Статистическая физика

170

â â¨áâ¨ç¥áª ï á㬬 â ª®© á¨á⥬ë ᯨ­®¢ ¨¬¥¥â ¢¨¤:

	X		~	N	m1=S		mN =S		N
				X	X		X		X
Z =	S	exp	;T	i=1 SiH! = m1=		S	::: mN=	S exp	x i=1 mi!	(9.2)
					;		;
£¤¥					~H
				x						(9.3)
					T

¯¥à æ¨ï á㬬¨à®¢ ­¨ï ¢ (9.2) ®á®¡¥­­® ¯à®áâ ¤«ï S = 1=2:

Y

<

X;

=

Z =

N

8 mi=1=2

exp(xmi)9 =

i=1

:

mi=

1=2

N

N

;

Y

N

1

1

=

i=1

2ch

2x

= 2

ch

2x

ਠ¯à®¨§¢®«ì­®¬ S ¨¬¥¥¬:

Z =

exp(;xS)[1

; expf(2S + 1)xg]

N =

sh f(S + 1=2)xg

N

1 ; exp(x)

sh(x=2)

®®â¢¥âá⢥­­®, ¤«ï ᢮¡®¤­®© í­¥à£¨¨ á¨áâ¥¬ë ¯®«ãç ¥¬:

F (T; H) = ;T ln Z = ;NT ln sh f(S + 1=2)xg sh(x=2)

âáî¤ ­ ¬ £­¨ç¥­­®áâì:
M(T; H) = ;		@F		= T	@	ln Z = M0BS (Sx)
		@H			@H
				T

(9.4)

(9.5)

(9.6)

(9.7)

£¤¥ M0 M(T = 0; H = 0) = NS ~ = NSg B { ¬ ªá¨¬ «ì­ ï ¢¥«¨ç¨­									­ ¬ £­¨-
祭­®áâ¨,
	2S + 1		2S + 1	1		1
BS (x)		cth		x ;		cth		x	(9.8)
	2S		2S		2S		2S
{ â ª ­ §ë¢ ¥¬ ï äã­ªæ¨ï ਫ«îí­			. â	äã­ªæ¨ï á¢ï§ë¢ ¥â ­ ¬ £­¨ç¥­­®áâì

á¨á⥬ë ᯨ­®¢ ¯ à ¬ £­¥â¨ª á ¢¥«¨ç¨­®© ¯à¨«®¦¥­­®£® ¯®«ï, ®­	¯®ª § ­ ­
¨á. 9-1. ç áâ­®¬ á«ãç ¥ S = 1=2 äã­ªæ¨ï ਫ«îí­ à ¢­ :
1
B1=2 2x = 2cth(x) ; cth(x=2) = th(x=2):	(9.9)

§ ¨б. 9-1 ¢¨¤­®, зв® M = 0 ¯а¨ H = 0, ª ª ¨ ¤®«¦­® ¡лвм ¢ ¯ а ¬ £­¥в¨ª¥.д¥а஬ £­¥в¨ª е б¨вг ж¨п ¨­ п, б¯¨­л ¢§ ¨¬®¤¥©бв¢гов ¬¥¦¤г б®¡®©, ¨ ¯а¨ ­¨§ª¨е в¥¬¯¥а вга е ¢ б¨бв¥¬¥ ¨¬¥¥вбп б¯®­в ­­ п ­ ¬ £­¨з¥­­®бвм, бгй¥бв¢го- й п ¨ ¢ ®вбгвбв¢¨¥ ¢­¥и­¥£® ¯®«п, в.¥. ¯а¨ H = 0. б­®¢­®¥ ¯а¥¤¯®«®¦¥­¨¥ в¥®а¨¨ ¬®«¥ªг«па­®£® (ба¥¤­¥£®) ¯®«п б®бв®¨в ¢ ⮬, зв® ¢§ ¨¬®¤¥©бв¢¨¥ б¯¨­®¢ ¯а¨¢®- ¤¨в ª ¢®§­¨ª­®¢¥­¨о ­¥ª®в®а®£® \¬®«¥ªг«па­®£®" ¬ £­¨в­®£® ¯®«п Hm, ª®в®а®¥ ¤®¡ ¢«п¥вбп ª ¢­¥и­¥¬г ¯®«о H. а¥¤¯®« £ ¥вбп, зв® нв® ¯®«¥ ¯а®¯®аж¨®­ «м­® ­ ¬ £­¨з¥­­®бв¨ б¨бв¥¬л:

Hm = M(T; H)

(9.10)

171

¨á. 9-1 ¢¨á¨¬®áâì ®â­®á¨â¥«ì­®© ­ ¬ £­¨ç¥­­®á⨠¯ à ¬ £­¥â¨ª	= M=M0 ®â
®â ¯ à ¬¥âà ~HS=T, ®¯¨áë¢ ¥¬ ï ä㭪樥© ਫ«îí­ ¤«ï à §«¨ç­ëå §­ 祭¨©
ᯨ­ S.
â ª çâ® íä䥪⨢­®¥ ¯®«¥, ¤¥©áâ¢ãî饥 ­ ª ¦¤ë© ᯨ­ à ¢­®:
Heff = H + M(T; H)	(9.11)

à ¬¥âà > 0 ­ §ë¢ ¥âáï ¯ à ¬¥â஬ ¬®«¥ªã«ïà­®£® ¯®«ï. ᥠ¯®«ã祭­ë¥

¢ëè¥ á®®â­®è¥­¨ï ®áâ îâáï ⮣¤ ¢ ᨫ¥, ­ã¦­® ⮫쪮 ®áãé¥á⢨âì				§ ¬¥­ã
H ! Heff . ç áâ­®áâ¨, ¯à¨ â ª®© § ¬¥­¥ ¨§ (9.7) ¯®«ãç ¥¬:
M = M0BS	~S	(H + M)		(9.12)
	T
ਠH = 0 ¢®§­¨ª ¥â ãà ¢­¥­¨¥ ¤«ï ­ ¬ £­¨ç¥­­®á⨠M:
		~ M	S
M = M0BS T				(9.13)
à ä¨ç¥áª®¥ à¥è¥­¨¥ í⮣® ãà ¢­¥­¨ï ¨§®¡à ¦¥­® ­ ¨á. 9-2. à ¢­¥­¨¥ (9.13)

¨¬¥¥â âਢ¨ «ì­®¥ à¥è¥­¨¥ M = 0 ¤«ï ¢á¥å §­ 祭¨© T . ¤­ ª® áãé¥áâ¢ã¥â ¥é¥

¨ ¢â®à®¥ à¥è¥­¨¥ M = 0, ª®£¤		­ ç «ì­ë© ãç á⮪ £à 䨪 ¯à ¢®© ç á⨠(9.13)
¨¤¥â ¡®«¥¥ ªàãâ®, 祬6«¥¢ ï ç áâì. â®¡ë ¨áá«¥¤®¢ âì íâ®â ¢®¯à®á							­ «¨â¨ç¥áª¨,
¯à®¢¥¤¥¬ à §«®¦¥­¨¥ ä㭪樨 ਫ«îí­					¢ àï¤:
BS(x) =	S + 1		x ;	S + 1 2S2 + 2S + 1		x3 + :::	(9.14)
	3S			3S	30S2

®£¤ ­ ç «ì­ë© ­ ª«®­ ªà¨¢®©, ¨§®¡à ¦ î騩 § ¢¨á¨¬®áâì ¯à ¢®© ç á⨠(9.13), ®¯à¥¤¥«¨âáï ¢ëà ¦¥­¨¥¬:

M0	S + 1		~S
	3S		T	= C T	(9.15)

172

¨á. 9-2 à ä¨ç¥áª®¥ à¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨ï ¤«ï ­ ¬ £­¨ç¥­­®á⨠¢ ⥮ਨ ¬®«¥ªã«ïà- ­®£® ¯®«ï ( = 1=T ).

£¤¥ ¢¢¥«¨ ¯®áâ®ï­­ãî îà¨:

C	N ~2S(S + 1)	(9.16)
	3

¢ëà §¨¢ M0 ç¥à¥§ ¬¨ªà®¯ à ¬¥âàë, ᮣ« á­® ä®à¬ã«¥, ¯à¨¢¥¤¥­­®© ¯®á«¥ (9.7).¥¯¥àì ¨§ (9.15) ¢¨¤­®, çâ® ­¥âਢ¨ «ì­®¥ à¥è¥­¨¥ áãé¥áâ¢ã¥â ¯à¨ T < C, ®âªã¤ ïá­®, çâ® ªà¨â¨ç¥áª ï ⥬¯¥à âãà ä §®¢®£® ¯¥à¥å®¤ ¢ ä¥à஬ £­¨â­®¥ á®áâ®ï­¨¥ ¢ ⥮ਨ ¬®«¥ªã«ïà­®£® ¯®«ï à ¢­ :

Tc = C

(9.17)

ਠ⠪¨å ⥬¯¥à âãà å M 6= 0 ¤ ¦¥ ¢ ®вбгвбв¢¨¥ ¢­¥и­¥£® ¬ £­¨в­®£® ¯®«п.¥¬¯¥а вга ¯¥а¥е®¤ Tc, ®ç¥¢¨¤­®, áâ६¨âáï ª ­ã«î ¯à¨ ! 0, ª®£¤ ¬ë ¢®§¢à - é ¥¬áï ª á«ãç î ¯ à ¬ £­¥â¨ª .

áᬮâਬ ¢®¯à®á ® ¯à®¨á宦¤¥­¨¨ ¬®«¥ªã«ïà­®£® ¯®«ï á ¬¨ªà®áª®¯¨ç¥áª®© â®çª¨ §à¥­¨ï. ®á­®¢¥ ¡®«ì設á⢠¬®¤¥«¥© ¬ £­¨â­®£® 㯮à冷祭¨ï «¥¦¨â ¯à¥¤- áâ ¢«¥­¨¥ ®¡ ®¡¬¥­­®© ¯à¨à®¤¥ ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï ᯨ­®¢, ª®â®à®¥ ¢ ¯à®á⥩襬 á«ã- ç ¥ ®¯¨áë¢ ¥âáï ¬®¤¥«ìî ¥©§¥­¡¥à£ , £ ¬¨«ìâ®­¨ ­ ª®â®à®© ¨¬¥¥â ¢¨¤:

1	X	X
H = ;2	i=j Jij SiSj ; ~	i	SiH	(9.18)
	6

£¤¥ Jij { â ª ­ §ë¢ ¥¬ë© ®¡¬¥­­ë© ¨­â¥£à «, ª®â®àë© ¢ë¡¨à ¥¬ ¯®«®¦¨â¥«ì­ë¬ (á«ãç © ä¥à஬ £­¨â­®£® 㯮à冷祭¨ï).

áâ® à áᬠâਢ ¥âáï ¨ ¡®«¥¥ ¯à®á⮩ ¢ ਠ­â â ª ­ §ë¢ ¥¬®© ¬®¤¥«¨ §¨­£ , íª¢¨¢ «¥­â­ë© (9.18), ¢ ª®â®à®© ®áâ ¢«¥­ë ⮫쪮 Sz ª®¬¯®­¥­âë ᯨ­ . ¥ £ - ¬¨«ìâ®­¨ ­ ®¡ëç­® § ¯¨áë¢ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥:

1	X	X
H = ;2	i=j Jijsisj ; ~	i	siH	(9.19)
	6

										173
£¤¥ ¯¥à¥¬¥­­ë¥ si = 1. ¬¥â¨¬, çâ® ¬®¤¥«ì §¨­£								¬®¦¥â ¡ëâì à¥è¥­		â®ç­®
­ ¤¢ã¬¥à­®© à¥è¥âª¥ [1, 2]. â® à¥è¥­¨¥ ­á £¥à ¨£à ¥â ®ç¥­ì ¡®«ìèãî à®«ì ¢
⥮ਨ ä §®¢ëå ¯¥à¥å®¤®¢, ­® ¬ë ¥£® à áᬠâਢ âì ­¥ ¡ã¤¥¬.
®¤¥«ì ¬®«¥ªã«ïà­®£® ¯®«ï ᢮¤¨âáï ª ¯à¨¡«¨¦¥­­®© § ¬¥­¥ (9.18) ­										íä䥪-
⨢­ë© £ ¬¨«ìâ®­¨ ­ ¢¨¤ :						X
X
H = ; i=j Jij < Sz > Siz ; ~ i SizH										(9.20)
6
£¤¥ ¬ £­¨â­®¥ ¯®«¥ áç¨â ¥âáï ­ ¯à ¢«¥­­ë¬ ¯® ®á¨ z,									< Sz > ®¡®§­ ç ¥â á।-
­¥¥ §­ 祭¨¥ z-ª®¬¯®­¥­âë ᯨ­	­			«î¡®¬ 㧫¥ à¥è¥âª¨. á­®, çâ® ¯à¨ (9.20)
íª¢¨¢ «¥­â­® à áᬮâ७­®© ¢ëè¥ ¬®¤¥«¨ ᢮¡®¤­ëå ᯨ­®¢, ­ 室ïé¨åáï ¢ íä-
䥪⨢­®¬ (¬®«¥ªã«ïà­®¬) ¯®«¥, ­ ¯à ¢«¥­­®¬ ¢¤®«ì ®á¨ z, á«¥¤ãî饣® ¢¨¤ :
Heff = H +		J0		< Sz >= H +			J0		M	(9.21)
			~				N ~2
£¤¥			X
J0 =					Jij	Jii = 0				(9.22)

j

®¦­® ᪠§ âì, çâ® ¬®«¥ªã«ïà­®¥ ¯®«¥ ­ ¤ ­­®¬ 㧫¥ ᮧ¤ ¥âáï á ¬®á®£« ᮢ ­- ­ë¬ ®¡à §®¬ ¢á¥¬¨ ®áâ «ì­ë¬¨ ᯨ­ ¬¨ á¨á⥬ë. à ¢­¨¢ ï (9.21) á (9.11), ¢¨¤¨¬, çâ® ª®­áâ ­â ¬®«¥ªã«ïà­®£® ¯®«ï ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¢ í⮩ ¬®¤¥«¨ ¢ëà ¦¥­¨¥¬:

	=	J0		(9.23)
		N ~2
	®£¤ ¨§ (9.17) á«¥¤ã¥â, çâ® ªà¨â¨ç¥áª ï ⥬¯¥à âãà			ä §®¢®£® ¯¥à¥å®¤ ¢ ä¥àà®-
	¬ £­¨â­®¥ á®áâ®ï­¨¥ à ¢­ :
	1
	Tc = 3 J0S(S + 1)			(9.24)

á«ãç ¥, ¥á«¨ ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢ãîâ ᯨ­ë ⮫쪮 ­ ¡«¨¦ ©è¨å á®á¥¤ïå ¢ à¥è¥âª¥,

â.¥. Jij = J ⮫쪮 ª®£¤

㧥« j ï¥âáï ®¤­¨¬ ¨§ z ¡«¨¦ ©è¨å á®á¥¤¥© 㧫 i,

¢ ®áâ «ì­ëå á«ãç ïå Jij

= 0, ¨¬¥¥¬:

1

Tc = 3zJS(S + 1)

(9.25)

¥à­¥¬áï ª à áᬮâ७¨î ¯à®á⥩襣® á«ãç ï S = 1=2. ®£« á­® (9.9) ¨ (9.12)

¬®¦­® § ¯¨á âì:

1

M = M0th

~(H + M)

(9.26)

2T

¢®¤ï ®â­®á¨â¥«ì­ë¥ ¯¥à¥¬¥­­ë¥ = M=M0 ¨ t = T=Tc, ­ ¯¨è¥¬ (9.26) ª ª:

1 ~H

= th 2

+

t

(9.27)

T

®«ì§ãïáì th(x + y) =

thx+thy

, ¯¥à¥¯¨è¥¬ (9.27) ¢ ¢¨¤¥:

1+(thx)(thy)

h

th

~H

=

1

; th( =t)

(9.28)

2T

1 ;

th( =t)

174
	¡«¨§¨ ªà¨â¨ç¥áª®© â®çª¨ (H = 0; M = 0; T								= Tc)		à£ã¬¥­âë ¢á¥å £¨¯¥à¡®-
	«¨ç¥áª¨å â ­£¥­á®¢ ¢ (9.28) ¬ «ë, ¨ ¬ë ¬®¦¥¬ ¯à®¨§¢¥á⨠¨å à §«®¦¥­¨¥ ¢ àï¤:
	thx = x ;	1	x3 +	2	x5 + :::. ®£¤ :
		3		15
	1					1			1	1=t
					h = 1 ; t + 3			+		;t		(9.29)
							3t3

§ í⮣®, â ª ­ §ë¢ ¥¬®£® ãà ¢­¥­¨ï á®áâ®ï­¨ï ¬ £­¥â¨ª , ¬®¦­® ¯®«ãç¨âì ¯®¢¥- ¤¥­¨¥ ¡®«ì設á⢠¥£® 䨧¨ç¥áª¨å å à ªâ¥à¨á⨪ ¢¡«¨§¨ ªà¨â¨ç¥áª®© â®çª¨.

ª ç¥á⢥ ¯à¨¬¥à ¬ë à áᬮâਬ ­ ¬ £­¨ç¥­­®áâì ¨ ¬ £­¨â­ãî ¢®á¯à¨¨¬ç¨- ¢®áâì. § ãà ¢­¥­¨ï (9.28) ¢¨¤­®, çâ® ¢ ­ã«¥¢®¬ ¯®«¥ h = 0 ¨ ¤«ï T < Tc ãà ¢­¥­¨¥ (9.29) ¯à¨­¨¬ ¥â ¢¨¤:

2 =

T=Tc ; 1

+ :::

3

T

2 Tc ; T

(9.30)

3

Tc

3T3

+ T

;1

; T

Tc

Tc

Tc

Tc

ª¨¬ ®¡à §®¬, ­ ¬ £­¨ç¥­­®áâì ¢ ­ã«¥¢®¬ ¯®«¥ ¢¡«¨§¨ Tc (¯à¨ T < Tc) ¢¥¤¥â á¥¡ï ª ª:

j

= T

; Tc

(9.31)

j

Tc

£¤¥ ªà¨â¨ç¥áª¨© ¨­¤¥ªá ­ ¬ £­¨ç¥­­®á⨠= 1=2.

;

§®â¥à¬¨ç¥áª ï ¢®á¯à¨¨¬ç¨¢®áâì ¢ ­ã«¥¢®¬ ¯®«¥

T =

@M

㤮¢«¥â¢®àï¥â

@H

T

ᮮ⭮襭¨î:

@M

@

@h

1

~

@

C @

T =

=

2N ~

= T

(9.32)

@

T

@h

T

@H

2T

@h

T

@h

T

T

£¤¥ ¤«ï ¯®áâ®ï­­®© îਠ¨á¯®«ì§®¢ «¨ (9.16) ¤«ï S = 1=2. ¨ää¥à¥­æ¨àãï ®¡¥

ç á⨠(9.29) ¯® h ¯à¨ T Tc, ¯®«ãç ¥¬:

@

1

1

1 =

@h 1

; t

+ 3 2

(9.33)

3t3

¨«¨, ¨á¯®«ì§ãï (9.32),

1

3

; :

T = CT t + t3

(9.34)

«¥¥, ¤«ï T > Tc ¨¬¥¥¬ = 0 ¯à¨ H = 0 ¨ (9.34) ᢮¤¨âáï ª:

T

=

C

Tc T ; Tc

;1 =

C

;

(9.35)

T ; Tc

T

T Tc

£¤¥ ªà¨â¨ç¥áª¨© ¨­¤¥ªá ¢®á¯à¨¨¬ç¨¢®á⨠= 1. ਠT < Tc, ᮣ« á­® (9.30) ¨¬¥¥¬

2 ;3 , â ª çâ® ¨§ (9.34):
1 C		1		j j;1
T 2 T					(9.36)
	(	;	)

â ª çâ® ªà¨â¨ç¥áª¨© ¨­¤¥ªá ¢®á¯à¨¨¬ç¨¢®á⨠¯à¨ T < Tc â ª¦¥ 0 = 1.

àï¬ë¬¨ à áç¥â ¬¨ ¢ à ¬ª å ¬®¤¥«¨ ¬®«¥ªã«ïà­®£® ¯®«ï ¬®¦­® ¯®ª § âì, ç⮠⥯«®¥¬ª®áâì á¨áâ¥¬ë ¯à¨ T = Tc ¨á¯ëâë¢ ¥â ª®­¥ç­ë© ᪠箪 CH = 3=2N.

		175
®¦­® ¨§ãç¨âì ªà¨â¨ç¥áª®¥ ¯®¢¥¤¥­¨¥ ¨ àï¤		¤à㣨å å à ªâ¥à¨á⨪, å à ªâ¥à¨-
§ãî饥áï ᢮¨¬¨ ªà¨â¨ç¥áª¨¬¨ ¨­¤¥ªá ¬¨.
楫®¬, ¬®¤¥«ì ¬®«¥ªã«ïà­®£® ¯®«ï ¤ ¥â ­¥¯«®å®¥ ª ç¥á⢥­­®¥ ®¯¨á ­¨¥ ä¥à-
஬ £­¨â­®£® ¯¥à¥å®¤ . ­	«¥£ª® ®¡®¡é ¥âáï ­	á«ãç © ­â¨ä¥à஬ £­¨â­®£® ¯¥-
à¥å®¤ . ªâ¨ç¥áª¨, íâ ¬®¤¥«ì á«ã¦¨â ¯à®®¡à §®¬ ¡®«ì讣® ç¨á« ¯®¤®¡­ëå ¬®-
¤¥«¥© á।­¥£® ¯®«ï, ïîé¨åáï ¨á室­ë¬¨ ¯à¨ ¬¨ªà®áª®¯¨ç¥áª®¬ ®¯¨á ­¨¨ à §-
«¨ç­ëå ä §®¢ëå ¯¥à¥å®¤®¢ ¢ á ¬ëå à §­ëå ⨯ å 䨧¨ç¥áª¨å á¨á⥬. ¯à¨¬¥à,
à áᬮâ७­ ï ¢ëè¥ ¬®¤¥«ì ⥮ਨ ᢥàå¯à®¢®¤¨¬®áâ¨, ï¥âáï ⨯¨ç­ë¬
¯à¨¬¥à®¬ â ª®© ¬®¤¥«¨ á।­¥£® ¯®«ï, ¢ ª®â®à®© ஫ì í⮣® ¯®«ï ¨£à îâ ­®¬ «ì-
­ë¥ á।­¨¥ (7.16), (7.17),	£ ¬¨«ìâ®­¨ ­ (7.14) ¨«¨ (7.15) ï¥âáï ¯àï¬ë¬ ­ «®-

£®¬ (9.20) 1. ⥮ਨ ᢥàå¯à®¢®¤¨¬®á⨠⠪®© ¯®¤å®¤ ¤ ¥â ®ç¥­ì â®ç­®¥ ®¯¨á ­¨¥ ¯®¢¥¤¥­¨ï á¨áâ¥¬ë ¢¡«¨§¨ Tc. ¡®«ì設á⢥ ¤à㣨å á«ãç ¥¢, ¢ ç áâ­®á⨠¢ ॠ«ì- ­ëå ¬ £­¨â­ëå á¨á⥬ å, íâ® ®¯¨á ­¨¥ ï¥âáï áã£ã¡® ª ç¥á⢥­­ë¬. ç áâ­®áâ¨, ¢¥«¨ç¨­ ªà¨â¨ç¥áª¨å ¨­¤¥ªá®¢ ¤®áâ â®ç­® ᨫ쭮 ®â«¨ç ¥âáï ®â ¯à¥¤áª § ­¨© â¥- ®à¨¨ á।­¥£® ¯®«ï. ¨§¨ç¥áª ï ¯à¨ç¨­ íâ¨å ®â«¨ç¨© á®á⮨⠢ ¢®§à áâ î饩 ஫¨ ä«ãªâã 権 ¢ ªà¨â¨ç¥áª®© ®¡« á⨠¢¡«¨§¨ Tc.

¢ §¨á।­¨¥ .

¬¨ªа®бª®¯¨з¥бª®© в¥®а¨¨ д §®¢ле ¯¥а¥е®¤®¢ ¢®§­¨ª ¥в ¢¥бм¬ ¢ ¦­л© ¢®¯а®б ® ¢л஦¤¥­¨¨ ®б­®¢­®£® б®бв®п­¨п б¨бв¥¬л ¨ в¥б­® б¢п§ ­­л© б ­¨¬ ¢®¯а®б ® ¯а - ¢¨«м­®¬ ®¯а¥¤¥«¥­¨¨ бв в¨бв¨з¥бª¨е ба¥¤­¨е. бᬮва¨¬ ¢ ª з¥бв¢¥ ¯а¨¬¥а д¥а஬ £­¥в¨ª ¥©§¥­¡¥а£ , ®¯¨бл¢ ¥¬л© £ ¬¨«мв®­¨ ­®¬ (9.18). ®вбгвбв¢¨¥ ¢­¥и­¥£® ¬ £­¨в­®£® ¯®«п (¯а¨ H = 0) íâ®â £ ¬¨«ìâ®­¨ ­ ®ç¥¢¨¤­ë¬ ®¡à §®¬ ¨­¢ ਠ­â¥­ ®â­®á¨â¥«ì­® £à㯯ë âà¥å¬¥à­ëå ¢à 饭¨©. â® ïá­® ¨§ ⮣®, çâ® ¢ (9.18) ¢å®¤ïâ ⮫쪮 ᪠«ïà­ë¥ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨ï ᯨ­®¢ ­ à §­ëå 㧫 å à¥è¥âª¨. ⮦¥ ¢à¥¬ï, ä¥à஬ £­¨â­®¥ ®á­®¢­®¥ á®áâ®ï­¨¥ ­¥ ¨­¢ ਠ­â­® ®â­®á¨â¥«ì­® í⮩ £à㯯ë { ¢¥ªâ®à ᯮ­â ­­®© ­ ¬ £­¨ç¥­­®á⨠¨¬¥¥â ¢¯®«­¥ ®¯à¥¤¥«¥­­®¥ ­ ¯à ¢«¥- ­¨¥ ¨ ®áâ ¥âáï ¨­¢ ਠ­â­®áâì ⮫쪮 ®â­®á¨â¥«ì­® ¢à 饭¨© ¢®ªà㣠í⮣® ­ ¯à - ¢«¥­¨ï. 祢¨¤­®, ®¤­ ª®, çâ® «î¡®¥ ¤à㣮¥ ®á­®¢­®¥ á®áâ®ï­¨¥ ⮩ ¦¥ á¨á⥬ë, ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ¤à㣮¬ã ­ ¯à ¢«¥­¨î ¢¥ªâ®à ­ ¬ £­¨ç¥­­®á⨠®â¢¥ç ¥â ⮩ ¦¥ á ¬®© í­¥à£¨¨. ®®â¢¥âá⢥­­®, ¢ § ¤ ç¥ ¢®§­¨ª ¥â ¡¥áª®­¥ç­ë© ­ ¡®à ®á­®¢­ëå á®áâ®ï­¨©, ®â«¨ç îé¨åáï ⮫쪮 ­ ¯à ¢«¥­¨¥¬ ¢¥ªâ®à ­ ¬ £­¨ç¥­­®áâ¨. ­¥è- ­¥¥ ¬ £­¨â­®¥ ¯®«¥ (¤ ¦¥ ¡¥áª®­¥ç­® á« ¡®¥) á­¨¬ ¥â íâ® ¢ë஦¤¥­¨¥ ¨ ¯®§¢®«ï¥â ®¤­®§­ ç­® à ááç¨â âì ¢á¥ áâ â¨áâ¨ç¥áª¨¥ á।­¨¥. ä®à¬ «ì­®¬ ¯¯ à ⥠⥮ਨ íâ® ®âà ¦ ¥âáï ¢ ­¥®¡å®¤¨¬®á⨠¢¢¥¤¥­¨ï ª®­æ¥¯æ¨¨ ª¢ §¨á।­¨å [25] { ®¤­®£® ¨§ 業âà «ì­ëå ¯®­ï⨩ ⥮ਨ ä §®¢ëå ¯¥à¥å®¤®¢.

â ª, à áᬮâਬ ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥­­®á⨠¬®¤¥«ì ¥©§¥­¡¥à£		¢ ®вбгвбв¢¨¥ ¢­¥и-
­¥£® ¬ £­¨â­®£® ¯®«ï:	X6
1
	JijSiSj
H = ;2		(9.37)
	i=j

1 ¬¨«ìâ®­¨ ­ ¤ ¦¥ ¬®¦­® ¯¥à¥¯¨á âì ç¥à¥§ ­¥ª®â®àë¥ \¯á¥¢¤®á¯¨­®¢ë¥" ®¯¥à â®àë ( ­¤¥àá®­), ª®£¤ ®­ ¯®ç⨠¢ â®ç­®á⨠᢮¤¨âáï ª ¢¨¤ã (9.20)

176

«ï à áᬠâਢ ¥¬®© á¨áâ¥¬ë ª ¦¤ ï ¨§ ª®¬¯®­¥­â ¢¥ªâ®à			á㬬 à­®£® ᯨ­
S =	X	Sj	(9.38)
	j
ï¥âáï ¨­â¥£à «®¬ ¤¢¨¦¥­¨ï.
®á¯®«ì§ã¥¬áï ª®¬¬ãâ 樮­­ë¬¨ ᮮ⭮襭¨ï¬¨:
SxSy ; SySx = iSz
SySz ; SzSy = iSx
SzSx ; SxSz = iSy			(9.39)

âáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ®

H H

iSp(Sz e; T ) = Sp[(SxSy ; SySx)e; T ]® ¯®áª®«ìªã Sx ª®¬¬ãâ¨àã¥â á H, ¯®«ã稬:

H H H

Sp(SySxe; T ) = Sp(Sye; T Sx) = Sp(SxSye; T );

¨ ¯®í⮬ã

H

Sp(Sz e; T ) = 0:

®¢¥à襭­® ­ «®£¨ç­® ­ 室¨¬:

(9.40)

(9.41)

(9.42)

H H

Sp(Sxe; T ) = 0 Sp(Sye; T ) = 0

¢¥¤¥¬ ¢¥ªâ®à ­ ¬ £­¨ç¥­­®áâ¨, ®â­¥á¥­­®© ª ¥¤¨­¨æ¥ ®¡ê¥¬ :

M =	~	X	Sj =		~	S:
	V
		j			V
®£¤ ¨¬¥¥¬:			H
Sp(Me;				) = 0
			T

¨ á।­ïï ­ ¬ £­¨ç¥­­®áâì:

(9.43)

(9.44)

(9.45)

	M		H		)
			T
< M >= lim	Sp( e;					= 0:	(9.46)
	Sp(e;	H		)
V !1		T

â ª, ®¡ëç­®¥ áâ â¨áâ¨ç¥áª®¥ (£¨¡¡á®¢áª®¥) á।­¥¥ §­ 祭¨¥ ­ ¬ £­¨ç¥­­®á⨠á¨áâ¥¬ë ¢á¥£¤ à ¢­® ­ã«î, ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¨§®âய¨¨ á¨áâ¥¬ë ®â­®á¨â¥«ì­® £à㯯ë âà¥å¬¥à­ëå ¢à 饭¨©.

®¤ç¥àª­¥¬, çâ® íâ®â १ã«ìâ â á¯à ¢¥¤«¨¢ ¤«ï «î¡ëå ⥬¯¥à âãà, ¢ ⮬ ç¨á«¥ ¨ ¤«ï ⥬¯¥à âãà ­¨¦¥ ⥬¯¥à âãàë îà¨. § «®áì ¡ë ¢®§­¨ª ¥â ­¥ª®â®àë© ¯ - à ¤®ªá, ¯®áª®«ìªã ¯à¨ T < Tc ¢ б¨бв¥¬¥ бгй¥бв¢г¥в б¯®­в ­­ п ­ ¬ £­¨з¥­­®бвм.¤­ ª®, ­ ¯а ¢«¥­¨¥ ¢¥ªв®а ­ ¬ £­¨з¥­­®бв¨ ¢ ®вбгвбв¢¨¥ ¢­¥и­¥£® ¬ £­¨в­®£® ¯®«п ¯а®¨§¢®«м­® ¨ ¢ н⮬ б¬лб«¥ б®бв®п­¨¥ бв в¨бв¨з¥бª®£® а ¢­®¢¥б¨п ¢ а бб¬ -

âਢ ¥¬®© á¨á⥬¥ ï¥âáï ¡¥áª®­¥ç­® ¢ë஦¤¥­­ë¬.

ª«î稬 ⥯¥àì ¢­¥è­¥¥ ¬ £­¨â­®¥ ¯®«¥ e( > 0; e2 = 1), § ¬¥­¨¢ £ ¬¨«ìâ®-

­¨ ­ (9.37) ­
H e = H + V eM:	(9.47)

< A >=

A de

	177
®£¤ , ¯à¨ ⥬¯¥à âãà å ­¨¦¥ â®çª¨ îà¨
< M >= eM	(9.48)

£¤¥ M ¡ã¤¥â áâ६¨âìáï ª ª®­¥ç­®¬ã, ®â«¨ç­®¬ã ®â ­ã«ï ¯à¥¤¥«ã, ª®£¤ ¨­â¥­- ᨢ­®áâì ¢­¥è­¥£® ¯®«ï áâ६¨âáï ª ­ã«î. ä®à¬ «ì­®© â®çª¨ §à¥­¨ï §¤¥áì

¢®§­¨ª ¥â \­¥áâ ¡¨«ì­®áâì" ®¡ëç­ëå á।­¨å { ¯à¨ ¤®¡ ¢«¥­¨¨ ª £ ¬¨«ìâ®­¨ ­ã ç«¥­ á ¡¥áª®­¥ç­® ¬ «ë¬ ¢­¥è­¨¬ ¯®«¥¬2 á।­¥¥ §­ 祭¨¥ < M > ¯à¥â¥à¯¥¢ ¥â

ª®­¥ç­®¥, ®â«¨ç­®¥ ®â ­ã«ï ¯à¨à 饭¨¥:

e	m = lim M :	(9.49)
m £¤¥
	!0

á¢ï§¨ á í⨬ 㤮¡­® ¢¢¥á⨠¯®­ï⨥ ª¢ §¨á।­¥£®. áᬮâਬ ª ªãî { «¨¡® ¤¨­ - ¬¨ç¥áªãî ¢¥«¨ç¨­ã A, á®áâ ¢«¥­­ãî ¨§ ᯨ­®¢ëå ®¯¥à â®à®¢. ®£¤ ª¢ §¨á।­¥¥ ®â ­¥¥ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª ª:

					0
	A		= lim < A >e			(9.50)
				!

£¤¥ < A >e { ®¡ëç­®¥ áâ â¨áâ¨ç¥áª®¥ á।­¥¥ ®â A ¯à¨ £ ¬¨«ìâ®­¨ ­¥ He.

ª¨¬ ®¡à §®¬, ­ «¨ç¨¥ ¢ë஦¤¥­¨ï ­¥¯®á।á⢥­­® ®âà ¦ ¥âáï ­ ª¢ §¨á।- ­¨å ¨å § ¢¨á¨¬®áâìî ®â ¯à®¨§¢®«ì­®£® ®àâ e. ¥âà㤭® ¯®­ïâì, çâ® ®¡ëç­®¥ á।- ­¥¥:

Z (9.51)

â.¥. ¯®«ãç ¥âáï ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¥¬ ¯® ¢á¥¬ ­ ¯à ¢«¥­¨ï¬ ¢¥ªâ®à e. ®­пв­®, зв® ¤«п ®¯¨б ­¨п ¢л஦¤¥­­®£® б®бв®п­¨п бв в¨бв¨з¥бª®£® а ¢­®¢¥б¨п ª¢ §¨ба¥¤­¨¥ ¡®«¥¥ 㤮¡­л ¨ \д¨§¨з­л", з¥¬ ®¡лз­л¥ ба¥¤­¨¥. ªв¨з¥бª¨, ®­¨ ¨ ¨б¯®«м§говбп ¢ ¯а ªв¨з¥бª¨е а бз¥в е.

ª ç¥á⢥ ¤à㣮£® ¯à¨¬¥à ¬®¦­® 㯮¬ï­ãâì ¬®¤¥«ì ᢥàå¯à®¢®¤¨¬®á⨠.

ª г¦¥ ®в¬¥з «®бм ¢ли¥, б¢¥ае¯а®¢®¤пй¥¥ б®бв®п­¨¥ ­ аги ¥в ª «¨¡а®¢®з­го б¨¬¬¥ва¨о, б¢п§ ­­го б § ª®­®¬ б®еа ­¥­¨п з бв¨ж, зв® ¯а®п¢«п¥вбп ¢ ¯®п¢«¥- ­¨¨ ­®¬ «м­ле ба¥¤­¨е в¨¯ (7.16), (7.17). н⮬ б«гз ¥ ®вбгвбв¢г¥в а¥ «м­®¥

䨧¨ç¥áª®¥ ¯®«¥, ­ àãè î饥 íâã ᨬ¬¥âà¨î, ¯®¤®¡­® ⮬㠪 ª ¢­¥è­¥¥ ¬ £­¨â- ­®¥ ¯®«¥ ­ àãè ¥â ¯®«­ãî ¢à é ⥫ì­ãî ᨬ¬¥âà¨î £¥©§¥­¡¥à£®¢áª®£® ¬ £­¥â¨ª .¤­ ª®, ¬®¦­® ¢¢¥á⨠䨪⨢­ë© ¡¥áª®­¥ç­® á« ¡ë© \¨áâ®ç­¨ª" ªã¯¥à®¢áª¨å ¯ à, ¤®¡ ¢¨¢ ¥£® ª £ ¬¨«ìâ®­¨ ­ã (7.12), § ¯¨á ¢:

	X	+ +
H = H ;	p [a;p#ap" + ap"a;p#		]	(9.52)

çâ® á­¨¬ ¥â ¢ë஦¤¥­¨¥ ¯® ®â­®è¥­¨î ª ª «¨¡à®¢®ç­®© ᨬ¬¥âਨ, ¨«¨, ç⮠⮦¥ á ¬®¥, ­ àãè ¥â § ª®­ á®åà ­¥­¨ï ç¨á« ç áâ¨æ. ®®â¢¥âá⢥­­®, ¢á¥ á।­¨¥, ¢ë- ç¨á«¥­­ë¥ ¢ ᢥàå¯à®¢®¤ï饬 á®áâ®ï­¨¨ á«¥¤ã¥â ¯®­¨¬ âì ª ª ª¢ §¨á।­¨¥, ¯®- «ã祭­ë¥ á ¯®¬®éìî £ ¬¨«ìâ®­¨ ­ (9.52), á ¯®á«¥¤ãî騬 ¯à¥¤¥«ì­ë¬ ¯¥à¥å®¤®¬! 0. áâ¥á⢥­­®, çâ® ¢á¥ â ª¨¥ á।­¨¥ § ¢¨áï⠮⠯ந§¢®«ì­®£® ä §®¢®£® 㣫. ®«®¦¨¢ ¢ëè¥, ¯à¨ ®¡á㦤¥­¨¨ ᢥàå¯à®¢®¤ï饣® á®áâ®ï­¨ï, íâã ä §ã = 0, ¬ë, ä ªâ¨ç¥áª¨, ¯®áâ㯨«¨ ᮢ¥à襭­® ­ «®£¨ç­® ⮬ã, ª ª ¯à¨ à áᬮâ७¨¨ ä¥à஬ £­¥â¨ª 䨪á¨àã¥âáï ¯à®¨§¢®«ì­® ­ ¯à ¢«¥­­ ï ¢ ®¡ëç­®¬ ¯à®áâà ­á⢥

2 ®¤à §ã¬¥¢ ¥âáï, çâ® á­ ç « ¯à®¢®¤¨âáï ¯à¥¤¥«ì­ë© ¯¥à¥å®¤ áâ â¨áâ¨ç¥áª®© ¬¥å ­¨ª¨ V ! 1, § ⥬ ãáâ६«ï¥âáï ª ­ã«î.

178

®бм z, ¢¤®«м ª®в®а®© ®а¨¥­в¨а®¢ ­® ¢­¥и­¥¥ ¬ £­¨в­®¥ ¯®«¥. ­ «®£¨з­л¬ ®¡а - §®¬, ¬®¦­® а бᬮва¥вм ¨ п¢«¥­¨¥ ¡®§¥-ª®­¤¥­б ж¨¨ [25]. ªв¨з¥бª¨, ¯а¨ а бᬮ- ва¥­¨¨ «о¡®£® д §®¢®£® ¯¥а¥е®¤ , ¯®¤а §г¬¥¢ ¥вбп ¢¢¥¤¥­¨¥ ¡¥бª®­¥з­® ¬ «®£® ¡®£®«о¡®¢бª®£® ¯®«п ¨«¨ \¨бв®з­¨ª ", б­¨¬ ой¥£®, б®®в¢¥вбв¢гойго б¨¬¬¥ва¨о § ¤ з¨. ®£¤ , ¯а¨ ¢лз¨б«¥­¨пе ¯а¨е®¤¨вбп гз¨вл¢ вм ­¥¨§¡¥¦­® ¢®§­¨ª ой¨¥ ­®¬ «м­л¥ ба¥¤­¨¥, ª®в®ал¥ в ª¦¥ ­ аги ов б¨¬¬¥ва¨о ¨б室­®£® £ ¬¨«мв®- ­¨ ­ . §®¢л© ¯¥а¥е®¤ ¯а®п¢«п¥вбп ¢ ⮬, зв® ¢ \ª®­¤¥­б¨а®¢ ­­®©" д §¥ (¯а¨ T < Tc) í⨠­®¬ «ì­ë¥ á।­¨¥, ¢ëç¨á«¥­­ë¥ á ¬®á®£« ᮢ ­­ë¬ ®¡à §®¬, ®áâ - îâáï ®â«¨ç­ë¬¨ ®â ­ã«ï ¤ ¦¥ ¯®á«¥ ¢ëª«î祭¨ï ¢­¥è­¥£® ¯®«ï (¨áâ®ç­¨ª ), â.¥. ¯à¨ ! 0. \­®à¬ «ì­®©" ä §¥ (¯à¨ T > Tc) ­®¬ «ì­ë¥ á।­¨¥ ¯à¨ ! 0 áâ६ïâáï ª ­ã«î, ¨ ᨬ¬¥âà¨ï ­¥ ­ àãè ¥âáï.

«ãªâã 樨 ¯ à ¬¥âà ¯®à浪 .

¥à¥©¤¥¬ ª à áᬮâ७¨î ¢®¯à®á ® ä«ãªâã æ¨ïå ¯ à ¬¥âà ¯®à浪 . ëè¥ ã¦¥ ®â¬¥ç «®áì, çâ® í⨠ä«ãªâã 樨 ®ª §ë¢ îâáï áãé¥á⢥­­ë¬¨ ¢¡«¨§¨ ⥬¯¥à âãàë ¯¥à¥å®¤ , áãé¥á⢥­­® ¬¥­ïï ª à⨭ã, ¯à¥¤áª §ë¢ ¥¬ãî ⥮à¨ï¬¨ á।­¥£® ¯®«ï.áᬮâ७¨¥ ¡ã¤¥â ¢¥áâ¨áì ¢ à ¬ª å ⥮ਨ ­¤ ã, ª ª ⨯¨ç­®© ⥮ਨ á।­¥£® ¯®«ï.

¡®«ì設á⢥ á«ãç ¥¢, ¯ à ¬¥âà ¯®à浪 ¢ ⥮ਨ ­¤ 㠯।áâ ¢«ï¥â ᮡ®© n { ª®¬¯®­¥­â­ë© ¢¥ªâ®à ¢ ॠ«ì­®¬ ¨«¨ ­¥ª®â®à®¬ ¢á¯®¬®£ ⥫쭮¬ ¯à®áâà ­- á⢥, ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á å à ªâ¥à®¬ ­ àã襭¨ï ᨬ¬¥âਨ ¯à¨ ä §®¢®¬ ¯¥à¥å®¤¥.¯à¨¬¥à, ¢ ¬®¤¥«¨ ä¥à஬ £­¥â¨ª ¥©§¥­¡¥à£ { íâ® ®¡ëç­ë© âà¥åª®¬¯®­¥­â- ­ë© ¢¥ªâ®à (­ ¬ £­¨ç¥­­®áâì), ¢ ⥮ਨ ᢥàå¯à®¢®¤¨¬®á⨠¨­§¡ã࣠{ ­¤ ã { íâ® ª®¬¯«¥ªá­ ï (â.¥. ¤¢ã媮¬¯®­¥­â­ ï) ¢®«­®¢ ï äã­ªæ¨ï ª®­¤¥­á ⠪㯥- à®¢áª¨å ¯ à ¨ â.¯. ¤¥áì ¬ë à áᬮâਬ ¯à®á⥩訩 ¢ ਠ­â ä §®¢®£® ¯¥à¥å®¤ , ®¯¨áë¢ ¥¬®£® ®¤­®ª®¬¯®­¥­â­ë¬ ¯ à ¬¥â஬ ¯®à浪 , ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â, ­ ¯à¨- ¬¥à, 㯮¬ï­ã⮩ ¢ëè¥ ¬®¤¥«¨ §¨­£ 3.

¨­¨¬ «ì­ ï à ¡®â , âॡ㥬 ï ¤«ï ¢ë¢®¤ á¨áâ¥¬ë ¨§ à ¢­®¢¥á­®£® á®áâ®ï- ­¨ï ¯à¨ § ¤ ­­ëå ¯®áâ®ï­­ëå §­ 祭¨ïå ¤ ¢«¥­¨ï ¨ ⥬¯¥à âãàë, à ¢­ ¨§¬¥­¥- ­¨î ¥¥ â¥à¬®¤¨­ ¬¨ç¥áª®£® ¯®â¥­æ¨ « . ®í⮬ã, ᮣ« á­® (8.32), ¢¥à®ïâ­®áâì ä«ãªâã 樨 ¯à¨ ¯®áâ®ï­­ëå P ¨ T :

w exp ; T		(9.53)

¡®§­ 稬 à ¢­®¢¥á­®¥ §­ 祭¨¥ ª ª . ਠ¬ «®¬ ®âª«®­¥­¨¨ ®â à ¢­®¢¥á¨ï:

1		)2		@2
= 2( ;				@ 2		P;T	(9.54)
¢­®¢¥á­®¥ §­ 祭¨¥ ¯ à ¬¥âà ¯®à浪		®¯à¥¤¥«ï¥âáï à §«®¦¥­¨¥¬ ­¤ ã:
(T; P; ) =	0(P; T ) + at 2 + B 4 ; hV						(9.55)

3 ë ᮢ¥à襭­® ®â¢«¥ª ¥¬áï ®â ®ç¥­ì ¢ ¦­ëå ᯥªâ®¢ ⥮ਨ ­¤ ã, á¢ï§ ­­ëå á ஫ìî ᨬ¬¥âਨ ªà¨áâ ««¨ç¥áª®© à¥è¥âª¨ [1, 2], áç¨â ï á¨á⥬㠮¤­®à®¤­®© ¨ ¨§®âய­®©.

									179
£¤¥ t = T ; Tc(P ), h { ¢­¥è­¥¥ ¯®«¥, ᮯà殮­­®¥ ¯ à ¬¥âàã ¯®à浪									(­ ¯à¨¬¥à
¬ £­¨â­®¥ ¯®«¥ ¢ ¬®¤¥«¨ §¨­£ ). § (9.55) ®¯à¥¤¥«ï¥¬ à ¢­®¢¥á­®¥ §­ 祭¨¥ ¯ -
à ¬¥âà ¯®à浪 ãá«®¢¨¥¬:
			@					= 0	(9.56)
			@
							T;h
ç⮠᢮¤¨âáï ª:
	2at + 4B 3 = hV								(9.57)
ä ªâ¨ç¥áª¨ íª¢¨¢ «¥­â­ë¬ ¯®«ã祭­®¬ã ¢ëè¥ ¢ ⥮ਨ ¬®«¥ªã«ïà­®£® ¯®«ï
(9.29). ¥è¥­¨¥ (9.57) ¯à¨ h ! 0 ¨¬¥¥â ¢¨¤:
	2 = 0					¯à¨		t > 0
2	= ;	at				¯à¨		t < 0	(9.58)
		2B
â ª çâ® ªà¨â¨ç¥áª¨© ¨­¤¥ªá ¯ à ¬¥âà						¯®à浪 à ¢¥­ 1=2, ­ «®£¨ç­® (9.31).
®á¯à¨¨¬ç¨¢®áâì ⥫ à ¢­ :
	=				@
					@h T;h!0				(9.59)

¨ää¥à¥­æ¨àãï (9.57), ­ 室¨¬ ¯à¨ h ! 0:

	@						V
	@h =								(9.60)
						2at + 12B 2
®¤áâ ¢«ïï áî¤ (9.58), ¯®«ãç ¥¬:
=			V			¯à¨	t > 0
			2at
=		V				¯à¨	t < 0		(9.61)
		;4at

çâ® ­ «®£¨ç­® (9.35), (9.36) ¨ ¤¥¬®­áâà¨àã¥â à	á室¨¬®áâì jT ;Tcj;1, â.¥. ªà¨-
â¨ç¥áª¨© ¨­¤¥ªá ¢®á¯à¨¨¬ç¨¢®á⨠= 0 = 1,	ª ª ¨ ¢ëè¥. ¥®à¨ï ­¤ 㠯।-

áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ⨯¨ç­ãî ⥮à¨î á।­¥£® ¯®«ï, ᮮ⢥âá⢥­­® ¢á¥ ªà¨â¨ç¥áª¨¥ ¨­¤¥ªáë ¯®«ãç îâáï ⥬¨ ¦¥, çâ® ¨ ¢ ­ «®£¨ç­ëå ¬¨ªà®áª®¯¨ç¥áª¨å ¬®¤¥«ïå.

ᯮ«ì§ãï (9.60) ¬®¦­® ­ ¯¨á âì ¨ â ª:

= V		@2			;1
		@ 2			(9.62)
				h=0

®í⮬ã, ¢¥à®ïâ­®áâì ä«ãªâã 樨 ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨§ (9.53), (9.54) á«¥¤ãî騬 ®¡à -

§®¬:				1					V
					( ;
	=			2					)2		(9.63)
w		exp		;		( ; )2V					(9.64)
							2 Tc
âáî¤ , ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á ®¡é¨¬ ¢¨¤®¬ à á¯à¥¤¥«¥­¨ï ãáá											(8.17), ­ 室¨¬ á।-
­¨© ª¢ ¤à â ä«ãªâã 樨 ¯ à ¬¥âà			¯®à浪						¢ ¢¨¤¥:
< ( )2 >=			Tc				1		¯à¨	T ! Tc	(9.65)
			V				t	j
							j