Статистическая физика

70
£¤¥ ¨ "0 ¤¢¥ ª®­áâ ­âë ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï. ®£¤ ¨§ (3.45) ¯®«ãç ¥¬ ᢮¡®¤­ãî í­¥à-
£¨î ¢ ¢¨¤¥:
F = N"0 ; NT ln eVN ; NcvT ln T ; N T	(3.56)

®áâ®ï­­ ï ­ §ë¢ ¥âáï 娬¨ç¥áª®© ¯®áâ®ï­­®© £ § , ¤«ï ª®­ªà¥â­®£® £ § ®­ , â ª¦¥ ª ª ¨ ⥯«®¥¬ª®áâì, ¬®¦¥â ¡ëâì ®¯à¥¤¥«¥­ íªá¯¥à¨¬¥­â «ì­®. âáî¤ , á ¯®¬®éìî (3.52), ¯®«ãç ¥¬ ¢­ãâ७­îî í­¥à£¨î ¢ ¢¨¤¥ «¨­¥©­®© ä㭪樨 ⥬¯¥- à âãàë:

E = N"0 + NcvT

(3.57)

¥à¬®¤¨­ ¬¨ç¥áª¨© ¯®â¥­æ¨ « ¨¡¡á ¯®«ãç ¥âáï ¯à¨¡ ¢«¥­¨¥¬ ª (3.56) ¢¥«¨ç¨­ë P V = NT , ¯à¨ç¥¬ ­ ¤® ¢ëà §¨âì ®¡ê¥¬ £ § ç¥à¥§ ¤ ¢«¥­¨¥ ¨ ⥬¯¥à âãàã. ®«ã- ç ¥¬:

= N"0 + NT ln P ; NcpT ln T ; N T										(3.58)
­â «ì¯¨ï W = E + P V à ¢­ :
								W = N"0 + NcpT		(3.59)
¨ää¥à¥­æ¨àãï (3.56) ¨ (3.58) ¯® T , ¯®«ã稬 í­âய¨î, ¢ëà ¦¥­­ãî ᮮ⢥â-
á⢥­­® ç¥à¥§ T ¨ V ¨«¨ T ¨ P :
S = ;			@F					= ;N ln	eV
			@T			V			N + Ncv ln T + ( + cv)N	(3.60)
S = ;				@				= ;N ln P + Ncp ln T + ( + cp)N		(3.61)
				@T			P

§ íâ¨å ¢ëà ¦¥­¨© ¬®¦­® ¯®«ãç¨âì § ¢¨á¨¬®áâì, á¢ï§ë¢ îéãî ®¡ê¥¬, ⥬¯¥à - âãàã ¨ ¤ ¢«¥­¨¥ ¨¤¥ «ì­®£® £ § (á ¯®áâ®ï­­®© ⥯«®¥¬ª®áâìî) ¯à¨ ¥£® ¤¨ ¡ â¨ç¥- ᪮¬ à áè¨à¥­¨¨ ¨«¨ ᦠ⨨ ( ¤¨ ¡ â ã áá®­ ). ®áª®«ìªã ¯à¨ ¤¨ ¡ â¨ç¥áª®¬

¯à®æ¥áᥠí­âய¨ï ®áâ ¥âáï ¯®áâ®ï­­®©, â® ¨§ (3.61) ¨¬¥¥¬:	N ln P + Ncp ln T	=
const, ®âªã¤ T cp =P = const, ¨«¨, ¨á¯®«ì§ãï cp ; cv = 1:	;
T P1; = const	(3.62)

£¤¥ = cp=cv. ᯮ«ì§ãï ãà ¢­¥­¨¥ á®áâ®ï­¨ï P V = NT , ¯®«ãç ¥¬ ᮮ⭮襭¨ï ¬¥¦¤ã T ¨ V ¨ ¬¥¦¤ã P ¨ V :

T V ;1 = const P V = const

(3.63)

ª®­ à ¢­®à á¯à¥¤¥«¥­¨ï.

áᬮâਬ § ¤ çã ® â¥à¬®¤¨­ ¬¨ç¥áª¨å ¢¥«¨ç¨­ å £ §®¢ á â®çª¨ §à¥­¨ï ª« á- á¨ç¥áª®© áâ â¨á⨪¨. ®«¥ªã« £ § ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ª®­ä¨£ãà æ¨î ⮬®¢, ᮢ¥àè îé¨å ¬ «ë¥ ª®«¥¡ ­¨ï ¢¡«¨§¨ ¯®«®¦¥­¨© à ¢­®¢¥á¨ï, ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¬¨­¨¬ã¬ã ¯®â¥­æ¨ «ì­®© í­¥à£¨¨ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï:

rosc

X

U = "0 + aikqiqk (3.64)

i;k=1

AV e; "T0 T l=2

	71
£¤¥ "0 { ¯®â¥­æ¨ «ì­ ï í­¥à£¨ï ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï ⮬®¢, ª®£¤	¢á¥ ®­¨ ­ 室ïâáï ¢

¯®«®¦¥­¨ïå à ¢­®¢¥á¨ï, rosc { ç¨á«® ª®«¥¡ ⥫ì­ëå á⥯¥­¥© ᢮¡®¤ë.¥«¨ç¨­ã rosc ¬®¦­® ­ ©â¨ ¯® ç¨á«ã ⮬®¢ n ¢ ¬®«¥ªã«¥. n{ ⮬­ ï ¬®«¥ªã«

¨¬¥¥â ¢á¥£® 3n á⥯¥­¥© ᢮¡®¤ë. § ­¨å âਠᮮ⢥âáâ¢ãîâ ¯®áâ㯠⥫쭮¬ã ¤¢¨- ¦¥­¨î ¬®«¥ªã«ë ª ª 楫®£® ¨ âਠ¥¥ ¢à 饭¨î ª ª 楫®£®. áâ «ì­ë¥ á⥯¥­¨

᢮¡®¤ë { ª®«¥¡ ⥫ì­ë¥ ¨ rosc = 3n ; 6. ᫨ ¢á¥ ⮬ë à ᯮ«®¦¥­ë ¯® ®¤­®© ¯àאַ© (¢ ç áâ­®á⨠㠤¢ãå ⮬­®© ¬®«¥ªã«ë), â® ¢à é ⥫ì­ëå á⥯¥­¥© ᢮¡®¤ë

¢á¥£® ¤¢¥. í⮬ á«ãç ¥ rosc = 3n ; 5. ਠn = 1 ª®«¥¡ ⥫ì­ëå á⥯¥­¥© ᢮¡®¤ë ­¥â.

®«­ ï í­¥à£¨ï "(p; q) ¬®«¥ªã«ë ¥áâì á㬬 ¯®â¥­æ¨ «ì­®© ¨ ª¨­¥â¨ç¥áª®© í­¥à£¨©. ®á«¥¤­ïï ï¥âáï ª¢ ¤à â¨ç­®© ä㭪樥© ®â ¢á¥å ¨¬¯ã«ìᮢ, ç¨á«® ª®â®àëå à ¢­® ¯®«­®¬ã ç¨á«ã 3n á⥯¥­¥© ᢮¡®¤ë. ®í⮬ã í­¥à£¨ï "(p; q) = "0 + fII (p; q), £¤¥ fII(p; q) { ª¢ ¤à â¨ç­ ï äã­ªæ¨ï ¨¬¯ã«ìᮢ ¨ ª®®à¤¨­ â, ¯®«-

	­®¥ ç¨á«® ¯¥à¥¬¥­­ëå ¢ í⮩ ä㭪樨 ¥áâì l = 6n ; 6 (¤«ï ­¥«¨­¥©­®© ¬®«¥ªã«ë)
	¨«¨ l = 6n ; 5 (¤«ï «¨­¥©­®©). ®¤­® ⮬­®£® £ §						l = 3, ª®®à¤¨­ âë ¢®®¡é¥ ­¥
	¢å®¤ïâ ¢ ¢ëà ¦¥­¨¥ ¤«ï í­¥à£¨¨.
	१ã«ìâ ⥠¤«ï ᢮¡®¤­®© í­¥à£¨¨ £ §				¨§ (3.41) ¨¬¥¥¬:
		ee;	"0		Z d e;	fII	(p;q)
			T
						T
	F = ;NT ln N							(3.65)

ந§¢¥¤¥¬ §¤¥áì § ¬¥­ã ¯¥à¥¬¥­­ëå p = p0pT ,q = q0pT ¤«ï ¢á¥å l ¯¥à¥¬¥­­ëå ®â

ª®â®àëå § ¢¨á¨â äã­ªæ¨ï fII(p; q). á«¥¤á⢨¥ ª¢ ¤à â¨ç­®á⨠ä㭪樨 fII(p; q) ¨¬¥¥¬:

fII (p; q) = T fII(p0; q0)

(3.66)

¨ T ¢ ¯®ª § ⥫¥ íªá¯®­¥­âë ¢ ¯®¤¨­â¥£à «ì­®¬ ¢ëà ¦¥­¨¨ ᮪à é ¥âáï. ­ «®-

£¨ç­®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨ «®¢ íâ¨å ¯¥à¥¬¥­­ëå, ¢å®¤ïé¨å ¢ d ¤ áâ ¬­®- ¦¨â¥«ì T l=2, ª®â®àë© ¢ë­®á¨âáï § ¨­â¥£à «. ­â¥£à¨à®¢ ­¨¥ ¯® ª®«¥¡ ⥫ì­ë¬

ª®®à¤¨­ â ¬ q ¯à®¨§¢®¤¨âáï ¯® ⮩ ®¡« á⨠¨å §­ 祭¨©, ª®â®à ï ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ª®«¥¡ ­¨ï¬ ⮬®¢ ¢­ãâਠ¬®«¥ªã«ë. ¤­ ª®, ¢¢¨¤ã ¡ëáâன á室¨¬®á⨠(ª¢ ¤à - â¨ç­ ï äã­ªæ¨ï ¢ íªá¯®­¥­â¥), ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¥ ¯® p0 ¨ q0 ¬®¦­® à á¯à®áâà ­¨âì ®â

;1 ¤® 1, ⮣¤ ¨­â¥£à « ᢥ¤¥âáï ª ­¥ª®â®à®© ª®­áâ ­â¥, ­¥§ ¢¨áï饩 ®â ⥬¯¥- à âãàë. ç¨âë¢ ï ¥é¥, çâ® ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¥ ¯® ª®®à¤¨­ â ¬ 業âà ¨­¥à樨 ¬®«¥-

ªã«ë ¤ áâ ®¡ê¥¬ V , § ­¨¬ ¥¬ë© £ §®¬, ¯®«ã稬 ¤«ï ᢮¡®¤­®© í­¥à£¨¨ á«¥¤ãî饥 ¢ëà ¦¥­¨¥:

F = ;NT ln						A = const
			N
áªàë¢ ï «®£ à¨ä¬, ¯®«ãç ¥¬:
		eV		l
F = N"0 ; NT ln			; N		T ln T ; NT ln A
		N		2

çâ® ¢ â®ç­®á⨠ᮢ¯ ¤ ¥â á (3.56), ¥á«¨ ¯®«®¦¨âì:

	cv =	l
		2
	¨ = ln A. ®®â¢¥âá⢥­­®:			l + 2
	cp = cv + 1 =
				2

(3.67)

(3.68)

(3.69)

(3.70)

72

ª¨¬ ®¡à §®¬, ç¨áâ® ª« áá¨ç¥áª¨© ¨¤¥ «ì­ë© £ § ®¡« ¤ ¥â ¯®áâ®ï­­®© ⥯«®¥¬- ª®áâìî, ¯à¨ç¥¬ ­ ª ¦¤ãî ¯¥à¥¬¥­­ãî ¢ í­¥à£¨¨ ¬®«¥ªã«ë "(p; q) ¯à¨å®¤¨âáï ¯®

ࢭ®© ¤®«¥ 1=2 ¢ ⥯«®¥¬ª®á⨠cv (¨«¨ kB=2 ¢ ®¡ëç­ëå ¥¤¨­¨æ å), ¨«¨ ¦¥ ¯®

ࢭ®© ¤®«¥ T=2 (kBT=2 ¯à¨ ¨§¬¥à¥­¨¨ T ¢ £à ¤ãá å) ¢ ¥£® í­¥à£¨¨. â® ¯à ¢¨«® ­ §ë¢ ¥âáï § ª®­®¬ à ¢­®à á¯à¥¤¥«¥­¨ï ¨ ï¥âáï ¢¥áì¬ ®¡é¨¬ ã⢥ত¥­¨¥¬

ª« áá¨ç¥áª®© áâ â¨áâ¨ç¥áª®© ¬¥å ­¨ª¨, ¢ ç áâ­®áâ¨, ª ª ¬ë 㢨¤¨¬ ­¨¦¥, ®­ «¥£ª® ®¡®¡é ¥âáï ¨ ­ á«ãç © ª®­¤¥­á¨à®¢ ­­ëå ⥫9. ¬¥ï ¢¢¨¤ã, çâ® ®â ¯®áâ㯠⥫ì- ­ëå ¨ ¢à é ⥫ì­ëå á⥯¥­¥© ᢮¡®¤ë ¢ "(p; q) ¢å®¤ïâ ⮫쪮 ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¨¬¯ã«ìáë, ¬®¦­® ᪠§ âì, çâ® ª ¦¤ ï ¨§ íâ¨å á⥯¥­¥© ᢮¡®¤ë ¢­®á¨â ¢ ⥯«®¥¬- ª®áâì ¢ª« ¤ 1=2. â ª ¦¤®© ¦¥ ª®«¥¡ ⥫쭮© á⥯¥­¨ ᢮¡®¤ë ¢ "(p; q) ¢å®¤ïâ ¤¢¥ ¯¥à¥¬¥­­ë¥ (ª®®à¤¨­ â ¨ ¨¬¯ã«ìá) ¨ ¥¥ ¢ª« ¤ ¢ ⥯«®¥¬ª®áâì à ¢¥­ 1.

¤­® ⮬­ë© ¨¤¥ «ì­ë© £ §.

áᬮâਬ ®¤­® ⮬­ë© ¨¤¥ «ì­ë© £ §. ®«­®¥ ¢ëç¨á«¥­¨¥ ᢮¡®¤­®© í­¥à£¨¨ â - ª®£® £ § âॡã¥â ª®­ªà¥â­®£® ¢ëç¨á«¥­¨ï \¢­ãâ७­¥©" áâ âá㬬ë Z0, ¢¢¥¤¥­­®© ¢ (3.44):

0 X ; "k

Z = e T (3.71)

k

£¤¥ "k { ¢­ãâ७­¨¥ ã஢­¨ í­¥à£¨¨ ⮬ . ⨠ã஢­¨ ¬®£ãâ ¡ëâì ¢ë஦¤¥­­ë¬¨, ⮣¤ ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 á« £ ¥¬®¥ ¢®©¤¥â ¢ áâ âá㬬ã gk à §, £¤¥ gk { ªà â­®áâì ¢ë஦¤¥­¨ï (áâ ⢥á ã஢­ï). ®£¤ :

Z0	X	"k
	= gke; T		(3.72)

k

¢®¡®¤­ ï í­¥à£¨ï £ § , ᮣ« á­® (3.44), ¥áâì:

eV		mT	3=2
			Z0#
F = ;NT ln " N				(3.73)
		2 h2

ª ¨§¢¥áâ­®, ⮬­ë¥ â¥à¬ë (®â¢«¥ª ïáì ®â ¨å â®­ª®© áâàãªâãàë) à ᯮ«®¦¥­ë â ª, çâ® à ááâ®ï­¨¥ ®â ®á­®¢­®£® ¤® ¯¥à¢®£® ¢®§¡ã¦¤¥­­®£® ã஢­ï áà ¢­¨¬® ¯® ¢¥«¨ç¨­¥ á í­¥à£¨¥© ¨®­¨§ 樨 ⮬ Iion, çâ® ¤«ï à §«¨ç­ëå ⮬®¢ ­ 室¨âáï ¢ ¯à¥¤¥« å Iion=kB 5 ; 28 104K. ®í⮬ã, ¯à¨ ⥬¯¥à âãà å T Iion, ¯а¥¤бв ¢«п- ой¨е ®б­®¢­®© ¨­в¥а¥б, ¢ £ § е ¯а ªв¨з¥бª¨ ®вбгвбв¢гов ­¥ в®«мª® ¨®­¨§®¢ ­­л¥, ­® ¨ ¢®§¡г¦¤¥­­л¥ ⮬л. ®нв®¬г ¢б¥ в®¬л £ § ¬®¦­® бз¨в вм ­ 室пй¨¬¨бп ¢ ®б­®¢­®¬ б®бв®п­¨¨.

áᬮâਬ ¯à®á⥩訩 á«ãç © ⮬®¢, ª®â®àë¥ ¢ ®á­®¢­®¬ á®áâ®ï­¨¨ ­¥ ®¡« - ¤ îâ ­¨ ®à¡¨â «ì­ë¬ ¬®¬¥­â®¬, ­¨ ᯨ­®¬ (L = S = 0), â ª®¢ë, ­ ¯à¨¬¥à, â®¬ë ¡« £®à®¤­ëå £ §®¢10. ਠí⮬ ®á­®¢­®¥ á®áâ®ï­¨¥ ­¥¢ë஦¤¥­® ¨ \¢­ãâ७­ïï"

9 ਠ¯®­¨¦¥­¨¨ ⥬¯¥à âãàë ­ ¡«î¤ îâáï áãé¥á⢥­­ë¥ ®âª«®­¥­¨ï ®â § ª®­ à ¢­®à á¯à¥- ¤¥«¥­¨ï. 祢¨¤­®, çâ® ¯®áâ®ï­á⢮ ⥯«®¥¬ª®á⨠¯à®â¨¢®à¥ç¨â ¨ ⥮६¥ ¥à­áâ . áâ®à¨ç¥áª¨, ­ àã襭¨¥ § ª®­ à ¢­®à á¯à¥¤¥«¥­¨ï ¡ë«® ®¤­¨¬ ¨§ ¢ ¦­ëå 㪠§ ­¨© ­ ­¥¤®áâ â®ç­®áâì ª« á- á¨ç¥áª®£® à áᬮâ७¨ï, çâ®, ¢ ¨â®£¥, ¯à¨¢¥«® ª ᮧ¤ ­¨î ª¢ ­â®¢®© ¬¥å ­¨ª¨.

10 ®¤à®¡­®¥ ®¡á㦤¥­¨¥ ¡®«¥¥ á«®¦­ëå á«ãç ¥¢, â ª¦¥ ª ª ¨ ¬­®£® ⮬­ëå (¬®«¥ªã«ïà­ëå) £ §®¢, ¬®¦­® ­ ©â¨ ¢ [1, 2]

							73
áâ âá㬬 ᢮¤¨âáï ª ®¤­®¬ã á« £ ¥¬®¬ã: Z0 = e;					"0	. ®£¤	¨§ (3.73) áà §ã ¯®«ãç -
					T
¥âáï ¢ëà ¦¥­¨¥ ¤«ï ᢮¡®¤­®© í­¥à£¨¨ ⨯			(3.56) á ¯®áâ®ï­­®© ⥯«®¥¬ª®áâìî:
cv = 3=2							(3.74)
¨ 娬¨ç¥áª®© ¯®áâ®ï­­®©:	3		m
							(3.75)
=	2 ln
		2 h2

{ ä®à¬ã« ªãà - ¥âத¥.

®«ã祭­ë¥ ¢ëà ¦¥­¨ï ¯®§¢®«ïîâ ­ ©â¨ ªà¨â¥à¨© ¯à¨¬¥­¨¬®á⨠áâ â¨á⨪¨

®«ìæ¬ ­ . ëè¥ ¬ë ¯®«ã稫¨ à á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ®«ìæ¬ ­			¢ ¯à¥¤¯®«®¦¥­¨¨ ¬ «®-
á⨠á।­¨å ç¨á¥« § ¯®«­¥­¨ï ã஢­¥©:
< nk >= e	;"k	1:	(3.76)
	T

祢¨¤­®, çâ® ¤®áâ â®ç­® ¯®âॡ®¢ âì ¢ë¯®«­¥­¨ï ãá«®¢¨ï:

	1;
eT		(3.77)
®âªã¤ , ªáâ â¨, ïá­®, ç⮠娬¯®â¥­æ¨ « ¡®«ìæ¬ ­®¢áª®£® £ §		¢á¥£¤ ®âà¨æ ⥫¥­

¨ ¢¥«¨ª ¯® ¡á®«îâ­®© ¢¥«¨ç¨­¥. ©¤¥¬ 娬¯®â¥­æ¨ « ¨§ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï = =N,

¢®á¯®«ì§®¢ ¢è¨áì ¢ëà ¦¥­¨¥¬ ¤«ï â¥à¬®¤¨­ ¬¨ç¥áª®£® ¯®â¥­æ¨ « ¨¡¡á										(3.58),
¯®¤áâ ¢¨¢ â㤠cp = cv + 1 = 5=2 ¨ ¨§ (3.75). ®«ãç ¥¬:
	P		2 h2		3=2	N	2 h2	3=2
= T ln "						# = T ln "V mT			#	(3.78)
	T5=2		m

çâ®, ®ç¥¢¨¤­®, ᮢ¯ ¤ ¥â á	­ ©¤¥­­ë¬ ¢ëè¥ ¤à㣨¬ ᯮᮡ®¬ ¢ëà ¦¥­¨¥¬ (3.12).
®£¤ ¨§ (3.77),(3.78) ¯®«ãç	¥¬ ªà¨â¥à¨© ¯à¨¬¥­¨¬®á⨠¡®«ìæ¬ ­®¢áª®© áâ â¨á⨪¨

¢ ¢¨¤¥:		3=2
N	h2		h2	N		2=3
V		1	¨«¨ T m V				:	(3.79)
	mT
ª¨¬ ®¡à §®¬, áâ â¨á⨪ ®«ìæ¬ ­			¯à¨¬¥­¨¬ , ¥á«¨ £ § ¤®áâ â®ç­® à §à¥¦¥­,
⥬¯¥à âãàë ¤®áâ â®ç­® ¢ë᮪¨. à ªâ¥à­ ï ⥬¯¥à âãà							(í­¥à£¨ï), áâ®ïé ï ¢
¯à ¢®© ç á⨠¯®á«¥¤­¥£® ­¥à ¢¥­áâ¢			¢ (3.79) ­ §ë¢ ¥âáï ⥬¯¥à âãன (í­¥à£¨¥©)

¢ë஦¤¥­¨ï £ § . ­ ⥬ ¢ëè¥, 祬 ¡®«ìè¥ ¯«®â­®áâì £ § . ¨§¨ç¥áª¨© á¬ëá« í⮣® ªà¨â¥à¨ï ­¥âà㤭® ¯®­ïâì ¨§ á«¥¤ãîé¨å ¯à®áâëå ®æ¥­®ª. ।­¥¥ ¬¥¦ ⮬-

­®¥ à ááâ®ï­¨¥ ¢ à áᬠâਢ ¥¬®¬ £ §¥ a (V=N)1=3. ¢ ­â®¢ ï ­¥®¯à¥¤¥«¥­­®áâì
í­¥à£¨¨		⮬ , ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï ¥£® «®ª «¨§ 樨 ­ â ª¨å à ááâ®ï­¨ïå, ¯®à浪
	h2		h2		2=3
E0 ma2		m (N=V )				. á«®¢¨¥ T E0 (3.79) ®§­ ç ¥â, çâ® ª¢ ­â®¢ë¬¨ íä䥪-

â ¬¨ ¬®¦­® ¯à¥­¥¡à¥çì. ¯à®â¨¢, ¯à¨ T < E0 ª¢ ­â®¢ë¥ íä䥪âë áâ ­®¢ïâáï

áãé¥á⢥­­ë¬¨ ¨ ®â áâ â¨á⨪¨ ®«ìæ¬ ­ ­ã¦­® ¯¥à¥å®¤¨âì ª ª¢ ­â®¢®© áâ â¨- á⨪¥ ¨¤¥ «ì­ëå £ §®¢11.

11 ¥ã¤®¢«¥â¢®à¨â¥«ì­®áâì ¯®«ã祭­ëå ¢ëè¥ ¢ëà ¦¥­¨© ¤«ï â¥à¬®¤¨­ ¬¨ç¥áª¨å ¢¥«¨ç¨­ ¨¤¥- «ì­®£® £ § ï᭠㦥 ¨ ¨§ ®ç¥¢¨¤­®£® ¯à®â¨¢®à¥ç¨ï á ⥮६®© ¥à­áâ : ­¨ í­âய¨ï, ­¨ ⥯«®- ¥¬ª®áâì ­¥ ®¡à é îâáï ¢ ­ã«ì ¯à¨ T ! 0.

74

« ¢ 4

⪫®­¥­¨¥ £ §®¢ ®â ¨¤¥ «ì­®áâ¨.

ॠ«ì­ëå £ § å, ¥áâ¥á⢥­­®, ⮬ë (¬®«¥ªã«ë) ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîâ ¬¥¦¤ã ᮡ®©.㤥¬ áç¨â âì £ § ¤®áâ â®ç­® à §à¥¦¥­­ë¬, â ª çâ®¡ë ¬®¦­® ¡ë«® ¯à¥­¥¡à¥çì âன­ë¬¨, ç¥â¢¥à­ë¬¨ ¨ â.¤. á⮫ª­®¢¥­¨ï¬¨ ¬®«¥ªã« ¨ ¯à¥¤¯®«®¦¨âì, çâ® ¨å ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¥ ®áãé¥á⢫ï¥âáï «¨èì ¯ã⥬ ¯ à­ëå á⮫ª­®¢¥­¨© 1.

«ï ¯à®áâ®âë à áᬮâਬ ®¤­® ⮬­ë© ॠ«ì­ë© £ §. ¢¨¦¥­¨¥ ¥£® ç áâ¨æ ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì ª« áá¨ç¥áª¨, â ª çâ® ¥£® í­¥à£¨ï § ¯¨è¥âáï ¢ ¢¨¤¥:

N

p2

X

E(p; q) =

i + U

(4.1)

i=1

2m

®¤­® ⮬­®£® £ §

í­¥à£¨ï ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¥áâì äã­ªæ¨ï ⮫쪮 ¢§ ¨¬­ëå à á-

áâ®ï­¨© ¬¥¦¤ã ⮬ ¬¨. â â¨áâ¨ç¥áª¨© ¨­â¥£à «

d;e;

E(p;q)

à §¡¨¢ ¥âáï ­

¯à®-

T

¨§¢¥¤¥­¨¥ ¨­â¥£à «

¯® ¨¬¯ã«ìá ¬ ⮬®¢ ¨ ¨­â¥£àR« ¯® ¨å ª®®à¤¨­ â ¬. ®á«¥¤-

­¨© ¨¬¥¥â ¢¨¤:

Z dV1::: Z

dVN e;

U

(4.2)

T

«ï ¨¤¥ «ì­®£® £ §

U = 0 ¨ íâ®â ¨­â¥£à « à ¢¥­ ¯à®áâ® V N . á­®, çâ® ¯à¨ ¢ëç¨-

á«¥­¨¨ ᢮¡®¤­®© í­¥à£¨¨ ᮣ« á­® (2.45) ¬ë ¯®«ã稬:

F = Fid ; T ln

1

Z

dV1::: Z

dVN e;

U

(4.3)

T

V N

1 ®á«¥¤ãî饥 ¨§«®¦¥­¨¥ 楫¨ª®¬ á«¥¤ã¥â [1, 2].

75

76

£¤¥ Fid { ᢮¡®¤­ ï í­¥à£¨ï ¨¤¥ «ì­®£® £ § . ਡ ¢«ïï ¨ ¢ëç¨â ï ¨§ ¯®¤¨­â¥-

1

R

RU

£à «ì­®£® ¢ëà ¦¥­¨ï ¯® ¥¤¨­¨æ¥ ¨ ãç¨âë¢ ï

dV1

:::

dVN = V N , ¯¥à¥¯¨è¥¬ (4.3)

¢ ¢¨¤¥:

Z

dV1::: Z

dVN e;

; 1 + 1

F = Fid ; T ln

(4.4)

T

V N

ãáâì £ § ­¥ ⮫쪮 ¤®áâ â®ç­® à §à¥¦¥­, ­® ¨ ª®«¨ç¥á⢮ ¥£® ¤®áâ â®ç­® ¬ «®,

â ª çâ® ®¤­®¢à¥¬¥­­® ¢ ­¥¬ áâ «ª¨¢ ¥âáï ­¥ ¡®«¥¥ ®¤­®© ¯ àë

⮬®¢. â® ­¥

¥áâì ®£à ­¨ç¥­¨¥ ®¡é­®áâ¨, â ª ª ª ¢ ᨫã

¤¤¨â¨¢­®á⨠᢮¡®¤­®© í­¥à£¨¨ F =

Nf(T; V=N). § ¨¬®¤¥©á⢨¥ ¬¥¦¤ã

⮬ ¬¨ ­¥ ®ç¥­ì ¬ «® ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤

¤¢ ⮬ ­ 室ïâáï ®ç¥­ì ¡«¨§ª® ¤à㣠ª ¤àã£ã (áâ «ª¨¢ îâáï). ®í⮬㠯®¤¨­â¥-

£à «ì­®¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ ¢ (4.4) § ¬¥â­® ®â«¨ç­® ®â ­ã«ï ⮫쪮 ¢ â¥å á«ãç ïå, ª®£¤

ª ª¨¥-«¨¡® ¤¢ ⮬ ®ç¥­ì ¡«¨§ª¨ ¤à㣠ª ¤àã£ã. ⮬ã ãá«®¢¨î ¬®¦¥â 㤮¢«¥-

⢮à¨âì ®¤­®¢à¥¬¥­­® ­¥ ¡®«ìè¥ ®¤­®© ¯ àë

⮬®¢ (¥á«¨ £ § ¤®áâ â®ç­® ¬ «®),

¯à¨ç¥¬ íâã ¯ àã ¬®¦­® ¢ë¡à âì ¨§ N

⮬®¢

1

N

(N

;

1) ᯮᮡ ¬¨. á«¥¤á⢨¥

2

í⮣® ¨­â¥£à « ¢ (4.4) ¬®¦­® ­ ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥:

N(N

1)

U12

; 1

2;

Z dV1::: Z dVN e;

T

(4.5)

£¤¥ U12 { í­¥à£¨ï ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¤¢ãå

⮬®¢ (ª ª¨å ¨¬¥­­® { ­¥¢ ¦­® ¢ ᨫ㠨å

®¤¨­ ª®¢®áâ¨). ® ¢á¥¬ ®áâ «ì­ë¬ ª®®à¤¨­ â ¬ (ªà®¬¥ ª®®à¤¨­ â

⮬®¢ 1 ¨ 2)

¨­â¥£à¨à㥬, çâ® ¤ ¥â ¯à®áâ® V N;2. ஬¥ ⮣® N(N ; 1) N2 ¢ ᨫã N 1, â ª

çâ® (4.5) ᢮¤¨âáï ª:

U12

; 1 :

N2V N;2 Z dV1 Z dV2 e; T

(4.6)

®¤áâ ¢«ïï íâ® ¢ëà ¦¥­¨¥ ¢ (4.4) ¨ ¨á¯®«ì§ãï ln(1 + x)

x ¯à¨ x 1, ¨¬¥¥¬:

T N2

dV2 e;

U12

; 1

F = Fid ; 2V 2 Z dV1 Z

T

(4.7)

£¤¥ ¢â®à®¥ á« £ ¥¬®¥ ¤ ¥â ¬ «ãî ¯®¯à ¢ªã ª ᢮¡®¤­®© í­¥à£¨¨ ¨¤¥ «ì­®£® £ § ¨§- § ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï. ®â¥­æ¨ « ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï U12 § ¢¨á¨â ®â à ááâ®ï­¨ï ¬¥¦¤ã ⮬ ¬¨. ®í⮬㠢 (4.7) ¬®¦­® ¯¥à¥©â¨ ª ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨î ¯® à §­®á⨠ª®®à¤¨­ â

¤¢ãå	⮬®¢ ¨ ¯® ª®®à¤¨­ ⥠¨å 業âà			¨­¥à樨. ®á«¥¤­¥¥ ¤ áâ á­®¢					®¡ê¥¬ V .
ª®­ç ⥫쭮 ¯®«ãç ¥¬:					N2T B(T )
	F = Fid			+					(4.8)
					V
£¤¥:		1
						U12
	B(T ) =	2 Z		dV 1 ; e; T					(4.9)
âáî¤	­ 室¨¬ ¤ ¢«¥­¨¥:
	@F		NT		1 +	NB(T )
	P = ;@V	=		V		V			(4.10)

£¤¥ ãç⥭®, çâ® Pid = NT=V . â® ¥áâì ãà ¢­¥­¨¥ á®áâ®ï­¨ï £ § ¢ à áᬠâਢ ¥¬®¬ ¯à¨¡«¨¦¥­¨¨.

§ â¥à¬®¤¨­ ¬¨ª¨ ¨§¢¥áâ­®, çâ® ¨§¬¥­¥­¨ï ᢮¡®¤­®© í­¥à£¨¨ ¨ â¥à¬®¤¨­ ¬¨- ç¥áª®£® ¯®â¥­æ¨ « ¯à¨ ¬ «ëå ¨§¬¥­¥­¨ïå ¢­¥è­¨å ãá«®¢¨© à ¢­ë ¤à㣠¤àã£ã,

77

¨á. 4-1 à ªâ¥à­ë© ¢¨¤ ¯®â¥­æ¨ «	¬¥¦ ⮬­®£® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï.
¯à¨ç¥¬ ®¤­® ¡¥à¥âáï ¯à¨ ¯®áâ®ï­­®¬ ®¡ê¥¬¥,	¤à㣮¥ ¯à¨ ¯®áâ®ï­­®¬ ¤ ¢«¥­¨¨.

᫨ à áᬮâà¥âì ®âª«®­¥­¨¥ £ § ®â ¨¤¥ «ì­®á⨠ª ª â ª®¥ ¨§¬¥­¥­¨¥, â® ¨§ (4.8) ¬®¦­® ¯®«ãç¨âì ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ¢ëà ¦¥­¨¥ ¤«ï . 㦭® ⮫쪮 ¢ ¯®¯à ¢®ç- ­®¬ ç«¥­¥ ¢ëà §¨âì ®¡ê¥¬ ç¥à¥§ ¤ ¢«¥­¨¥, ¯à¨ç¥¬ íâ® á«¥¤ã¥â ᤥ« âì á ¯®¬®éìî ãà ¢­¥­¨ï á®áâ®ï­¨ï ¨¤¥ «ì­®£® £ § . ®£¤ :

= id + NB(T )P	(4.11)
âáî¤ ¬®¦­® ¢ëà §¨âì ®¡ê¥¬ ç¥à¥§ ¤ ¢«¥­¨¥:
V = NPT + NB(T )	(4.12)

ᥠ¯®«ã祭­ë¥ ä®à¬ã«ë ¨¬¥îâ á¬ëá« «¨èì ¯à¨ ãá«®¢¨¨, çâ® ¨­â¥£à « (4.9) á室¨âáï. «ï í⮣® ­ã¦­®, ç⮡ë á¨«ë ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¤®áâ â®ç­® ¡ëáâà® ã¡ë-

¢ «¨ á à ááâ®ï­¨¥¬. ᫨ ­ ¡®«ìè¨å à ááâ®ï­¨ïå U12 r;n, â® ­ã¦­® n > 3. «ï ®¤­® ⮬­ëå £ §®¢ U12 ¨¬¥¥â ¢¨¤, ¯®ª § ­­ë© ­ ¨á.4-1. «ã¡¨­ ¯®â¥­æ¨ «ì­®©

ï¬ë U0 ®¡ëç­® ¯®à浪 ªà¨â¨ç¥áª®© ⥬¯¥à âãàë ¤ ­­®£® ¢¥é¥á⢠. ਠ¢ë᮪¨å

⥬¯¥à âãà å T U0 ¢® ¢á¥© ®¡« á⨠r > 2r0 ¨¬¥¥¬ jU12j=T 1 ¨ ¯®¤¨­â¥£à «ì­®¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ ¢ (4.9) ¡«¨§ª® ª ­ã«î. ®í⮬㠧­ 祭¨¥ ¨­â¥£à « ¢ (4.9) ¢ ®á­®¢­®¬

®¯à¥¤¥«ï¥âáï ®¡« áâìî r < 2r0, £¤¥ U12=T ¯®«®¦¨â¥«ì­® ¨ ¢¥«¨ª®, ᮮ⢥âá⢥­­® ¯®«®¦¨â¥«¥­ ¨ ¢¥áì ¨­â¥£à «. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯à¨ ¢ë᮪¨å ⥬¯¥à âãà å ¨¬¥¥¬ B(T ) > 0. ¯à®â¨¢, ¯à¨ ­¨§ª¨å T U0 ®á­®¢­ãî à®«ì ¢ ¨­â¥£à «¥ ¨£à ¥â ®¡« áâì

r > 2r0, £¤¥ ⥯¥àì U12=T ®âà¨æ ⥫쭮 ¨ ¢¥«¨ª® ¯® ¡á®«îâ­®© ¢¥«¨ç¨­¥. ®- í⮬ã, ¯à¨ ¤®áâ â®ç­® ­¨§ª¨å ⥬¯¥à âãà å ¨¬¥¥¬ B(T ) < 0, § ¢¨á¨¬®áâì B(T )

®â ⥬¯¥à âãàë ®¯à¥¤¥«ï¥âáï, ¢ ®á­®¢­®¬, ¬­®¦¨â¥«¥¬ e; UT0 . § íâ¨å à áá㦤¥­¨© ïá­®, çâ® ¯à¨ ­¥ª®â®à®© ⥬¯¥à âãॠB(T ) ¯à®å®¤¨â ç¥à¥§ ­ã«ì: B(TB ) = 0 (â®çª®©«ï).

à ¢­¥­¨¥ á®áâ®ï­¨ï (4.10), ¯® áãé¥áâ¢ã, ¤ ¥â ¯¥à¢ë© ¯®¯à ¢®ç­ë© ç«¥­ ª à §- «®¦¥­¨î ¤ ¢«¥­¨ï ¯® á⥯¥­ï¬ 1=V , á«¥¤ãî饣® ¢¨¤ :

P =	NT	1 +	NB(T )	+	N2C(T )	+ :::	(4.13)
	V		V		V 2

78

¥à¢ë© ¯®¯à ¢®ç­ë© ç«¥­ §¤¥áì á¢ï§ ­ á ¯ à­ë¬¨ á⮫ª­®¢¥­¨ï¬¨ ⮬®¢, ¢â®à®©

{ á âன­ë¬¨ ¨ â.¤. ¥§à §¬¥à­ë© ¬ «ë© ¯ à ¬¥âà í⮣® à §«®¦¥­¨ï { ®â­®è¥-

­¨¥ Nv0=V \®¡ê¥¬ " ®¤­®£®

⮬

v0 ª ¯à¨å®¤ï饬ãáï ­

®¤¨­

⮬ ®¡ê¥¬ã £ §

V=N. ®íää¨æ¨¥­âë B; C; ::: ­ §ë¢ îâáï ¢¨à¨ «ì­ë¬¨ ª®íää¨æ¨¥­â ¬¨,

(4.13)

{ ¢¨à¨ «ì­®¥ à §«®¦¥­¨¥. ®¦­® ¯®ª § âì, çâ® ®¡é ï áâàãªâãà

¢¨à¨ «ì­®£® à §-

«®¦¥­¨ï ¨¬¥¥â ¢¨¤:

X

P = T

1 Jn

n

(4.14)

n!

n=1

£¤¥ = Pid=T = N=V ,

¢¨à¨ «ì­ë¥ ª®íää¨æ¨¥­âë:

J1 = 1

(4.15)

U

U12

; 1

(4.16)

U J2 = Z UdV2 e; U

Z

Z

T

123

; e;

12

13

23

J3 = dV2

dV3

e;

T

T

; e;

T ; e;

T

+ 2

(4.17)

¨ â.¤. ­â¥£à «ë ¢ Jn ¯®áâ஥­ë ¯® ®ç¥¢¨¤­®¬ã § ª®­ã: ¯®¤¨­â¥£à «ì­®¥ ¢ëà - ¦¥­¨¥ ¢ Jn ®â«¨ç­® ®â ­ã«ï, «¨èì ¥á«¨ n ⮬®¢ ¡«¨§ª¨ ¤à㣠ª ¤àã£ã, â.¥. ¯à¨ á⮫ª­®¢¥­¨¨ n ⮬®¢.

®à¬ã« ­-¤¥à- «ìá .

¥®а¨п ¦¨¤ª®бв¥© ¯а¥¤бв ¢«п¥в б®¡®© ®б®¡¥­­® б«®¦­л© а §¤¥« бв в¨бв¨з¥бª®© ¬¥е ­¨ª¨. а ªв¨з¥бª¨ ­¥¢®§¬®¦­® гбв ­®¢¨вм ª ª¨¥-«¨¡® ®¡й¨¥ д®а¬г«л, ª®- «¨з¥бв¢¥­­® ®¯¨бл¢ ой¨¥ б¢®©бв¢ ¦¨¤ª®бв¥©. ¤­ ª®, ¬®¦­® ¤®бв в®з­® «¥£ª® ¯®«гз¨вм ­¥ª®в®аго ¨­в¥а¯®«пж¨®­­го д®а¬г«г, ª з¥бв¢¥­­® ®¯¨бл¢ ойго ¯¥а¥- 室 ¬¥¦¤г ¦¨¤ª®бвмо ¨ £ §®¬ ¨ п¢«пойгобп ¤®бв в®з­® е®а®и¨¬ ¨ ¯а ªв¨з­л¬ га ¢­¥­¨¥¬ б®бв®п­¨п б¨бв¥¬л £ § { ¦¨¤ª®бвм. ¥зм ¨¤¥в ®¡ ¨§¢¥бв­®© д®а¬г«¥

­-¤¥à- «ìá .
¯¨á ­­ë© ¢ëè¥ å à ªâ¥à ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï			⮬®¢ £ § ¯®§¢®«ï¥â ®¯à¥¤¥«¨âì
¢¨¤ ¯¥à¢ëå ç«¥­®¢ à §«®¦¥­¨ï B(T ) ¯® á⥯¥­ï¬ ®¡à â­®© ⥬¯¥à âãàë, ¯à¥¤¯®-
« £ ï ¬ «®áâì ®â­®è¥­¨ï:	U0
	T	1			(4.18)
¬¥ï ¢¢¨¤ã, çâ® U12 ¥áâì äã­ªæ¨ï à ááâ®ï­¨ï r ¬¥¦¤ã				⮬ ¬¨, § ¯¨è¥¬ ¢ (4.9)
dV = 4 r2dr ¨ à §®¡ì¥¬ ®¡« áâì ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï ­ ¤¢¥ ç áâ¨:
2r0		U12	1	U12
B(T ) = 2 Z0	drr2 1 ; e;
		T + 2 Z2r0 drr2		1 ; e; T	(4.19)

ਠ§­ 祭¨ïå r 2 [0; 2r0] í­¥à£¨ï ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï U12 ®ç¥­ì ¢¥«¨ª . ®í⮬㠢 ¯¥à-

; U12

¢®¬ ¨­â¥£à «¥ ¬®¦­® ¯à¥­¥¡à¥çì ç«¥­®¬ e T ¯® áà ¢­¥­¨î á ¥¤¨­¨æ¥©. ®£¤ íâ®â ¨­â¥£à « à ¢¥­ b = 16 r03=3 > 0 ¨ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ãç¥â¢¥à¥­­ë© \®¡ê¥¬" ⮬ .® ¢â®à®¬ ¨­â¥£à «¥ ¢¥§¤¥ jU12j=T U0=T 1. ®í⮬㠯®¤¨­â¥£à «ì­®¥ ¢ëà ¦¥-

­¨¥ ¬®¦­® à §«®¦¨âì ¯® á⥯¥­ï¬ U12=T ¨ ®£à ­¨ç¨¢è¨áì ¯¥à¢ë¬ ­¥¨á祧 î騬

					79
ç«¥­®¬ § ¯¨á âì:	2	1		a
;		Z2r0	drr2jU12j = ;		(4.20)
	T			T

£¤¥ a = const > 0. ª¨¬ ®¡à §®¬ ­ 室¨¬:

B(T ) = b ;				a		(4.21)
				T
®®â¢¥âá⢥­­® ¨§ (4.8),(4.11) ­ 室¨¬:
F = Fid +	N	2	(bT ; a)			(4.22)
	V
= id + NP(b ; a=T )						(4.23)

᪮¬ãî ¨­â¥à¯®«ï樮­­ãî ä®à¬ã«ã ¬®¦­® ¯®«ãç¨âì ¨§ (4.22), ª®â®à ï á ¬ ¯® ᥡ¥ ­¥ 㤮¢«¥â¢®àï¥â ­¥®¡å®¤¨¬ë¬ ãá«®¢¨ï¬, â ª ª ª ­¥ ãç¨âë¢ ¥â ®£à ­¨ç¥­- ­®áâì ᦨ¬ ¥¬®á⨠¢¥é¥á⢠. ®¤áâ ¢¨¬ ¢ (4.22) ᢮¡®¤­ãî í­¥à£¨î ¨¤¥ «ì­®£®

£ § ¢ ¢¨¤¥ (3.45)

Fid =

;

NT ln

eV

+ Nf(T ) ¨ ¯®«ã稬:

N

e

Nb

N2a

F = Nf(T ) ; NT ln

; NT ln V

;

;

(4.24)

N

V

V

᫨ £ § ¤®áâ â®ç­® à §à¥¦¥­, à ááâ®ï­¨ï ¬¥¦¤ã

⮬ ¬¨ §­ ç¨â¥«ì­® ¡®«ìè¥,

祬 ¨å à §¬¥àë, ᮮ⢥âá⢥­­® V Nb. ®£¤ ¨¬¥¥¬:

Nb

ln V ;

Nb

ln(V ; Nb) = ln V + ln 1 ; V

V

(4.25)

¥¯¥àì ᤥ« ¥¬ à¥è î騩 è £ ¨ § ¬¥­¨¬ «®£ à¨ä¬ ¢ (4.24) ­ «®£ à¨ä¬, áâ®ï騩

¢ «¥¢®© ç á⨠¯à¨¡«¨¦¥­­®£® à ¢¥­á⢠(4.25). ®£¤ (4.24), ä ªâ¨ç¥áª¨ á ⮩ ¦¥
â®ç­®áâìî, § ¯¨è¥âáï ª ª:
	e		N2a	= Fid ; NT ln 1 ;	Nb	;	N2a
F = Nf(T) ; NT ln		(V ; Nb) ;						(4.26)
	N		V		V		V

â ª®¬ ¢¨¤¥ íâ ä®à¬ã« 㦥 㤮¢«¥â¢®àï¥â ¯®áâ ¢«¥­­®¬ã ãá«®¢¨î: ¯à¨ ¡®«ì- è¨å V ®­ ¯¥à¥å®¤¨â ¢ ¢ëà ¦¥­¨¥ ¤«ï ¨¤¥ «ì­®£® £ § , ¯à¨ ¬ «ëå V ®­ ¤¥-

¬®­áâà¨àã¥â ­¥¢®§¬®¦­®áâì ¡¥á¯à¥¤¥«ì­®£® ᦠâ¨ï £ §								(¯à¨ V < Nb à£ã¬¥­â ln
áâ ­®¢¨âáï ®âà¨æ ⥫ì­ë¬). «ï ¤ ¢«¥­¨ï ¯®«ãç ¥¬:
		@F		NT		N2a
	P = ;@V		=			; V 2		(4.27)
¨«¨				V ; Nb
	P +	N2a	(V ; Nb) = NT
								(4.28)
		V 2
{ ãà ¢­¥­¨¥ á®áâ®ï­¨ï ­-¤¥à-		«ìá . § (4.26) ¬®¦­® ­ ©â¨ í­âய¨î:
	S = Sid + N ln 1 ;					Nb		(4.29)
						V