Статистическая физика

60

®¦­® бª § вм, зв® ¢® ¢б¥е б«гз пе, ª®£¤ б« ¡л¥ ¢®§¡г¦¤¥­¨п б¨бв¥¬л ¯а¥¤бв - ¢«повбп ¢ ¢¨¤¥ ¨¤¥ «м­®£® £ § ª¢ §¨з бв¨ж, в¥®а¥¬ ¥а­бв ®ª §л¢ ¥вбп ¢л¯®«- ­¥­­®©. ¤ «м­¥©и¥¬, ¬л ¡г¤¥¬ ¨¬¥вм ¤¥«® в®«мª® б в ª¨¬¨ б¨бв¥¬ ¬¨.

í⮬ § ¢¥àè ¥âáï ¨§«®¦¥­¨¥ ®á­®¢ £¨¡¡á®¢áª®© áâ â¨áâ¨ç¥áª®© ¬¥å ­¨ª¨.ᥠ¤ «ì­¥©è¥¥ ¨§«®¦¥­¨¥, ¯® áã⨠¤¥« , ¡ã¤¥â ¯à¨¬¥­¥­¨¥¬ í⮣® ®¡é¥£® ¯®¤å®¤ ª à §«¨ç­ë¬ ª®­ªà¥â­ë¬ § ¤ ç ¬ ⥮ਨ á¨á⥬ ¬­®£¨å ç áâ¨æ.

« ¢ 3

á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ®«ìæ¬ ­ .

ª ç¥á⢥ ¯à®á⥩襩 á¨á⥬ë, ­ ª®â®à®© å®à®è® ¨««îáâà¨àã¥âáï ¯à¨¬¥­¥­¨¥ ®¡é¨å ¬¥â®¤®¢ áâ â¨áâ¨ç¥áª®© ¬¥å ­¨ª¨, à áᬮâਬ ¨¤¥ «ì­ë© £ §, á®áâ®ï騩 ¨§

­¥¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîé¨å ⮬®¢ ¨«¨ ¬®«¥ªã«1. â ¬®¤¥«ì áë£à « ¡®«ìèãî à®«ì ­ ­ ç «ì­®¬ íâ ¯¥ à §¢¨â¨ï áâ â¨áâ¨ç¥áª®© 䨧¨ª¨2.

вбгвбв¢¨¥ ¢§ ¨¬®¤¥©бв¢¨п ¬¥¦¤г ⮬ ¬¨ (¬®«¥ªг« ¬¨) ¨¤¥ «м­®£® £ § ¯®- §¢®«п¥в б¢¥бв¨ ª¢ ­в®¢®¬¥е ­¨з¥бªго § ¤ зг ®¯а¥¤¥«¥­¨п га®¢­¥© н­¥а£¨¨ En ¢á¥£® £ § ¢ 楫®¬ ª § ¤ ç¥ ®¡ ®¯à¥¤¥«¥­¨¨ ã஢­¥© í­¥à£¨¨ ®â¤¥«ì­®£® ⮬ (¬®«¥ªã«ë). ⨠ã஢­¨ ¡ã¤¥¬ ®¡®§­ ç âì "k, £¤¥ k { ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ­ ¡®à ª¢ ­â®¢ëå ç¨á¥«, ®¯à¥¤¥«ïîé¨å á®áâ®ï­¨¥ ⮬ (¬®«¥ªã«ë). ­¥à£¨¨ En ¢ла - ¦ овбп, ¢¢¨¤г ®вбгвбв¢¨п ¢§ ¨¬®¤¥©бв¢¨п, ¢ ¢¨¤¥ б㬬 н­¥а£¨© ª ¦¤®© ¬®«¥ªг«л.¡®§­ з¨¬ nk ç¨á«® ç áâ¨æ ¢ £ §¥, ­ 室ïé¨åáï ¢ k-¬ ª¢ ­â®¢®¬ á®áâ®ï­¨¨. ëç¨- ᫨¬ á।­¥¥ §­ 祭¨¥ < nk > ¢ ¢ ¦­®¬ ¯à¥¤¥«ì­®¬ á«ãç ¥

< nk > 1:

(3.1)

¨§¨ç¥áª¨ íâ®â á«ãç © ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ᨫ쭮 à §à¥¦¥­­®¬ã £ §ã. ਬ¥­¨¬ ª ¬®«¥- ªã« ¬ £ § ª ­®­¨ç¥áª®¥ à á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¨¡¡á , à áᬠâਢ ï ®â¤¥«ì­ãî ¬®«¥ªã«ã ¢ ª ç¥á⢥ ¯®¤á¨áâ¥¬ë ¢ â¥à¬®áâ â¥. ®£¤ ïá­®, çâ® ¢¥à®ïâ­®áâì ¬®«¥ªã«¥ ­ å®- ¤¨âìáï ¢ k-¬ á®áâ®ï­¨¨, ¯®â®¬ã ¨ á।­¥¥ ç¨á«® < nk > ¬®«¥ªã« ¢ í⮬ á®áâ®ï­¨¨

1 §ã¬¥¥âáï, ¤«ï ãáâ ­®¢«¥­¨ï â¥à¬®¤¨­ ¬¨ç¥áª®£® à ¢­®¢¥á¨ï ¢á¥£¤ ­¥®¡å®¤¨¬® áãé¥á⢮- ¢ ­¨¥ ­¥ª®â®à®£®, å®âï-¡ë ®ç¥­ì á« ¡®£®, ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï (­ ¯à¨¬¥à ®ç¥­ì ।ª¨å á⮫ª­®¢¥­¨© ⮬®¢ (¬®«¥ªã«)). ਠ¢ëç¨á«¥­¨¨ à ¢­®¢¥á­ëå â¥à¬®¤¨­ ¬¨ç¥áª¨å ᢮©á⢠¢ ¬®¤¥«¨ ¨¤¥ «ì- ­®£® £ § ®¡ í⮬ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨¨ ¬®¦­® § ¡ëâì.

2 ®á«¥¤ãî饥 ¨§«®¦¥­¨¥ ¯®ç⨠楫¨ª®¬ ®á­®¢ ­® ­ [1, 2].

61

62
"
e;	k	, â ª çâ®
	T		"k
		< nk >= ae; T		(3.2)
£¤¥ ª®íää¨æ¨¥­â a ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨§ ãá«®¢¨ï ­®à¬¨à®¢ª¨:
		X
			< nk >= N	(3.3)
		k
£¤¥ N { ¯®«­®¥ ç¨á«® ç áâ¨æ ¢ £ §¥. á¯à¥¤¥«¥­¨¥ (3.2) ­ §ë¢ ¥âáï à á¯à¥¤¥«¥­¨¥¬
®«ìæ¬ ­ .
ਢ¥¤¥¬ ¤à㣮© ¢ ਠ­â ¢ë¢®¤			í⮣® à á¯à¥¤¥«¥­¨ï, ®á­®¢ ­­ë© ­	¯à¨¬¥­¥-
­¨¨ ¡®«ì讣® à á¯à¥¤¥«¥­¨ï ¨¡¡á			ª ᮢ®ªã¯­®á⨠¢á¥å ç áâ¨æ £ § , ­ 室ïé¨åáï

¢ ¤ ­­®¬ ª¢ ­â®¢®¬ á®áâ®ï­¨¨ (à áᬠâਢ ¥¬®© ª ª ¯®¤á¨á⥬ ¢ â¥à¬®áâ â¥). ®-

« £ ï ¢ ®¡é¥© ä®à¬ã«¥ à á¯à¥¤¥«¥­¨ï ¨¡¡á		á ¯¥à¥¬¥­­ë¬ ç¨á«®¬ ç áâ¨æ (2.58)
E = nk"k, N = nk ¨ ¯à¨¯¨áë¢ ï ¨­¤¥ªá k ¥é¥ ¨ ¢¥«¨ç¨­¥ , ¯®«ã稬:
wnk = e	k+nk( ;"k)		(3.4)
	T

k

ç áâ­®áâ¨, w0 = e T ¯а¥¤бв ¢«п¥в б®¡®© ¢¥а®пв­®бвм ¯®«­®£® ®вбгвбв¢¨п з бв¨ж ¢ ¤ ­­®¬ б®бв®п­¨¨. ¨­в¥а¥бгой¥¬ ­ б ¯а¥¤¥«¥ < nk > 1, ¢¥à®ïâ­®áâì w0 =

e Tk 1, ¯®í⮬㠨§ (3.4) ¬®¦­® ¯®«ãç¨âì:

w1 = e	;"k	(3.5)
	T

â® ¦¥ ª á ¥âáï ¢¥à®ïâ­®á⨠§­ 祭¨© nk > 1, â® ®­¨ ¢ ⮬ ¦¥ ¯à¨¡«¨¦¥­¨¨ ¤®«¦­ë ¡ëâì ¯®«®¦¥­ë à ¢­ë¬¨ ­ã«î. ®í⮬㠢 á㬬¥, ®¯à¥¤¥«ïî饩 < nk >, ®áâ ¥âáï ⮫쪮 ®¤­® á« £ ¥¬®¥:

< nk >=	X	wnk nk		= w1;	(3.6)
	nk
¨ ¬ë ¯®«ãç ¥¬:			;"k
< nk >= e					(3.7)
			T

ª¨¬ ®¡à §®¬, ª®íää¨æ¨¥­â ¢ ä®à¬ã«¥ (3.2) ®ª §ë¢ ¥âáï ¢ëà ¦¥­­ë¬ ç¥à¥§ å¨- ¬¨ç¥áª¨© ¯®â¥­æ¨ « £ § , ª®â®àë© ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¢ ­¥ï¢­®¬ ¢¨¤¥ ¨§ ãá«®¢¨ï ­®à- ¬¨à®¢ª¨ ­ ç¨á«® ç áâ¨æ (3.3).

á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ®«ìæ¬ ­ ¢ ª« áá¨ç¥áª®© áâ â¨á⨪¥.

।ë¤ã饥 à áᬮâ७¨¥ ¢¥«®áì ­ ª¢ ­â®¢®¬ ï§ëª¥. ®á¬®âਬ, ª ª ¢á¥ íâ® ¯¥- ९¨áë¢ ¥âáï ¢ ª« áᨪ¥. ¢¥¤¥¬ dN { á।­¥¥ ç¨á«® ¬®«¥ªã«, § ª«î祭­ëå ¢ í«¥¬¥­â¥ ®¡ê¥¬ ä §®¢®£® ¯à®áâà ­á⢠¬®«¥ªã«ë dpdq = dp1:::dprdq1:::dqr (§¤¥áì r { ç¨á«® á⥯¥­¥© ᢮¡®¤ë ¬®«¥ªã«ë). ¯¨è¥¬ ¥£® ¢ ¢¨¤¥:

dN = n(p; q)d d =	dpdq	(3.8)
	(2 h)r

63

£¤¥ n(p; q) ¯«®â­®áâì ¢¥à®ïâ­®á⨠¢ ä §®¢®¬ ¯à®áâà ­á⢥. ®£¤ :

n(p; q) = e	;"(p;q)	(3.9)
	T

£¤¥ "(p; q) { í­¥à£¨ï ¬®«¥ªã«ë ª ª äã­ªæ¨ï ª®®à¤¨­ â ¨ ¨¬¯ã«ìᮢ ¥¥ ⮬®¢.

«ï £ § ­¥ ­ 室ï饣®áï ¢ ª ª®¬-«¨¡® ¢­¥è­¥¬ ¯®«¥ ®âáî¤

¤®«¦­®, ®ç¥¢¨¤­®,

¯®«ãç¨âìáï à á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ªá¢¥«« 3:

N

px2

+py2 +pz2

dNp = V (2 mT)3=2 e;

dpxdpydpz

(3.10)

2mT

dNv =

N

m

3=2

e;

m(vx2 +vy2+vz2)

dvxdvydvz

(3.11)

2T

V

2 T

N

(2 )3=2h3(mT );3=2,

£¤¥ m { ¬ áá ¬®«¥ªã«ë. à ¢­¥­¨¥ (3.10) ¨ (3.9) ¤ ¥â e T =

V

â ª ç⮠娬¯®â¥­æ¨ « ¡®«ìæ¬ ­®¢áª®£® £ § :

N (2 )3=2h3

= T ln V

(mT )3=2

(3.12)

â®â १ã«ìâ â ¬®¦­® ¯®«ãç¨âì ¨ ­¥¯®á।á⢥­­® ¨§ ãá«®¢¨ï ­®à¬¨à®¢ª¨ (3.9)

­¯®«­®¥ ç¨á«® ç áâ¨æ ¢ ¥¤¨­¨æ¥ ®¡ê¥¬ (3.3). á ¬®¬ ¤¥«¥, ¢ ª« áá¨ç¥áª®¬

p2 +p2 +p2

¯à¨¡«¨¦¥­¨¨ "k = x y z , â ª çâ® (3.3) § ¯¨è¥âáï ª ª:

2m

X

;"k

Z

d3p

e;

px2 +py2 +pz2

N

e T

= N ¨«¨ e T

2mT

=

k

(2 h)3

V

çâ® ¨ ¤ ¥â (3.12) ¯®á«¥ ¢ëç¨á«¥­¨ï í«¥¬¥­â à­®£® £ ãáᮢ

¨­â¥£à « :

N

d3p

px2 +py2 +pz2

;1

N (2 )3=2h3

= T ln ( V

Z

e;

2mT

) = T ln V (mT )3=2

(2 h)3

(3.13)

(3.14)

ª¨¬ ®¡à §®¬ 娬¨ç¥áª¨© ¯®â¥­æ¨ « £ § ¯®«­®áâìî ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯«®â­®áâìî ç áâ¨æ £ § ¨ ⥬¯¥à âãன.

áᬮâਬ ⥯¥àì £ §, ­ 室ï騩áï ¢® ¢­¥è­¥¬ ¯®«¥, ¢ ª®â®à®¬ ¯®â¥­æ¨ «ì­ ï í­¥à£¨ï ¬®«¥ªã«ë § ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â ª®®à¤¨­ â ¥¥ 業âà ¨­¥à樨: U = U(x; y; z).¯à¨¬¥à à¥çì ¬®¦¥â ¡ëâì ® £à ¢¨â 樮­­®¬ ¯®«¥. ªá¢¥««®¢áª®¥ à á¯à¥¤¥«¥-

­¨¥ ¯® ᪮à®áâï¬ ®áâ ¥âáï, ª ª ¬ë ¢¨¤¥«¨ ¢ëè¥, ­¥¨§¬¥­­ë¬,				à á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¯®
ª®®à¤¨­ â ¬ 業âà ¨­¥à樨 ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®©:
dNr = n0e;	U(x;y;z)		dV	(3.15)
	T
çâ® ¨ ¤ ¥â ç¨á«® ¬®«¥ªã« ¢ í«¥¬¥­â¥ ¯à®áâà ­á⢥­­®£® ®¡ê¥¬				dV = dxdydz. à¨
í⮬ ¢¥«¨ç¨­		U(r)
n(r) = n0e;				(3.16)
		T

¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¯«®â­®áâì ç¨á« ç áâ¨æ ¢ â®çª¥ r. ®áâ®ï­­ ï n0 ¥áâì ¯«®â- ­®áâì ¢ â®çª å, £¤¥ U = 0. ëà ¦¥­¨¥ (3.16) ­ §ë¢ ¥âáï ä®à¬ã«®© ®«ìæ¬ ­ .

3 ®â«¨ç¨¥ ®â § ¯¨á¨ í⮣® à á¯à¥¤¥«¥­¨ï, à áᬮâ७­®© ¢ëè¥, §¤¥áì ¢¢¥¤¥­ ¤®¯®«­¨â¥«ì­ë© ¬­®¦¨â¥«ì N=V , á¢ï§ ­­ë© á ­®à¬¨à®¢ª®© ­ ¯«®â­®áâì ç¨á« ç áâ¨æ.

64

ª ç¥á⢥ ¯à¨¬¥à à áᬮâਬ £ § ¢ ®¤­®à®¤­®¬ £à ¢¨â 樮­­®¬ ¯®«¥ ( ¥¬«¨), ­ ¯à ¢«¥­­®¬ ¢¤®«ì ®á¨ z, â ª çâ® U = mgz (g { ã᪮७¨¥ ᢮¡®¤­®£® ¯ ¤¥­¨ï) ¨ ¤«ï à á¯à¥¤¥«¥­¨ï ¯«®â­®á⨠£ § ¯®«ãç ¥¬ ¡ ஬¥âà¨ç¥áªãî ä®à¬ã«ã:

n(z) = n0e;	mgz	(3.17)
	T

£¤¥ n0 { ¯«®â­®áâì ­ ã஢­¥ z = 0 (­ ã஢­¥ ¬®àï).

¥à ¢­®¢¥á­ë© ¨¤¥ «ì­ë© £ §.

áᬮâਬ ¨¤¥ «ì­ë© £ § ¢ ¯à®¨§¢®«ì­®¬ (­¥®¡ï§ ⥫쭮 à ¢­®¢¥á­®¬) á®áâ®ï­¨¨.।¯®«®¦¨¬, çâ® ¢á¥ ª¢ ­â®¢ë¥ á®áâ®ï­¨ï ®â¤¥«ì­®© ç áâ¨æë ¬®¦­® à á¯à¥¤¥- «¨âì ¯® ­¥ª®â®àë¬ £à㯯 ¬, ª ¦¤ ï ¨§ ª®â®àëå ᮤ¥à¦¨â ¡«¨§ª¨¥ ¯® í­¥à£¨ï¬ á®áâ®ï­¨ï, ¯à¨ç¥¬ ª ª ç¨á«® á®áâ®ï­¨© ¢ ª ¦¤®© £à㯯¥, â ª ¨ ç¨á«® ­ 室ïé¨åáï ¢ ­¨å ç áâ¨æ ¢á¥ ¦¥ ®ç¥­ì ¢¥«¨ª¨4. ¥à¥­ã¬¥à㥬 í⨠£à㯯ë á®áâ®ï­¨© ­®¬¥à ¬¨ j = 1; 2; ::: ¨ ¯ãáâì Gj ¥áâì ç¨á«® á®áâ®ï­¨© ¢ j-© £à㯯¥, Nj { ç¨á«® ç áâ¨æ ¢ íâ¨å á®áâ®ï­¨ïå. ®£¤ ­ ¡®à ç¨á¥« Nj ¡ã¤¥â ¯®«­®áâìî å à ªâ¥à¨§®¢ âì ¬ ªà®á®áâ®ï- ­¨¥ £ § , ¨å ¯à®¨§¢®«ì­®áâì ¨ ®§­ ç ¥â, çâ® á®áâ®ï­¨¥, á ª®â®àë¬ ¬ë ¨¬¥¥¬ ¤¥«®, ï¥âáï ¯à®¨§¢®«ì­ë¬ ­¥à ¢­®¢¥á­ë¬ á®áâ®ï­¨¥¬.

ëç¨á«¨¬ í­âய¨î â ª®£® á®áâ®ï­¨ï, ç⮠᢮¤¨âáï ª § ¤ ç¥ ®¡ ®¯à¥¤¥«¥­¨¨ áâ â¨áâ¨ç¥áª®£® ¢¥á ¤ ­­®£® ¬ ªà®á®áâ®ï­¨ï, â.¥. ç¨á« ¬¨ªà®áª®¯¨ç¥áª¨å ᯮ- ᮡ®¢, ª®â®à묨 íâ® á®áâ®ï­¨¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ®áãé¥á⢫¥­®. áᬠâਢ ï ª ¦¤ãî £à㯯㠨§ Nj ç áâ¨æ ª ª ­¥§ ¢¨á¨¬ãî ¯®¤á¨á⥬㠨 ®¡®§­ ç ï ç¥à¥§ j ¥¥ áâ ⢥á,

¨¬¥¥¬:
	= j	(3.18)
	j
	Y
¥¯¥àì ­ ¤® á®áç¨â âì j. áâ â¨á⨪¥ ®«ìæ¬ ­ á।­¨¥ ç¨á«		§ ¯®«­¥­¨ï ¢á¥å

ª¢ ­â®¢ëå á®áâ®ï­¨© ¬ «ë ¯® áà ¢­¥­¨î á ¥¤¨­¨æ¥©. â® §­ ç¨â, çâ® Nj Gj, å®âï á ¬¨ ¯® ᥡ¥ Nj ¢á¥ ¦¥ ®ç¥­ì ¢¥«¨ª¨. «®áâì ç¨á¥« § ¯®«­¥­¨ï ¯®§¢®«ï¥â áç¨â âì, çâ® ¢á¥ ç áâ¨æë à á¯à¥¤¥«¥­ë ¯® à §«¨ç­ë¬ á®áâ®ï­¨ï¬ ­¥§ ¢¨á¨¬® ¤à㣠®â ¤à㣠. ®¬¥é ï ª ¦¤ãî ¨§ Nj ç áâ¨æ ¢ ®¤­® ¨§ Gj á®áâ®ï­¨© ¯®«ã稬 ¢á¥£®

GNj j ¢®§¬®¦­ëå à á¯à¥¤¥«¥­¨©, á।¨ ª®â®àëå ¥áâì ®¤­ ª® ⮦¤¥á⢥­­ë¥, ®â«¨- ç î騥áï ⮫쪮 ¯¥à¥áâ ­®¢ª®© (®¤¨­ ª®¢ëå) ç áâ¨æ. ®í⮬ã ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ç¨á«® ­ã¦­® ¥é¥ ¯®¤¥«¨âì ­ Nj!, â ª çâ®:

j =

®£¤ í­âய¨ï £ § ¢ëç¨á«ï¥âáï ª ª:

S = ln = Xln j =

j

GNj j

Nj!

X(Nj ln Gj ; ln Nj!)

j

(3.19)

(3.20)

4 â® ¯à¥¤¯®«®¦¥­¨¥, ¯® áã⨠¤¥« , ­¥ ï¥âáï ®£à ­¨ç¥­¨¥¬ ®¡é­®á⨠­ 襣® ­ «¨§ .

			65
®á¯®«ì§ã¥¬áï ä®à¬ã«®© â¨à«¨­£ , á¯à ¢¥¤«¨¢®© ¯à¨ N 1 5:
		N
ln N! N ln e			(3.21)
¨ ¯®«ã稬:	X	Nj ln eGj
S =			(3.22)
	j	Nj

â ä®à¬ã« ®¯à¥¤¥«ï¥â í­âய¨î ¨¤¥ «ì­®£® £ § , ­ 室ï饣®áï ¢ ¯à®¨§¢®«ì- ­®¬ ¬ ªà®áª®¯¨ç¥áª®¬ á®áâ®ï­¨¨, ®¯à¥¤¥«ï¥¬®¬ ­ ¡®à®¬ ç¨á¥« Nj. ¥à¥¯¨è¥¬ ¥¥,

¢¢¥¤ï á।­¨¥ ç¨á« < nj > ç áâ¨æ ¢ ª ¦¤®¬ ¨§ ª¢ ­â®¢ëå á®áâ®ï­¨© j-© £à㯯ë
< nj >= Nj=Gj. ®£¤ :	X	e
	S = Gj < nj > ln		(3.23)
		< nj >
	j

᫨ ¤¢¨¦¥­¨¥ ç áâ¨æ ¬®¦­® à áᬮâà¥âì ª¢ §¨ª« áá¨ç¥áª¨, ¬®¦¥¬ ¯¥à¥©â¨ ª à á- ¯à¥¤¥«¥­¨î ç áâ¨æ ¢ ä §®¢®¬ ¯à®áâà ­á⢥. §¤¥«¨¬ ä §®¢®¥ ¯à®áâà ­á⢮ ­ ®¡ê¥¬ç¨ª¨ p(j) q(j), ª ¦¤ë© ¨§ ª®â®àëå ¬ «, ­® ᮤ¥à¦¨â ¢á¥ ¦¥ ¡®«ì讥 ç¨á«®

ç áâ¨æ. ¨á«	ª¢ ­â®¢ëå á®áâ®ï­¨©, ¯à¨å®¤ïé¨åáï ­									í⨠®¡ê¥¬ç¨ª, à ¢­ë (r {
ç¨á«® á⥯¥­¥© ᢮¡®¤ë ¬®«¥ªã«ë £ § , ¤«ï ®¤­® ⮬­®£® £ §											r = 3):
	Gj	=		p(j) q(j)			= (j);				(3.24)
					(2 h)r
ç¨á« ç áâ¨æ ¢ íâ¨å á®áâ®ï­¨ïå ­ ¯¨è¥¬ ¢ ¢¨¤¥ Nj										= n(p; q) (j). ®¤áâ ¢«ïï
í⨠¢ëà ¦¥­¨ï ¢ (3.23), ¯®«ãç ¥¬:
	S =		Z		d n(p; q) ln			e			(3.25)
								n(p; q)
{ ¡®«ìæ¬ ­®¢áªãî í­âய¨î ¨¤¥ «ì­®£® £ §							¢ ¯à®¨§¢®«ì­®¬ ­¥à ¢­®¢¥á­®¬ á®áâ®-
ï­¨¨, ®¯à¥¤¥«ï¥¬®¬ ®¤­®ç áâ¨ç­®© ä㭪樥© à á¯à¥¤¥«¥­¨ï n(p; q) 6.
ª á¢ï§ ­	¡®«ìæ¬ ­®¢áª ï í­âய¨ï (3.25) á £¨¡¡á®¢áª®© (1.167)? £¨¡¡á®¢-
᪮© í­âய¨¨:	S = ;Z				dpdq
						(p; q; t) ln (p; q; t)					(3.26)
		(2 h)3NN!
(p; q) ®¡®§­ з ¥в ¯®«­го N-з бв¨з­го дг­ªж¨о а б¯а¥¤¥«¥­¨п, § ¢¨бпйго ®в
ª®®à¤¨­ â ¨ ¨¬¯ã«ìᮢ ¢á¥å N ¬®«¥ªã« ¢ £ §¥. «ï ¨¤¥ «ì­®£® £ § , ¢ ª®â®à®¬ ç -
áâ¨æë ­¥ ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîâ, íâ		äã­ªæ¨ï à á¯à¥¤¥«¥­¨ï ®ç¥¢¨¤­ë¬ ®¡à §®¬ ä ª-

в®а¨§г¥вбп (бв в¨бв¨з¥бª п ­¥§ ¢¨б¨¬®бвм { ®вбгвбв¢¨¥ ¢§ ¨¬®¤¥©бв¢¨п!) ­ ¯а®- ¨§¢¥¤¥­¨¥ (®¤­®з бв¨з­ле) дг­ªж¨© а б¯а¥¤¥«¥­¨п ®в¤¥«м­ле з бв¨ж:

		(p; q) =		N!	N	n(pi; qi)		(3.27)
				NN	i=1
					Y		R	N dx ln x, ®âªã¤ ¨
5 ਠN 1 á㬬
		ln N! = ln1 + ln2 + ::: + ln N ¯à¨¡«¨¦¥­­® ᢮¤¨âáï ª
á«¥¤ã¥â (3.21).								0
6
	ã­ªæ¨ï à á¯à¥¤¥«¥­¨ï n(p; q) ¬®¦¥â § ¢¨á¥âì ®â ¢à¥¬¥­¨, ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï § ¢¨á¨¬®áâì ¬®-
¦¥â ¡ëâì à ááç¨â ­		á ¯®¬®éìî ª¨­¥â¨ç¥áª®£® ãà ¢­¥­¨ï ®«ìæ¬ ­ . ¬¥­­® ¤«ï í­âய¨¨ (3.25)

¢ à ¬ª å ª¨­¥â¨ç¥áª®© ⥮ਨ ¤®ª §ë¢ ¥âáï H-⥮६ ®«ìæ¬ ­ , ®¯¨áë¢ îé ï ¢®§à áâ ­¨¥ (3.25) á à®á⮬ ¢à¥¬¥­¨.

66
£¤¥ ®¤­®ç áâ¨ç­ë¥ ä㭪樨 à á¯à¥¤¥«¥­¨ï n(pi; qi) ­®à¬¨à㥬 ª ª (¨¬¥¥¬ ¢¢¨¤ã
®¤­® ⮬­ë© £ §, â.¥. r = 3.):
			dp1dq1
			Z (2 h)3 n(p1	; q1) = N					(3.28)
­®¦¨â¥«ì N!=NN ¢ (3.27) ᮣ« á®¢ë¢ ¥â íâã ­®à¬¨à®¢ªã á ¯à¨­ï⮩ ¢ëè¥ ¤«ï
(p; q):
1			dp1dq1	N			dpdq
Z d; (p; q) =		Z	(2 h)3 n(p1; q1) = 1			d; =			(3.29)
	N						(2 h)3N N!
®£¤ ¨á¯®«ì§ãï (3.27), (3.21) ¢ (3.26), ¯®«ãç ¥¬:
			dp1dq1		n(p1; q1)
	S = ;Z (2 h)3 n(p1			; q1) ln		e			(3.30)

ç⮠ᮢ¯ ¤ ¥â á (3.25).

á®áâ®ï­¨¨ à ¢­®¢¥á¨ï í­âய¨ï ¤®«¦­ ¨¬¥âì ¬ ªá¨¬ «ì­®¥ §­ 祭¨¥. § í⮣® âॡ®¢ ­¨ï ¬®¦­® ­ ©â¨ à ¢­®¢¥á­ãî äã­ªæ¨î à á¯à¥¤¥«¥­¨ï. ©¤¥¬ â - ª¨¥ < nj >, ¯à¨ ª®â®àëå á㬬 (3.23) ¨¬¥¥â ¬ ªá¨¬ã¬, ¯à¨ ¢ë¯®«­¥­¨¨ ¤®¯®«­¨- ⥫ì­ëå ãá«®¢¨© ¯®áâ®ï­á⢠ç¨á« ç áâ¨æ ¨ á।­¥© í­¥à£¨¨:

X			Nj		=	X	Gj < nj >= N	(3.31)
j						j
X	"jNj				=	X	"j Gj < nj >= E	(3.32)
j						j
®á¯®«ì§ã¥¬áï ¬¥â®¤®¬ ­¥®¯à¥¤¥«¥­­ëå ¬­®¦¨â¥«¥© £à ­¦								¨ à áᬮâਬ
ãá«®¢¨¥:
		@		(S + N + E) = 0				(3.33)
		@nj

£¤¥ ¨ { ­¥ª®â®àë¥ ¯®áâ®ï­­ë¥. ஢®¤ï ¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨¥, ­ 室¨¬:

Gj(;ln < nj > + + "j) = 0	(3.34)
®âªã¤ ln < nj >= + "j, ¨«¨
< nj >= exp( + "j)	(3.35)

â® ®¯ïâì ¥áâì à á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ®«ìæ¬ ­ , ¯®áâ®ï­­ë¥ ¨ á¢ï§ ­ë á T ¨ := =T , = ;1=T . ®á«¥¤­¥¥ ïá­®, ¢ ç áâ­®áâ¨, ¨ ¨§ ⮣® ®¡áâ®ï⥫ìá⢠, çâ® (3.33) ¬®¦­® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ ᮮ⭮襭¨ï ¬¥¦¤ã ¤¨ää¥à¥­æ¨ « ¬¨: dS + dN +dE = 0, çâ® ¤®«¦­® ᮢ¯ ¤ âì á ¨§¢¥áâ­ë¬ ¨§ â¥à¬®¤¨­ ¬¨ª¨ ¢ëà ¦¥­¨¥¬ ¤«ï ¤¨ää¥à¥­æ¨ « ¢­ãâ७­¥© í­¥à£¨¨ (¯à¨ 䨪á¨à®¢ ­­®¬ ®¡ê¥¬¥) dE = T dS+ dN.

67

¢®¡®¤­ ï í­¥à£¨ï ¡®«ìæ¬ ­®¢áª®£® ¨¤¥- «ì­®£® £ § .

ਬ¥­¨¬ ®á­®¢­ãî ä®à¬ã«ã áâ â¨áâ¨ç¥áª®© ¬¥å ­¨ª¨:

X	En
F = ;T ln Z = ;T ln e; T		(3.36)
n

¤«ï ¢ëç¨á«¥­¨ï ᢮¡®¤­®© í­¥à£¨¨ ¨¤¥ «ì­®£® £ § , ¯®¤ç¨­ïî饣®áï áâ â¨á⨪¥®«ìæ¬ ­ . ஢­¨ í­¥à£¨¨ á¨áâ¥¬ë ¢ 楫®¬ En ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®© á㬬ë í­¥à- £¨© "k, ª®â®àë¥ ¢ ¡®«ìæ¬ ­®¢áª®¬ á«ãç ¥ ¬®¦­® áç¨â âì ¢á¥ à §«¨ç­ë¬¨ ¬¥¦¤ã

ᮡ®© (¯®áª®«ìªã ¢ ª ¦¤®¬ á®áâ®ï­¨¨ ¨¬¥¥âáï ­¥ ¡®«¥¥ ®¤­®© ¬®«¥ªã«ë). ®£¤ ,

En "k

§ ¯¨áë¢ ï e; T ¢ ¢¨¤¥ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨ï ¬­®¦¨â¥«¥© e; T ¤«ï ª ¦¤®© ¨§ ¬®«¥ªã« ¨ á㬬¨àãï ­¥§ ¢¨á¨¬® ¯® ¢á¥¬ á®áâ®ï­¨ï¬ ª ¦¤®© ¬®«¥ªã«ë, ¯®«ã稬 ¤«ï áâ â- áã¬¬ë £ § á«¥¤ãî饥 ¢ëà ¦¥­¨¥7:

	X			!	N
		"
Z		e;	k		(3.37)
			T
	k

â® ¢ëà ¦¥­¨¥ ­ ¤® ¥é¥ à §¤¥«¨âì ­ N! { ç¨á«® ¯¥à¥áâ ­®¢®ª ⮦¤¥á⢥­­ëå ç áâ¨æ (¬®«¥ªã«). ®£¤ ¨¬¥¥¬:

X						X		N
	En		1				"k	!
Z = e; T		=					e; T		(3.38)
			N	!
n						k

®¤áâ ¢«ïï íâ® ¢ëà ¦¥­¨¥ ¢ (3.36), ¯®«ãç ¥¬:

X		"
F = ;T N ln e;			k	+ T ln N!				(3.39)
			T
k
¨«¨, ¢®á¯®«ì§®¢ ¢è¨áì á­®¢ ln N! N ln N=e, ¨¬¥¥¬:
F = ;NT ln (	e	X				"k	)
					e; T			(3.40)
	N		k

ª« áá¨ç¥áª®© áâ â¨á⨪¥ ¬®¦­® áà §ã ­ ¯¨á âì:

	e		"(p;q)		drpdrq
F = ;NT ln		Z d e;	T	d =	(2 h)r	(3.41)
	N

£¤¥ r ®¯ïâì ç¨á«® á⥯¥­¥© ᢮¡®¤ë ¬®«¥ªã«ë £ § .

7 ¬¥¥¬ e; ETn = e; "kT1 e; "kT2 :::e;"kTN , £¤¥ ¢á¥£® N ¬­®¦¨â¥«¥©, ¯à¨ç¥¬ ¢á¥ kL(L = 1; 2; :::; N ) à §­ë¥. ⥬ ¢ëç¨á«ï¥¬ Pk1 Pk2 ::: PkN ! ;Pk N , çâ® ¨ ¤ ¥â (3.37)

68

à ¢­¥­¨¥ á®áâ®ï­¨ï ¨¤¥ «ì­®£® £ § .

­¥à£¨î ¬®«¥ªã«ë £ § ¬®¦­® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥:

"k(px; py; pz) =	p2	+ p2	+ p2
	x	y	z + "0		(3.42)
		2m	k
£¤¥ ¯¥à¢ë© ç«¥­ { ª¨­¥â¨ç¥áª ï í­¥à£¨ï ¯®áâ㯠⥫쭮£® ¤¢¨¦¥­¨ï,				"0	{ ¢­ã-
				k

â७­¨¥ ã஢­¨ í­¥à£¨¨ ¬®«¥ªã«ë (ᮮ⢥âáâ¢ãî騥, ­ ¯à¨¬¥à, ¥¥ ¢à 饭¨î, ª®- «¥¡ ­¨ï¬ ⮬®¢ ¢¡«¨§¨ ¨å ¯®«®¦¥­¨© à ¢­®¢¥á¨ï, ¢­ãâਠ⮬­ë¬ ã஢­ï¬ ¨ â.¤.).

ਠí⮬ ¢ ¦­®, çâ® "0k ­¥ § ¢¨áï⠮⠨¬¯ã«ìᮢ (᪮à®á⥩) ¨ ª®®à¤¨­ â 業âà

¨­¥à樨 ¬®«¥ªã«ë. ®£¤

Z

á㬬 , áâ®ïé ï ¯®¤ §­ ª®¬ ln ¢ (3.40), à ¢­ 8:

X

Z;1

Z;1

Z;1

1

"0

1 dpx

1 dpy

1 dpze;

p2

+p2

+p2

e;

k

dV

x

y

z

=

k

(2 h)3

T

V

2mT

mT

3=2

X

0

"k

=

V

e; T

(3.43)

2 h2

k

®£¤ ᢮¡®¤­ ï í­¥à£¨ï £ §

§ ¯¨áë¢ ¥âáï ª ª:

eV

mT

3=2

X

0

eV

mT

3=2

"k

F = ;NT ln "

e;

T # = ;NT ln " N

Z0#

(3.44)

N

2 h2

k

2 h2

P

"0

£¤¥ ¢¢¥«¨ \¢­ãâ७­îî" áâ âá㬬㠬®«¥ªã«ë Z0 =

k e;

k

T

. â

á㬬

­¥ ¬®¦¥â

¡ëâì ¢ëç¨á«¥­ ¢ ®¡é¥¬ ¢¨¤¥, âॡã¥âáï §­ ­¨¥ ¢­ãâ७­¨å ã஢­¥© í­¥à£¨¨ ¬®- «¥ªã« ¤ ­­®£® £ § . ¦­®, ®¤­ ª®, çâ® ®­ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¯à®áâ® ­¥ª®â®àãî äã­ªæ¨î ⥬¯¥à âãàë, â ª çâ® (3.44) ¤ ¥â ¯®«­®¥ ®¯¨á ­¨¥ § ¢¨á¨¬®á⨠᢮¡®¤­®© í­¥à£¨¨ ®â ®¡ê¥¬ . 뤥«ïï ¢ (3.44) ç«¥­ § ¢¨áï騩 ⮫쪮 ®â ®¡ê¥¬ , ¨¬¥¥¬:

NT ln eV

mT

3=2

F =

+ Nf(T );

f(T ) =

T ln

Z0

(3.45)

;

;

2 h

N

2

®£¤ ¤«ï ¤ ¢«¥­¨ï £ § ­¥¬¥¤«¥­­® ¯®«ãç ¥¬:

@F

NT

P = ;@V

=

V

¨«¨

P V = NT

(3.46)

¨«¨ ãà ¢­¥­¨¥ á®áâ®ï­¨ï ¨¤¥ «ì­®£® £ § . ᫨ ¨§¬¥àïâì ⥬¯¥à âãàã ¢ £à ¤ãá å:

P V = NkBT = RT

(3.47)

«ï £à ¬¬{¬®«¥ªã«ë £ § N = 6:023 1023 (ç¨á«® ¢®£ ¤à®), R = 8:314 107íà£/£à ¤, kB = 1:3804 10;16íà£/£à ¤.

­ ï F , ¬®¦­® ­ ©â¨ ¨ ¤à㣨¥ â¥à¬®¤¨­ ¬¨ç¥áª¨¥ ¢¥«¨ç¨­ë. ¯à¨¬¥à, â¥à- ¬®¤¨­ ¬¨ç¥áª¨© ¯®â¥­æ¨ « ¨¡¡á ¥áâì:

eV

= F + P V = E ; T S + P V = W ; T S = ;NT ln N + Nf(T ) + P V (3.48)

8 ­â¥£à « ¯® dV §¤¥áì á¢ï§ ­ á ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¥¬ ¯® ª®®à¤¨­ â ¬ 業âà ¨­¥à樨 ¬®«¥ªã«ë ¨ ¤ ¥â ¯à®áâ® ¯®«­ë© ®¡ê¥¬, § ­¨¬ ¥¬ë© £ §®¬ V .

69

£¤¥ W { í­â «ì¯¨ï. ¬¥­ïï V ç¥à¥§ P ¨ T á ¯®¬®éìî ãà ¢­¥­¨ï á®áâ®ï­¨ï (3.46),

çâ®¡ë ¢ëà §¨âì ª ª äã­ªæ¨î P ¨ T (­ ¯®¬­¨¬, çâ® d = ;SdT + V dP ) ¨ ¢¢®¤ï
­®¢ãî äã­ªæ¨î ⥬¯¥à âãàë (T ) = f(T ) ; T ln T , ¯®«ãç ¥¬:
= NT ln P + N (T)			(3.49)
­âய¨ï £ § (­ ¯®¬­¨¬, çâ® dF = ;SdT ; P dV ):
S = ;@F@T = N ln eVN ; Nf0(T )			(3.50)
¨«¨, ª ª äã­ªæ¨ï P ¨ T :
S = ;	@	= ;N ln P ; N 0(T )	(3.51)
	@T
­ãâ७­ïï í­¥à£¨ï £ § :
E = F + T S = Nf(T ) ; NT f0(T )			(3.52)

¨ ï¥âáï ä㭪樥© ®¤­®© ⮫쪮 ⥬¯¥à âãàë, â® ¦¥ ¢¥à­® ¨ ¤«ï í­â «ì¯¨¨ W = E + P V = E + NT . â® ¬®¦­® «¥£ª® ¯®­ïâì { ¬®«¥ªã«ë ¨¤¥ «ì­®£® £ § ­¥ ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîâ, â ª çâ® ¨§¬¥­¥­¨¥ á।­¥£® à ááâ®ï­¨ï ¬¥¦¤ã ­¨¬¨ ¯à¨ ¨§¬¥­¥-

­¨¨ ®¡é¥£® ®¡ê¥¬ ­¥ ¬®¦¥â ᪠§ âìáï ­ ¥£® í­¥à£¨¨. ¬¥á⥠á E											¨ W äã­ªæ¨ï¬¨
T п¢«повбп ¨ в¥¯«®¥¬ª®бв¨ Cv =	;	@E			¨ Cp =	;	@W			. áâ® ¨á¯®«ì§ãîâ ⥯«®-
		@T		V			@T		P
¥¬ª®á⨠¢ à áç¥â¥ ­ ®¤­ã ¬®«¥ªã«ã: Cv = Ncv						¨ Cp = Ncp. «ï ¨¤¥ «ì­®£® £ §
W ; E = NT , â ª çâ® à §­®áâì cp ; cv ¨¬¥¥â ã­¨¢¥àá «ì­®¥ §­ 祭¨¥:
cp ; cv = 1			¨«¨ cp ; cv = kB								(3.53)
à áç¥â¥ ­ £à ¬¬-¬®«¥ªã«ã CP ; CV = R.

¤¥ «ì­ë© £ § á ¯®áâ®ï­­®© ⥯«®¥¬ª®- áâìî.

ªá¯¥à¨¬¥­â «ì­® ¨§¢¥áâ­®, çâ® ¢ è¨à®ª®¬ ¨­â¥à¢ «¥ ¤®áâ â®ç­® ¢ë᮪¨å ⥬¯¥- à âãà ⥯«®¥¬ª®áâì £ §®¢ ®ª §ë¢ ¥âáï ¯®áâ®ï­­®© ¢¥«¨ç¨­®©, ­¥ § ¢¨áï饩 ®â T.¨§¨ç¥áª¨¥ ¯à¨ç¨­ë í⮣® áâ ­ãâ ïá­ë ­¨¦¥, ᥩç á ¬ë ¯®ª ¦¥¬, çâ® ¢ ¯à¥¤¯®- «®¦¥­¨¨ ¯®áâ®ï­á⢠⥯«®¥¬ª®áâ¨, â¥à¬®¤¨­ ¬¨ç¥áª¨¥ ¢¥«¨ç¨­ë £ § ¬®£ãâ ¡ëâì ¢ëç¨á«¥­ë ¢ ®¡é¥¬ ¢¨¤¥. ¨¬¥­­®, ¬®¦¥â ¡ëâì ®¯à¥¤¥«¥­ ¢ ®¡é¥¬ ¢¨¤¥ ­¥¨§¢¥áâ- ­ ï äã­ªæ¨ï ⥬¯¥à âãàë f(T ), ¢¢¥¤¥­­ ï ¢ëè¥ ¢ (3.45). ª §ë¢ ¥âáï, çâ® ¢ í⮬ á«ãç ¥ ­ ¬ ­¥ ­ã¦­® ¢ëç¨á«ïâì ¢å®¤ïéãî ¢ ­¥¥ \¢­ãâ७­îî" áâ âá㬬ã Z0. á ¬®¬ ¤¥«¥, ¤¨ää¥à¥­æ¨àãï ¯® ⥬¯¥à âãॠ¢ëà ¦¥­¨¥ (3.52) ¤«ï ¢­ãâ७­¥© í­¥à- £¨¨ ­ 室¨¬:

cv = ;T f00(T )	(3.54)
ç¨â ï ⥯«®¥¬ª®áâì ª®­á⠭⮩, ®¯à¥¤¥«ï¥¬®© ¨§ íªá¯¥à¨¬¥­â , ¨­â¥£à¨à㥬
(3.54) ¤¢ ¦¤ë ¨ ¯®«ãç ¥¬:
f(T) = ;cvT ln T ; T + "0	(3.55)