ᪮à®áâì §¢ãª ¨ ¬­®¦¨â¥«¥¬ 3=2, á¢ï§ ­­ë¬ á ⥬, çâ® ã §¢ãª âਠ¯®«ïਧ 樨, ã ä®â®­®¢ { ¤¢¥. ®¡á⢥­­®, £®¢®àï, 㦥 ᥩç á ïá­®, çâ® ¬®¦­® ᪠§ âì, çâ® â¥à¬®¤¨­ ¬¨ª ⢥म£® ⥫ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª¢ ­â ¬¨ §¢ã- ª®¢ëå ª®«¥¡ ­¨© { ä®­®­ ¬¨. ¤¥áì ¬ë ¢¯¥à¢ë¥ áâ «ª¨¢ ¥¬áï á á¨âã 樥©, ª®£¤ ®¯¨á ­¨¥ ¬­®£®ç áâ¨ç­®© á¨á⥬ë (¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîé¨å!) ⮬®¢ (¬®«¥ªã«) ®ª §ë- ¢ ¥âáï ¢®§¬®¦­ë¬ ᢥá⨠ª ¬®¤¥«¨ ¨¤¥ «ì­®£® £ § ª¢ §¨ç áâ¨æ.

ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬®¦­® ¯à®áâ® ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ¯®«ã祭­ë¬¨ ¢ëè¥ ä®à¬ã« ¬¨ ¤«ï ä®â®­­®£® £ § á ᮮ⢥âáâ¢ãî騬¨ § ¬¥­ ¬¨. ë, ®¤­ ª®, ¯®¢â®à¨¬ ¢ëç¨á«¥- ­¨ï ¢ ®¬ ¢¨¤¥. ¯ïâì ¢¢®¤¨¬ ¡¥§à §¬¥à­ãî ¯¥à¥¬¥­­ãî x = h!=T ¨ ¨­â¥£à¨àãï (6.12) ¯® ç áâï¬, ¯®«ãç ¥¬:

T 4

1

x3

2T 4

F = N"0 ; V

Z0

dx

= N"0 ; V

:

(6.13)

2 2h3u3

ex ; 1

30(hu)3

­âய¨ï á¨áâ¥¬ë ¥áâì:

2 2T 3

@F

S = ;@T

= V

:

(6.14)

15(hu)3

­¥à£¨ï E = F + T S:

2T 4

E = N"0 + V

:

(6.15)

10(hu)3

¥¯«®¥¬ª®áâì ⢥म£® ⥫ , ¢ í⮬ ¯à¨¡«¨¦¥­¨¨ (­¨§ª¨¥ ⥬¯¥à âãàë!), ®ª §ë¢ -

¥âáï à ¢­®©:		2 2
@E
C = @T	=		V T3 T 3:	(6.16)
		5(hu)3

¥¯«®¥¬ª®á⨠Cp ¨ Cv §¤¥áì ¬®¦­® ­¥ à §«¨ç âì, ¯®áª®«ìªã ¯à¨ ­¨§ª¨å ⥬¯¥à - âãà å ¨å à §­®áâì Cp ; Cv T 7, â.¥. ï¥âáï ¢¥«¨ç¨­®© ¡®«¥¥ ¢ë᮪®£® ¯®à浪 ¬ «®áâ¨, 祬 á ¬ ⥯«®¥¬ª®áâì [1, 2].