Статистическая физика

[34]1:

240	â â¨áâ¨ç¥áª ï ¬¥å ­¨ª ¨ ⥮à¨ï ¨­ä®à¬ 樨.

		n		n
	H = ;	X	pk ln pk;	X	pk = 1	( .1)
		k=1		k
á ¬®¬ ¤¥«¥, ¢¥«¨ç¨­ H à ¢­		­ã«î, ¥á«¨ ª ª®¥-«¨¡® ¨§ pk = 1,				¢á¥ ®áâ «ì­ë¥
pk = 0, â.¥. ª®£¤	१ã«ìâ â ¨á¯ëâ ­¨ï ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à¥¤áª § ­ á ¤®á⮢¥à­®áâìî ¨
­¥®¯а¥¤¥«¥­­®бвм ¢ ¨­д®а¬ ж¨¨ ®вбгвбв¢г¥в. ¥«¨з¨­ H ¯а¨­¨¬ ¥в ­ ¨¡®«ми¥¥
§­ 祭¨¥, ª®£¤	¢á¥ pk à ¢­ë ¬¥¦¤ã ᮡ®©, â.¥. pk = 1=n. 祢¨¤­®, çâ® íâ®â ¯à¥-

¤¥«м­л© б«гз © ®¡« ¤ ¥в ­ ¨¡®«ми¥© ­¥®¯а¥¤¥«¥­­®бвмо { ­ ¬ ­¨з¥£® ­¥ ¨§¢¥бв­® ®¡ ®в¤¥«м­ле б®¡лв¨пе, ¢б¥ ®­¨ а ¢­®¢¥а®пв­л (в.¥. ¡гª¢л в¥ªбв ¯®п¢«повбп ¡- б®«ов­® б«гз ©­®, ¢ ¯а¨¬¥­¥­¨¨ ª д¨§¨ª¥ ¡б®«ов­® б«гз ©­® а¥ «¨§говбп в¥ ¨«¨ ¨­л¥ б®бв®п­¨п б¨бв¥¬л ¨ в.¯.). ªб¨¬ «м­®бвм ¨­д®а¬ ж¨®­­®© н­ва®¯¨¨ б®®в¢¥вбв¢г¥в ¬ ªб¨¬ «м­®бв¨ ­ и¥£® ­¥§­ ­¨ï ® ᮡëâ¨ïå, ­ è ¨­ä®à¬ æ¨ï ®

­¨å ¬¨­¨¬ «ì­ .
­âய¨ï H ¤¤¨â¨¢­			¤«ï ᮢ®ªã¯­®á⨠­¥§ ¢¨á¨¬ëå ᮡë⨩, ॠ«¨§ãî-
é¨åáï á ¢¥à®ïâ­®áâﬨ ui			¨ vi, â.ª. ¥á«¨ pik = uivk, â®						X
H = ;	X	pik ln pik = ;	X	ui ln ui ;	X	vk ln vk;	X	ui = 1;		vk = 1 ( .2)
	ik		i		k		i		k

«ï à á¯à¥¤¥«¥­¨ï ¢¥à®ïâ­®á⥩ ­¥¯à¥à뢭®© ¢¥«¨ç¨­ë x á ¯«®â­®áâìî f(x) ¨­- ä®à¬ 樮­­ ï í­âய¨ï à ¢­ :

H = ;Z dxf(x) ln f(x);		Z dxf(x) = 1	( .3)
«ï ­¥§ ¢¨á¨¬ëå ᮡë⨩ ®¯ïâì ¨¬¥¥¬	¤¤¨â¨¢­®áâì, ¥á«¨ f(x; y) = f1(x)f2(y), â®:
H = ;Z dx Z dyf(x; y) ln f(x; y) = ;Z	dxf1(x) ln f1(x) ; Z dyf2(y) ln f2(y)		( .4)
«ï ä㭪樨 à á¯à¥¤¥«¥­¨ï (p; q) ¢ ä §®¢®¬ ¯à®áâà ­á⢥ £¨¡¡á®¢áª ï í­âà®-
¯¨ï, ¯® áã⨠¤¥« , ï¥âáï â ª¦¥ ¨ ¨­ä®à¬ 樮­­®© í­âய¨¥©:
S = ;Z d; ln ; Z		d; = 1	( .5)
¨ ¥¥ ¬®¦­® а бб¬ ва¨¢ вм ª ª ¬¥аг ­ и¥£® ­¥§­ ­¨п (®вбгвбв¢¨п ¨­д®а¬ ж¨¨) ®
á®áâ®ï­¨ïå ¬ ªà®áª®¯¨ç¥áª®© 䨧¨ç¥áª®© á¨á⥬ë.
«ï ­á ¬¡«¥© á ¯¥à¥¬¥­­ë¬ ç¨á«®¬ ç áâ¨æ ( .5) ®¡®¡é ¥âáï ª ª:
S = ;N 0 Z d;N N ln N ;		N 0 Z d;N N = 1:	( .6)
X		X

¨¦¥ ¬ë à áᬮâਬ íªáâ६ «ì­ë¥ ᢮©á⢠à á¯à¥¤¥«¥­¨© ¨¡¡á , ãáâ ­®- ¢«¥­­ë¥ ¨¬ § ¤®«£® ¤® ᮧ¤ ­¨ï ⥮ਨ ¨­ä®à¬ 樨. ­¨ «¥£ª® ¯®«ãç îâáï ¨§

à áᬮâ७­®£® ¢ëè¥ ­¥à ¢¥­áâ¢	¨¡¡á (1.187):
Z		0	0
	d; 0	ln		( .7)

£¤¥ ¨ 0 { ¤¢ ­®à¬¨à®¢ ­­ëå à á¯à¥¤¥«¥­¨ï, ®¯à¥¤¥«¥­­ëå ¢ ®¤­®¬ ä §®¢®¬ ¯à®áâà ­á⢥. ­ ª à ¢¥­á⢠¨¬¥¥â ¬¥áâ® «¨èì ¯à¨ = 0.

1 ë ®â¢«¥ª ¥¬áï ®â ­¥áãé¥á⢥­­®£® ¤«ï ­ á ®¡áâ®ï⥫ìá⢠, çâ® ¢ ⥮ਨ ¨­ä®à¬ 樨 ¢ ¤ ­­®¬ ®¯à¥¤¥«¥­¨¨ ®¡ëç­® ¨á¯®«ì§ãîâ ¢¬¥áâ® ln «®£ à¨ä¬ ¯® ®á­®¢ ­¨î 2, â.¥. log2, çâ® á¢ï§ ­® á ¨§¬¥à¥­¨¥¬ ®¡ê¥¬ ¨­ä®à¬ 樨 ¢ ¡¨â å

â â¨áâ¨ç¥áª ï ¬¥å ­¨ª ¨ ⥮à¨ï ¨­ä®à¬ 樨.

241

ªáâ६ «ì­®áâì ¬¨ªà®ª ­®­¨ç¥áª®£® à á¯à¥¤¥«¥­¨ï.

®ª ¦¥¬, çâ® ¬¨ªà®ª ­®­¨ç¥áª®¥ à á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¬ ªá¨¬ã¬ã ¨­ä®à- ¬ 樮­­®© í­âய¨¨ á।¨ ¢á¥å à á¯à¥¤¥«¥­¨© á ⥬ ¦¥ ç¨á«®¬ ç áâ¨æ ¢ ⮬ ¦¥ á«®¥ í­¥à£¨¨. ãáâì { äã­ªæ¨ï à á¯à¥¤¥«¥­¨ï ¬¨ªà®ª ­®­¨ç¥áª®£® ­á ¬¡«ï,0 { ¯à®¨§¢®«ì­ ï äã­ªæ¨ï à á¯à¥¤¥«¥­¨ï, ®¯à¥¤¥«¥­­ ï ¢ ⮬ ¦¥ ä §®¢®¬ ¯à®- áâà ­á⢥ ¨ ¢ ¯à¥¤¥« å ⮣® ¦¥ í­¥à£¥â¨ç¥áª®£® á«®ï, ¯à¨ç¥¬

Z	d; 0 = Z d; = 1	( .8)
®¤áâ ¢«ïï ¨ 0 ¢ ­¥à ¢¥­á⢮ ( .7), ¯®«ãç ¥¬:
; Z d; 0 ln 0 ;Z	d; 0 ln = ;ln Z d; 0 = ;Z d; ln	( .9)

çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì ¤®ª § âì. ( .9) ¬ë ¢®á¯®«ì§®¢ «¨áì ¯®áâ®ï­á⢮¬ ¬¨ªà®ª ­®-

­¨ç¥áª®£® à á¯à¥¤¥«¥­¨ï ¢ í­¥à£¥â¨ç¥áª®¬ á«®¥ ¨ ãá«®¢¨¥¬ ­®à¬¨à®¢ª¨ ¤«ï ¨0.

ªáâ६ «ì­®áâì ª ­®­¨ç¥áª®£® à á¯à¥¤¥«¥­¨ï ¨¡¡á .

®ª ¦¥¬, çâ® ª ­®­¨ç¥áª®¥ à á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¨¡¡á ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¬ ªá¨¬ã¬ã ¨­- ä®à¬ 樮­­®© í­âய¨¨ ¯à¨ § ¤ ­­®© á।­¥© í­¥à£¨¨ á¨á⥬ë:

	< H >= Z d;H	( .10)
¨ ¯à¨ á®åà ­¥­¨¨ ­®à¬¨à®¢ª¨:	Z d; = 1:
		( .11)

áᬮâਬ ª ­®­¨ç¥áª®¥ à á¯à¥¤¥«¥­¨¥:

= Z;1 exp (;H) ; Z = Z d; exp (;H)

( .12)

£¤¥ = 1=T . ãáâì 0 { ­¥ª®â®à®¥ ¤à㣮¥ ­®à¬¨à®¢ ­­®¥ à á¯à¥¤¥«¥­¨¥, ᮮ⢥â- áâ¢ãî饥 ⮩ ¦¥ á ¬®© á।­¥© í­¥à£¨¨, çâ® ¨ ª ­®­¨ç¥áª®¥ à á¯à¥¤¥«¥­¨¥ :

Z d; 0H = Z d;H	( .13)
¢ ®áâ «ì­®¬ 0 ¯à®¨§¢®«ì­®. ®¤áâ ¢«ïï ( .12) ¢ ( .7), ¯®«ã稬:
;Z d; 0 ln 0 ;Z d; 0 ln = ln Z + Z d; 0H = ln Z + Z d;H
â.¥. ; Z d; 0 ln 0 ;Z d; ln	( .14)

çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì ¤®ª § âì.

242	â â¨áâ¨ç¥áª ï ¬¥å ­¨ª ¨ ⥮à¨ï ¨­ä®à¬ 樨.

ªáâ६ «ì­®áâì ¡®«ì讣® ª ­®­¨ç¥áª®£® ­á ¬¡«ï ¨¡¡á .

«ï à §­®®¡à §¨ï ¯à®¢¥¤¥¬ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ¤«ï ª¢ ­â®¢®£® á«ãç ï. ­âய¨ï ª¢ ­- ⮢®£® ­á ¬¡«ï ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª ª:

S = ;Sp ln

( .15)

£¤¥ { ¬ âà¨æ ¯«®â­®áâ¨. ¤¨ £®­ «ì­®¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¨ ¨¬¥¥¬ (áà. (1.175)):

S = ;	X	wk ln wk	( .16)
	k

çâ® ¯àאַ ¨¬¥¥â ¢¨¤ ( .1) ¨­ä®à¬ 樮­­®© í­âய¨¨ ¤«ï ¤¨áªà¥â­®© ¯®á«¥¤®¢ - ⥫쭮á⨠ᮡë⨩.

ªáâ६ «ì­ë¥ ᢮©á⢠ª¢ ­â®¢ëå	­á ¬¡«¥© ¬®¦­® ¯®«ãç¨âì, ¨á¯®«ì§ãï ­¥-
à ¢¥­á⢮:
Sp 0 ln 0	Sp 0 ln	( .17)

£¤¥ ¨ 0 { ¯à®¨§¢®«ì­ë¥ ­®à¬¨à®¢ ­­ë¥ áâ â¨áâ¨ç¥áª¨¥ ®¯¥à â®àë. ¢¥­á⢮

®¯ïâì ¨¬¥¥â ¬¥áâ® «¨èì ¯à¨ = 0. â® ­¥à ¢¥­á⢮ á«¥¤ã¥â ¨§ ln x		1	; 1=x,
çâ® á¯à ¢¥¤«¨¢® ¯à¨ x > 0 (à ¢¥­á⢮ ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¯à¨ x = 1). ®áâ ¢«ïï áî¤
x = 0 ;1 ¨ ãá।­ïï ¯® 0, ¨¬¥¥¬:
Sp 0 ln( 0 ;1) Sp 0(1 ; 0;1) = 0			( .18)

â.ª. ®¡¥ ¬ âà¨æë ¯«®â­®á⨠­®à¬¨à®¢ ­ë ­ ¥¤¨­¨æã, ®¯¥à â®àë ¯®¤ §­ ª®¬ Sp ¬®¦­® ¯¥à¥áâ ¢«ïâì.

®ª ¦¥¬ ⥯¥àì, çâ® ¡®«ì讥 ª ­®­¨ç¥áª®¥ à á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¨¡¡á ᮮ⢥â- áâ¢ã¥â ¬ ªá¨¬ã¬ã ¨­ä®à¬ 樮­­®© í­âய¨¨ ¯à¨ § ¤ ­­®© á।­¥© í­¥à£¨¨:

< H >= Sp H

¨ á।­¥¬ ç¨á«¥ ç áâ¨æ:

< N >= Sp N

¯à¨ á®åà ­¥­¨¨ ­®à¬¨à®¢ª¨:

Sp = 1:

¯¨è¥¬ ¡®«ì讥 ª ­®­¨ç¥áª®¥ à á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¢ ¢¨¤¥:

= exp ; H + N ; e; = Sp exp ;H ; N :

T

T T

®£¤ ¨§ ­¥à ¢¥­á⢠( .17) ¯®«ãç ¥¬ (áç¨â ï, çâ® 0 { «î¡ ï ¤àã£ ï ¬ âà¨æ ­®á⨠á ⥬¨ ¦¥ á।­¨¬¨ ( .19), ( .20),( .21)):

; Sp 0 ln 0 ;Sp 0 ln = ;Sp 0 T ; HT + TN = ;Sp ln

( .19)

( .20)

( .21)

( .22)

¯«®â-

( .23)

çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì! ¤¥áì ¨á¯®«ì§®¢ «¨ ( .19),( .20),( .21), á¯à ¢¥¤«¨¢ë¥ ¤«ï ¨0, â.¥.

Sp 0H = Sp H; Sp 0N = Sp N:

( .24)

â â¨áâ¨ç¥áª ï ¬¥å ­¨ª ¨ ⥮à¨ï ¨­ä®à¬ 樨.		243
áᬮâ७­ë¥	íªáâ६ «ì­ë¥ ᢮©áâ¢	áâ â¨áâ¨ç¥áª¨å ­á ¬¡«¥© ¨¡¡á
¬®¦­® ¯®«®¦¨âì ¢ ®á­®¢ã ¨å ®¯à¥¤¥«¥­¨ï. â® ¤ ¥â ¥é¥ ®¤¨­ ¯®¤å®¤ ª ®¡®á­®-
¢ ­¨î à ¢­®¢¥á­®© áâ â¨áâ¨ç¥áª®© ¬¥å ­¨ª¨2. § íâ¨å ¯®áâ஥­¨© ¢¨¤­®, çâ® í­-
âய¨ï á¥âì ¬¥à	­¥¤®áâ ⪠¨­ä®à¬ 樨 ® ¤¥©á⢨⥫쭮© áâàãªâãॠ¬­®£®ç -

бв¨з­®© б¨бв¥¬л. в®в ­¥¤®бв в®ª ¨­д®а¬ ж¨¨ ¯а¨¢®¤¨в ª ⮬г, зв® ¢®§¬®¦­® ¡®«ми®¥ а §­®®¡а §¨¥ а §«¨з­ле ¬¨ªа®б®бв®п­¨©, ª®в®ал¥ ¬л ¯а ªв¨з¥бª¨ ­¥ ¬®- ¦¥¬ ®в«¨з¨вм ¤аг£ ®в ¤аг£ . ª¨¬ ®¡а §®¬, ­¥¤®бв в®ª ¨­д®а¬ ж¨¨ б®®в¢¥вбв¢г¥в ¤¥©бв¢¨в¥«м­®¬г ¡¥б¯®ап¤ªг ¢ бªалвле бв¥¯¥­пе б¢®¡®¤л. в®в ­¥¤®бв в®ª ¨­д®а- ¬ ж¨¨ ¬ ªб¨¬ «¥­, ª®£¤ б¨бв¥¬ ­ 室¨вбп ¢ а ¢­®¢¥б­®¬ б®бв®п­¨¨, в®£¤ ¬л ¯а ªв¨з¥бª¨ ­¨з¥£® ­¥ §­ ¥¬ ® ¤¥в «пе ¥¥ ¬¨ªа®бвагªвгал, ¢б¥ ®¯а¥¤¥«п¥вбп ­¥- ¡®«ми¨¬ з¨б«®¬ в¥а¬®¤¨­ ¬¨з¥бª¨е ¯ а ¬¥ва®¢. ®¯лвª¨ гв®з­¨вм ¤¥в «¨ ¢­г- ва¥­­¥£® \гбва®©бв¢ " б¨бв¥¬л ­¥¨§¡¥¦­® ¡г¤гв ¢л¢®¤¨вм ¥¥ ¨§ а ¢­®¢¥б­®£® б®- бв®п­¨п (г¬¥­ми вм н­ва®¯¨о).

\ ¥¬®­" ªá¢¥«« ¨ ¥£® ¨§£­ ­¨¥.

­в¥а¥б­л¥ ¨­д®а¬ ж¨®­­л¥ б¯¥ªвл бв в¨бв¨з¥бª®© в¥а¬®¤¨­ ¬¨ª¨ ¬®¦­® а б- ᬮва¥вм ¯а¨ ­ «¨§¥ § ¤ з¨ ® \¤¥¬®­¥" ªб¢¥«« [35]. л в®«мª® зв® ¢¨¤¥«¨, зв® ¯®¯лвª¨ ¢¬¥и вмбп ¢ ¬¨ªа®¯а®ж¥ббл ¢­гва¨ ¬ ªа®бª®¯¨з¥бª®© б¨бв¥¬л, б ж¥«мо ¯а¨®¡а¥в¥­¨п ¨­д®а¬ ж¨¨ ® ¤¥в «пе ¢­гва¥­­¥£® ¤¢¨¦¥­¨п з бв¨ж, ¬®£гв ¢л¢¥- бв¨ б¨бв¥¬г ¨§ б®бв®п­¨п а ¢­®¢¥б¨п. ®§¬®¦­® ¯¥а¢л© ¯а¨¬¥а в ª¨е ¤¥©бв¢¨© ¡л« а бᬮва¥­ ªб¢¥««®¬, ª®в®ал© ¯а¥¤«®¦¨« ¯ а ¤®ªб ® \¤¥¬®­¥" (¬¨ªа®- бª®¯¨з¥бª®¬ бгй¥бв¢¥ ¨«¨ ¢в®¬ в¥), ª®в®ал© \а ¡®в «-¡л" ¯а®в¨¢ ¢в®а®£® ­ - з « в¥а¬®¤¨­ ¬¨ª¨. а®бв¥©и¨© ¢ а¨ ­в в ª®£® \¤¥¬®­ " ¬®¦­® ¯а¥¤бв ¢¨вм б¥¡¥ б«¥¤гой¨¬ ®¡а §®¬. гбвм г ­ б ¨¬¥¥вбп б®бг¤ б £ §®¬, ­ 室пй¨¬бп ¢ б®- бв®п­¨¨ в¥а¬®¤¨­ ¬¨з¥бª®£® а ¢­®¢¥б¨п. гбвм ¢ н⮬ б®бг¤¥ ¨¬¥¥вбп ¯¥а¥£®а®¤ª (а §¤¥«пой п б®бг¤ ­ з бв¨ A ¨ B) б ®в¢¥абв¨¥¬, ª®в®а®¥ б­ ¡¦¥­® ¤¢¥аж¥©. ®£¤ ¬®¦­® ¯а¥¤бв ¢¨вм б¥¡¥, зв® \¤¥¬®­", а б¯®« £ пбм г нв®© ¤¢¥ажл ¬®¦¥в ¯а®¯гб- ª вм з¥а¥§ ®в¢¥абв¨¥ в®«мª® ¡®«¥¥ ¡лбвал¥ ¬®«¥ªг«л £ § , «¥впй¨¥, бª ¦¥¬, ¨§ A

¢ B,	¨§ B ¢ A { ⮫쪮 ¡®«¥¥ ¬¥¤«¥­­ë¥ ¬®«¥ªã«ë. ®£¤ ¯® ¯à®è¥á⢨¨ ­¥ª®-
â®à®£® ¢à¥¬¥­¨, ¯®á«¥ ­ ç « â ª®© ¤¥ï⥫쭮áâ¨, ¢ ç á⨠á®á㤠, ®¡®§­ 祭­®© B
б®¡¥а¥вбп, ¢ ба¥¤­¥¬, ¡®«ми¥ ¡лбвале ¬®«¥ªг«, з¥¬ ¢ з бв¨ A. ¥а¬®¤¨­ ¬¨з¥бª®¥
à ¢­®¢¥á¨¥ ¡ã¤¥â ­ àã襭®, ⥬¯¥à âãà £ § ¢ ç á⨠B áâ ­¥â ¢ëè¥ â¥¬¯¥à âãàë
£ §	¢ ç á⨠B. ª®© ¯à®æ¥áá ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ¢â®à®¬ã ­ ç «ã â¥à¬®¤¨­ ¬¨ª¨,

в ª ­¥ваг¤­® § бв ¢¨вм ¯¥а¥е®¤¨вм в¥¯«® ¢б¥ ¢а¥¬п ¨§ ¡®«¥¥ е®«®¤­®© ®¡« бв¨ £ § ¢ ¡®«¥¥ £®апзго. ¦­® ¯®¤з¥аª­гвм, зв® ¢ ª з¥бв¢¥ \¤¥¬®­ " «¥£ª® ¯а¥¤- бв ¢¨вм б¥¡¥ ­¥ª®в®а®¥ ¢в®¬ в¨з¥бª®¥ гбва®©бв¢®, ª®в®а®¥, в ª¨¬ ®¡а §®¬, ¡г¤¥в ­ аги вм ¢в®а®¥ ­ з «®. ¥¬ ¡®«¥¥, ª ¦¥вбп, зв® \¨­в¥««¥ªвг «м­л© ¤¥¬®­" б¯а - ¢¨вбп б нв®© § ¤ з¥© ¡¥§ ваг¤ . ⮦¥ ¢а¥¬п, ¢в®а®¥ ­ з «® ­®б¨в г­¨¢¥аб «м­л© е а ªв¥а, ¢б¥ ¯а®ж¥ббл ¢ ¯а¨а®¤¥ ¤®«¦­л ¥¬г ¯®¤з¨­пвмбп. ¤¥©бв¢¨в¥«м­®бв¨ нв® в ª ¨ ¥бвм { ­¨ª ª®© \¤¥¬®­" ­¥ ᬮ¦¥в ®¡¥б¯¥з¨вм ¯а®ж¥бб г¬¥­ми¥­¨п н­ва®¯¨¨ ¢

2 ® áã⨠¤¥« , ¬ë ¯à®áâ® ¯®ª § «¨, çâ® à §­ë¥ ¢ ਠ­âë à á¯à¥¤¥«¥­¨ï ¨¡¡á ᮮ⢥â- áâ¢ãîâ ¬ ªá¨¬ã¬ã â¥à¬®¤¨­ ¬¨ç¥áª®© í­âய¨¨ ¯à¨ ¢ë¯®«­¥­¨¨ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¤®¯®«­¨â¥«ì- ­ëå ãá«®¢¨©. â®, ¥áâ¥á⢥­­®, ®¯à¥¤¥«ï¥â ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 à ¢­®¢¥á­ë¥ á®áâ®ï­¨ï.

244	â â¨áâ¨ç¥áª ï ¬¥å ­¨ª ¨ ⥮à¨ï ¨­ä®à¬ 樨.

¨á. -1 ¥¬®­ ªá¢¥«« .

§ ¬ª­ã⮩ á¨á⥬¥, ¢ª«îç î饩 ¥£® á ¬®£®. à ¤®ªá ªá¢¥«« ¢¯¥à¢ë¥ ¡ë« à §- à¥è¥­ 樫« म¬, ¢ १ã«ìâ ⥠¤®¢®«ì­® ¯à®á⮣® ­ «¨§ , ª®â®àë© ¯à¨¢®¤¨âáï ­¨¦¥ [35].

¥«® ¢ ⮬, зв® \¤¥¬®­" ¤®«¦¥­ бг¬¥вм ¯а®­ ¡«о¤ вм ®в¤¥«м­л¥ ¬®«¥ªг«л, б ж¥«мо ®в¤¥«¥­¨п \¡лбвале" ®в \¬¥¤«¥­­ле". ¤«п нв®£® ¥¬г ­г¦­® ¢®б¯®«м§®- ¢ вмбп, ª ª¨¬¨-в® д¨§¨з¥бª¨¬¨ ¬¥в®¤ ¬¨ ­ ¡«о¤¥­¨п, ­ ¯а¨¬¥а, ¬®¦­® ®б¢¥й вм ¬®«¥ªг«л \д®­ а¨ª®¬" ¨ ¯®в®¬ в®«мª® ª ª б«¥¤г¥в \а бᬮва¥¢" ¨е ­ з¨­ вм ¤¥©- бв¢®¢ вм. ®н⮬г, ¨§®«¨а®¢ ­­ п б¨бв¥¬ , ª ª®в®а®© ¬л ¤®«¦­л ¯а¨¬¥­пвм ¢в®а®¥ ­ з «®, б®бв®¨в, ­ б ¬®¬ ¤¥«¥ ¨§:

£ § ¯à¨ ¯®áâ®ï­­®© ⥬¯¥à âãॠT = T0, § ª«î祭­®£® ¢ § ¬ª­ã⮬ á®á㤥 á ¯¥à¥£®à®¤ª®© á ®â¢¥àá⨥¬, à §¤¥«ïî騬 á®á㤠­ ¤¢¥ ¯®«®¢¨­ë,

¤¥¬®­ , ã¯à ¢«ïî饣® ¤¢¥à楩 ¢ ®â¢¥àá⨨,

§ à殮­­®© ¡ â ३ª¨ ¨ í«¥ªâà¨ç¥áª®© « ¬¯®çª¨.

â ३ª ­ £à¥¢ ¥â ­¨âì « ¬¯ë ¤® ¢ë᮪®© ⥬¯¥à âãàë T1 > T0. â® ãá«®¢¨¥

­¥®¡å®¤¨¬® ¤«ï ¯®«ã祭¨ï ᢥâ	á í­¥à£¨¥© ª¢ ­â®¢ h!1 > T0, çâ® ­¥®¡å®¤¨¬® ¤«ï
⮣®, ç⮡ë í⨠ª¢ ­âë ¬®£«¨ à	ᯮ§­ ¢ âìáï ­ ä®­¥ ⥯«®¢®£® ¨§«ã祭¨ï, áãé¥-

áâ¢ãî饣® ¢ á®á㤥 á £ §®¬ ¯à¨ ⥬¯¥à âãॠT0.			¯à®â殮­¨¨ ®¯ëâ ¡ â ३ª
®â¤ ¥â ¯®«­ãî í­¥à£¨î E, ­¨âì « ¬¯®çª¨ ¨§«ãç ¥â íâã í­¥à£¨î ¨ â¥àï¥â í­âய¨î.
§¬¥­¥­¨¥ í­âய¨¨ « ¬¯®çª¨ ¥áâì:
Sf = ;	E		( .25)
	T1

¨ ¢¢®¤¨â ¢ £ § ®âà¨æ ⥫ì­ãî í­âய¨î. ¥§ ¢¬¥è ⥫ìá⢠¤¥¬®­ , í­¥à£¨ï E ¯®- £«®é ¥âáï ¢ £ §¥ ¯à¨ ⥬¯¥à âãॠT0 ¨ ¬ë ­ ¡«î¤ ¥¬ ®¡é¥¥ ¢®§à áâ ­¨¥ í­âய¨¨:

S =	E	+ Sf =	E	;	E	> 0	( .26)
	T0		T0		T1

áᬮâਬ ⥯¥àì à ¡®âã ¤¥¬®­ . ­ ᬮ¦¥â ®¡­ à㦨âì ¬®«¥ªã«ã, ¥á«¨ ¯® ¬¥­ì-

襩 ¬¥à¥ ®¤¨­ ª¢ ­â í­¥à£¨¨ h!1 à áᥨ¢ ¥âáï ¬®«¥ªã«®© ¨ ¯®¯ ¤ ¥â ¢ \£« §" ¤¥¬®­ (¨«¨ ¢ ä®â®¯à¨¥¬­¨ª). â® ®§­ ç ¥â, ¢ ª®­¥ç­®¬ áç¥â¥, 㢥«¨ç¥­¨¥ í­âà®-

¯¨¨ ¤¥¬®­ :

Sd = h!1 ( .27)

T0

â â¨áâ¨ç¥áª ï ¬¥å ­¨ª ¨ ⥮à¨ï ¨­ä®à¬ 樨.						245
®«ã祭­ ï ¨­ä®à¬ æ¨ï ¬®¦¥â ¡ëâì ¨á¯®«ì§®¢ ­				¤«ï 㬥­ì襭¨¨ í­âய¨¨ á¨-
á⥬ë. á室­ ï í­âய¨ï á¨á⥬ë à ¢­ :
S0 = ln 0						( .28)
£¤¥ 0 { áâ â¨áâ¨ç¥áª¨© ¢¥á (§ ¬ª­ã⮩) á¨á⥬ë. ®á«¥ ¯®«ã祭¨ï ¨­ä®à¬ 樨
á¨á⥬ ®¯à¥¤¥«¥­ ¡®«¥¥ ¯®«­®, 0 㬥­ìè ¥âáï ­				­¥ª®â®àãî ¢¥«¨ç¨­ã p0:
1 = 0 ; p						( .29)
â® ¯à¨¢®¤¨â ª 㬥­ì襭¨î í­âய¨¨:
Si = S1 ; S0 = ln( 0 ; p) ; ln 0 ;					p	( .30)
					0
¯®áª®«ìªã ¢® ¢á¥å ¯à ªâ¨ç¥áª¨å á«ãç ïå p 0. ¡é¨© ¡ « ­á í­âய¨¨ ¢ëà ¦ -
¥âáï ᮮ⭮襭¨¥¬:	h!1	p
Sd + Si =	T0 ;	0	> 0			( .31)

â ª ª ª h!1=T0 > 1, ­® p= 0 1. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ ª®­¥ç­®¬ áç¥â¥, í­âய¨ï ¨§®«¨à®¢ ­­®© á¨áâ¥¬ë ¢®§à áâ ¥â, ª ª íâ® ¨ âॡã¥âáï ¨§ ¢â®à®£® ­ ç « â¥à¬®- ¤¨­ ¬¨ª¨.

áᬮâਬ ¢á¥ íâ® çãâì ¯®¤à®¡­¥¥, ­ ¯à¨¬¥à¥ ¨á室­®© ¯®áâ ­®¢ª¨ § ¤ ç¨.।¯®«®¦¨¬, çâ® ¯® ¯à®è¥á⢨¨ ­¥ª®â®à®£® ¢à¥¬¥­¨, ¤¥¬®­ á㬥« ᮧ¤ âì à §- ­®áâì ⥬¯¥à âãà T:

TB > TA; TB ; TA = T
	1		1
TB = T0 +	2	T ;	TA = T0 ; 2	T	( .32)

«¥¥ ¤¥¬®­ ¢л¡¨а ¥в ¡лбваго ¬®«¥ªг«г ¢ ®¡« бв¨ A б ª¨­¥в¨з¥бª®© н­¥а£¨¥© 3 T (1 + "1) ¨ ­ ¯à ¢«ï¥â ¥¥ ¢ ®¡« áâì B. ⥬ ®­ ¢ë¡¨à ¥â ¬¥¤«¥­­ãî ¬®«¥ªã«ã

2 3

¢ B á ª¨­¥â¨ç¥áª®© í­¥à£¨¥© 2 T (1 ; "2) ¨ ¤ ¥â ¥© ¯à®­¨ª­ãâì ¢ A. «ï ⮣® çâ®¡ë ¯à®­ ¡«î¤ âì í⨠¤¢¥ ¬®«¥ªã«ë, ¤¥¬®­ã âॡã¥âáï ¤¢ ᢥ⮢ëå ª¢ ­â ¨, á«¥¤®-

¢ ⥫쭮, ¨¬¥¥âáï 㢥«¨ç¥­¨¥ ¥£® í­âய¨¨:

Sd = 2h!1 > 2 T0

¡¬¥­ ¬®«¥ªã« ¬¨ ¯à¨¢®¤¨â ª ¯¥à¥­®áã ¨§ A ¢ B í­¥à£¨¨:

3

Q = 2T ("1 + "2)

çâ®, á ãç¥â®¬ ( .32), ᮮ⢥âáâ¢ã¥â 㬥­ì襭¨î ¯®«­®© í­âய¨¨:

1 1						T	3			T
Si = Q		;		; Q		T 2	= ;2	("1	+ "2)		:
	TB		TA							T
¥«¨ç¨­ë "1 ¨ "2 ᪮॥ ¢á¥£® ¬ «ë, T T , ¨ ¯®í⮬ã:
3					1;
Si = ;2 ;						â ª çâ®
Sd + Si = 2					h!1	3
					T0 ; 2 > 0

( .33)

( .34)

( .35)

( .36)

246	â â¨áâ¨ç¥áª ï ¬¥å ­¨ª ¨ ⥮à¨ï ¨­ä®à¬ 樨.

ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¢â®à®¬ã ­ ç «ã â¥à¬®¤¨­ ¬¨ª¨.

®¦­® à áᬮâà¥âì ¨ ¤à㣮© ¯à¨¬¥à { ¤¥¬®­ ¯à¨ ­¨§ª®© ⥬¯¥à âãॠ(­ ¯à¨¬¥à ¢ ªà¨®áâ â¥), ⮣¤ ¥£® ⥬¯¥à âãà T2 T0. ਠí⮬ ®­ ¬®¦¥â \«®¢¨âì" ª¢ ­âë h!, ¨á¯ã᪠¥¬ë¥ ¬®«¥ªã« ¬¨ £ § ¯à¨ ⥬¯¥à âãॠT0. ®£¤ ¢¬¥áâ® à áᬮâ७­ëå

¢ëè¥ ãá«®¢¨© T1 > T0 ¨ h!1 > T0 ¨¬¥¥¬ ­¥à ¢¥­á⢠h! > T2 ¨ T2 < T0, б ª®в®ал¬¨ ¢б¥ ­ и¨ а бб㦤¥­¨п ¯®¢в®аповбп. б¥£¤ ­г¦­ ­¥ª®в®а п а §­®бвм в¥¬¯¥а вга, ¢ ¯а®в¨¢­®¬ б«гз ¥ ¤¥¬®­ ­¥ ¡г¤¥в а ¡®в вм, ­® ба ¡®в вм ¯а®в¨¢ ¢в®а®£® ­ з « ®­ ­¥ ᬮ¦¥в ­¨ª®£¤ .

®«ã祭­ë¥ १ã«ìâ âë ¢ëà ¦ îâ ®ç¥­ì ¢ ¦­ë© 䨧¨ç¥áª¨© § ª®­: 䨧¨ç¥- ᪮¥ ¨§¬¥à¥­¨¥ ¯à¨¢®¤¨â, ¢ ª®­¥ç­®¬ ¨â®£¥, ª ᮮ⢥âáâ¢ãî饬ã 㢥«¨ç¥­¨î í­- âய¨¨. ¬¥¥âáï ­¥ª®â®àë© ­¨¦­¨© ¯à¥¤¥«, ­¨¦¥ ª®â®à®£® ¨§¬¥à¥­¨¥ áâ ­®¢¨âáï ­¥¢®§¬®¦­ë¬. àã¡® íâ®â ¯à¥¤¥« ᮮ⢥âáâ¢ã¥â 㬥­ì襭¨î í­âய¨¨ 1( kB).®«¥¥ âé ⥫쭮¥ ¨áá«¥¤®¢ ­¨¥ ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® â®ç­®¥ §­ 祭¨¥ í⮣® ¯à¥¤¥« ¥áâì kB ln2 0:7kB ­ ®¤¨­ ¡¨â ¯®«ã祭­®© ¨­ä®à¬ 樨 [35].

â®, ®¤­ ª®, ­¥ ª®­¥æ ¨áâ®à¨¨ á ¤¥¬®­®¬ ªá¢¥«« . ®âï ¢á¥ ¯à¨¢¥¤¥­­ë¥ ¢ëè¥ à áá㦤¥­¨ï ­¥á®¬­¥­­® á¯à ¢¥¤«¨¢ë, ¡®«¥¥ ¯®§¤­¨¥ ¨áá«¥¤®¢ ­¨ï ¯®ª § «¨, çâ® ¢ ¯à¨­æ¨¯¥ áãé¥áâ¢ãîâ á¯®á®¡ë ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ¯®«®¦¥­¨ï ¬®«¥ªã«, ­¥ á¢ï§ ­­ë¥ á ¨å ®¡«ã祭¨¥¬ ᢥ⮬ ¨ ­¥ ¯à¨¢®¤ï騥 ª ᮮ⢥âáâ¢ãî饬ã à®áâã í­âய¨¨ [37].®®¡é¥ ®ª § «®áì, çâ® ­¥ª®â®àë¥ ®¯¥à 樨 ®¡à ¡®âª¨ ¤ ­­ëå, ¢ª«îç ï, ­ ¯à¨¬¥à, ¯¥à¥§ ¯¨áì ¤ ­­ëå á ®¤­®£® ãáâனá⢠­ ¤à㣮¥, ¬®£ãâ ¡ëâì (¯à¨ ®¯à¥¤¥«¥­­ëå ãá«®¢¨ïå) ᢮¡®¤­ë ®â â¥à¬®¤¨­ ¬¨ç¥áª¨å ®£à ­¨ç¥­¨©. à¨ç¨­ ¦¥, ¯® ª®â®à®© ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ¤¥¬®­ ¢á¥ à ¢­® ­¥ ᬮ¦¥â ­ àãè¨âì ¢â®à®¥ ­ ç «®, á®á⮨⠢ ⮬, çâ® ¤«ï ⮣® çâ®¡ë ®¯à¥¤¥«¨âì ¯®«®¦¥­¨¥ ¬®«¥ªã«ë, ®­ ¤®«¦¥­ á­ ç « \§ - ¡ëâì" ® १ã«ìâ ⥠¯à¥¤ë¤ã饣® ¨§¬¥à¥­¨ï, â.¥. ã­¨ç⮦¨âì ¨­ä®à¬ æ¨î (\à á- ¯« â¨âìáï" ¢ â¥à¬®¤¨­ ¬¨ç¥áª®¬ á¬ëá«¥)3. ®®â¢¥âáâ¢ãî饥 ®ç¨é¥­¨¥ ¯ ¬ï⨠(­ ¯à¨¬¥à ª®¬¯ìîâ¥à ) ¥áâì â¥à¬®¤¨­ ¬¨ç¥áª¨ ­¥®¡à ⨬ ï ®¯¥à æ¨ï, ¯à¨¢®¤ï- é ï ª ®¡é¥¬ã ¢®§à áâ ­¨î í­âய¨¨ § ¬ª­ã⮩ á¨á⥬ë4. ë ­¥ ¡ã¤¥¬ ¯®¤à®¡­® à áᬠâਢ âì í⨠¨­â¥à¥á­ë¥ ¢®¯à®áë, ¤¥â «¨ ¬®¦­® ­ ©â¨ ¢ [36, 37].

3 î¡®¥ á®áâ®ï­¨¥ ¯ ¬ï⨠ª®¬¯ìîâ¥à ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ᢮¨¬ 䨧¨ç¥áª¨¬ á®áâ®ï­¨¥¬ (­ ¡®à®¬ ⮪®¢, ­ ¯à殮­¨©, ­ ¬ £­¨ç¥­­®áâìî ¨ â.¯.).

4 ᫨ ¤¥¬®­ ®¡« ¤ ¥â ®ç¥­ì ¡®«ì让 ¯ ¬ïâìî, ®­ ¬®¦¥â, ª®­¥ç­®, ¯à®áâ® § ¯®¬­¨âì १ã«ì- â âë ¢á¥å ¨§¬¥à¥­¨©. ®£¤ «®£¨ç¥áª¨ ­¥®¡à â¨¬ë¥ è £¨ ᮢ¥àè âìáï ­¥ ¡ã¤ãâ. ஡«¥¬ , ®¤­ ª®, ¢ ⮬, çâ® â ª ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì è £®¢ ­¥ ï¥âáï â¥à¬®¤¨­ ¬¨ç¥áª¨¬ 横«®¬. ¥¬®­ ¯à¨ í⮬ 㢥«¨ç¨¢ ¥â í­âய¨î ᢮¥© ¯ ¬ïâ¨, ç⮡ë 㬥­ìè¨âì í­âய¨î ®ªà㦠î饩 á।ë.

ਫ®¦¥­¨¥

¨­¥â¨ç¥áª¨¥ ãà ¢­¥­¨ï.

¨­¥â¨ç¥áª®¥ ãà ¢­¥­¨¥ ®«ìæ¬ ­ .

áᬮâਬ ¢ë¢®¤ ®á­®¢­®£® ãà ¢­¥­¨ï ª¨­¥â¨ç¥áª®© ⥮ਨ £ §®¢, ®¯à¥¤¥«ïî饣® äã­ªæ¨î à á¯à¥¤¥«¥­¨ï f(p; r; t) ¤«ï ®â¤¥«ì­ëå ⮬®¢ ¢ ®¡é¥¬ ­¥à ¢­®¢¥á­®¬ á«ãç ¥ 1. â® ãà ¢­¥­¨¥ ï¥âáï ®á­®¢­ë¬ ¯à¨ à¥è¥­¨¨ ¬­®¦¥á⢠§ ¤ ç ä¨- §¨ç¥áª®© ª¨­¥â¨ª¨ £ §®¢ [5, 17]. ­ «®£¨ç­ë¥ ª¢ ­â®¢ë¥ ª¨­¥â¨ç¥áª¨¥ ãà ¢­¥­¨ï ®¯¨áë¢ îâ ­¥à ¢­®¢¥á­ë¥ ¯à®æ¥ááë ¢ £ § å ª¢ §¨ç áâ¨æ ¢ ª¢ ­â®¢ëå ¦¨¤ª®áâïå ¨ ⢥à¤ëå ⥫ å ¯à¨ ­¨§ª¨å ⥬¯¥à âãà å.

᫨ á⮫ª­®¢¥­¨ï¬¨ ⮬®¢ ¬®¦­® ¡ë«® ¡ë ¯à¥­¥¡à¥çì, â® ª ¦¤ë© ⮬ ¯à¥¤- áâ ¢«ï« ¡ë ᮡ®© § ¬ª­ãâãî ¯®¤á¨á⥬㠨 ¤«ï ä㭪樨 à á¯à¥¤¥«¥­¨ï ¡ë« ¡ë á¯à ¢¥¤«¨¢ ⥮६ ¨ã¢¨««ï, ¢ ᨫ㠪®â®à®©

df	= 0	( .1)
dt

®«­ п ¯а®¨§¢®¤­ п ®§­ з ¥в §¤¥бм ¤¨дд¥а¥­ж¨а®¢ ­¨¥ ¢¤®«м д §®¢®© ва ¥ªв®а¨¨ ⮬ , ®¯а¥¤¥«п¥¬®© га ¢­¥­¨п¬¨ ¤¢¨¦¥­¨п. ®вбгвбв¢¨¥ ¢­¥и­¥£® ¯®«п ¢¥«¨з¨­ ¨¬¯г«мб б¢®¡®¤­® ¤¢¨¦гй¥£®бп ⮬ ®бв ¥вбп ¯®бв®п­­®©, ¬¥­повбп в®«мª® ¥£® ª®®а¤¨­ вл r. ®£¤

dfdt = @f@t + vrf

( .2)

1 ëè¥, ¯à¨ à áᬮâ७¨¨ ¡®«ìæ¬ ­®¢áª®© áâ â¨á⨪¨ (á¬. ­ ¯à¨¬¥à (3.8), (3.28) ¨ â.¯.), íâ äã­ªæ¨ï à á¯à¥¤¥«¥­¨ï ®¡®§­ ç « áì ª ª n(p; q). «ï ¯à®áâ®âë ¬ë ®£à ­¨ç¨¬áï à áᬮâ७¨¥¬ ®¤­® ⮬­ëå £ §®¢.

247

248	¨­¥â¨ç¥áª¨¥ ãà ¢­¥­¨ï.

£¤¥ v { ᪮à®áâì. ᫨ ¦¥ £ § ­ 室¨âáï ¢® ¢­¥è­¥¬ ¯®«¥ U(r), â®

df		@f	@f
dt	=	@t	+ vrf + F@p	( .3)

£¤¥ F = ;rU { б¨« , ¤¥©бв¢гой п ­ ⮬ б® бв®а®­л ¯®«п. ¤ «м­¥©и¥¬ ¤«п ªа вª®бв¨ ¯®« £ ¥¬, зв® ¢­¥и­¥¥ ¯®«¥ ®вбгвбв¢г¥в ¨ F = 0.

ç¥â á⮫ª­®¢¥­¨© ­ àãè ¥â à ¢¥­á⢮ ( .1), äã­ªæ¨ï à á¯à¥¤¥«¥­¨ï ¯¥à¥á⠥⠡ëâì ¯®áâ®ï­­®© ¢¤®«ì ä §®¢ëå âà ¥ªâ®à¨© ¨ ¢¬¥áâ® ( .1) ­ã¦­® ­ ¯¨á âì:

dfdt = St f

( .4)

£¤¥ ᨬ¢®« St f ®¡®§­ ç ¥â ᪮à®áâì ¨§¬¥­¥­¨ï ä㭪樨 à á¯à¥¤¥«¥­¨ï ¡« £®¤ àï á⮫ª­®¢¥­¨ï¬. ᯮ«ì§ãï ( .2) ¬®¦¥¬ ­ ¯¨á âì:

@f@t = ;vrf + St f;

( .5)

çâ® ®¯à¥¤¥«ï¥â ¯®«­®¥ ¨§¬¥­¥­¨¥ ä㭪樨 à á¯à¥¤¥«¥­¨ï ¢ § ¤ ­­®© â®çª¥ ä §®- ¢®£® ¯à®áâà ­á⢠, £¤¥ ¯¥à¢®¥ á« £ ¥¬®© ¢ ¯à ¢®© ç á⨠¥áâì ã¡ë«ì ç¨á« ⮬®¢ ¢ § ¤ ­­®¬ í«¥¬¥­â¥ ä §®¢®£® ¯à®áâà ­á⢠, á¢ï§ ­­ ï á ¨å ᢮¡®¤­ë¬ ¤¢¨¦¥­¨¥¬.¥«¨ç¨­ã St f ­ §ë¢ îâ ¨­â¥£à «®¬ á⮫ª­®¢¥­¨©, ãà ¢­¥­¨¥ ( .4) { ª¨­¥â¨- ç¥áª¨¬ ãà ¢­¥­¨¥¬.

®­¥ç­®, ª¨­¥â¨ç¥áª®¥ ãà ¢­¥­¨¥ ¯à¨®¡à¥â ¥â á¬ë᫠⮫쪮 ¯®á«¥ ãáâ ­®¢«¥- ­¨ï ®£® ¢¨¤ ¨­â¥£à « á⮫ª­®¢¥­¨©. «ï ª ç¥á⢥­­®£® ­ «¨§ ª¨­¥â¨ç¥- ᪨å ¥­¨© ¢ £ §¥ ç áâ® ¨á¯®«ì§ã¥âáï £àã¡ ï ®æ¥­ª ¨­â¥£à « á⮫ª­®¢¥­¨© á

¯®¬®éìî ¯®­ïâ¨ï ¢à¥¬¥­¨ ᢮¡®¤­®£® ¯à®¡¥£				{ á।­¥£® ¢à¥¬¥­¨ ¬¥¦¤ã ¤¢ã¬ï
¯®á«¥¤®¢ ⥫ì­ë¬¨ á⮫ª­®¢¥­¨ï¬¨	⮬®¢ ( { ¯à¨¡«¨¦¥­¨¥):
St f	;	f	; f0	( .6)

£¤¥ f0 { а ¢­®¢¥б­ п дг­ªж¨п а б¯а¥¤¥«¥­¨п. ¨б«¨в¥«м нв®£® ¢ла ¦¥­¨п ®¡¥б- ¯¥з¨¢ ¥в ®¡а й¥­¨¥ ¨­в¥£а « бв®«ª­®¢¥­¨© ¢ ­г«м ¢ а ¢­®¢¥б­®¬ б«гз ¥, §­ ª ¬¨­гб ¢ла ¦ ¥в в®в д ªв, зв® бв®«ª­®¢¥­¨п п¢«повбп ¬¥е ­¨§¬®¬ гбв ­®¢«¥­¨п бв в¨бв¨з¥бª®£® а ¢­®¢¥б¨п, в.¥. бва¥¬пвбп г¬¥­ми¨вм ®вª«®­¥­¨¥ дг­ªж¨¨ а б¯а¥- ¤¥«¥­¨п ®в а ¢­®¢¥б­®©. н⮬ б¬лб«¥ ¢¥«¨з¨­ ¨£а ¥в а®«м ¢а¥¬¥­¨ а¥« ªб ж¨¨ ¤«п гбв ­®¢«¥­¨п а ¢­®¢¥б¨п ¢ ª ¦¤®¬ н«¥¬¥­в¥ ®¡к¥¬ £ § .

®á«¥¤®¢ ⥫ì­ë© ¢ë¢®¤ ¨­â¥£à « á⮫ª­®¢¥­¨© ¢ ª« áá¨ç¥áª®¬ £ §¥ ¬®¦­® ¯à®¢¥á⨠¬¥â®¤®¬ ®£®«î¡®¢ , ª®â®àë© ¤ ¥â ॣã«ïà­ãî ¯à®æ¥¤ãàã ¯®«ã祭¨ï ­¥ ⮫쪮 ¯à®á⥩襣® ãà ¢­¥­¨ï ®«ìæ¬ ­ (ª®â®à®¥ ­¥á«®¦­® ¯®«ãç¨âì ¨ ¨§ ç¨áâ® í¢à¨áâ¨ç¥áª¨å á®®¡à ¦¥­¨© [17]), ­® ¨ ¯®¯à ¢®ª ª ­¥¬ã. ¨¦¥ ¬ë, ®¤­ ª®, ®£à ­¨- 稬áï «¨èì ¢ë¢®¤®¬ ¨¬¥­­® ¡®«ìæ¬ ­®¢áª®£® ¨­â¥£à « á⮫ª­®¢¥­¨©, 祣® ¢¯®«­¥ ¤®áâ â®ç­® ¤«ï ¨««îáâà 樨 ®¡é¥£® ¬¥â®¤ .

á室­ë¬ ¯ã­ªâ®¬ ¬¥â®¤ ®£®«î¡®¢ ï¥âáï ¨á¯®«ì§®¢ ­¨¥ 楯®çª¨ ãà ¢- ­¥­¨© ¤«ï ç áâ¨ç­ëå ä㭪権 à á¯à¥¤¥«¥­¨ï (1.93):

						XZ
@Fs =	f	H(s); Fs	g	+	N s		@U(jri ; rs+1j) @Fs+1 drs+1dps+1		( .7)
@t					V	i=1	@ri	@pi

¨­¥â¨ç¥áª¨¥ ãà ¢­¥­¨ï.

249

ª®­¥ç­®¬ áç¥â¥ ¬ë ¤®«¦­ë ¯®áâநâì

§ ¬ª­ã⮥ ãà ¢­¥­¨¥ ¤«ï ®¤­®ç áâ¨ç­®©

ä㭪樨 à á¯à¥¤¥«¥­¨ï f(

p r

N

r p

2

.

; ; t) = V F1( ; ; t)

«ï F1(

r

p

; ; t) ¨§ ( .7) ¨ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ᪮¡®ª ã áá®­ ­¥¬¥¤«¥­­® ¨¬¥¥¬ ¯¥à¢®¥

ãà ¢­¥­¨¥ 楯®çª¨ ¢ ¢¨¤¥:

@F1(t; 1)

@F1(t; 1)

N

@U12 @F2(t; 1; 2)

@t

+ v1

@r1

=

V Z

@r1

@p1

d 2

( .8)

£¤¥, ¤«ï ªà ⪮áâ¨, ¢¢¥¤¥­ë

à£ã¬¥­âë

= r; p.

­ «®£¨ç­ë¬ ®¡à §®¬, ¢â®à®¥ ãà ¢­¥­¨¥ 楯®çª¨ ¨¬¥¥â ¢¨¤:

@F2

@F2

@F2

@U12 @F2

;

@U12 @F2

@t

+ v1 @r1

+ v2 @r2 ;

@r1 @p1

@r2 @p2

=

N

@F3 @U13

@F3 @U23

=

V Z d 3

@p1

@r1 + @p2 @r2

( .9)

¥âà㤭® ã¡¥¤¨âìáï, çâ® ¨­â¥£à «, áâ®ï騩 ¢ ¯à ¢®© ç á⨠¯®á«¥¤­¥£® ãà ¢­¥­¨ï ¬ «. á ¬®¬ ¤¥«¥, ¯®â¥­æ¨ « ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï U(r) § ¬¥â­® ®â«¨ç¥­ ®â ­ã«ï ⮫쪮 ¢ ¯à¥¤¥« å à ¤¨ãá ¤¥©á⢨ï ᨫ d, â.¥. ¯à¨ r < d. ®í⮬㠢 à áᬠâਢ ¥¬®¬ ¨­â¥£à «¥ ¯® d 3 ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¥ ¯® ª®®à¤¨­ â ¬ ¯à®¨á室¨â ä ªâ¨ç¥áª¨ «¨èì ¯®

1

j

;

j

j

;

j

®¡« áâï¬

r1

r3

< d ¨«¨

r2

r3

< d, â.¥. ¯® ®¡ê¥¬ã

d3. ᯮ«ì§ãï (1.81)

¨¬¥¥¬

F3d 3 = F2, £¤¥ ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¥ ¢¥¤¥âáï ¯® ¢á¥¬ã ä §®¢®¬ã ®¡ê¥¬ã. ®£¤

V

¯®«ãç ¥¬Rб«¥¤гойго ®ж¥­ªг:

N

@F3

@U13

@U(r) @F2 d3

V Z

@p1

@r1

d 3

@r @p1 a3

( .10)

£¤¥ a { á।­¥¥ à ááâ®ï­¨¥ ¬¥¦¤ã ç áâ¨æ ¬¨ ¢ £ §¥. ®£¤ ïá­®, çâ® ¯à ¢ ï áâ®- à®­ ãà ¢­¥­¨ï ( .9) ¬ « ¯® ¯ à ¬¥âàã (d=a)3 (£ § áç¨â ¥âáï ¤®áâ â®ç­® à §à¥- ¦¥­­ë¬!) ¯® áà ¢­¥­¨î á ç«¥­ ¬¨, ᮤ¥à¦ 騬¨ @U=@r ¢ «¥¢®© ç áâ¨. ®í⮬㠥© ¬®¦­® ¯à®áâ® ¯à¥­¥¡à¥çì. ®¢®ªã¯­®áâì á« £ ¥¬ëå ¢ «¥¢®© ç á⨠ãà ¢­¥­¨ï ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¯®«­ãî ¯à®¨§¢®¤­ãî dF2=dt, ¢ ª®â®à®© r1; r2; p1; p2 à áᬠâà¨- ¢ îâáï ª ª ä㭪樨 ¢à¥¬¥­¨, 㤮¢«¥â¢®àïî騥 ãà ¢­¥­¨ï¬ ¤¢¨¦¥­¨ï ¤«ï § ¤ ç¨ ¤¢ãå ⥫ á £ ¬¨«ìâ®­¨ ­®¬:

	p2					p2
H =	1			+		2	+ U(jr1 ; r2j)	( .11)
	2m					2m
ª¨¬ ®¡à §®¬, ¨¬¥¥¬:		d
			F2		(t; 1; 2) = 0			( .12)
		dt

® á¨å ¯®à ­ è¥ à áᬮâ७¨¥ ­®á¨«® ç¨áâ® ¬¥å ­¨ç¥áª¨© å à ªâ¥à. «ï ¢ë- ¢®¤ ª¨­¥â¨ç¥áª®£® ãà ¢­¥­¨ï ­¥®¡å®¤¨¬® ᤥ« âì ­¥ª®â®àë¥ ¯à¥¤¯®«®¦¥­¨ï áâ - â¨áâ¨ç¥áª®£® е а ªв¥а . ¨¬¥­­®, ¯а¥¤¯®«®¦¨¬, зв® ¢б¥ бв «ª¨¢ ой¨¥бп ¢ а §- а¥¦¥­­®¬ £ §¥ з бв¨жл п¢«повбп бв в¨бв¨з¥бª¨ ­¥§ ¢¨б¨¬л¬¨. в® гв¢¥а¦¤¥­¨¥ ¡г¤¥в ¨£а вм а®«м ­ з «м­®£® гб«®¢¨п ª ¤¨дд¥а¥­ж¨ «м­®¬г га ¢­¥­¨о ( .12).¬¥­­® ®­® ¢­®б¨в б¨¬¬¥ва¨о ¯® ®в­®и¥­¨о ª ®¡®¨¬ ­ ¯а ¢«¥­¨п¬ ¢а¥¬¥­¨, ¢ а¥§г«мв в¥ з¥£® ¨§ ¨­¢ а¨ ­в­ле ª ®¡а й¥­¨о ¢а¥¬¥­¨ га ¢­¥­¨© ¬¥е ­¨ª¨ ¯®- «гз ¥вбп ­¥®¡à ⨬®¥ ª¨­¥â¨ç¥áª®¥ ãà ¢­¥­¨¥. ãâì ¤¥« §¤¥áì ¢ ⮬, çâ® ª®àà¥- «ïæ¨ï ¬¥¦¤ã ª®®à¤¨­ â ¬¨ ¨ ¨¬¯ã«ìá ¬¨ ç áâ¨æ £ § ¢®§­¨ª ¥â «¨èì ¢ â¥ç¥­¨¥

2 ã­ªæ¨ï à á¯à¥¤¥«¥­¨ï f(p;r) ­®à¬¨à®¢ ­ ­ ¯®«­®¥ ç¨á«® ç áâ¨æ (3.28), F1(r; p; t) ­ ¥¤¨­¨æã, ᮣ« á­® (1.80).