Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002)

çÌÁŒÁ 1.

лŒБЪЙЮБУФЙГЩ

1.1.œФПТЙЮОПЕ ЛŒБОФПŒБОЙЕ. лБОПОЙЮЕУЛЙЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙС

уЙУФЕНЩ, УПУФПСЭЙЕ ЙЪ ВПМШЫПЗП ЮЙУМБ ФПЦДЕУФŒЕООЩИ ЮБУФЙГ, ХДПВОП ЙЪХЮБФШ, РПМШЪХСУШ НЕФПДПН ŒФПТЙЮОПЗП ЛŒБОФПŒБОЙС. оБРПНОЙН ПУОПŒОХА ЙДЕА ЬФПЗП НЕ-

ФПДБ, ОЕ ХФПЮОСС РПЛБ ŒЙД ЮБУФЙГ. (œ ЪБДБЮБИ ЖЙЪЙЛЙ ФŒЕТДПЗП ФЕМБ ЬФП НПЗХФ ВЩФШ, УЛБЦЕН, ЬМЕЛФТПОЩ, ЖПОПОЩ, ЖПФПОЩ, ЬЛУЙФПОЩ Й Ф. Д.)

тБУУНПФТЙН ŒОБЮБМЕ УЙУФЕНХ ВПЪЕ-ЮБУФЙГ, ЛБЦДБС ЙЪ ЛПФПТЩИ НПЦЕФ ОБИПДЙФШУС

Œ ПДОПН ЙЪ УПУФПСОЙК i(x), i = 1; 2; : : : нОПЗПЮБУФЙЮОБС ŒПМОПŒБС ЖХОЛГЙС ЪБДБЕФУС Œ РТЕДУФБŒМЕОЙЙ ЮЙУЕМ ЪБРПМОЕОЙС, ХЛБЪЩŒБАЭЕН УЛПМШЛП ЮБУФЙГ ЪБОЙНБАФ ЛБЦДПЕ

ЙЪ УПУФПСОЙК i(x). œ ПВПЪОБЮЕОЙСИ дЙТБЛБ ФБЛЙЕ УПУФПСОЙС НПЗХФ ВЩФШ ЪБРЙУБОЩ ЛБЛ | : : : ; Ni−1; Ni; Ni+1; : : : , ЗДЕ ЮЙУМБ ЪБРПМОЕОЙС Ni РТЙОЙНБАФ РТПЙЪŒПМШОЩЕ ГЕМЩЕ ОЕПФТЙГБФЕМШОЩЕ ЪОБЮЕОЙС, Ni = 0; 1; : : : лБОПОЙЮЕУЛЙЕ ПРЕТБФПТЩ ТПЦДЕОЙС Й ХОЙЮФПЦЕОЙС a+i É ai ŒŒПДСФУС УМЕДХАЭЙН ПВТБЪПН:

+|	: : : ; Ni; Ni	+1		i|	i −	1; N	i+1
ai			; : : : =	N	: : : ; N			; : : : ;
ai | : : : ; Ni; Ni+1; : : : =				Ni + 1| : : : ; Ni + 1; Ni+1; : : : :					(1.1)
оЕФТХДОП РТПŒЕТЙФШ, ЮФП ŒЩРПМОСАФУС ЛПННХФБГЙПООЩЕ УППФОПЫЕОЙС:
[ai; aj+] = aiaj+ − aj+ai = ‹ij ;					[ai; aj ] = [ai+; aj+] = 0				(1.2)
дБМЕЕ, ŒŒПДСФУС -ПРЕТБФПТЩ:				+(x) = i		ai+	i (x) :
	(x) = i		ai i(x) ;						(1.3)

жХОЛГЙЙ i(x) ŒЩВЙТБАФ ФБЛЙН ПВТБЪПН, ЮФПВЩ ПОЙ ПВТБЪПŒЩŒБМЙ РПМОХА ПТФПОПТНЙТПŒБООХА УЙУФЕНХ. рТЙ ЬФПН ЛПННХФБГЙПООЩЕ УППФОПЫЕОЙС -ПРЕТБФПТПŒ ПЛБЪЩŒБАФУС УМЕДХАЭЙНЙ:

[ (x); +(x )] = ‹(x − x ) ; [ (x); (x )] = [ +(x); +(x )] = 0 :

(1.4)

11

12	змбœб 1. лœбъйюбуфйгщ

œ УМХЮБЕ ЖЕТНЙ-УФБФЙУФЙЛЙ РТЕДУФБŒМЕОЙЕ ЮЙУЕМ ЪБРПМОЕОЙС, Б ФБЛЦЕ ПРЕТБФПТЩ ТПЦДЕОЙС Й ХОЙЮФПЦЕОЙС, ЙИ ЛПННХФБГЙПООЩЕ УППФОПЫЕОЙС Й -ПРЕТБФПТЩ ŒŒПДСФУС УИПДОЩН ПВТБЪПН. пУФБОПŒЙНУС ОБ ПФМЙЮЙСИ ВПЪЕŒУЛПЗП Й ЖЕТНЙЕŒУЛПЗП ŒФПТЙЮОПЗП ЛŒБОФПŒБОЙС. œП-РЕТŒЩИ, Œ УЙМХ РТЙОГЙРБ рБХМЙ, ЮЙУМБ ЪБРПМОЕОЙС Ni РТЙОЙНБАФ ŒУЕЗП ДŒБ ЪОБЮЕОЙС: Ni = 0; 1. рПЬФПНХ ЛБОПОЙЮЕУЛЙЕ ПРЕТБФПТЩ ai É a+i ДЕКУФŒХАФ ФБЛ:

ai| : : : ; Ni; Ni+1; : : : =		0|	i+1		ÐÒÉ Ni = 0 ;
		: : : ; 0; N		; : : :	ÐÒÉ Ni = 1,
ai+| : : : ; Ni; Ni+1; : : : =	| : : : ; 1; Ni+1; : : :				ÐÒÉ Ni = 0	.	(1.5)
		0			ÐÒÉ Ni = 1	,

œП-ŒФПТЩИ, БОФЙУЙННЕФТЙС НОПЗПЮБУФЙЮОПЗП УПУФПСОЙС РП ПФОПЫЕОЙА Л РЕТЕУФБОПŒЛЕ ЮБУФЙГ РТЙŒПДЙФ Л БОФЙЛПННХФБФЙŒОПУФЙ ai É a+j :

[ai+; aj ]+ = ai+aj + aj ai+ = ‹ij ; [ai; aj ]+ = [ai+; aj+]+ = 0 :	(1.6)
дМС -ПРЕТБФПТПŒ (1.3) УППФОПЫЕОЙС БОФЙЛПННХФБФЙŒОПУФЙ ŒЩЗМСДСФ ФБЛ:
[ (x); +(x )]+ = ‹(x − x ) ; [ (x); (x )]+ = [ +(x); +(x )]+ = 0 :	(1.7)

хДПВУФŒП РТЕДУФБŒМЕОЙС ŒФПТЙЮОПЗП ЛŒБОФПŒБОЙС ЪБЛМАЮБЕФУС Œ ФПН, УŒСЪШ НЕЦДХ ПДОП- Й НОПЗПЮБУФЙЮОПК ЪБДБЮБНЙ ОБ СЪЩЛЕ -ПРЕТБФПТПŒ ПЛБЪЩŒБЕФУС ŒЕУШНБ РТПУФПК. оБРТЙНЕТ, ОЕФТХДОП РТПŒЕТЙФШ, ЮФП ЗБНЙМШФПОЙБО УЙУФЕНЩ ОЕŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЙИ ВПЪЕЙМЙ ЖЕТНЙ-ЮБУФЙГ, ЙНЕАЭЙИ НБУУХ m Й ДŒЙЦХЭЙИУС Œ РПФЕОГЙБМЕ U (r), ЪБРЙУЩŒБЕФУС ФБЛ:

H =	−	2—hm2		+(r) 2	(r) +	+(r)		(r)U (r) d3r :	(1.8)

б ЕУМЙ ЮБУФЙГЩ ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАФ РП ЪБЛПОХ V (r1 − r2), ФП ЗБНЙМШФПОЙБО ОХЦОП

РТПУФП ДПРПМОЙФШ ЮМЕОПН

+(r1)

+(r2)V (r1 − r2) (r2)

(r1)d3r1d3r2 :

Hint = 2

(1.9)

1

+(r) (r) СŒМСЕФУС

œФПТЙЮОП ЛŒБОФПŒБООЩК ПРЕТБФПТ РМПФОПУФЙ ЮБУФЙГ j(r) =

НОПЗПЮБУФЙЮОЩН ЬЛŒЙŒБМЕОФПН ПДОПЮБУФЙЮОПЗП ŒЩТБЦЕОЙС

(r)

2

РМПФОПУФЙ ŒЕ-

ТПСФОПУФЙ. йОФЕЗТБМ ПФ j

|

|

ЮЙУМБ ЮБУФЙГ Œ УЙУФЕНЕ

(r), ŒЪСФЩК РП ŒУЕНХ РТПУФТБОУФŒХ, ЕУФШ ПРЕТБФПТ РПМОПЗП

N =

+(r) (r) d3r :

(1.10)

рПДЮЕТЛОЕН, ЮФП ŒУЕ ПРЕТБФПТЩ (1.8) | (1.10) Œ РТЕДУФБŒМЕОЙЙ ŒФПТЙЮОПЗП ЛŒБОФПŒБОЙС ЙНЕАФ ПДЙО Й ФПФ ЦЕ ŒЙД Й ДМС ЖЕТНЙПОПŒ, Й ДМС ВПЪПОПŒ.

пУФБОПŒЙНУС ФЕРЕТШ ОБ ŒБЦОПН РПОСФЙЙ ЛБОПОЙЮЕУЛПЗП РТЕПВТБЪПŒБОЙС Й ОБ ФПН, ЛБЛ ЬФЙ РТЕПВТБЪПŒБОЙС ŒЩЗМСДСФ Œ РТЕДУФБŒМЕОЙЙ ŒФПТЙЮОПЗП ЛŒБОФПŒБОЙС. оБРПНОЙН, ЮФП Œ ЛМБУУЙЮЕУЛПК НЕИБОЙЛЕ ЛБОПОЙЮЕУЛЙЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙС ЖБЪПŒПЗП РТПУФТБОУФŒБ (p; q) → (p ; q ) ŒŒПДСФУС У РПНПЭША УЛПВПЛ рХБУУПОБ {: : :}, РТЙЮЕН ТПМШ

1.1. лбопойюеулйе ртепвтбъпœбойс

13

ЬФЙИ РТЕПВТБЪПŒБОЙК ЪБЛМАЮБЕФУС Œ ФПН, ЮФП ПОЙ УПИТБОСАФ ЗБНЙМШФПОПŒХ ЖПТНХ ХТБŒОЕОЙК ДŒЙЦЕОЙС: p = {p; H}, q = {q; H}.

œ ЛŒБОФПŒПК НЕИБОЙЛЕ ТПМШ УЛПВПЛ рХБУУПОБ РЕТЕИПДЙФ Л ЛПННХФБФПТБН. (оБРТЙ-

НЕТ, Œ РТЕДУФБŒМЕОЙЙ зЕКЪЕОВЕТЗБ ХТБŒОЕОЙС ДŒЙЦЕОЙС ЙНЕАФ ŒЙД ih@— tA = [A; H].)

рПЬФПНХ ЛБОПОЙЮЕУЛЙНЙ ОБЪЩŒБАФ РТЕПВТБЪПŒБОЙС ЖЙЪЙЮЕУЛЙИ ŒЕМЙЮЙО, УПИТБОСАЭЙЕ ЛПННХФБГЙПООЩЕ УППФОПЫЕОЙС ПРЕТБФПТПŒ. лБЛ Й Œ ЛМБУУЙЮЕУЛПК НЕИБОЙЛЕ, ЛБОПОЙЮЕУЛЙЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙС ŒБЦОЩ, РПУЛПМШЛХ ПОЙ УПИТБОСАФ ЖПТНХ ХТБŒОЕОЙК ДŒЙЦЕОЙС.

рПДПВТБŒ ЛБОПОЙЮЕУЛПЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ, ЮБУФП ŒПЪНПЦОП РЕТЕКФЙ ПФ ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЙИ ЮБУФЙГ Л ОЕŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЙН ЛŒБЪЙЮБУФЙГБН. оБЙВПМЕЕ ЮБУФП ТБУУНБ-

ФТЙŒБАФ МЙОЕКОЩЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙС ЛБОПОЙЮЕУЛЙИ ПРЕТБФПТПŒ (ВПЪПОПŒ ЙМЙ ЖЕТНЙП-

	ÎÏŒ)		Uij aj + Vij aj+ ;			Vij aj + Uij aj+ ;
	ai =			ai+ =			(1.11)
		j			j

ОБЪЩŒБЕНЩЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙСНЙ вПЗПМАВПŒБ. пДОПК ЙЪ ЮБУФП ŒУФТЕЮБАЭЙИУС ЪБДБЮ СŒМСЕФУС ПФЩУЛБОЙЕ УРЕЛФТБ Й УПВУФŒЕООЩИ УПУФПСОЙК ЗБНЙМШФПОЙБОБ, ЛŒБДТБФЙЮОПЗП РП ПРЕТБФПТБН ТПЦДЕОЙС Й ХОЙЮФПЦЕОЙС. оЕФТХДОП РТПŒЕТЙФШ, ЮФП РТПЙЪŒПМШОЩК ЗБНЙМШФПОЙБО ФБЛПЗП ŒЙДБ НПЦЕФ ВЩФШ РТЙŒЕДЕО Л ДЙБЗПОБМШОПК ЖПТНЕ У РПНПЭША УППФŒЕФУФŒХАЭЙН ПВТБЪПН РПДПВТБООПЗП РТЕПВТБЪПŒБОЙС (1.11):

		(1)	+	(2)		i
H =		hij	ai	aj + hij	aiaj + h:c: =	"iai	ai	+ 0|H|0 :	(1.12)

ij

ьОЕТЗЙЙ ДБАФ УРЕЛФТ ЛŒБЪЙЮБУФЙГ, Б ЛПОУФБОФБ 0 0 Œ РТБŒПК ЮБУФЙ РТЕДУФБ-

"i |H|

ŒМСЕФ УПВПК ФБЛ ОБЪЩŒБЕНХА ЬОЕТЗЙА ОХМЕŒЩИ ЛПМЕВБОЙК.

рТЕПВТБЪПŒБОЙС (1.11) СŒМСАФУС ЛБОПОЙЮЕУЛЙНЙ, ЕУМЙ ПОЙ УПИТБОСАФ ЛПННХФБГЙПООЩЕ УППФОПЫЕОЙС

[ai; aj ]± = 0; [ai; aj+]± = ‹ij :

(1.13)

уППФŒЕФУФŒХАЭЙЕ ХУМПŒЙС ОБ НБФТЙГЩ U Й V Œ (1.11) Œ ПВЭЕН УМХЮБЕ ŒЩЗМСДСФ ФБЛ:

UkiVkj ± VkiUkj = 0 ; UkiUkj ± VkiVkj = ‹ij ;

(1.14)

ЗДЕ ЪОБЛ Ă+Ą УППФŒЕФУФŒХЕФ УМХЮБА ЖЕТНЙ-УФБФЙУФЙЛЙ, Б ЪОБЛ Ă−Ą | УМХЮБА ВПЪЕУФБФЙУФЙЛЙ.

уФТХЛФХТБ РТЕПВТБЪПŒБОЙК (1.11) ДМС ВПЪЕ-ПРЕТБФПТПŒ ŒЙДОБ ХЦЕ Œ РТПУФЕКЫЕН УМХЮБЕ ПДОПК ВПЪПООПК УФЕРЕОЙ УŒПВПДЩ (РТЙНЕТПН СŒМСЕФУС ЛŒБОФПŒП-НЕИБОЙЮЕУЛЙК ПУГЙММСФПТ). рТЙ ЬФПН U Й V | ОЕ НБФТЙГЩ, Б ЮЙУМБ, Й ЙНЕЕФУС ŒУЕЗП ДŒБ РТПУФЕКЫЙИ ПДОПТПДОЩИ ЛБОПОЙЮЕУЛЙИ РТЕПВТБЪПŒБОЙС:

a = ch – a + sh – a+	a = ei’ a
a+ = sh – a + ch – a+ ;	a+ = e−i’ a+	:	(1.15)

ЗДЕ – Й ’ | ŒЕЭЕУФŒЕООЩЕ РБТБНЕФТЩ. вПМЕЕ ПВЭЙЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙС РТЕДУФБŒМСАФ УПВПК РТПЙЪŒЕДЕОЙЕ (ЛПНРПЪЙГЙА) РТЕПВТБЪПŒБОЙК (1.15).

14 змбœб 1. лœбъйюбуфйгщ

œ УМХЮБЕ ЦЕ ЖЕТНЙ-УФБФЙУФЙЛЙ МЙОЕКОЩЕ ЛБОПОЙЮЕУЛЙЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙС ЪБДБАФУС УИПДОЩН ПВТБЪПН. дМС ПДОПК ЖЕТНЙПООПК УФЕРЕОЙ УŒПВПДЩ ŒУЕ МЙОЕКОЩЕ ЛБОПОЙЮЕУЛЙЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙС ЙУЮЕТРЩŒБАФУС УПРТСЦЕОЙЕН, a = a+, a+ = a, Й ХНОПЦЕОЙЕН ОБ ЖБЪПŒЩК НОПЦЙФЕМШ, a = ei’a+, a+ = e−i’a, Б РТЕПВТБЪПŒБОЙС ВПМЕЕ ПВЭЕЗП ŒЙДБ Œ ЬФПН УМХЮБЕ ПЛБЪЩŒБАФУС ОЕМЙОЕКОЩНЙ | УН. ЪБДБЮХ 3. вПМЕЕ ПВЭЙЕ МЙОЕКОЩЕ

РТЕПВТБЪПŒБОЙС ŒПЪОЙЛБАФ Œ УЙУФЕНЕ ЙЪ ДŒХИ ЖЕТНЙПОПŒ, ОБРТЙНЕТ,
a =	cos „ a − sin „ b+	;	a+ = cos „ a+ − sin „ b	;	(1.16)
b+ =	sin „ a + cos „ b+		b = sin „ a+ + cos „ b

ЗДЕ „ | РБТБНЕФТ. йОФЕТЕУОП, ЮФП РЕТŒПЕ ЙЪ ВПЪПООЩИ РТЕПВТБЪПŒБОЙК (1.15) ЕУФШ РУЕŒДПЕŒЛМЙДПŒП ŒТБЭЕОЙЕ, ФП ЕУФШ ОЕ ЮФП ЙОПЕ, ЛБЛ РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ мПТЕОГБ У ВЩУФТПФПК – Œ ДŒХНЕТОПН РТПУФТБОУФŒЕ{ŒТЕНЕОЙ, Œ ФП ŒТЕНС ЛБЛ ДМС ЖЕТНЙПОПŒ ŒПЪОЙЛБАФ РТЕПВТБЪПŒБОЙС ŒЙДБ (1.16), УППФŒЕФУФŒХАЭЙЕ ŒТБЭЕОЙА ЕŒЛМЙДПŒБ РТПУФТБОУФŒБ.

œПЪНПЦОЩЕ ЛБОПОЙЮЕУЛЙЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙС ОЕ ЙУЮЕТРЩŒБАФУС ПДОПТПДОЩНЙ МЙОЕКОЩНЙ РТЕПВТБЪПŒБОЙСНЙ. йОПЗДБ ВЩŒБАФ РПМЕЪОЩ ОЕПДОПТПДОЩЕ МЙОЕКОЩЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙС (ЛБЛ Œ ЪБДБЮЕ 6) ЙМЙ ДБЦЕ ОЕМЙОЕКОЩЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙС (УН. ЪБДБЮХ 3, Б ФБЛЦЕ ТБЪДЕМ 1.4).

юБУФП ŒУФТЕЮБАЭБСУС ТБЪОПŒЙДОПУФШ МЙОЕКОЩИ ЛБОПОЙЮЕУЛЙИ РТЕПВТБЪПŒБОЙК |

ЖХТШЕ-РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ	-ПРЕТБФПТПŒ:					+(r) =		e−ipr ap+ (2ı)3 :		(1.17)
(r) =		eipr ap (2ı)3 ;
				d3p					d3p
		[ap1					+			(1.18)
			; ap2 ]± = (2ı)				(p1 − p2)
рТЙОСФП ŒЩВЙТБФШ ОПТНЙТПŒЛХ ПРЕТБФПТПŒ ap							É ap	ФБЛ, ЮФПВЩ
				+		3‹(3)			:
		ПРТЕДЕМЕОЙСНЙ (1.4) Й (1.7).
фБЛПК ŒЩВПТ УПЗМБУХЕФУС У
йНЕЕФУС ŒБЦОЩК ДМС ФЕПТЙЙ ФŒЕТДПЗП ФЕМБ ЛТХЗ ЪБДБЮ, ЛПЗДБ										-ПРЕТБФПТЩ ЙМЙ

ДТХЗЙЕ ŒЕМЙЮЙОЩ ЪБДБОЩ ОБ ТЕЫЕФЛЕ. жХТШЕ-РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ (1.17) ОЕФТХДОП ТБУРТПУФТБОЙФШ ОБ ЬФПФ УМХЮБК, ЪБНЕФЙŒ, ЮФП ЕУМЙ r РТПВЕЗБЕФ ХЪМЩ ОЕЛПФПТПК ТЕЫЕФЛЙ, ФП p ЙЪНЕОСЕФУС ŒОХФТЙ РЕТЙПДБ ПВТБФОПК ТЕЫЕФЛЙ (ЙМЙ, ЙОБЮЕ ЗПŒПТС, ŒОХФТЙ ЪПОЩ вТЙММАЬОБ). уЛБЦЕН, Œ ПДОПН ЙЪНЕТЕОЙЙ ТЕЫЕФЛБ ЕУФШ rn = an, Б ЪПОБ вТЙММАЬОБ | ЬФП ПФТЕЪПЛ −ı=a < p < ı=a. фБЛПЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ ЙУРПМШЪХЕФУС Œ ЪБДБЮБИ 1, 2

É 4.

мЙФЕТБФХТБ: рПДТПВОПЕ ЙЪМПЦЕОЙЕ НЕФПДБ ŒФПТЙЮОПЗП ЛŒБОФПŒБОЙС НПЦОП ОБКФЙ Œ [3], ЗМ. VI, Б ФБЛЦЕ Œ [2], § 64, 65 É [1], § 3. рПОСФЙЕ ЛŒБЪЙЮБУФЙГ ПВУХЦДБЕФУС Œ [1], ЗМ. 1 Й [6], ЗМ. 1. лБОПОЙЮЕУЛЙЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙС вПЗПМАВПŒБ ДМС ВПЪЕ-ЮБУФЙГ ТБУУНБФТЙŒБАФУС Œ [1], § 4 É [6], § 25, Б ДМС ЖЕТНЙ-ЮБУФЙГ | Œ [6], § 39.

1.2. ъБДБЮЙ 1 { 4

ъБДБЮБ 1. (лМБУУЙЮЕУЛБС ГЕРПЮЛБ ПУГЙММСФПТПŒ 1.) тБУУНПФТЙН ГЕРПЮЛХ БФПНПŒ

1C ТБУУНПФТЕОЙС ЬФПК РТПУФЕКЫЕК НПДЕМЙ ЛПМЕВБОЙК ТЕЫЕФЛЙ ОБЮЙОБАФУС РПЮФЙ ŒУЕ ЛХТУЩ

1.2. ъбдбюй 1 { 4		15
НБУУЩ mi, УПЕДЙОЕООЩИ ПДЙОБЛПŒЩНЙ РТХЦЙОЛБНЙ ЦЕУФЛПУФЙ K:
∞	pi2=(2mi) + (K=2)(xi − xi+1)2
−∞		(1.19)
H = i=

ÇÄÅ mi = m, ЕУМЙ i ЮЕФОП, Й mi = M , ЕУМЙ i ОЕЮЕФОП. пРТЕДЕМЙФЕ ОПТНБМШОЩЕ НПДЩ ДМС ЬФПК УЙУФЕНЩ. рПЛБЦЙФЕ, ЮФП ЙИ ДŒЕ: БЛХУФЙЮЕУЛБС Й ПРФЙЮЕУЛБС.

юЕНХ ТБŒОБ УЛПТПУФШ ЪŒХЛБ c? рПМХЮЙФУС МЙ ФБЛПК ЦЕ ПФŒЕФ, ЕУМЙ ŒЩЮЙУМСФШ c РП

ЖПТНХМЕ мБРМБУБ c = @P=@j, ЗДЕ P | ДБŒМЕОЙЕ, Б j | РМПФОПУФШ?

юЕНХ ТБŒОБ ЫЙТЙОБ ЭЕМЙ НЕЦДХ ПРФЙЮЕУЛПК Й БЛХУФЙЮЕУЛПК ŒЕФŒСНЙ? рПЛБЦЙФЕ, ЮФП РТЙ M m ДЙУРЕТУЙС ПРФЙЮЕУЛПК НПДЩ РТБЛФЙЮЕУЛЙ ПФУХФУФŒХЕФ. лБЛ НПЦОП

ПВ СУОЙФШ ЬФП ЛБЮЕУФŒЕООП?

ъБДБЮБ 2. (жЕТНЙПООБС ГЕРПЮЛБ.) оБКДЙФЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ вПЗПМАВПŒБ, ДЙБЗПОБМЙЪХАЭЕЕ ЖЕТНЙПООЩК ЗБНЙМШФПОЙБО

H = i=			J1 ai+ai+1 + J1 ai++1ai + J2 aiai+1 + J2 ai++1ai+ − 2B ai+ai :	(1.20)
	∞
		−∞

фБЛПК ЗБНЙМШФПОЙБО ŒПЪОЙЛБЕФ РТЙ ТБУУНПФТЕОЙЙ ПДОПНЕТОПК НПДЕМЙ ЛŒБОФПŒПЗП НБЗОЕФЙЛБ, ФБЛ ОБЪЩŒБЕНПК ĂXY-НПДЕМЙĄ(УН. ТБЪДЕМ 1.4).

пРТЕДЕМЙФЕ УРЕЛФТ ЛŒБЪЙЮБУФЙГ "(k) ЗБНЙМШФПОЙБОБ (1.20). пВТБФЙФЕ ŒОЙНБОЙЕ,

ÞÔÏ ÐÒÉ B = 0 É J1 = J2 ДЙУРЕТУЙС РТПРБДБЕФ. нПЦОП МЙ РПОСФШ ЬФП ВЕЪ ŒЩЮЙУМЕОЙК?

ъБДБЮБ 3. (оЕМЙОЕКОЩЕ ЛБОПОЙЮЕУЛЙЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙС.) тБУУНПФТЙН ЖЕТНЙЕŒУЛЙЕ ПРЕТБФПТЩ a Й a+, ДЕКУФŒХАЭЙЕ Œ РТПУФТБОУФŒЕ УПУФПСОЙК ЖЕТНЙПОБ, ЛПФПТЩК НПЦЕФ ЪБРПМОСФШ ЙМЙ ОЕ ЪБРПМОСФШ ТПŒОП ПДОП УПУФПСОЙЕ. œ ЬФПН УМХЮБЕ РТПУФТБОУФŒП НОПЗПЮБУФЙЮОЩИ УПУФПСОЙК ДŒХНЕТОП Й ЛБОПОЙЮЕУЛЙН ВБЪЙУПН Œ ОЕН УМХЦБФ УПУФПСОЙС |0 É |1 .

оБКДЙФЕ ŒУЕ ЛБОПОЙЮЕУЛЙЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙС ПРЕТБФПТПŒ a Й a+, УПИТБОСАЭЙЕ УППФОПЫЕОЙС a2 = (a+)2 = 0 É a+a + aa+ = 1. хВЕДЙФЕУШ Œ ФПН, ЮФП ЛБОПОЙЮЕУЛЙЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙС ОБЙВПМЕЕ ПВЭЕЗП ŒЙДБ ОЕ ПРЙУЩŒБАФУС МЙОЕКОЩНЙ УППФОПЫЕОЙСНЙ ŒЙДБ (1.11).

тБУУНПФТЙФЕ РТЕДУФБŒМЕОЙЕ ЖЕТНЙЕŒУЛЙИ ПРЕТБФПТПŒ УРЙОПŒЩНЙ НБФТЙГБНЙ рБХМЙ:

x = a + a+ ; y = i(a − a+) ; z = 2a+a − 1 :

(1.21)

рПЛБЦЙФЕ, ЮФП ЛБОПОЙЮЕУЛЙЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙС a Й a+ УППФŒЕФУФŒХАФ ŒТБЭЕОЙСН Œ УРЙОПŒПН РТПУФТБОУФŒЕ.

уŒСЪШ НЕЦДХ ЖЕТНЙЕŒУЛЙНЙ ПРЕТБФПТБНЙ Й ПРЕТБФПТБНЙ УРЙОБ 1=2 ВПМЕЕ РПДТПВ-

ОП ТБУУНПФТЕОБ Œ ТБЪДЕМЕ 1.4.

ъБДБЮБ 4. (лŒБОФПŒБС ГЕРПЮЛБ ПУГЙММСФПТПŒ.) рХУФШ ФЕРЕТШ ЗБНЙМШФПОЙБО (1.19) ПРТЕДЕМСЕФ ЛŒБОФПŒХА ЪБДБЮХ, Ф. Е. pi = −ih@=@x— i . рЕТЕКДЙФЕ Л ВПЪПООЩН ПРЕТБФПТБН ТПЦДЕОЙС Й ХОЙЮФПЦЕОЙС:

xi =	h—	ai + ai+ ; pi =	hm—	i!i	ai − ai+ :	(1.22)
	mi!i	√2			i√2

ЖЙЪЙЛЙ ФŒЕТДПЗП ФЕМБ.

16	змбœб 1. лœбъйюбуфйгщ

дМС УМХЮБС M = m ОБКДЙФЕ ЛБОПОЙЮЕУЛПЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ, РТЙŒПДСЭЕЕ ЗБНЙМШФПОЙБО Л ДЙБЗПОБМШОПНХ ŒЙДХ. пРТЕДЕМЙФЕ УРЕЛФТ ЖПОПОПŒ Й ŒЩЮЙУМЙФЕ ЬОЕТЗЙА ОХМЕŒЩИ ЛПМЕВБОЙК.

1.3. тЕЫЕОЙС

тЕЫЕОЙЕ 1. зБНЙМШФПОЙБО (1.19) РТЙŒПДЙФ Л ХТБŒОЕОЙСН ДŒЙЦЕОЙС:

mx­i = K (yi + yi−1 − 2xi); M y­i = K (xi + xi+1 − 2yi)

(1.23)

(xi | УНЕЭЕОЙЕ БФПНБ НБУУЩ m Œ i{К ЬМЕНЕОФБТОПК СЮЕКЛЕ, yi | УНЕЭЕОЙЕ БФПНБ НБУУЩ M ). вХДЕН ЙУЛБФШ ТЕЫЕОЙЕ Œ ŒЙДЕ РМПУЛЙИ ŒПМО:

xn = ei(qn−!t) xq ;	yn = ei[q(n+1=2)−!t] yq :	(1.24)
пФУАДБ
m!2xq = 2Kxq − 2Kcos(q=2)yq ;	M !2yq = 2Kyq − 2Kcos(q=2)xq :	(1.25)

(ъДЕУШ q | ŒПМОПŒПК ŒЕЛФПТ Œ РЕТŒПК ЪПОЕ вТЙММАЬОБ: −ı < q < ı.) оПТНБМШОЩЕ НПДЩ ЙНЕАФ ЪБЛПО ДЙУРЕТУЙЙ, ПРТЕДЕМСЕНЩК ЙЪ ХУМПŒЙС

det	2K − m!2	−2Kcos(q=2)			= 0 ;	(1.26)
	2Kcos(q=2)	2K	−	M !2
	−

ÞÔÏ ÄÁÅÔ !4 −(2K=—)!2 + (4K2=mM )sin2(q=2) = 0, ЗДЕ — = M m=(M + m). рПМХЮБЕН

!±2 (q) =	K	2
	—	1 ± 1 − mM4— sin2(q=2)		(1.27)

ъДЕУШ Ă+Ą УППФŒЕФУФŒХЕФ ПРФЙЮЕУЛПК, Б Ă−Ą | БЛХУФЙЮЕУЛПК НПДЕ. дЙУРЕТУЙС ОПТНБМШОЩИ НПД (1.27) РПЛБЪБОБ ОБ ТЙУ. 1.1.

1.3. теыеойс

17

òÉÓ. 1.1

рТЙ НБМЩИ q ТБЪМБЗБЕН ЪБЛПО ДЙУРЕТУЙЙ БЛХУФЙЮЕУЛПК НПДЩ:

!2	(q) =	2K—		(q=2)2	;		(1.28)
−		mM
Й РПМХЮБЕН УЛПТПУФШ ЪŒХЛБ:			2K=(M + m)
c = (!−=q)|q→0 = 2						:	(1.29)
		1				1=2

рТЙ ŒЩŒПДЕ РТЕДРПМБЗБМПУШ, ЮФП РЕТЙПД ТЕЫЕФЛЙ 2a ТБŒЕО ЕДЙОЙГЕ. юФПВЩ РПМХЮЙФШ ŒЩТБЦЕОЙЕ, ЙНЕАЭЕЕ ТБЪНЕТОПУФШ УЛПТПУФЙ, ОБДП ХНОПЦЙФШ ТЕЪХМШФБФ ОБ

2a, ЗДЕ a | ТБУУФПСОЙЕ НЕЦДХ БФПНБНЙ M Й m. рТЙ ЬФПН РПМХЮБЕФУС УЛПТПУФШ

c = a 2K=(M + m).

рТПŒЕТЙН, ЮФП ОБКДЕООБС УЛПТПУФШ ЪŒХЛБ УПЗМБУХЕФУС У ЖПТНХМПК мБРМБУБ c2 = @P=@j, УŒСЪЩŒБАЭЕК УЛПТПУФШ ЪŒХЛБ Й УЦЙНБЕНПУФШ УЙУФЕНЩ. дМС ГЕРПЮЛЙ ДМЙОЩ x, УПДЕТЦБЭЕК N БФПНПŒ ЛБЦДПЗП ФЙРБ, УЙМБ РТПРПТГЙПОБМШОБ ХДМЙОЕОЙА, dP = −(K=2N )dx (Œ ПДОПН ЙЪНЕТЕОЙЙ УЙМБ Й ДБŒМЕОЙЕ | ЬФП ПДОП Й ФП ЦЕ), Б ЙЪНЕОЕОЙЕ

	РМПФОПУФЙ ЕУФШ	d	(	M + m)N	dx = −	(M + m)N
	dj =						dx ;	(1.30)
		dx		x		x02

ÇÄÅ x0 = 2N a. пФУАДБ РПМХЮБЕН c2 = 2Ka2=(M + m), ЛБЛ Й УМЕДПŒБМП. œЕТИОЙК ЛТБК БЛХУФЙЮЕУЛПК ŒЕФŒЙ УРЕЛФТБ:

max[!2

(q)] = !2

(ı) =

K 1

1

4—2

=

K

1

M − m

=

2K

:

−

−

—

−

− mM

—

− M + m

M

бОБМПЗЙЮОП, ОЙЦОЙК ЛТБК ПРФЙЮЕУЛПК ŒЕФŒЙ ЕУФШ

min[!+2 (q)] = !+2 (ı) = 2mK ;

É		M	m		2	K=m	− 2		K=M :
	РПЬФПНХ ЫЙТЙОБ ЭЕМЙ ´! =
	ðÒÉ			ЮБУФПФБ ПРФЙЮЕУЛПК ŒЕФŒЙ
				!+(q) =	2K	1 +	m	cos2(q=2) + O
					m		2M

m2

M 2

(1.31)

(1.32)

(1.33)

РТБЛФЙЮЕУЛЙ ОЕ ЪБŒЙУЙФ ПФ q, ЮФП УППФŒЕФУФŒХЕФ ЛПМЕВБОЙСН МЕЗЛЙИ БФПНПŒ НЕЦДХ РПЮФЙ ОЕРПДŒЙЦОЩНЙ ФСЦЕМЩНЙ. жЙЪЙЮЕУЛБС РТЙЮЙОБ ПФУХФУФŒЙС ДЙУРЕТУЙЙ | ŒЪБЙНОБС ОЕЪБŒЙУЙНПУФШ ЛПМЕВБОЙК УПУЕДОЙИ БФПНПŒ НБУУЩ m. рТЙ M m ОЕŒБЦОП, ЛПМЕВМАФУС МЙ УПУЕДОЙЕ МЕЗЛЙЕ БФПНЩ Œ ЖБЪЕ ЙМЙ ЦЕ Œ РТПФЙŒПЖБЪЕ, РПУЛПМШЛХ ЮЕТЕЪ ФСЦЕМЩЕ УФЕОЛЙ (Ф. Е. БФПНЩ НБУУЩ M ) ŒМЙСОЙЕ ОЕ РЕТЕДБЕФУС.

18	змбœб 1. лœбъйюбуфйгщ

ı

рЕТŒПЕ ТЕЫЕОЙЕ 2. уДЕМБЕН РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ жХТШЕ am = eikmak 2dkı . ðÒÉ ÜÔÏÍ

−ı

ЮМЕОЩ ЗБНЙМШФПОЙБОБ РТЕПВТБЪХАФУС Л ФБЛПНХ ŒЙДХ:

am+ am+1 = ak+ak eik

;

amam+1 = ak a−k e−ik ;

m

k

m

k

am+ am+1 + am+

+1am =

2 cos k ak+ak ;

(1.34)

m

k

ЗДЕ УХННБ РП k

ЕУФШ УПЛТБЭЕООПЕ ПВПЪОБЮЕОЙЕ ДМС

ı

dk . рПМШЪХСУШ БОФЙЛПННХ-

: : :

ФБФЙŒОПУФША a

a

−ı

2ı

ÔÁË:

k É −k , РЕТЕРЙЫЕН ŒФПТХА УХННХ

sin k ak a−k ;

amam+1 = −i

(1.35)

m

k

РПУМЕ ЮЕЗП ЗБНЙМШФПОЙБО РТЙОЙНБЕФ ŒЙД

2(J1 cos k − B) ak+ak − iJ2 sin k ak a−k + iJ2 sin k a−+k ak+ :

H =

k

(1.36)

рПУМЕ ĂРПŒПТПФБĄ ak

= eiı=4bk , a+ = e−iı=4b+

ЗБНЙМШФПОЙБО УФБОПŒЙФУС ŒЕЭЕУФŒЕО-

ÎÙÍ:

k

k

H =

k

(J1 cos k − B) bk+bk + J2 sin k bk b−k + h:c:

(1.37)

вХДЕН ЙУЛБФШ ЖЕТНЙПООПЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ вПЗПМАВПŒБ Œ ŒЙДЕ

bk = uk ck + vk c−+k ;

bk+ = uk ck+ + vk c−k ;

b−+k = −vk ck + uk c−+k ;

b−k = −vk ck+ + uk c−k

(1.38)

У ŒЕЭЕУФŒЕООЩНЙ uk

É vk , РТЙЮЕН u2

+ v2

= 1. рПМХЮБЕН

k

k

H =	k	(J1 cos k − B) uk2ck+ck + uk vk (ck+c−+k + c−k ck ) + vk2c−k
		+J2 sin k uk ck c−k + uk vk(c−k c−k − ck ck ) − vk c−k ck
		2	+	+	2 + +
рТЙТБŒОСЕН ЛПЬЖЖЙГЙЕОФ РТЙ c−k ck ОХМА, РПФТЕВПŒБŒ ЮФПВЩ
		2uk vk (J1 cos k − B)	+ (−uk2 + vk2)J2 sin k = 0 :
фПЗДБ ВХДЕН ЙНЕФШ УМЛДХАЭЕЕ

c−+k +
+ h:c:	(1.39)

(1.40)

vk = B − J1 cos k	± (J1 cos k − B)2 + J22 sin2 k	:	(1.41)
uk	J2 sin k

тЕЫЙŒ ЬФП ХТБŒОЕОЙЕ РТЙ ХУМПŒЙЙ u2k + vk2 = 1, ЙИ Œ ЗБНЙМШФПОЙБО:

= const + 2( cos ) ( 2

H J1 k − B uk

k

ОБКДЕН ЪОБЮЕОЙС uk , vk Й РПДУФБŒЙН

− vk2) + 4J2 sin k uk vk c+k ck =

1.3. теыеойс	19
= const + "k ck+ck :	(1.42)
k
уРЕЛФТ ŒПЪВХЦДЕОЙК, ФБЛЙН ПВТБЪПН, ЕУФШ
"k = 2 (J1 cos k − B)2 + J22 sin2 k :	(1.43)

пФУХФУФŒЙЕ ДЙУРЕТУЙЙ РТЙ J1 = J2 Й B = 0 ПЪОБЮБЕФ, ЮФП ŒПЪВХЦДЕОЙС МПЛБМЙЪПŒБОЩ ОБ ПДОПН ЙМЙ ОЕУЛПМШЛЙИ УПУЕДОЙИ ХЪМБИ. ьФП НПЦОП РПОСФШ У ФПЮЛЙ ЪТЕОЙС РТЕПВТБЪПŒБОЙС кПТДБОБ{œЙЗОЕТБ (УН. ТБЪДЕМ 1.4), ЛПФПТПЕ Œ ДБООПН УМХЮБЕ РТЙŒПДЙФ Л ЙЪЙОЗПŒУЛПК УРЙОПŒПК ГЕРПЮЛЕ:

	∞
		:	(1.44)
	−∞
H =	Jy iy iy+1

i=

œ ФБЛПК ГЕРПЮЛЕ ЛБЦДЩК УРЙО ИБТБЛФЕТЙЪХЕФУС ПРТЕДЕМЕООПК РТПЕЛГЙЕК ОБ ПУШ y. рПЬФПНХ ЬМЕНЕОФБТОПЕ ŒПЪВХЦДЕОЙЕ Œ ЬФПК УЙУФЕНЕ | РТПУФП РЕТЕŒПТПФ УРЙОБ ОБ МАВПН ЙЪ ХЪМПŒ, ОЙЛБЛ ОЕ ЪБФТБЗЙŒБАЭЙК ПУФБМШОЩЕ ХЪМЩ.

фБЛЙН ПВТБЪПН, РПМОБС МПЛБМЙЪБГЙС ŒПЪВХЦДЕОЙС ОБ ПДОПН ХЪМЕ ЬЛŒЙŒБМЕОФОБ ПФУХФУФŒЙА ДЙУРЕТУЙЙ. пВТБФЙН ŒОЙНБОЙЕ ОБ БОБМПЗЙА У ЪБДБЮЕК 1 Œ УМХЮБЕ M m, ЛПЗДБ ПРФЙЮЕУЛБС НПДБ ЛПМЕВБОЙК УФБОПŒЙФУС РПЮФЙ ВЕЪДЙУРЕТУЙПООПК ЙЪ-ЪБ ФПЗП, ЮФП ЛПМЕВБОЙС УПУЕДОЙИ МЕЗЛЙИ БФПНПŒ РПЮФЙ РПМОПУФША ТБЪŒСЪБОЩ.

дТХЗПЕ ТЕЫЕОЙЕ 2. рТЙŒЕДЕООПЕ ŒЩЫЕ ТЕЫЕОЙЕ ЙММАУФТЙТХЕФ УФБОДБТФОЩК РПДИПД Л РТЕПВТБЪПŒБОЙА вПЗПМАВПŒБ. дБДЙН ДТХЗПЕ ТЕЫЕОЙЕ, Œ ЛПФПТПН ЖЙЪЙЮЕУЛЙК УНЩУМ ŒЩЮЙУМЕОЙК СУОЕЕ, Й УБНЙ ПОЙ | ЬМЕЗБОФОЕЕ. œЕТОЕНУС Л ЗБНЙМШФПОЙБОХ

(1.36) Й ТБУУНПФТЙН ЕЗП ЛПННХФБФПТ У ЖЕТНЙЕŒУЛЙНЙ ПРЕТБФПТБНЙ: [ ]. рПМШЪХ-

H; ak

СУШ УППФОПЫЕОЙСНЙ

[a+a; a] = a+aa − aa+a = −a ; [aa+; a+] = −a+ ;		(1.45)
ŒЩЮЙУМЙН ЛПННХФБФПТ
	:	(1.46)
[H; ak ] = −2(J1 cos k − B) ak + 2J2i sin k a−+k

(оБРПНОЙН, ЮФП ЖЙЪЙЮЕУЛЙК УНЩУМ ЛПННХФБФПТБ ОЕЛПФПТПК ŒЕМЙЮЙОЩ У ЗБНЙМШФП-

	_
ОЙБОПН | УЛПТПУФШ ЙЪНЕОЕОЙС ЬФПК ŒЕМЙЮЙОЩ: ih—A = [A; H].) фЕРЕТШ ТБУУНПФТЙН
ЛБОПОЙЮЕУЛПЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ:
ak = uk bk + vk b−+k ;	a−+k = uk b−+k − vk bk ;	(1.47)

Й РТЕДРПМПЦЙН, ЮФП РБТБНЕФТЩ uk É vk ŒЩВТБОЩ ФБЛ, ЮФП ЗБНЙМШФПОЙБО РТЙОСМ

ДЙБЗПОБМШОХА ЖПТНХ
	+			(1.48)
H = E0		"kbk+bk :
		k
œПЪШНЕН ЛПННХФБФПТЩ
			"k bk+ ;	(1.49)
[H; bk ] = −"k bk ; [H; bk+] =

20	змбœб 1. лœбъйюбуфйгщ
Й У ЙИ РПНПЭША РЕТЕРЙЫЕН ЛПННХФБФПТ (1.46):
−uk "k bk + vk "kb−+k = −2(J1 cos k − B)(uk bk + vk b−+k ) + 2J2i sin k(uk b−+k − vk bk );		(1.50)
ПФЛХДБ РПМХЮБЕН ДŒБ ХТБŒОЕОЙС ДМС "k , uk É vk :
uk "k = 2(J1 cos k − B) uk + 2J2i sin k vk ;		(1.51)
vk "k = −2(J1 cos k − B) vk + 2J2i sin k uk :		(1.52)
фБЛ ЛБЛ ХТБŒОЕОЙС ПДОПТПДОЩ РП uk É vk , ŒЩТБЦБЕН vk ЮЕТЕЪ uk ÉÚ (1.52):
vk =	2J2i sin k uk
	"k + 2(J1 cos k − B) ;	(1.53)
Й ЪБФЕН ЙУЛМАЮБЕН vk ЙЪ (1.51). рПМХЮБЕН
"k2 − 4(J1 cos k)2 = 4J22 sin2 k ;		(1.54)
ПФЛХДБ ОБИПДЙН ЪБЛПО ДЙУРЕТУЙЙ:
"k = 2 (J1 cos k − B)2 + J22 sin2 k :		(1.55)

(ъОБЛ РЕТЕД ЛПТОЕН ŒЩВЙТБЕН, ЪБНЕФЙŒ, ЮФП ЬОЕТЗЙС ŒПЪВХЦДЕОЙК ОБД ПУОПŒОЩН УПУФПСОЙЕН ŒУЕЗДБ РПМПЦЙФЕМШОБ.) рБТБНЕФТЩ РТЕПВТБЪПŒБОЙС ОЕФТХДОП ОБКФЙ ЙЪ (1.53) Й ХУМПŒЙС ОПТНЙТПŒЛЙ |uk |2 + |vk|2 = 1.

тЕЫЕОЙЕ 3. вХДЕН ЙУЛБФШ ЛБОПОЙЮЕУЛПЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ Œ ФБЛПН ŒЙДЕ:
a = ua + va+ + wa+a + q	(1.56)
a + = u a+ + v a + w a+a + q :	(1.57)

ьФП ОБЙВПМЕЕ ПВЭБС ЖПТНБ, Л ЛПФПТПК НПЦЕФ ВЩФШ РТЙŒЕДЕОП МАВПЕ РПМЙОПНЙБМШОПЕ РП a Й a+ ŒЩТБЦЕОЙЕ. хВЕДЙФШУС Œ ЬФПН НПЦОП УМЕДХАЭЙН ПВТБЪПН. œП{РЕТŒЩИ, У РПНПЭША ЛПННХФБГЙПООЩИ УППФОПЫЕОЙК МАВПЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ НПЦЕФ ВЩФШ РТЙŒЕДЕОП Л ОПТНБМШОПК ЖПТНЕ, Œ ЛПФПТПК Œ ЛБЦДПН УМБЗБЕНПН ПРЕТБФПТ a+ (ЕУМЙ ПО ЕУФШ) УФПЙФ УМЕŒБ ПФ a. œП{ŒФПТЩИ, РПУЛПМШЛХ a2 = (a+)2 = 0, ŒЩТБЦЕОЙЕ (1.56) РТЕДУФБŒМСЕФ УПВПК ОПТНБМШОХА ЖПТНХ ОБЙВПМЕЕ ПВЭЕЗП ŒЙДБ.

тБУУНПФТЙН ŒЩТБЦЕОЙЕ a 2. рТЙŒЕДЕН ЛŒБДТБФ РТБŒПК ЮБУФЙ ŒЩТБЦЕОЙС (1.56) ДМС a Л ОПТНБМШОПК ЖПТНЕ Й РПФТЕВХЕН, ЮФПВЩ ŒУЕ ЛПЬЖЖЙГЙЕОФЩ ПВТБФЙМЙУШ Œ ОХМШ. ьФП ДБЕФ ДŒБ ХУМПŒЙС:

w + 2q = 0 ; uv + q2 = 0 :		(1.58)
бОБМПЗЙЮОП, ХУМПŒЙЕ a a + + a +a = 1	РТЙŒПДЙФ Л УППФОПЫЕОЙА
|u|2 +	|v|2 + 2|q|2 = 1 :	(1.59)