Статистическая физика

200

£¤¥ ã竨, çâ®
e;iHt=h = e;iE t=h	?eiHt=h = ?eiE t=h	(10.64)

­ «®£¨ç­ë¬ ®¡à §®¬ ¬®¦­® ¯®«ãç¨âì:

E

i

< A(t)B(t0) >= Z;1 (

?A(0) )(

? B(0) )e; T

expf

(E ;E )(t0 ;t)g (10.65)

h

X

*

¬¥­ïï §¤¥áì ¨­¤¥ªáë á㬬¨à®¢ ­¨ï ) ¨ áà ¢­¨¢ ï á (10.63), ¢¨¤¨¬, çâ® ®¡

ª®à५ïâ®à ¬®¦­® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥:

1

1

0

< B(t0)A(t) >=

Z;1 JBA(!)ei!(t;t

)

2

1

1

h!

0

< A(t)B(t0) >=

Z;1 JBA(!)e T

ei!(t

;t)

(10.66)

2

£¤¥ ¢¢¥«¨:

( ?B(0) )(

?A(0)

E

; E

JBA(!) = 2 Z;1

)e; T (E

;

!)

(10.67)

h

X

®®â­®è¥­¨ï (10.66) ­ §ë¢ îâáï ᯥªâà «ì­ë¬¨ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï¬¨,

¢¥«¨ç¨­

JBA(!) ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© â ª ­ §ë¢ ¥¬ãî ᯥªâà «ì­ãî ¯«®â­®áâì ª®à५ï樮­- ­®© ä㭪樨 < B(t0)A(t) >. § áà ¢­¥­¨ï ®¡®¨å ¢ëà ¦¥­¨© ¢ (10.66) ¢¨¤¨¬ ¢ ¦­®¥

᢮©á⢮:			h!
	JAB(;!) = JBA(!)e T				(10.68)
«ï ¢á¥å ॠ«ì­ëå á¨á⥬ ¨¬¥¥â ¬¥áâ® § âãå ­¨¥ ª®à५ï権 ¢® ¢à¥¬¥­¨, â ª çâ®
lim	< A(t)B(t0) >=< A >< B >				(10.69)
jt;t0j!1
£¤¥ ¯®¤а §г¬¥¢ ¥вбп, зв® ¢¥«¨з¨­л (®¯¥а в®ал) A ¨ B ­¥ п¢«повбп ¨­в¥£а « ¬¨
¤¢¨¦¥­¨ï3. ᫨ < A >= 0 ¨ < B >= 0, â®
	lim	< A(t)B(t0) >= 0			(10.70)
	jt;t0j!1

®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¬®¦­® ®¯à¥¤¥«¨âì ­®¢ë¥ ®¯¥à â®àë A(t); < A > ¨ B(t); < B >, ¤«ï ª®â®àëå ¢á¥£¤ ¢ë¯®«­ï¥âáï ãá«®¢¨¥ (10.70).

।­¥¥ ¯® ¢à¥¬¥­¨ ®â ª®à५ï樮­­®© ä㭪樨 à ¢­® ­ã«î:

				1		T	1	1 d!JBA(!)e;i!t =
		lim				dt
		1!112T Z;T					2 Z;1		JBA(0)
		T
	= lim				d! (!)JBA(!) = lim					= 0	(10.71)
		2T Z;1							2T
	T!1							T!1
	¥á«¨ ᯥªâà «ì­ ï ¯«®â­®áâì ª®­¥ç­						¯à¨ ! = 0, çâ® å à ªâ¥à­® ¤«ï ᯥªâà				í࣮-

¤¨ç¥áª®£® á«ãç ©­®£® ¯à®æ¥áá . ¤ «ì­¥©è¥¬ í⮠᢮©á⢮ ¯à¥¤¯®« £ ¥âáï4. ਠí⮬ ¢¥§¤¥ ¯®¤à §ã¬¥¢ ¥âáï â¥à¬®¤¨­ ¬¨ç¥áª¨© ¯à¥¤¥« V ! 1 (V=N ! const).

3 ᫨ A ¨ B ¨­â¥£à «ë ¤¢¨¦¥­¨ï, â® ª®à५ï樮­­ ï äã­ªæ¨ï, ®ç¥¢¨¤­®, ¢®®¡é¥ ­¥ § ¢¨á¨â ®â ¢à¥¬¥­¨.

4 ç áâ­®áâ¨, íâ® ¨áª«îç ¥â ¨§ à áᬮâ७¨ï ®á®¡¥­­®á⨠ᯥªâà «ì­®© ¯«®â­®á⨠⨯ (!), å à ªâ¥à­ë¥ ¤«ï á¨á⥬ á ­¥í࣮¤¨ç¥áª¨¬ ¯®¢¥¤¥­¨¥¬ [4].

201

¯¥ªâà «ì­ ï ¯«®â­®áâì JA+A(!) ¢à¥¬¥­­®£® ª®à५ïâ®à , ®¡à §®¢ ­­®£® ¨§ á®- ¯à殮­­ëå ®¯¥à â®à®¢ A ¨ A+ ¯®«®¦¨â¥«ì­ :

JA+A(!) = 2 Z;1	X		?A+(0)		?A(0)	E			E ; E
		(		)(		)e; T				;	! > 0 (10.72)
									h

¯®áª®«ìªã ¢á¥ ç«¥­ë ¯®¤ §­ ª®¬ áã¬¬ë ¯®«®¦¨â¥«ì­ë. á­®, çâ® ¨ JAA+ (!) > 0.ãáâì ãà ¢­¥­¨ï ¤¢¨¦¥­¨ï ¤«ï A ¨ B ¨­¢ ਠ­â­ë ®â­®á¨â¥«ì­® ®âà ¦¥­¨ï ¢à¥¬¥­¨, ¯à¨ ª®â®à®¬ A ! "AA; B ! "BB, £¤¥ "A; "B = 1, ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ç¥â- ­®á⨠®¯¥à â®à®¢ ¯à¨ ®¡à 饭¨¨ ᪮à®á⥩. áᬮâਬ ᯥªâà «ì­®¥ à §«®¦¥­¨¥:

< A(t)B(t) >= 21 Z 1 d!ei!(t;t0)JAB(!)

;1

ª¢ ­â®¢®© ¬¥å ­¨ª¥ ®¯¥à æ¨ï ®¡à 饭¨ï ¢à¥¬¥­¨ ᢮¤¨âáï ª §

;t0; i ! ;i, â ª çâ® «¥¢ ï ç áâì í⮣® à ¢¥­á⢠㬭®¦ ¥âáï ­ ç á⨠JAB(!) ¯¥à¥å®¤¨â ¢ JAB? (!) (¢á«¥¤á⢨¥ § ¬¥­ë i ! ;i). à áᬠâਢ ¥¬®¬ á«ãç ¥:

(10.73)

¬¥­¥ t ! ;t; t0 ! "A"B, ¢ ¯à ¢®©«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢

		J	AB		(!) = J?			(!)" "		B
						AB			A
J	AB	(!) = J?		(!)		¯à¨	" "		= 1		(10.74)
		AB						A B

â ª ç⮠ᯥªâà «ì­ ï ¯«®â­®áâì ¤«ï ®¯¥à â®à®¢ ®¤¨­ ª®¢®© ç¥â­®á⨠¤¥©á⢨- â¥«ì­ .

à ¢­¨¢ ï (10.73) ¨ ᮯà殮­­®¥ ¥¬ã ᮮ⭮襭¨¥:
	1	1	0
< B+(t0)A+(t) >=		Z;1 d!e;i!(t;t		)JAB(!)	(10.75)
	2

£¤¥ ¬ë ã竨 ¢¥é¥á⢥­­®áâì ᯥªâà «ì­®© ¯«®â­®áâ¨, ã¡¥¦¤ ¥¬áï, çâ® ¤«ï ®¯¥à - â®à®¢ ®¤¨­ ª®¢®© ç¥â­®áâ¨:

< A(t)B(t0) >=< B+(t)A+(t0) >

(10.76)

᫨ á¨á⥬ ­ 室¨âáï ¢® ¢­¥è­¥¬ ¬ £­¨â­®¬ ¯®«¥, ᯥªâà «ì­ ï ¯«®â­®áâì 㦥 ­¥ ¡ã¤¥â ¢¥é¥á⢥­­ . ®áª®«ìªã ãà ¢­¥­¨ï ¤¢¨¦¥­¨ï ¨­¢ ਠ­â­ë ®â­®á¨- ⥫쭮 t ! ;t á ®¤­®¢à¥¬¥­­®© § ¬¥­®© H ! ;H, ⮠ᯥªâà «ì­ ï ¯«®â­®áâì 㤮¢«¥â¢®àï¥â ᢮©áâ¢ã ᨬ¬¥âਨ:

J	(!) = J?		(!)"A"B			(10.77)
	AB;H	AB;;H
â ª çâ®
< B+(t)A+(t0) >H=< A(t)B(t0) >				;	H "A"B	(10.78)

®бª®«мªг ¤¢ге¢а¥¬¥­­л¥ дг­ªж¨¨ а¨­ (10.22) ®¯а¥¤¥«повбп з¥а¥§ ¢а¥¬¥­- ­л¥ ª®аа¥«пв®ал, ®­¨ «¥£ª® ¢ла ¦ овбп з¥а¥§ б¯¥ªва «м­го ¯«®в­®бвм [4, 29].®®в¢¥вбв¢¥­­®, ¤«п ­¨е ¨ ¨е дгам¥ { ®¡а §®¢ ¯® а §­®бв¨ ¢а¥¬¥­ ¯®«гз овбп

­«®£¨ç­ë¥ ᮮ⭮襭¨ï ᨬ¬¥âਨ:

<<A(t)B(t0) >>=<< B+(t)A+(t0) >>

<< AjB >>!=<< B+jA+ >>!

(10.79)

1 d!e;i!tAi(!)

202
¢ ®вбгвбв¢¨¥ ¬ £­¨в­®£® ¯®«п ¨ ¤«п ®¯¥а в®а®¢ ®¤¨­ ª®¢®© з¥в­®бв¨. ¯а¨бгвбв¢¨¥
¬ £­¨â­®£® ¯®«ï ¨¬¥¥¬:
	<< B+(t)A+(t0) >>H=<< A(t)B(t0) >>	;	H "A"B
	<< B+jA+ >>!;H=<< AjB >>!;;H "A"B			(10.80)
⨠᢮©áâ¢	ᨬ¬¥âਨ ®ª §ë¢ îâáï ¢ ¦­ë¬¨ ¯à¨ ¢ë¢®¤¥ ¯à¨­æ¨¯			ᨬ¬¥âਨ

­á £¥à ¤«ï ®¡®¡é¥­­®© ¢®á¯à¨¨¬ç¨¢®áâ¨.

¨á¯¥àᨮ­­ë¥ ᮮ⭮襭¨ï à ¬¥àá {à®­¨£ ¨ ¯à¨­æ¨¯ ᨬ¬¥âਨ ­á £¥à .

ãáâì ­ á¨á⥬㠤¥©áâ¢ã¥â § ¢¨áï饥 ®â ¢à¥¬¥­¨ ¢®§¬ã饭¨¥ ¬¥å ­¨ç¥áª®£® ⨯ , ¢ª«îç ¥¬®¥ ¤¨ ¡ â¨ç¥áª¨ ¨ ®¯¨áë¢ ¥¬®¥ ¤®¡ ¢ª®© ª £ ¬¨«ìâ®­¨ ­ã ¢¨¤ :

n

Ht1 = ; XFj(t)Bj (10.81)

j=1

£¤¥ Fj(t) e"t ¯à¨ t ! ;1; " ! +0, Bj { ­¥ª®â®àë¥ ¤¨­ ¬¨ç¥áª¨¥ ¯¥à¥¬¥­­ë¥ (®¯¥à â®àë), Fj(t) { c { ç¨á«®¢ë¥ \ᨫë", á ª®â®à묨 ¢­¥è­¨¥ ¯®«ï ¤¥©áâ¢ãîâ

­ ¯¥à¥¬¥­­ë¥ Bj. «ï ¯à®áâ®âë ¯®« £ ¥¬, çâ® ¢ á®áâ®ï­¨¨ áâ â¨áâ¨ç¥áª®£® à ¢- ­®¢¥á¨ï (¯à¨ Fj = 0) ¨¬¥¥¬ < Aj >0= 0, â ª ç⮠ॠªæ¨î á¨áâ¥¬ë ­ ¢®§¬ã饭¨¥ (10.81) ¬®¦­® ᮣ« á­® (10.21) § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥:

t
< Ai >= Z;1 dt0 ij(t ; t0)Fj(t0)	(10.82)
£¤¥
ij(t ; t0) = ; << Ai(t)Bj(t0) >>	(10.83)
{ ®¡®¡é¥­­ ï ¬ âà¨æ ॠªæ¨¨ (®âª«¨ª ). ®áª®«ìªã § ¯ §¤ë¢ îé ï äã­ªæ¨ï
ਭ ®â«¨ç­ ®â ­ã«ï «¨èì ¯à¨ ¯®«®¦¨â¥«ì­ëå à£ã¬¥­â å, â®
ij(t ; t0) = 0 ¯à¨ t < t0	(10.84)

ç⮠ï¥âáï ¢ëà ¦¥­¨¥¬ ¯à¨­æ¨¯ ¯à¨ç¨­­®áâ¨: ॠªæ¨ï á¨áâ¥¬ë ­¥ ¬®¦¥â ¯à¥¤- è¥á⢮¢ âì ¢® ¢à¥¬¥­¨ ⮬㠢®§¬ã饭¨î, ª®â®à®¥ ¥¥ ¢ë§ë¢ ¥â.

§«®¦¨¬ Fj(t) ¨ < Ai > ¢ ¨­â¥£à «ë ãàì¥:

< Ai >= 1 Z

2 ;1

Fj(t) = 1 Z 1 d!e;i!tFj(!)

£¤¥ äãàì¥ { ª®¬¯®­¥­âë:

2 ;1

Ai(!) = Z 1 ei!t < Ai(t) >

;1

(10.85)

(10.86)

(10.87)

203

						1
	Fj(!) = Z;1 dtei!tFj(t)							(10.88)
஢®¤ï äãàì¥ { ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ ¢ (10.82) ¯®«ã稬 ¢¬¥áâ® ¨­â¥£à «ì­®£®								«£¥¡à -
¨ç¥áª®¥ ãà ¢­¥­¨¥ «¨­¥©­®© ॠªæ¨¨:
		Ai(!) = ij(!)Fj(!)						(10.89)
£¤¥
	1
ij(!) = Z;1 dtei!t ij(t) = ; << AijBj >>!=
1					Z0		_
		i!t		"t
= Z0	dte;		;				d < BjAi(t + ih ) >	(10.90)

{ ®¡®¡é¥­­ ï ¬ âà¨æ ¢®á¯à¨¨¬ç¨¢®áâ¨. ®á«¥¤­îî ä®à¬ã«ã ¨­®£¤					­ §ë¢ îâ
ä«ãªâã 樮­­® { ¤¨áᨯ 樮­­®© ⥮६®© ã¡®5.
§ ¢¥é¥á⢥­­®á⨠Ai ¨ Fj á«¥¤ã¥â, çâ®:
Ai(!) = Ai?(;!)			Fj(!) = Fj?(;!)		(10.91)
â ª çâ®
		ij = ij? (;!)			(10.92)
®âªã¤
	Re ij(!) = Re ij(;!)
Im ij(!) = ;Im ij(;!)					(10.93)
â ª çâ® ¢¥é¥á⢥­­ ï ç áâì ®¡®¡é¥­­®© ¢®á¯à¨¨¬ç¨¢®á⨠ij(!) ç¥â­ ,					¬­¨¬ ï
­¥ç¥â­ ¯® !6.
§ ᢮©á⢠ᨬ¬¥âਨ ä㭪権 ਭ			(10.80) á«¥¤ã¥â, çâ® ¤«ï ®¡®¡é¥­­®© ¢®á-
¯à¨¨¬ç¨¢®á⨠¨¬¥¥¬:
ij(!;	H		H	"i"k = 1	(10.94)
	) = ij(!; ; )"i"k
®вбгвбв¢¨¥ ¬ £­¨в­®£® ¯®«п:
	ij(!) = ij(!)"i"k				(10.95)
§¡¨¢ ï ¢®á¯à¨¨¬ç¨¢®áâì ­	ᨬ¬¥âà¨ç­ãî ¨			­â¨á¨¬¬¥âà¨ç­ãî ç áâ¨
ijs =	1		ija =	1
	2( ij + ji)			2( ij ; ji)	(10.96)
ã¡¥¦¤ ¥¬áï, çâ® s ç¥â­ ,	a ­¥ç¥â­		®â­®á¨â¥«ì­® ®¡à 饭¨ï ¬ £­¨â­®£® ¯®«ï
H:
ijs (!; H) = jis (!; ;H)			ija (!; H) = ; jia (!; ;H)		(10.97)

5 «ãªâã 樮­­® { ¤¨áᨯ 樮­­ ï ⥮६ ¬®¦¥â ¡ëâì § ¯¨á ­ ¢ à §­ëå ä®à¬ å ¨ ¯à¥¤áâ - ¢«ï¥â ᮡ®© á¢ï§ì ¬¥¦¤ã ¢®á¯à¨¨¬ç¨¢®áâﬨ (ª¨­¥â¨ç¥áª¨¬¨ ª®íää¨æ¨¥­â ¬¨) ¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî- 騬¨ à ¢­®¢¥á­ë¬¨ ª®à५ïâ®à ¬¨ (ä«ãªâã æ¨ï¬¨).

6 ®¦­® ¯®ª § âì, çâ® Im ij ®¯à¥¤¥«ï¥â ¤¨áᨯ æ¨î í­¥à£¨¨ ¢­¥è­¥£® ¯®«ï, â ª çâ® Im ij (! > 0) > 0.

204

¯à¨ "i"k = 1. ⨠᢮©áâ¢

ᨬ¬¥âਨ ­ §ë¢ îâáï ᮮ⭮襭¨ï¬¨ ᨬ¬¥âਨ ­-

á £¥à ¤«ï ®¡®¡é¥­­®© ¢®á¯à¨¨¬ç¨¢®á⨠(ª¨­¥â¨ç¥áª¨å ª®íää¨æ¨¥­â®¢). ­¨ ¢ë-

⥪ îâ ¨§ ®¡é¥© ⥮ਨ «¨­¥©­®£® ®âª«¨ª

¨ ¨­¢ ਠ­â­®á⨠ãà ¢­¥­¨© ¤¢¨¦¥­¨ï

! ;

! ;

®â­®á¨â¥«ì­® t

t; H

H 7. ®®â­®è¥­¨ï ­á £¥à

®âà ¦ îâ ­

¬ ªà®-

᪮¯¨ç¥áª®¬ ã஢­¥ ¨­¢ ਠ­â­®áâì ¬¨ªà®áª®¯¨ç¥áª¨å ãà ¢­¥­¨© ¤¢¨¦¥­¨ï ®â­®-

á¨â¥«ì­® ®¡à 饭¨ï ¢à¥¬¥­¨. ­¨ ¨£à îâ ®ç¥­ì ¡®«ìèãî à®«ì ¢ â¥à¬®¤¨­ ¬¨ª¥

­¥®¡à ⨬ëå ¯à®æ¥áᮢ.

¢¨¤ã ãá«®¢¨ï ¯à¨ç¨­­®á⨠(10.84) ¯¥à¢ë© ¨­â¥£à « ¢ (10.89) ä ªâ¨ç¥áª¨ ᢮-

¤¨âáï ª (¨­¤¥ªáë i; j

¤ «¥¥ ®¯ã᪠¥¬):

(!) = Z01 dt (t)ei!t

(10.98)

ª §ë¢ ¥âáï, çâ® ®âáî¤

¬®¦­® ¯®«ãç¨âì ­¥ª®â®àë¥ ¢¥áì¬

®¡é¨¥ ᮮ⭮襭¨ï

¤«ï (!), ¨á¯®«ì§ãï

¯¯ à â ⥮ਨ ä㭪権 ª®¬¯«¥ªá­ëå ¯¥à¥¬¥­­ëå. ¢¥¤¥¬

ª®¬¯«¥ªá­ãî ç áâ®âã ! = !0

+ i!00

¨ ¨áá«¥¤ã¥¬ ᢮©áâ¢

(!) ¢ ¢¥àå­¥© ¯®«ã¯«®á-

ª®á⨠í⮩ ¯¥à¥¬¥­­®©. § (10.98) ¨ ¨§ ä ªâ

ª®­¥ç­®á⨠(t) ¯à¨ ¢á¥å ¯®«®¦¨-

⥫ì­ëå t á«¥¤ã¥â, çâ® (!) ¥áâì ª®­¥ç­ ï ®¤­®§­ ç­ ï äã­ªæ¨ï ¢® ¢á¥© ¢¥àå­¥©

¯®«ã¯«®áª®á⨠! ¨ ­¨£¤¥ ­¥ ®¡à é ¥âáï ¢ ­¥© ¢ ¡¥áª®­¥ç­®áâì, â.¥. ­¥ ¨¬¥¥â â ¬

®á®¡ëå â®ç¥ª. ¥©á⢨⥫쭮, ¯à¨ !00 > 0 ¢ ¯®¤¨­â¥£à «ì­®¬ ¢ëà ¦¥­¨¨ ¢ (10.98)

¨¬¥¥âáï íªá¯®­¥­æ¨ «ì­® ã¡ë¢ î騩 ¬­®¦¨â¥«ì exp(;t!00),

¯®áª®«ìªã ¨ äã­ª-

æ¨ï (t) ª®­¥ç­ ¢® ¢á¥© ®¡« á⨠¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï, â® ¨­â¥£à « ¢ (10.98) á室¨âáï.

®¤з¥аª­¥¬, зв® ¢л¢®¤ ®¡ ®вбгвбв¢¨¨ ®б®¡ле в®з¥ª г (!) ¢ ¢¥ае­¥© ¯®«г¯«®бª®бв¨

ï¥âáï, á 䨧¨ç¥áª®© â®çª¨ §à¥­¨ï, á«¥¤á⢨¥¬ ¯à¨­æ¨¯

¯à¨ç¨­­®áâ¨. ®á«¥¤-

­¨© ¯à®ï¢«ï¥âáï ¢ ⮬, çâ® ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¥ ¢ (10.98) ¨¤¥â ®â 0 ¤® 1 ( ­¥ ®â ;1

¤®

1). ã­ªæ¨ï (!) ­¥ ¨¬¥¥â ®á®¡¥­­®á⥩ ¨ ­ á ¬®© ¢¥é¥á⢥­­®© ®á¨ (!00 = 0),

§

¨áª«î祭¨¥¬, ¢®§¬®¦­®, «¨èì ­ ç « ª®®à¤¨­ â (! = 0).

뢥¤¥¬ ⥯¥àì ä®à¬ã«ë, á¢ï§ë¢ î騥 ¤¥©á⢨⥫ì­ãî ¨ ¬­¨¬ãî ç á⨠äã­ª-

樨 (!) ¤àã£ á ¤à㣮¬. «ï í⮣® ¢ë¡¥à¥¬ ª ª®¥ { «¨¡® ¯®«®¦¨â¥«ì­®¥ ¤¥©á⢨-

⥫쭮¥ §­ 祭¨¥ ! = !0 ¨ ¯à®¨­â¥£à¨à㥬 ¢¥«¨ç¨­ã

(!)

¯® ª®­âãàã C, ¯®ª § ­-

!;!0

!

(!)

­®¬ã ­ ¨á. 10-1.

¡¥áª®­¥ç­®áâ¨

0 ¨ ¯®í⮬ã äã­ªæ¨ï

áâ६¨âáï ª

!;!0

­ã«î ¡ëáâ॥, 祬 1=!. ®í⮬㠨­â¥£à «

d!

(!)

á室¨âáï,

¯®áª®«ìªã (!) ­¥

C

!;!0

¨¬¥¥â ®á®¡ëå â®ç¥ª ¢ ¢¥àå­¥© ¯®«ã¯«®áª®áâ¨, ¨ â®çª

! = !0 ¨áª«î祭 ¨§ ®¡« áâ¨

(!)

R

¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï, â® äã­ªæ¨ï

­ «¨â¨ç­

¢® ¢á¥© ®¡« á⨠¢­ãâਠª®­âãà C,

!;!0

â ª çâ® à áᬠâਢ ¥¬ë© ¨­â¥£à « à ¢¥­ ­ã«î (⥮६

®è¨).

­â¥£à « ¯® ¡¥áª®­¥ç­® 㤠«¥­­®© ¯®«ã®ªà㦭®á⨠®¡à é ¥âáï ¢ ­ã«ì á ¬ ¯®

ᥡ¥ (¢¢¨¤ã ¤®áâ â®ç­® ¡ëáâண® ã¡ë¢ ­¨ï ¯®¤¨­â¥£à «ì­®£® ¢ëà ¦¥­¨ï). ®çªã

!0 ®¡å®¤¨¬ ¯® ¡¥áª®­¥ç­® ¬ «®© ¯®«ã®ªà㦭®á⨠(à ¤¨ãá

! 0). â®â ®¡å®¤ ¯à®-

¨á室¨â ¯® ç ᮢ®© áâ५ª¥ ¨ ¤ ¥â ¢ ¨­â¥£à «¥ ¢ª« ¤, à ¢­ë©

;i (!0) (¨­â¥£à «

¯® ¯®«­®¬ã ªà㦪㠤 ¥â ;2i (!0)). ᫨ (0) ª®­¥ç­®, â® ®¡å®¤ ­ ç «

ª®®à¤¨-

­ â ï¥âáï ¨§«¨è­¨¬ ¨ ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¥ ¢¤®«ì ¢á¥© ¢¥é¥á⢥­­®© ®á¨ ¤ ¥â, â ª¨¬

®¡à §®¬:

lim

!0;

d!

(!)

+

1

d!

(!)

i (!0) = 0

(10.99)

! ; !0

Z!0+

! ; !0

;

!0 Z;1

¥à¢ë© ç«¥­ §¤¥áì ¥áâì ¨­â¥£à « ®â ;1 ¤® 1, ¯®­¨¬ ¥¬ë© ¢ á¬ëá«¥ £« ¢­®£®

7 ª¨¥ ¦¥ ᢮©á⢠ᨬ¬¥âਨ á¯à ¢¥¤«¨¢ë ¨ ¤«ï ®âª«¨ª ­ â¥à¬¨ç¥áª¨¥ ¢®§¬ã饭¨ï.

205

¨á. 10-1 ®­âãà ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï, ¨á¯®«ì§ã¥¬ë© ¯à¨ ¢ë¢®¤¥ ᮮ⭮襭¨© à ¬¥àá { à®­¨£ .

§­ 祭¨ï, ¯®í⮬㠯®«ãç ¥¬:

		1	(!)
	i (!0) = P Z;1 d!				(10.100)
			! ; !0
â® ¦¥ ᮮ⭮襭¨¥ áà §ã ¦¥ ¯®«ãç ¥âáï ¥á«¨ à áᬮâà¥âì ¨­â¥£à « ®â						(!)
						!;!0+i
¢¤®«ì ¢¥é¥á⢥­­®© ®á¨, ¢®á¯®«ì§®¢ ¢è¨áì ¨§¢¥áâ­®© ä®à¬ã«®©:
1		1
		= P x ; i (x)	! +0		(10.101)
	x + i

।ë¤ã騥 à áá㦤¥­¨ï, ¯® áã⨠¤¥« , ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®© ¢ë¢®¤ í⮣® ¢¥áì¬ ¯®«¥§­®£® ᮮ⭮襭¨ï.

¥à¥¬¥­­ ï ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï ! ¢ (10.100) ¯à®¡¥£ ¥â «¨èì ¢¥é¥á⢥­­ë¥ §­ ç¥-

­¨ï. ¥à¥®¡®§­ 稬 ¥¥ , ç¥à¥§ ! ®¡®§­ 稬 § ¤ ­­®¥ ¢¥é¥á⢥­­®¥ §­ 祭¨¥ !0.®£¤ , ®â¤¥«ïï ¢ (10.100) ¤¥©á⢨⥫ì­ãî ¨ ¬­¨¬ãî ç áâ¨, ­ ©¤¥¬:

	1	1	Im ( )
Re (!) =	P Z;1 d		; !	(10.102)
	1	1	Re ( )
Im (!) = ; P Z;1 d			; !	(10.103)

{ б®®в­®и¥­¨п а ¬¥аб { а®­¨£ . ¤¨­бв¢¥­­л¬ б¢®©бв¢®¬ дг­ªж¨¨ (!), ¨б- ¯®«м§®¢ ­­л¬ ¯а¨ ¢л¢®¤¥ нв¨е д®а¬г«, п¢«п¥вбп ®вбгвбв¢¨¥ ®б®¡ле в®з¥ª ¢ ¢¥ае- ­¥© ¯®«г¯«®бª®бв¨8. ®н⮬㠬®¦­® бª § вм, зв® б®®в­®и¥­¨п а ¬¥аб { а®­¨£ п¢«повбп ¯ап¬л¬ б«¥¤бв¢¨¥¬ ¯а¨­ж¨¯ ¯а¨з¨­­®бв¨.

®á¯®«ì§®¢ ¢è¨áì ­¥ç¥â­®áâìî ä㭪樨 Im ( ) ¬®¦­® ¯¥à¥¯¨á âì ¯¥à¢®¥ ¨§ íâ¨å ᮮ⭮襭¨© ª ª:

	1		1	Im ( )		1	Im ( )
Re (!) =	P Z	0		d ; !	+ P Z0		d + !	(10.104)

8 â® ª á ¥âáï ᢮©á⢠! 0 ¯à¨ ! ! 1, â® ®­® ­¥ ï¥âáï áãé¥á⢥­­ë¬: ¥á«¨ ¡ë ¯à¥¤¥«1 ¡ë« ®â«¨ç¥­ ®â ­ã«ï, â® ­ ¤® ¡ë«® ¡ë ¯à®áâ® à áᬠâਢ âì à §­®áâì ; 1 ¢¬¥áâ® , á ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 ¨§¬¥­¥­¨¥¬ ¢á¥å ä®à¬ã«.

206
¨«¨	2	1	Im (!)
Re (!) =		Z0	d 2 ; !2			(10.105)
᫨ äã­ªæ¨ï (!) ¨¬¥¥â ¯®«îá ¢ â®çª¥ ! = 0, ¢¡«¨§¨ ª®â®à®© = iA=!, â®
®¡å®¤ í⮣® ¯®«îá ¯® ¯®«ã®ªà㦭®á⨠¤ ¥â ¢ ¨­â¥£à «¥ ¤®¯®«­¨â¥«ì­ë© ¢¥é¥-
á⢥­­ë© ¢ª« ¤ ;A=!, ª®â®àë© ¤®«¦¥­ ¡ëâì ¯à¨¡ ¢«¥­ ª «¥¢®© áâ®à®­¥ (10.100).
®®â¢¥âá⢥­­®, â ª®© ¦¥ ç«¥­ ¯®ï¢¨âáï ¨ ¢ (10.103):
1		1	Re ( )		A
Im (!) = ; P		Z;1 d ; !		+	!	(10.106)

®®в­®и¥­¨п а ¬¥аб { а®­¨£ ®в­®бпвбп ª ¢ ¦­¥©и¨¬ в®з­л¬ б®®в­®и¥- ­¨п¬, ¯®§¢®«пой¨¬ ª®­ва®«¨а®¢ вм в¥®а¥в¨з¥бª¨¥ ¬®¤¥«¨ ¨ а бз¥вл, в ª¦¥ ¨¬¥- ой¨¬ ¨ ¢ ¦­л¥ нªб¯¥а¨¬¥­в «м­л¥ ¯а¨¬¥­¥­¨п: ¯® ¨§¬¥а¥­¨п¬ Re (!) ¢ и¨а®ª®¬ ¨­в¥а¢ «¥ з бв®в ¬®¦­® ¢®ббв ­ ¢«¨¢ вм §­ з¥­¨п Im (!) (¨ ­ ®¡®а®в), ¯а®¢®¤п з¨б«¥­­®¥ ¨­в¥£а¨а®¢ ­¨¥ ¯® нªб¯¥а¨¬¥­в «м­л¬ ¤ ­­л¬.

« ¢ 11

--

¥â®¤ ª¢ §¨ç áâ¨æ ¨ ä㭪樨 ਭ .

ли¥ ¬л ¢¨¤¥«¨ ®¯а¥¤¥«пойго а®«м, ª®в®аго ¢ б®¢а¥¬¥­­®© в¥®а¨¨ ª®­¤¥­б¨а®- ¢ ­­®£® б®бв®п­¨п ¨£а ¥в ª®­ж¥¯ж¨п ª¢ §¨з бв¨ж. ®«­®¥ д®а¬ «м­®¥ ®¡®б­®¢ ­¨¥ нв ª®­ж¥¯ж¨п ¯®«гз ¥в ¢ а ¬ª е д®а¬ «¨§¬ дг­ªж¨© а¨­ , ª®в®ал© п¢«п¥вбп бв ­¤ ав­л¬ ¯¯ а ⮬ б®¢а¥¬¥­­®© в¥®а¨¨ б¨бв¥¬ ¬­®£¨е з бв¨ж. ¥в®¤ дг­ªж¨©а¨­ ¤ ¥в ¢®§¬®¦­®бвм з¥вª® бд®а¬г«¨а®¢ вм ªа¨в¥а¨¨ бгй¥бв¢®¢ ­¨п ª¢ §¨з - бв¨ж ¢ ª®­ªа¥в­ле б¨бв¥¬ е, в ª¦¥ ¯а¥¤бв ¢«п¥в б®¡®© г­¨¢¥аб «м­л© ¬¥в®¤ ¯а®- ¢¥¤¥­¨п а бз¥в®¢ ¯а ªв¨з¥бª¨ «о¡ле д¨§¨з¥бª¨е е а ªв¥а¨бв¨ª ¬­®£®з бв¨з­ле б¨бв¥¬ б гз¥в®¬ а §«¨з­ле в¨¯®¢ ¢§ ¨¬®¤¥©бв¢¨©. ­­л© ¬¥в®¤ ¢®§­¨ª ¢ б¢п§¨ б § ¤ з ¬¨ ª¢ ­в®¢®© в¥®а¨¨ ¯®«п, £¤¥ ¢¯¥а¢л¥, ¢ з бв­®бв¨, ¡л« бд®а¬г«¨а®¢ ­ за¥§¢лз ©­® ндд¥ªв¨¢­л© ¨ 㤮¡­л© ¯®¤е®¤, ®б­®¢ ­­л© ­ ¨б¯®«м§®¢ ­¨¨ ¤¨ - £à ¬¬ ¥©­¬ ­ . ®á«¥¤ãî饥 ¯¥à¥­¥á¥­¨¥ íâ¨å ¨¤¥© ¨ ¬¥â®¤®¢ ¢ ⥮à¨î á¨á⥬ ¬­®£¨å ç áâ¨æ, ¯® áã⨠¤¥« , ¨ ¯à¨¢¥«® ª ᮧ¤ ­¨î ᮢ६¥­­®© ⥮ਨ ª®­¤¥­- á¨à®¢ ­­®£® á®áâ®ï­¨ï [3]. áâ¥á⢥­­®, çâ® ¢ à ¬ª å ¤ ­­®£® ªãàá ¬ë «¨è¥­ë ¢®§¬®¦­®á⨠¤ âì ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮¥ ¨§«®¦¥­¨¥ ¬¥â®¤ ä㭪権 ਭ , ­ 襩 æ¥- «ìî ï¥âáï «¨èì ¢¢¥¤¥­¨¥ àï¤ ®á­®¢­ëå ¯®­ï⨩ ¨ ª ç¥á⢥­­ ï ¨««îáâà æ¨ï ¯à®áâëå ¯à¨¬¥­¥­¨©1.

1 ¨¡®«¥¥ ïá­®¥ ¨ ç¥âª®¥ ¨§«®¦¥­¨¥ ¬¥â®¤ ä㭪権 ਭ ¨ ¤¨ £à ¬¬­®© â¥å­¨ª¨ ¢ ¯à¨- ¬¥­¥­¨¨ ª § ¤ ç ¬ áâ â¨áâ¨ç¥áª®© 䨧¨ª¥ ¤ ­® ¢ ª« áá¨ç¥áª®© ª­¨£¥ [30]. ®áâ â®ç­® ¯®«­®¥

207

208

¨¦¥, ¢ ®á­®¢­®¬, à áᬠâਢ ¥âáï á«ãç © ⥬¯¥à âãàë T = 0. ª §ë¢ ¥âáï,

çâ® ®¡®¡é¥­¨¥ ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¢á¥å ãà ¢­¥­¨© ¬¥â®¤

ä㭪権 ਭ

­

á«ãç © ª®­¥ç-

­ëå ⥬¯¥à âãà ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à®¢¥¤¥­® ¤®áâ â®ç­® í«¥¬¥­â à­®, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥

¨§¬¥­¥­¨ï ¡ã¤ãâ ªà ⪮ áä®à¬ã«¨à®¢ ­ë ¢ ª®­æ¥ ­ 襣® ¨§«®¦¥­¨ï. ç­¥¬ á®

á«ãç ï ®¤­®© ª¢ ­â®¢®¬¥å ­¨ç¥áª®© ç áâ¨æë, ®¯¨áë¢ ¥¬®© ãà ¢­¥­¨¥¬ ।¨­-

£¥à 2:

(r; t)

i

@

; H

(r; t) = 0

(11.1)

@t

r

r

0; t0):

¬¥áâ® ­¥£® ¬®¦­® ¢¢¥á⨠ãà ¢­¥­¨¥ ¤«ï ä㭪樨 ਭ G( ; t;

@G

; HG = i (r ; r0) (t ; t0)

i @t

(11.2)

r

r

0; t) = (

r

r

¨¬¥¥â á¬ëá«

¬-

á ­ ç «ì­ë¬ ãá«®¢¨¥¬ G( ; t + 0;

;

0). ã­ªæ¨ï ਭ

¯«¨âã¤ë ¢¥à®ïâ­®áâ¨

¯¥à¥å®¤

r

r

¢

ç áâ¨æë ¨§ â®çª¨

0 ¢ ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ t ¢ â®çªã

¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ t. ¢ ¤à â ¬®¤ã«ï

¬¯«¨вг¤л ¤ ¥в б®®в¢¥вбв¢гойго ¢¥а®пв­®бвм

¯¥à¥å®¤ . í⮬ «¥£ª® ã¡¥¤¨âìáï, ¢ëà §¨¢

-äã­ªæ¨î ¢ ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ t+ ç¥à¥§

-äã­ªæ¨î ¢ ¬®¬¥­â t:

(r; t + ) = Z dr0G(r; t + ; r0t) (r0; t)

(11.3)

á ¬®¬ ¤¥«¥, «¥£ª® 㤮á⮢¥à¨âìáï, çâ® § ¯¨á ­­ ï â ª¨¬ ®¡à §®¬

(r; t + ) 㤮-

¢«¥â¢®àï¥â ãà ¢­¥­¨î ।¨­£¥à

(11.1),

¯à¨

! 0 ®­ ¯¥à¥å®¤¨â ¢ (r; t) ¨§-§

­ ç «ì­®£® ãá«®¢¨ï G(r; t +0; r0; t) = (r ; r0). ஬¥ ⮣®, ¯®«®¦¨¬, çâ® G = 0 ¤«ï

< 0 (¯à¨­æ¨¯ ¯à¨ç¨­­®áâ¨!).

ãáâì ¨¬¥¥âáï á¨á⥬ ᮡá⢥­­ëå ä㭪権 ãà ¢­¥­¨ï ।¨­£¥à :

H' (r) = " ' (r)

(11.4)

§ ¢¨á¨¬®á⨠®â § ¤ ç¨, 䨧¨ç¥áª¨© á¬ëá« ª¢ ­â®¢ëå ç¨á¥« ¬®¦¥â ¡ëâì à §- «¨ç­ë¬. âà ­á«ï樮­­® { ¨­¢ ਠ­â­®© á¨á⥬¥ ! p, ¤«ï ç áâ¨æë ¢® ¢­¥è­¥¬ ¬ £­¨â­®¬ ¯®«¥ íâ® ­ ¡®à ª¢ ­â®¢ëå ç¨á¥« ­¤ ã ¨ â.¯. ¥©ç á ¬ë à áᬮâਬ ç áâ¨æã ¢ ¯®â¥­æ¨ «ì­®¬ ¯®«¥:

	H =	p2		+ V (r)			(11.5)
		2m
â® ¬®¦¥â ¡ëâì, ¢ ç áâ­®áâ¨, ¨ ¢¯®«­¥ ­¥âਢ¨ «ì­ ï § ¤ ç						® ­ãª«®­ å ¢ ¯®â¥­-
æ¨ «ì­®© ﬥ { ⮬­®¬ ï¤à¥ [32], ⮣¤			¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ª¢ ­â®¢ë¥ ç¨á«				®¡®«®-
ç¥ç­®© ¬®¤¥«¨ ï¤à . î¡®¥ à¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨ï ।¨­£¥à						¬®¦­® à §«®¦¨âì ¯®
í⮩ ¯®«­®© á¨á⥬¥ ä㭪権:		X
r					r		(11.6)
( ; t) =				c (t)' ( )
¨ ¯à¥¤áâ ¢¨âì (11.3) ¢ ¢¨¤¥:		X
c (t + ) =				G 0	( )c 0 (t)		(11.7)
		0
¨§«®¦¥­¨¥ ¤ ­® ¨ ¢ [2]. ®«¥¥ í«¥¬¥­â à­®¥ ¨§«®¦¥­¨¥ ¬®¦­® ­ ©â¨ ¢ [31, 32], ®âªã¤							¨ ¢§ïâ
¨§« £ ¥¬ë© ­¨¦¥ ¬ â¥à¨ «.

2 ¨¦¥, ª ª ¯à¨­ïâ® ¢ ¡®«ì設á⢥ ᮢ६¥­­ëå à ¡®â, ¬ë ¨á¯®«ì§ã¥¬ á¨á⥬㠥¤¨­¨æ, ¢ ª®- â®à®© h = 1. ਠ­¥®¡å®¤¨¬®áâ¨, h ¢á¥£¤ «¥£ª® ¢®ááâ ­®¢¨âì ¢ ª®­¥ç­ëå ä®à¬ã« å.

209

0

( ) =

Z

3

3

r

r

?

r

0

r

(11.8)

G

d

rd r0G(

;

0 )'

( )'

( 0)

{ äã­ªæ¨ï ਭ ¢ -¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¨. ®áª®«ìªã '

{ ᮡá⢥­­ ï äã­ªæ¨ï £ -

¬¨«ìâ®­¨ ­ H, ­¥ § ¢¨áï饣® ®â ¢à¥¬¥­¨, â® ¯¥à¥å®¤ë ¢ ¤à㣨¥ á®áâ®ï­¨ï ­¥

¯à®¨á室ïâ, â ª çâ® c (t + ) = e;i" c (t), â.¥.

G 0 ( ) = G ( ) 0

= e;i" ( )

(11.9)

£¤¥ ( ) = 1 ¯à¨ 0 ¨ ( ) = 0 ¯à¨ < 0. ஢¥¤¥¬ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ ãàì¥:

1

1

G (") =

i

Z;1 d ei" G ( )

(11.10)

1 d"

G ( ) = i Z;1 2 e;i" G (")

(11.11)

®£¤ , ¯®á«¥ í«¥¬¥­â à­®£® ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï ¯®«ãç ¥¬:

G (") =

1

! +0

(11.12)

" ; " + i

­ ª ! 0 ¢ë¡à ­ §¤¥áì â ª, ç⮡ë G ( ) = 0 ¯à¨ < 0. á ¬®¬ ¤¥«¥, ¨¬¥¥¬:

1 d"

e;i"

G ( ) = i Z;1

2 " ;

" + i

=

e;i"

¯à¨

> 0

(11.13)

0

¯à¨

< 0

¥©á⢨⥫쭮, ¯®¤¨­â¥£à «ì­®¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ ¨¬¥¥â ¯®«îá ¯à¨ " = " ; i . ®£¤ ,

¯à¨ > 0 ¬®¦­® § ¬ª­ãâì ª®­âãà ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï ¯® " ¢ ­¨¦­¥© ¯®«ã¯«®áª®á⨠(¯®áª®«ìªã ¬­®¦¨â¥«ì e;i" ®¡¥á¯¥ç¨¢ ¥â ⮣¤ íªá¯®­¥­æ¨ «ì­®¥ § âãå ­¨¥ ¨­â¥-

£à¨à㥬®£® ¢ëà ¦¥­¨ï ­ ¡¥áª®­¥ç­® 㤠«¥­­®© ¯®«ã®ªà㦭®áâ¨), ¯®«îá ¯®¯ ¤ ¥â ¢­ãâàì § ¬ª­ã⮣® ª®­âãà , ¨ ¨­â¥£à « (¯® ⥮६¥ ®è¨) à ¢¥­ ¢ë¯¨á ­­®¬ã ¢ë- à ¦¥­¨î. ਠ< 0, ¯® ⥬ ¦¥ ¯à¨ç¨­ ¬, á¢ï§ ­­ë¬ á ­¥®¡å®¤¨¬®áâìî § ­ã«¨âì ¢ª« ¤ ®â ¡¥áª®­¥ç­® 㤠«¥­­®© ¯®«ã®ªà㦭®áâ¨, ­ã¦­® § ¬ª­ãâì ª®­âãà ¨­â¥£à¨- ஢ ­¨ï ¢ ¢¥àå­¥© ¯®«ã¯«®áª®á⨠". ®£¤ ¢­ãâਠª®­âãà ¯®«îá ­¥â ¨ ¨­â¥£à «

ࢥ­ ­ã«î.

á¬¥è ­­®¬ (r; ") ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¨ ¯®«ãç ¥¬:

G(r; r0; ") =	X	G	0	(")'		(r)'?0		(r0) =
	;0				X		;
							' (r)'?		(r0)
				=						(11.14)
							" " + i

¤¥áì ¢ á㬬㠯® ¢å®¤¨â á㬬¨à®¢ ­¨¥ ¯® ¢á¥¬ á¢ï§ ­­ë¬ á®áâ®ï­¨ï¬ ç áâ¨æë ¢ ¯®«¥ ¨ 0¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¥ ¯® ¥¥ ᯫ®è­®¬ã ᯥªâàã. ਠí⮬ ¬ë ¢¨¤¨¬, çâ® G(r; r0; ") ¨¬¥¥â ¯®«îá ¯à¨ §­ 祭¨ïå " à ¢­ëå " { í­¥à£¨ï¬ á¢ï§ ­­ëå á®áâ®ï­¨© ¨ à §- १ (ª®­â¨­ã㬠¯®«îᮢ) ­ ⮩ ç á⨠®á¨ ", ª®â®à ï ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ­¥¯à¥à뢭®¬ã ᯥªâàã.

¥à¥©¤¥¬ ⥯¥àì ª à áᬮâ७¨î ¬­®£®ç áâ¨ç­®© á¨á⥬ë. ¨¦¥ ¯®¢áî¤ã ¬ë ¯®¤à §ã¬¥¢ ¥¬ á¨á⥬ã, á®áâ®ïéãî ¨§ ä¥à¬¨®­®¢. «ï á¨áâ¥¬ë ¡®§¥ { ç áâ¨æ