Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002)

4.3. ъбдбюй 16 { 21

71

тБУУНПФТЙФЕ ˚("; p) ŒВМЙЪЙ НБУУПŒПК РПŒЕТИОПУФЙ " = p2=2m Й РТЙ НБМЩИ |p| mc. рПМХЮЙФЕ ТБЪМПЦЕОЙЕ:

˚("; p) = "0 − ¸1	" − p2=2m − ¸2 p2=2m :	(4.22)

рПЛБЦЙФЕ, ЮФП ŒЕМЙЮЙОБ ¸2 ПРТЕДЕМСЕФ РЕТЕОПТНЙТПŒЛХ НБУУЩ m, ŒЕМЙЮЙОБ ¸1 | РЕТЕОПТНЙТПŒЛХ БНРМЙФХДЩ Z ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ (4.14), Б "0 ДБЕФ ЬОЕТЗЙА УŒСЪЙ. оБКДЙФЕ ЬЖЖЕЛФЙŒОХА НБУУХ РПМСТПОБ.

ъБДБЮБ 17. (юЕТЕОЛПŒУЛПЕ ЙЪМХЮЕОЙЕ ЪŒХЛБ.) œЕМЙЮЙОБ ˚("; p), ОБКДЕООБС Œ ЪБДБЮЕ 16, ЙНЕЕФ ПФМЙЮОХА ПФ ОХМС НОЙНХА ЮБУФШ РТЙ v = p=m > c, РПУЛПМШЛХ УŒЕТИ-

ЪŒХЛПŒПК ЬМЕЛФТПО НПЦЕФ ЙУРХУЛБФШ ЖПОПОЩ.

Б) ъБРЙЫЙФЕ Im ˚ ЛБЛ W („)d„, ЗДЕ „ | ХЗПМ НЕЦДХ ОБРТБŒМЕОЙЕН ŒЩМЕФБ ЖП-

ОПОБ Й ЙНРХМШУПН p. оБКДЙФЕ ХЗМПŒПЕ ТБУРТЕДЕМЕОЙЕ ЙЪМХЮБЕНПЗП ЪŒХЛБ.

В) ьФХ ЦЕ ЪБДБЮХ ТЕЫЙФЕ У РПНПЭША ФЕПТЙЙ ŒПЪНХЭЕОЙК. оБКДЙФЕ ŒЕТПСФОПУФШ ЙЪМХЮЕОЙС ЖПОПОБ Œ ЕДЙОЙГХ ŒТЕНЕОЙ РПД ХЗМПН „, ЙУРПМШЪХС ĂЪПМПФПЕ РТБŒЙМПĄ ДМС ŒЕТПСФОПУФЙ РЕТЕИПДБ Œ ОЕРТЕТЩŒОЩК УРЕЛФТ:

dWi→f = 2—hı | f|Hint|i |2 ‹(Ef − Ei) d f

(4.23)

(ÓÍ. [2], § 43, ЖПТНХМБ (43.1); [3], ЗМ. 8 ).

уТБŒОЙФЕ ТЕЪХМШФБФЩ. пВТБФЙФЕ ŒОЙНБОЙЕ, ЮФП РТЙ ЪБРЙУЙ ŒЕТПСФОПУФЙ ЙЪМХЮЕОЙС ЛБЛ Im ˚, ОЕ ОХЦОП ЪБВПФЙФШУС П ОПТНЙТПŒЛЕ УПУФПСОЙК Й П РТБŒЙМШОПК ТБЪНЕТОПУФЙ | ŒУЕ ХЦЕ РТЕДХУНПФТЕОП ПРТЕДЕМЕОЙЕН ЖХОЛГЙК зТЙОБ.

ъБДБЮБ 18. (уŒСЪБООПЕ УПУФПСОЙЕ ДŒХИ ЮБУФЙГ.) рХУФШ ДŒЕ ЮБУФЙГЩ У НБУУБНЙ m1 É m2 ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАФ РП ЪБЛПОХ U (r1 − r2; t1 − t2), Ф. Е. ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ ЪБРБЪДЩŒБАЭЕЕ. рТЕДРПМПЦЙН, ЮФП ЪБРБЪДЩŒБОЙЕ НБМП. уЙФХБГЙЙ, Œ ЛПФПТЩИ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ ПЛБЪЩŒБЕФУС УМБВП ЪБРБЪДЩŒБАЭЙН, НПЗХФ ВЩФШ УБНЩНЙ ТБЪМЙЮОЩНЙ. оБРТЙНЕТ, ЬЛУЙФПО Œ РПМХРТПŒПДОЙЛЕ | ŒПДПТПДПРПДПВОПЕ УŒСЪБООПЕ УПУФПСОЙЕ ЬМЕЛФТПОБ Й ДЩТЛЙ. йМЙ, УЛБЦЕН, ДЕКФТПО | УМБВП УŒСЪБООПЕ УПУФПСОЙЕ РТПФПОБ Й ОЕКФТПОБ, ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЙИ РПУТЕДУФŒПН СДЕТОЩИ УЙМ.

пВЭБС ЪБДБЮБ П УŒСЪБООПН УПУФПСОЙЙ ДŒХИ ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЙИ ЮБУФЙГ ТЕЫБЕФУС У РПНПЭША ХТБŒОЕОЙС вЕФЕ{уПМРЙФЕТБ ДМС ДŒХИЮБУФЙЮОПК БНРМЙФХДЩ ТБУУЕСОЙС (4.20). тБУУНПФТЙН, ЛБЛЙЕ ХРТПЭЕОЙС ŒПЪОЙЛБАФ, ЕУМЙ ЪБРБЪДЩŒБОЙЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС ПФУХФУФŒХЕФ, ЙМЙ ЕУМЙ ПОП ОЕŒЕМЙЛП.

Б) (нЗОПŒЕООПЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ: ЪБДБЮБ УŒПДЙФУС Л ПДОПЮБУФЙЮОПК.) рХУФШ ЪБРБЪДЩŒБОЙС ОЕФ: U12 = U (r1 − r2) ‹(t1 − t2). рПЛБЦЙФЕ, ЮФП Œ ЬФПН УМХЮБЕ ŒУЕ ДЙБЗТБННЩ У РЕТЕУЕЛБАЭЙНЙУС МЙОЙСНЙ ДБАФ ОХМШ РТЙ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙЙ РП ЮБУФПФБН,

Б УМЕДПŒБФЕМШОП `0p1;p2;p1+q;p2−q = U (q).

œЩРПМОЙŒ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙЕ Œ ХТБŒОЕОЙЙ вЕФЕ{уПМРЙФЕТБ (4.20), РЕТЕКДЙФЕ Л ЙН-

РХМШУБН ПФОПУЙФЕМШОП ГЕОФТБ НБУУ:
	P = p1 + p2 = p3 + p4 ;					(4.24)
k =	m2p1	− m1p2 ;	k =	m2p3	− m1p4 ;	(4.25)
	m1	+ m2		m1	+ m2

72	змбœб 4. œъбйнпдекуфœхаэйе юбуфйгщ
Й РТЙŒЕДЙФЕ (4.20) Л ŒЙДХ		˙0 −q2=2— + i0	(2ı)3 :
	`P (k; k ) = U (k − k ) +			(4.26)
		U (k q)`P (q; k )	d3q

−

ъДЕУШ РТЙŒЕДЕООБС НБУУБ — = m1m2=(m1 + m2), ЮБУФПФБ ˙0 = ˙ −P 2=2M , ЗДЕ РПМОБС НБУУБ M = m1 + m2 É ˙ = !1 + !2 = !3 + !4. пВТБФЙФЕ ŒОЙНБОЙЕ, ЮФП ОБ НБУУПŒПК РПŒЕТИОПУФЙ ПФОПУЙФЕМШОПЗП ДŒЙЦЕОЙС, ЗДЕ ˙0 = k2=2— = k 2=2—, ХТБŒОЕОЙЕ (4.26) УПŒРБДБЕФ У ХТБŒОЕОЙЕН ДМС БНРМЙФХДЩ ТБУУЕСОЙС F (3.13) У ФПЮОПУФША ДП ЪБНЕОЩ НБУУЩ ОБ РТЙŒЕДЕООХА (УН. [1], § 25, ÐÐ. 3, 4).

В) (уМБВПЕ ЪБРБЪДЩŒБОЙЕ.) рХУФШ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ ЪБРБЪДЩŒБАЭЕЕ:

U12 = U (r1 − r2) e−|t1−t2|=fi =(2fi ) ;

(4.27)

ОП fi НОПЗП НЕОШЫЕ ŒУЕИ ДТХЗЙИ ИБТБЛФЕТОЩИ ŒТЕНЕО. фПЗДБ ДЙБЗТБННЩ, ŒИПДСЭЙЕ Œ ОЕРТЙŒПДЙНХА ЮБУФШ `0, ВХДХФ ФЕН НЕОШЫЕ РП РБТБНЕФТХ fi , ЮЕН ВПМШЫЕ Œ ОЙИ РЕТЕУЕЛБАЭЙИУС МЙОЙК.

рПЛБЦЙФЕ, ЮФП УФЕРЕОШ fi , ЛПФПТПК РТПРПТГЙПОБМШОБ ЛБЦДБС ДЙБЗТБННБ, ПРТЕДЕМСЕФУС ФПМШЛП ЮЙУМПН МЙОЙК ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС. œЕТОП МЙ ЬФП ДМС ДЙБЗТБНН, ДБАЭЙИ РПМОХА БНРМЙФХДХ `?

ъБДБЮБ 19*. (ьЖЖЕЛФЙŒОБС НБУУБ УŒСЪБООПЗП УПУФПСОЙС.) йЪ ЪБДБЮЙ 18 Б УМЕДХЕФ, ЮФП, ЕУМЙ УПУФБŒОБС ЮБУФЙГБ НБУУЩ M СŒМСЕФУС УŒСЪБООЩН УПУФПСОЙЕН ДŒХИ ЮБУФЙГ НБУУЩ m, ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЙИ ВЕЪ ЪБРБЪДЩŒБОЙС, ФП M = 2m. (рПЮЕНХ?)

рХУФШ ФЕРЕТШ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ ПВМБДБЕФ ОЕВПМШЫЙН ЪБРБЪДЩŒБОЙЕН, Й ДБЕФУС ŒЩТБЦЕОЙЕН (4.27) ЪБДБЮЙ 18 В. рПЛБЦЙФЕ, ЮФП НБУУБ УПУФБŒОПК ЮБУФЙГЩ Œ ЬФПН УМХЮБЕ

	ÅÓÔØ:	2fi	2
	M = 2m −				02(r) 2U (r) d3r ;	(4.28)
		3

ÇÄÅ 0(r) | ПУОПŒОПЕ УПУФПСОЙЕ ЮБУФЙГЩ НБУУЩ m=2, ДŒЙЦХЭЕКУС Œ РПФЕОГЙБМЕ U (r). нПЦОП МЙ РПОСФШ ЛБЮЕУФŒЕООП, РПЮЕНХ РПРТБŒЛБ ПФТЙГБФЕМШОБ?

дМС ТЕЫЕОЙС ЪБДБЮЙ РЕТЕКДЙФЕ Œ УЙУФЕНХ ГЕОФТБ НБУУ, ДŒЙЦХЭХАУС УП УЛПТПУФША

v = P=2m. рПЛБЦЙФЕ, ЮФП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ Œ ЬФПК УЙУФЕНЕ ЙНЕЕФ ŒЙД
U12(q; !) =	U (q)	:	(4.29)
	1 + fi 2(! − vq)2

œ ПВМБУФЙ !fi 1 НПЦОП РПМПЦЙФШ ! = 0, Ф. Е. УЮЙФБФШ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ НЗОПŒЕООЩН, Й ŒПУРПМШЪПŒБФШУС ТЕЪХМШФБФПН ЪБДБЮЙ 18 Б.

рТЙНЕТПН ТЕБМШОПК УЙУФЕНЩ, Л ЛПФПТПК РТЙНЕОЙН ЙЪМПЦЕООЩК НЕФПД, СŒМСЕФУС ЬЛУЙФПО Œ РПМХРТПŒПДОЙЛЕ, ДЙЬМЕЛФТЙЮЕУЛБС РТПОЙГБЕНПУФШ ЛПФПТПЗП ПВМБДБЕФ ЮБУФПФОПК ДЙУРЕТУЙЕК "(!). йЪ-ЪБ ЮБУФПФОПК ДЙУРЕТУЙЙ ЛХМПОПŒУЛПЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ (4.4), (4.5) НЕЦДХ ПВТБЪХАЭЙНЙ ЬЛУЙФПО ЬМЕЛФТПОПН Й ДЩТЛПК УФБОПŒЙФУС ЪБРБЪДЩŒБАЭЙН, ЮФП РТЙŒПДЙФ Л ХНЕОШЫЕОЙА ЬЖЖЕЛФЙŒОПК НБУУЩ ЬЛУЙФПОБ.

4.3. ъбдбюй 16 { 21

73

жПТНХМБ (4.29) РПДТБЪХНЕŒБЕФ, ЮФП РЕТЕОПУСЭЙЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ ЮБУФЙГЩ | ОЕТЕМСФЙŒЙУФУЛЙЕ, Ф. Е. РПДЮЙОСАФУС РТЕПВТБЪПŒБОЙА зБМЙМЕС, Б ОЕ мПТЕОГБ. œ ТЕМСФЙŒЙУФУЛПК ДЙОБНЙЛЕ ЙОЕТФОБС НБУУБ, ПРТЕДЕМСЕНБС У РПНПЭША p = Mv, ФПЦДЕУФŒЕООБ НБУУЕ РПЛПС M = 2m − ´E=c2, ÇÄÅ ´E | ЬОЕТЗЙС УŒСЪЙ.

йОФЕТЕУОП ПФНЕФЙФШ, ЮФП ЪОБЛ РЕТЕОПТНЙТПŒЛЙ НБУУЩ УŒСЪБООПЗП УПУФПСОЙС, ДБŒБЕНПК ОБЫЙН ОЕТЕМСФЙŒЙУФУЛЙН ŒЩЮЙУМЕОЙЕН, УПЗМБУХЕФУС У ПФŒЕФПН ДМС ТЕМСФЙŒЙУФУЛПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС. (уЛБЦЕН, НБУУБ ДЕКФТПОБ md = mp + mn − ´d=c2, ÇÄÅ ´d | ЬОЕТЗЙС УŒСЪЙ ДЕКФТПОБ.) оП, ЛПОЕЮОП ЦЕ, ТБУУНБФТЙŒБЕНЩК ОБНЙ ЬЖЖЕЛФ ОЕ ЙНЕЕФ ОЙЛБЛПЗП ПФОПЫЕОЙС Л ФЕПТЙЙ ПФОПУЙФЕМШОПУФЙ. œ ЮБУФОПУФЙ, ЙЪНЕОЕОЙЕ НБУУЩ ЪБ УЮЕФ ЪБРБЪДЩŒБОЙС ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС ЛБЛ РТБŒЙМП ПЛБЪЩŒБЕФУС ЪБНЕФОП ВПМШЫЕ, ЮЕН ТЕМСФЙŒЙУФУЛЙК ДЕЖЕЛФ НБУУЩ ´E=c2.

ъБДБЮБ 20. (жХОЛГЙЙ зТЙОБ ДМС ЖЕТНЙПООПК ГЕРПЮЛЙ.) уРЕЛФТ ЛŒБЪЙЮБУФЙГ "(p) ДБЕФУС РПМАУБНЙ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ G("; p). йУРПМШЪХС ЬФПФ ЖБЛФ, ТЕЫЙН ЪБДБЮХ 2 ДТХЗЙН УРПУПВПН. рТЕДУФБŒЙН ЗБНЙМШФПОЙБО (1.20) Œ ŒЙДЕ УХННЩ ĂОЕŒПЪНХЭЕООПЗП ЗБНЙМШФПОЙБОБĄ Й ĂŒПЪНХЭЕОЙСĄ, H = H0 + Hint, ÇÄÅ

∞	J1ai+ai+1	+ J1ai++1ai − 2Bai+ai ;
−∞
H0 = i=			(4.30)
∞		+ J2ai++1ai+ :
−∞
Hint = i=	J2aiai+1		(4.31)

оБКДЙФЕ ЖХОЛГЙА зТЙОБ G0("; p) ДМС ЪБДБЮЙ, ПРЙУЩŒБЕНПК ЗБНЙМШФПОЙБОПН H0. оБТЙУХКФЕ ЗТБЖЙЛЙ, УХННБ ЛПФПТЩИ ДБčФ ФПЮОХА ЖХОЛГЙА зТЙОБ. пВТБФЙФЕ ŒОЙНБОЙЕ, ЮФП ФПМШЛП ЮЕФОЩЕ РПТСДЛЙ ФЕПТЙЙ ŒПЪНХЭЕОЙК РП Hint ДБАФ ŒЛМБД. œЩЮЙУМЙФЕ ЛБ-

ЦДХА ЙЪ ДЙБЗТБНН, ЛБЛ ЖХОЛГЙА " Й p, Й РТПУХННЙТХКФЕ ТСД.

ъБДБЮБ 21*. (фСЦЕМБС ЮБУФЙГБ Œ ЖЕТНЙ-ЗБЪЕ.) тБУУНПФТЙН БФПН НБУУЩ M , ДŒЙЦХЭЙКУС Œ ЖЕТНЙ-ЗБЪЕ Й ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЙК У ЖЕТНЙ-ЮБУФЙГБНЙ. œ ХУМПŒЙСИ, ЛПЗДБ НБУУБ БФПНБ M НОПЗП ВПМШЫЕ НБУУЩ ЖЕТНЙПОПŒ m, ТБУУЕСОЙЕ МЕЗЛЙИ ЖЕТНЙПОПŒ ОБ ФСЦЕМПК ЮБУФЙГЕ ЛŒБЪЙХРТХЗПЕ, РПУЛПМШЛХ РТЙ НБЛУЙНБМШОП ŒПЪНПЦОПН РЕТЕДБООПН РТЙ УФПМЛОПŒЕОЙЙ ЙНРХМШУЕ ´p = 2p0 ŒЕМЙЮЙОБ РЕТЕДБООПК ЬОЕТЗЙЙ

"M = ´p2=2M EF .

œ ПФУХФУФŒЙЕ ТБУУЕСОЙС ЖХОЛГЙС зТЙОБ ЮБУФЙГЩ ДБЕФУС ПВЩЮОЩН ŒЩТБЦЕОЙЕН:

G("; p) =	1	:	(4.32)
	" − p2=2M + i0

юФПВЩ ŒЩСУОЙФШ, ЛБЛ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ У ЖЕТНЙПОБНЙ ŒМЙСЕФ ОБ ДЙОБНЙЛХ ЮБУФЙГЩ,

ОБКДЕН ЖХОЛГЙА зТЙОБ ЮБУФЙГЩ Œ РТЙУХФУФŒЙЙ УМБВПЗП ЛПОФБЛФОПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС U (r − r ) = –‹(r − r ).

Б) рПУЛПМШЛХ ЖЕТНЙПОЩ ДŒЙЦХФУС ОБНОПЗП ВЩУФТЕЕ ЮБУФЙГЩ, ЕУФЕУФŒЕООП ŒПУРПМШЪПŒБФШУС ĂБДЙБВБФЙЮЕУЛЙНĄ РТЙВМЙЦЕОЙЕН, Œ ЛПФПТПН ДЙОБНЙЛБ ЖЕТНЙПОПŒ ЙУЛМАЮЕОБ Й ЪБНЕОЕОБ ЬЖЖЕЛФЙŒОЩН ЪБРБЪДЩŒБАЭЙН ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕН ЮБУФЙГЩ УБНПК У УПВПК. рПЛБЦЙФЕ, ЮФП ЬЖЖЕЛФЙŒОПЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ ŒПЪОЙЛБЕФ ŒП ŒФПТПН РПТСДЛЕ РП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙА У ЖЕТНЙПОБНЙ – Й РТЕДУФБŒМСЕФ УПВПК ОЕ ЮФП ЙОПЕ, ЛБЛ ЛПТТЕМСФПТ РМПФОПУФШ{РМПФОПУФШ ЖЕТНЙ-ЗБЪБ.

В) оБКДЙФЕ УПВУФŒЕООП{ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛХА ЮБУФШ ЮБУФЙГЩ Œ РЕТŒПН РПТСДЛЕ РП ЬЖЖЕЛФЙŒОПНХ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙА. йЪХЮЙФЕ ТЕЪХМШФБФ РТЙ ЬОЕТЗЙЙ ЮБУФЙГЩ " "M É

74	змбœб 4. œъбйнпдекуфœхаэйе юбуфйгщ

" "M . рПЛБЦЙФЕ, ЮФП РТЙ ОЕ УМЙЫЛПН НБМПН – Й " ≈ "M РЕТЕОПТНЙТПŒЛБ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ НПЦЕФ ВЩФШ МПЗБТЙЖНЙЮЕУЛЙ ŒЕМЙЛБ. рПМШЪХСУШ ФЕПТЙЕК ŒПЪНХЭЕОЙК, РТПУХННЙТХКФЕ ŒУЕ МПЗБТЙЖНЙЮЕУЛЙ ВПМШЫЙЕ ŒЛМБДЩ Й РПЛБЦЙФЕ, ЮФП Œ ПВМБУФЙ ЬОЕТЗЙК "M " EF ЖХОЛГЙС зТЙОБ ЙНЕЕФ УФЕРЕООПК ŒЙД

a0

G("; p) = ¸ ; (4.33) (" − p2=2M + i0)1+

ЗДЕ РПЛБЪБФЕМШ УФЕРЕОЙ ¸ ЪБŒЙУЙФ ПФ УЙМЩ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС –.

4.4. тЕЫЕОЙС

тЕЫЕОЙЕ 16. œЩЮЙУМСЕН УПВУФŒЕООП-ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛХА ЮБУФШ

˚("; p) = ig2

G0(" − !; p − k) D0(!; k) (2ı)3

2ı ;

d3k

d!

ÇÄÅ

1

c2k2

G0("; p) = " − p2=2m + i‹ ;

D0(!; k) = !2 − c2k2 + i‹ :

йОФЕЗТБМ РП ! ВЕТЕН, ЪБНЩЛБС ЛПОФХТ Œ ОЙЦОЕК РПМХРМПУЛПУФЙ:

+∞

1

c2k2

d!

i

ck

i0 ;

"~

−

! + i0 !2

−

c2k2 + i0 2ı

= 2 ck

−

"~

−

−∞

ÇÄÅ "~ = " − (p − k)2=2m; k = |k|. рПМХЮБЕН

Ókk)2=2m + i0

(2ı)3 :

˚("; p) = 2

" ck (p

g2

d3k

−

−

−

(4.34)

(4.35)

(4.36)

(4.37)

юБУФШ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙС РП d3k НПЦОП ŒЩРПМОЙФШ ФПЮОП, ЕУМЙ ŒПУРПМШЪПŒБФШУС ЙЪŒЕУФОПК ЪБНЕОПК РЕТЕНЕООЩИ ([1], § 21, Р. 3) Й РЕТЕКФЙ Л ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙА РП |k|

É3

q

= |p

−2

k|.

пВПЪОБЮЙН ЮЕТЕЪ x ЛПУЙОХУ ХЗМБ НЕЦДХ ŒЕЛФПТБНЙ k Й p, ФПЗДБ

2

= |p − k|

2

=

p

2

+ k

2

− 2pkx, Й РПФПНХ q dq =

−pk dx. ðÏÌÕ-

d

k = 2ık

dk dx, Á q

ÞÁÅÍ

≡ (2ı)2p

p+k

f (|k|; |p − k|) (2ı)3

k dk

f (k; q) q dq :

(4.38)

d3k

1

|p−k|

üÔÏ ÄÁÅÔ

kD

p+k

" q2=2m

ck + i0

:

(4.39)

˚ = 2(2ı)2p

k dk

g2

ck q dq

0

|p−k|

−

−

4.4. теыеойс												75
йОФЕЗТЙТХЕН РП x = q2:					$	" − (p + k)2=2m ck $					−
	8ı2p
˚ = g2mc			kD		$	" (p		− k)2=2m − ck	$
			0	ln						k2 dk
					$		−	−	$
					$		2		$
	g2mc	kD			$		(p+k)		$
−i	8ıp		k2 dk				2	‹ (x − 2m(" − ck)) dx :				(4.40)
		0					(p−k)

рТЙ p < mc УПВУФŒЕООП-ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛБС ЮБУФШ ˚ ŒЕЭЕУФŒЕООБ, Ф. Е. РПМСТПО УФБВЙМЕО. ьЖЖЕЛФЩ, УŒСЪБООЩЕ У ТБУРБДПН РПМСТПОБ РТЙ p > mc, НЩ ТБУУНПФТЙН Œ УМЕДХАЭЕК ЪБДБЮЕ.

оБУ ЙОФЕТЕУХЕФ ˚ ŒВМЙЪЙ НБУУПŒПК РПŒЕТИОПУФЙ " = p2=2m Й РТЙ НБМЩИ p. рТЙ НБМПН p mc ŒЩЮЙУМСЕН ˚, ТБУЛМБДЩŒБС РП НБМЩН РБТБНЕФТБН ´ = " − p2=2m É v = p=m:

˚ = g2mc		kD			$	k2=2m + (c − v)k − ´		$	k2 dk = g2mc
				ln							×
	8ı2p					k2=2m + (c + v)k ´				8ı2p
		0			$		−	$
					$			$
kD					$	4´vk		$		2v3k3
			2vk$					$
× −ck + k2=2m − 2(ck + k2=2m)2								−		3(ck + k2=2m)3 + : : : k2dk : (4.41)
0

фТЙ ЮМЕОБ Œ УЛПВЛБИ ДБАФ ЙУЛПНПЕ ТБЪМПЦЕОЙЕ ˚ = "0 − ¸1´ − ¸2 p2=2m, РТЙЮЕН ЙОФЕЗТБМЩ РП k МЕЗЛП УЮЙФБАФУС, ФБЛ ЛБЛ c kD =m, Й РПЬФПНХ ck Œ ЪОБНЕОБФЕМСИ РТЕОЕВТЕЦЙНП НБМП РП УТБŒОЕОЙА У k2=2m РПЮФЙ ŒП ŒУЕК ПВМБУФЙ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙС. рПМХЮБЕН

"0 = −4ı2

kD

ck + k2=2m = −

4ı2

(4.42)

g2c

k3 dk

g2ckD2 m

0

Й, У МПЗБТЙЖНЙЮЕУЛПК ФПЮОПУФША,

g2m2c

kD

k3 dk

g2m2c

kD

¸1 =

;

(4.43)

ı2

(k2 + 2mck)2 =

ı2

ln mc

0

¸2 =

3ı2

m

kD

(k2 + 2mck)3 =

3ı2

ln mc

= 3 ¸1 :

(4.44)

2g2m3c

2

k5 dk

4g2m2c

kD

4

0

дЙУРЕТУЙПООПЕ УППФОПЫЕОЙЕ ДБЕФУС ХТБŒОЕОЙЕН G0−1 − ˚ = 0. рПМХЮБЕН РЕТЕОПТНЙ-

ТПŒЛХ НБУУЩ

m

= 1 + ¸2

> 1 :

(4.45)

m

пВТБФЙН ŒОЙНБОЙЕ ОБ ФП, ЮФП ЬМЕЛФТПО ДЕКУФŒЙФЕМШОП ĂПДЕŒБЕФУСĄ, Б ОЕ ĂТБЪДЕŒБЕФУСĄ | РПРТБŒЛБ Л НБУУЕ РПМПЦЙФЕМШОБ.

76 змбœб 4. œъбйнпдекуфœхаэйе юбуфйгщ

рЕТŒПЕ ТЕЫЕОЙЕ 17a. тБУУНПФТЙН НОЙНХА ЮБУФШ Im ˚ | ŒФПТПЕ УМБЗБЕНПЕ Œ

(4.40). бТЗХНЕОФ ‹{ЖХОЛГЙЙ РПРБДБЕФ Œ ПВМБУФШ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙС, ЕУМЙ
(p − k)2 < 2m		2m − ck	< (p + k)2 ;	k; p > 0 :	(4.46)
		p2

ьФП ЬЛŒЙŒБМЕОФОП 0 < k < 2(p − mc), Й РПЬФПНХ НОЙНБС ЮБУФШ ПФМЙЮОБ ПФ ОХМС РТЙ v = p=m > c. рПМОБС ŒЕТПСФОПУФШ ЙЪМХЮЕОЙС ЖПОПОБ Œ ЕДЙОЙГХ ŒТЕНЕОЙ ЕУФШ

2mc	2m(v−c)	k2 dk = 2	g2m3 c	(v − c)3 :
2‚ = −2 Im ˚ = 2 g8ıp			3ı v		(4.47)
	0

йЪ ПФŒЕФБ (4.47) ŒЙДОП, ЮФП ЙЪМХЮЕОЙЕ ЖПОПОБ РТПЙУИПДЙФ РТЙ v > c. œЕТПСФОПУФШ ЙЪМХЮЕОЙС ХНЕОШЫБЕФУС РТЙ v → c Й ПЛБЪЩŒБЕФУС ТБŒОПК ОХМА РТЙ v < c.

фЕРЕТШ ОБКДЕН ТБУРТЕДЕМЕОЙЕ РП ХЗМБН. тБУУНПФТЙН ŒЩТБЦЕОЙЕ (4.47) Й, ŒНЕУФП ФПЗП, ЮФПВЩ ВТБФШ ЙОФЕЗТБМ РП k, ŒЩТБЪЙН k ЮЕТЕЪ ХЗПМ ŒЩМЕФБ ЖПОПОБ „. лПОЕЮОЩК

ЙНРХМШУ ЬМЕЛФТПОБ q = p−k,			Б ЪОБЮЙФ q2 = k2 + p2						−	2pk cos „. йУЛМАЮЙН q, РПМШЪХСУШ
			2		=2m	2
ЪБЛПОПН УПИТБОЕОЙС ЬОЕТЗЙЙ q						+ ck = p	=2m. оБИПДЙН
					cos „ = (k + 2mc)=2p :						(4.48)
рЕТЕКДЕН ПФ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙС РП k Л ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙА РП „:
2mc 2m(v−c)						2mc		„ËÒ	[2p cos „ − 2mc]2 d| cos „| =
Im ˚ = −g8ıp					k2 dk = g 4ı
=	(ı )		0					0			(4.49)
			c cos „ − 1					sin „ d„ ;
g2	mc	3		„ËÒ v			2

0

ÇÄÅ „ËÒ = arccos (c=v) | РТЕДЕМШОПЕ ЪОБЮЕОЙЕ ХЗМБ ŒЩМЕФБ ЖПОПОБ. œЩТБЦЕОЙЕ Œ ЙОФЕЗТБМЕ (4.49) ДБЕФ ХЗМПŒПЕ ТБУРТЕДЕМЕОЙЕ ЙОФЕОУЙŒОПУФЙ ЙЪМХЮБЕНПЗП ЪŒХЛБ ŒОХФТЙ ЛПОХУБ У ХЗМПН ТБУФŒПТБ „ËÒ.

дТХЗПЕ ТЕЫЕОЙЕ 17 Б. œПУРПМШЪХЕНУС УМХЮБЕН, ЮФПВЩ РТПЙММАУФТЙТПŒБФШ ПДЙО ŒЕУШНБ ПВЭЙК НЕФПД, УМЕДХАЭЙК ЙЪ ФЕПТЕНЩ ХОЙФБТОПУФЙ. пО РПЪŒПМСЕФ ДПУФБФПЮОП ВЩУФТП ОБИПДЙФШ НОЙНХА ЮБУФШ МАВПЗП ЪБДБООПЗП ЗТБЖЙЛБ. œ ОБЫЕН УМХЮБЕ ТБУРТЕДЕМЕОЙЕ ЖПОПОПŒ РП ХЗМБН НПЦОП РПМХЮЙФШ У РПНПЭША ЬФПЗП НЕФПДБ ŒППВЭЕ ВЕЪ ЕДЙОПЗП ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙС.

жЙЪЙЮЕУЛЙК УНЩУМ Im ˚ | ПВТБФОПЕ ŒТЕНС ТБУРБДБ ОБ ЬМЕЛФТПО Й ЖПОПО. рТПДХЛФЩ ТБУРБДБ | ТЕБМШОЩЕ ЮБУФЙГЩ, ЬОЕТЗЙС Й ЙНРХМШУ ЛБЦДПК ЙЪ ОЙИ УŒСЪБОЩ ДЙУРЕТУЙПООЩН УППФОПЫЕОЙЕН. рПЬФПНХ ДМС ОБИПЦДЕОЙС Im ˚, ДПУФБФПЮОП Œ ŒЩТБЦЕОЙЙ (4.10) ŒЩДЕМЙФШ ŒЛМБД ПФ НБУУПŒПК РПŒЕТИОПУФЙ РТПНЕЦХФПЮОЩИ ЮБУФЙГ. ьФП

ДПУФЙЗБЕФУС ЪБНЕОПК:
G0("; p) −→ Im G0("; p) = −iı ‹(" − p2=2m) ;				(4.50)
D0(!; k) −→ Im D0(!; k) = −i	ı	!0(k) (‹(! − !0	(k)) + ‹(! + !0	(k))) : (4.51)
	2

4.4. теыеойс

77

йОБЮЕ ЗПŒПТС, ТБУРБДХ УППФŒЕФУФŒХЕФ УЙФХБГЙС, ЛПЗДБ РТПНЕЦХФПЮОЩЕ ЮБУФЙГЩ ОЕ ŒЙТФХБМШОЩЕ, Б ТЕБМШОЩЕ. рПЬФПНХ УТБЪХ РЙЫЕН

i Im ˚ = ig2		Im G0	(" − !; p − k) Im D0	(!; k) (2ı)3	2ı :	(4.52)
				d3k	d!

уМБЗБЕНПЕ ‹(! + !0(k)) Œ Im D0 ПРХУЛБЕН, РПУЛПМШЛХ ПОП ПФŒЕЮБЕФ РПЗМПЭЕОЙА ЖПОПОБ, Б ОЕ ЙУРХУЛБОЙА. рПМХЮБЕН

−

2

0

−

−

2m

−

0

(2ı)3

2ı

i

ı2

g2

!

(k) ‹

"

!

(p − k)2

‹(!

!

(k))

d3k

d! :

(4.53)

пДОБ ‹-ЖХОЛГЙС ХУФТБОСЕФ ЙОФЕЗТБМ РП !:

−

4

0

−

0

−

2m

(2ı)3

i

ı g2

!

(k) ‹

"

!

(k)

(p − k)2

d3k :

(4.54)

вЕТЕН " ОБ НБУУПŒПК РПŒЕТИОПУФЙ:

Im ˚ = − 4 g2c	‹		2m	+ c − m cos „	(2ı)2 sin „ d„ :	(4.55)
ı			k	p	k2dk

œФПТБС ‹-ЖХОЛГЙС ХУФТБОСЕФ ЙОФЕЗТБМ РП k, Й НЩ ŒОПŒШ РТЙИПДЙН Л ТБУРТЕДЕМЕОЙА (4.49).

тЕЫЕОЙЕ 17 В. юФПВЩ ОБКФЙ НБФТЙЮОЩК ЬМЕНЕОФ РЕТЕИПДБ, ТБУУНПФТЙН ЗБНЙМШФПОЙБО ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС ЬМЕЛФТПОБ У БЛХУФЙЮЕУЛЙНЙ ЖПОПОБНЙ:

		ck=2V
Hint = g	k		bkei(kr−!0(k)t) + bk+e−i(kr−!0(k)t)	(4.56)

(УН. (6.6)). ъДЕУШ !0(k) = c|k|, r | ЛППТДЙОБФБ ЬМЕЛФТПОБ, V | ПВ ЕН УЙУФЕНЩ, Б УХННБ РП k, Œ УППФŒЕФУФŒЙЙ У НПДЕМША дЕВБС, ПЗТБОЙЮЕОБ |k| < kD . оБИПДЙН ŒЕТПСФОПУФШ ТБУРБДБ, РПМШЪХСУШ ĂЪПМПФЩН РТБŒЙМПНĄ:

dWi→f = (2ı=h—)	| |	(4.57)
	f Hint|i |2 ‹(Ef − Ei) d f :

œ ОБЮБМШОПН УПУФПСОЙЙ ЙНРХМШУ ЬМЕЛФТПОБ p, Œ ЛПОЕЮОПН ЙНЕАФУС ЬМЕЛФТПО Й ЖПОПО У ЙНРХМШУБНЙ q Й k УППФŒЕФУФŒЕООП. оБИПДЙН НБФТЙЮОЩК ЬМЕНЕОФ

f|Hint|i = ck=2V ‹(3)	(p − q − k) :	(4.58)

œПЪŒПДС ЕЗП Œ ЛŒБДТБФ, ХЮФЕН ЮФП, УПЗМБУОП ЙЪŒЕУФОПНХ РТБŒЙМХ, ЛŒБДТБФ ‹-ЖХОЛГЙЙ ЪБРЙУЩŒБЕФУС ФБЛ:

‹(3)(p − q − k) 2

= (2ı)3V ‹(3) (p − q − k) :

(4.59)

78

œЕТПСФОПУФШ РЕТЕИПДБ dWi→f

(2ı)3V ‹(3)(k + q − p)

змбœб 4. œъбйнпдекуфœхаэйе юбуфйгщ

ÅÓÔØ:	2ı ‹ ck + q2=2m − p2=2m	(2ı)6 :
g2V			(4.60)
2ck		d3q d3k

йОФЕЗТЙТХЕН РП q Й РЕТЕИПДЙН Л ОПŒЩН РЕТЕНЕООЩН: ДМЙОЕ ŒЕЛФПТБ k Й ХЗМХ „. рПМХЮБЕФУС

i→f =

8ı22‹ 2

+ (

−

)

2

−

2

d

k

dW

g2ck

ck

p

k

2=

m

p2= m

3

=

mg ck

‹ (k − 2m(v cos „ − c)) d(cos „) dk :

(4.61)

2ı

йОФЕЗТЙТХЕН РП k:

2

2

3

− c)

2

dWi→f = ı g

m (v cos „

sin „ d„ :

(4.62)

ьФП ŒЩТБЦЕОЙЕ ПФМЙЮБЕФУС ПФ (4.49) НОПЦЙФЕМЕН 2, ЮФП Œ ФПЮОПУФЙ УППФŒЕФУФŒХЕФ УŒСЪЙ ŒТЕНЕОЙ ЦЙЪОЙ fi У ЪБФХИБОЙЕН ‚: fi −1 = 2‚.

тЕЫЕОЙЕ 18. дЙБЗТБННЩ ДМС ЪБРБЪДЩŒБАЭЕЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС ДŒХИ ЮБУФЙГ ОЕ-

ФТХДОП РПМХЮЙФШ ЙЪ S-НБФТЙГЩ:
i			− x2)	+(x2) (x2) d4x1 d4x2 ;
T1T2 exp −h—		+(x1) (x1) U (x1			(4.63)

ЗДЕ x = (t; r). иТПОПМПЗЙЮЕУЛПЕ ХРПТСДПЮЕОЙЕ НЩ ПВПЪОБЮЙМЙ ЮЕТЕЪ T1T2, ЮФПВЩ МЙЫОЙК ТБЪ РПДЮЕТЛОХФШ, ЮФП ЮБУФЙГЩ ТБЪМЙЮОЩ. œ ЙНРХМШУОПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ ЙНЕЕФ ŒЙД

(2ı)4		+	+	4	k :	(4.64)
		p1	p3 p2 p4 U (k) ‹(p1 − p3 + k) ‹(p2 − p4	− k) d
œЕТЫЙОХ ` ПРТЕДЕМСЕН, ЛБЛ ПВЩЮОП, ЮЕТЕЪ ДŒХИЮБУФЙЮОХА ЖХОЛГЙА зТЙОБ:
K12;34 = (2ı)8‹p1;p3 ‹p2;p4 G0(1)(p1)G0(2)(p2) + G0(1)(p1)G0(2)(p2) ×
× G0(1)(p3)G0(2)(p4) i `p1;p2;p3;p4 (2ı)4‹p1+p2;p3+p4 :						(4.65)

тБЪМБЗБС S-НБФТЙГХ Œ ТСД, РПМХЮБЕН ЗТБЖЙЛЙ ДМС `, РПЛБЪБООЩЕ ОБ ТЙУ. 4.7. рЕТЕУФБŒМСЕН ЮМЕОЩ ТСДБ, ŒЩДЕМСС УХННХ ЗТБЖЙЛПŒ, ДБАЭХА ОЕРТЙŒПДЙНХА ŒЕТЫЙООХА ЮБУФШ `0. ъБФЕН ДЕКУФŒХЕН ФПЮОП ФБЛ ЦЕ, ЛБЛ РТЙ ŒЩŒПДЕ ЙОФЕЗТБМШОПЗП ХТБŒОЕОЙС ДМС БНРМЙФХДЩ ТБУУЕСОЙС F Œ ЪБДБЮЕ 11. рПМХЮБЕН ХТБŒОЕОЙЕ вЕФЕ{уПМРЙФЕТБ:

`1;2;3;4 = `10;2;3;4 + i	d4k
	`10;2;1+;2−G0(p1+) G0(p2−)`1+;2−;3;4 (2ı)4	:	(4.66)

4.4. теыеойс

79

Б) еУМЙ ОЕФ ЪБРБЪДЩŒБОЙС, МЙОЙС ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС ОЕ ЪБŒЙУЙФ ПФ РЕТЕДБООПК ЮБУФПФЩ: U (!; k) = U (k). тБУУНПФТЙН РПРТБŒЛЙ Л ` ŒФПТПЗП РПТСДЛБ (ТЙУ. 4.11:

òÉÓ. 4.11
œ РЕТŒПН ЗТБЖЙЛЕ ЙОФЕЗТБМ РП ЮБУФПФБН ДБЕФ ОХМШ:			(4.67)
	G0(1)("1 − !)G0(2)("2 − !) d! =	(! − !1)(! − !2) = 0 ;
		d!
РПУЛПМШЛХ ПВБ РПМАУБ РПДЙОФЕЗТБМШОПЗП ŒЩТБЦЕОЙС:
	!1 = "1 − p1+2 =2m1 + i‹ ; !2 = "2 − p22−=2m2 + i‹ ;		(4.68)

МЕЦБФ Œ ŒЕТИОЕК РПМХРМПУЛПУФЙ. оЕФТХДОП ŒЙДЕФШ, ЮФП РП ЬФПК ЦЕ РТЙЮЙОЕ ПВТБЭБЕФУС Œ ОХМШ МАВПК ЗТБЖЙЛ ВПМЕЕ ŒЩУПЛПЗП РПТСДЛБ У РЕТЕУЕЛБАЭЙНЙУС МЙОЙСНЙ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС.

пФУХФУФŒЙЕ ŒЛМБДБ ЗТБЖЙЛПŒ У РЕТЕУЕЛБАЭЙНЙУС МЙОЙСНЙ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС УФБОПŒЙФУС ЕЭЕ ВПМЕЕ ПЮЕŒЙДОЩН ŒП ŒТЕНЕООПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ, РПУЛПМШЛХ G0(t; r) = 0 РТЙ t < 0 Œ УЙМХ РТЙЮЙООПУФЙ. оБРТЙНЕТ, РЕТŒПНХ ЗТБЖЙЛХ ТЙУ. 4.9 УППФŒЕФУФŒХЕФ

ŒЩТБЦЕОЙЕ:

U (r12)U (r34)G(1)0 (t2 − t1; r42)G(2)0 (t1 − t2; r31) dt2 d3r4 ; (4.69)

ФПЦДЕУФŒЕООП ТБŒОПЕ ОХМА РТЙ ŒУЕИ t1, t2 (ПВПЪОБЮЕОЙЕ: rab = ra − rb).

œФПТПК ЗТБЖЙЛ ПФМЙЮЕО ПФ ОХМС, РПУЛПМШЛХ ŒИПДСЭЙЕ Œ ОЕЗП ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ ЙНЕАФ РПМАУЩ РП ТБЪОЩЕ УФПТПОЩ ПФ ŒЕЭЕУФŒЕООПК ПУЙ. пДОБЛП ЬФПФ ЗТБЖЙЛ ОЕ ŒИПДЙФ Œ `0, РПУЛПМШЛХ ПО РТЙŒПДЙН: ŒЕТФЙЛБМШОПК МЙОЙЕК ЕЗП НПЦОП ТБЪТЕЪБФШ ОБ ДŒБ ЗТБ-

ЖЙЛБ РЕТŒПЗП РПТСДЛБ.
éÔÁË,
`0	= U (q)	(4.70)
p1;p2;p1+q;p2−q

рПДУФБŒЙŒ ЬФП ŒЩТБЦЕОЙЕ Œ ХТБŒОЕОЙЕ вЕФЕ{уПМРЙФЕТБ, ЪБНЕЮБЕН, ЮФП ЕУМЙ `0 ОЕ ЪБŒЙУЙФ ПФ РЕТЕДБООПК ЮБУФПФЩ, ФП Й ` ПВМБДБЕФ ФЕН ЦЕ УŒПКУФŒПН. уМЕДПŒБФЕМШОП, ŒУС ЪБŒЙУЙНПУФШ ПФ ЮБУФПФЩ ПРТЕДЕМСЕФУС ЖХОЛГЙСНЙ зТЙОБ РТПНЕЦХФПЮОЩИ УПУФПСОЙК G(1) É G(2), Б РПЬФПНХ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙЕ РП ЮБУФПФЕ ФПЮОП ФБЛПЕ ЦЕ, ЛБЛ ДМС ŒФПТПЗП

ЗТБЖЙЛБ ОБ ТЙУ. 4.9:				("2	+ !) 2ı	= "1	+ "2	− p1+2 =2m1 − p22−=2m2 + i0	;	(4.71)
i	G0	("1	− !)G0
	(1)		(2)		d!			1

80	змбœб 4. œъбйнпдекуфœхаэйе юбуфйгщ

ÇÄÅ pi± = pi ±k. рТЕПВТБЪХЕН ЪОБНЕОБФЕМШ, ТБЪДЕМЙŒ ЛЙОЕФЙЮЕУЛХА ЬОЕТЗЙА ОБ ЬОЕТЗЙА ГЕОФТБ НБУУ Й ЬОЕТЗЙА ПФОПУЙФЕМШОПЗП ДŒЙЦЕОЙС:

p2

p 2

P2

p2

m p

−

m p

(4.72)

2m1

+

=

+

ÏÔÎ ; P = p + p ; pÏÔÎ =

2

1

:

2m2

2M

2—

m1 + m2

äÌÑ p = p1+ = p1 + q, p = p2− = p2 − q ЬФЙ ФПЦДЕУФŒБ ДБАФ

p2

+

p2

P2

q2

(4.73)

1+

2− =

+

;

2m1

2m2

2M

2—

Й НЩ РПМХЮБЕН СДТП ЙОФЕЗТБМШОПЗП ХТБŒОЕОЙС (4.26).

В) рПТСДПЛ ЗТБЖЙЛБ РП fi РТПЭЕ ŒУЕЗП ОБКФЙ ŒП ŒТЕНЕООПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ. тБУУНПФТЙН ŒЛМБД Œ `0, УПДЕТЦБЭЙК N РЕТЕУЕЛБАЭЙИУС МЙОЙК ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС. йОФЕЗТЙТПŒБОЙЕ РП ŒТЕНЕОБН РТПЙЪŒПДЙФУС РП (2N − 1)-НЕТОПК ПВМБУФЙ Œ ЛППТДЙОБФБИ

fi1 = t2 − t1; fi2 = t3 − t1; : : : ; fi2N −1 = t2N − t1 :

(4.74)

рП РПУМЕДОЕК ((2N −1)-К) ŒТЕНЕООПК ЛППТДЙОБФЕ ОЕФ ОЕПВИПДЙНПУФЙ ЙОФЕЗТЙТПŒБФШ Œ УЙМХ ФТБОУМСГЙПООПК УЙННЕФТЙЙ ŒП ŒТЕНЕОЙ. рТЙ ЬФПН ŒЕМЙЮЙОБ ПВМБУФЙ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙС РП ЛБЦДПНХ ЙЪ (2N − 1) ŒТЕНЕО РПТСДЛБ fi .

уМЕДПŒБФЕМШОП, УФЕРЕОШ fi НПЦОП ПГЕОЙФШ ЛБЛ fi (2N −1)+(−N ) = fi N −1. рЕТŒПЕ УМБЗБЕНПЕ Œ УФЕРЕОЙ ŒПЪОЙЛБЕФ ПФ (2N − 1)-ЛТБФОПЗП ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙС, Б ŒФПТПЕ | ЙЪ-ЪБ ОПТНЙТПŒЛЙ РПФЕОГЙБМБ. рПМХЮБЕФУС, ЮФП УФЕРЕОШ РП fi ŒЛМБДБ N-ЗП РПТСДЛБ Œ `0 ПРТЕДЕМСЕФУС ФПМШЛП ЛПМЙЮЕУФŒПН МЙОЙК ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС Й ОЕ ЪБŒЙУЙФ ПФ ФПЗП, ЛБЛ ЙНЕООП ПОЙ РЕТЕУЕЛБАФУС.

рПДЮЕТЛОЕН, ЮФП ДБООБС ПГЕОЛБ ЬЖЖЕЛФЙŒОПК ŒЕМЙЮЙОЩ ПВМБУФЙ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙС РП ŒТЕНЕОЙ ŒЕТОБ ФПМШЛП Œ УМХЮБЕ, ЛПЗДБ ОЙЛБЛЙН УЕЮЕОЙЕН ЗТБЖЙЛ ОЕМШЪС ТБЪВЙФШ ОБ ДŒБ ŒЛМБДБ Œ `0 ВПМЕЕ ОЙЪЛПЗП РПТСДЛБ. рПЬФПНХ ПГЕОЛБ fi N −1 ДМС ŒЕМЙЮЙОЩ ŒЛМБДБ N-ЗП РПТСДЛБ Œ `0 РПДТБЪХНЕŒБЕФ ОЕРТЙŒПДЙНПУФШ ДЙБЗТБННЩ.

тБУРТПУФТБОЙН РПМХЮЕООЩК ТЕЪХМШФБФ ОБ ЗТБЖЙЛЙ, ДБАЭЙЕ РПМОХА БНРМЙФХДХ ТБУУЕСОЙС `. уФЕРЕОШ fi ДМС ФБЛЙИ ЗТБЖЙЛПŒ ЪБŒЙУЙФ ОЕ ФПМШЛП ПФ ЮЙУМБ МЙОЙК ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС N , ОП Й ПФ ЛПМЙЮЕУФŒБ ДŒХИЮБУФЙЮОЩИ УЕЮЕОЙК M . нПДЙЖЙГЙТХС ПГЕОЛЙ, РТЙŒЕДЕООЩЕ ŒЩЫЕ, ОБИПДЙН: fi N −M −1.

тЕЫЕОЙЕ 19. оБКДЕН ЪБЛПО РТЕПВТБЪПŒБОЙС ЖХТШЕ-ЛПНРПОЕОФЩ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС РТЙ РЕТЕИПДЕ Œ ДŒЙЦХЭХАУС УЙУФЕНХ ПФУЮЕФБ. вХДЕН УЮЙФБФШ, ЮФП ЮБУФЙГЩ, РЕТЕДБАЭЙЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ, | ОЕТЕМСФЙŒЙУФУЛЙЕ, Й ЪОБЮЙФ, НПЦОП РПМШЪПŒБФШУС РТЕПВТБЪПŒБОЙЕН зБМЙМЕС r = r − vt; t = t. рЕТЕИПДС Œ УЙУФЕНХ ПФУЮЕФБ, ДŒЙЦХЭХАУС УП

УЛПТПУФША v ŒДПМШ ПУЙ x, РПМХЮБЕН
Uv (q; !) =	e−iqr+i!tU (r − vt; t) d3r dt = U (q; ! − vqx) :	(4.75)

дМС ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС U (r; t) = U (r)=2fi e−|t|=fi ОБИПДЙН

Uv (q; !) =	U (q)	:	(4.76)
	1 + fi 2(! − vqx)2