Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002)

4.4. теыеойс

81

рТЙ ТБУУНПФТЕОЙЙ УДŒЙЗБ ЬОЕТЗЙЙ, ŒЩЪŒБООПЗП ДŒЙЦЕОЙЕН, РПТСДПЛ ДЕКУФŒЙК ВХДЕФ УМЕДХАЭЙН. уОБЮБМБ НЩ РЕТЕКДЕН Œ УЙУФЕНХ ГЕОФТБ НБУУ, ДŒЙЦХЭХАУС УП УЛПТПУФША v = P=M , Б ЪБФЕН РПМПЦЙН ! = 0, ЮФП УППФŒЕФУФŒХЕФ РТЕДЕМХ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС ВЕЪ ЪБРБЪДЩŒБОЙС. рТЕПВТБЪПŒБОЙЕ (4.75) ДБУФ РПРТБŒЛХ Л РПФЕОГЙБМХ, ŒПЪОЙЛБАЭХА ЙЪ-ЪБ ДŒЙЦЕОЙС. ъОБС ЕЕ, НПЦОП ОБКФЙ УДŒЙЗ ЬОЕТЗЙЙ ПУОПŒОПЗП УПУФПСОЙС ДМС ПФОПУЙФЕМШОПЗП ДŒЙЦЕОЙС. б ЬФПФ УДŒЙЗ, Œ УŒПА ПЮЕТЕДШ, Й ПРТЕДЕМСЕФ РПРТБŒЛХ Л НБУУЕ. лБЛ НЩ ХŒЙДЙН, ФБЛПК НЕФПД СŒМСЕФУС ЛПТТЕЛФОЩН, ЕУМЙ fi h="— 0, ÇÄÅ "0 | ЬОЕТЗЙС УŒСЪЙ.

нПЦЕФ РПЛБЪБФШУС, ЮФП РТЕОЕВТЕЗБФШ Œ (4.76) ЪБŒЙУЙНПУФША ПФ !, УПИТБОСС РТЙ ЬФПН ЪБŒЙУЙНПУФШ ПФ v, ОЕ ŒРПМОЕ РТБŒЙМШОП, РПУЛПМШЛХ Й ФБ Й ДТХЗБС ЪБŒЙУЙНПУФЙ ЙНЕАФ ПДЙОБЛПŒХА НБМПУФШ РП fi . оБ УБНПН ДЕМЕ ОБЫЙ ДЕКУФŒЙС ПРТБŒДБОЩ, Й РТПЭЕ ŒУЕЗП Œ ЬФПН ХВЕДЙФШУС НПЦОП УМЕДХАЭЙН УРПУПВПН. ъБРЙЫЕН ЖПТНБМШОП УЛПТПУФШ ЛБЛ v = –=fi , Й ВХДЕН УЮЙФБФШ РБТБНЕФТПН ТБЪМПЦЕОЙС –, Б ОЕ v. рТЙ ЬФПН Œ ŒЩТБЦЕОЙЙ (4.76) ХЦЕ НПЦОП РЕТЕКФЙ Л РТЕДЕМХ fi = 0, ОЕ ОБТХЫЙŒ РТЙ ЬФПН ЪБŒЙУЙНПУФЙ ПФ –:

Uv (q; !) =	U (q)	≈ U (q) − –2qx2U (q) + O(–4) :	(4.77)
	1 + (fi ! − –qx)2

рТЕОЕВТЕЦЕОЙЕ !fi ПРТБŒДБОП, РПУЛПМШЛХ ЮБУФПФБ ! Œ ХТБŒОЕОЙЙ вЕФЕ{ уПМРЙФЕТБ (4.20) ПЛБЪЩŒБЕФУС РПТСДЛБ ЬОЕТЗЙЙ УŒСЪЙ "0, Б У ДТХЗПК УФПТПОЩ,

fi h="— 0.

рПМХЮЕООПЕ Œ ТЕЪХМШФБФЕ РТЙВМЙЦЕОЙС (4.77) ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ ОЕ ЪБŒЙУЙФ ПФ ЮБ-

УФПФЩ, Й, УПЗМБУОП ЪБДБЮЕ 18 Б, ХТБŒОЕОЙЕ ОБ ŒЕТЫЙООХА ЮБУФШ РТЙОЙНБЕФ ŒЙД
`P = U + U G0`P :	(4.78)

ъДЕУШ `P , U É G0 | ПРЕТБФПТЩ, ДЕКУФŒХАЭЙЕ ОБ УПУФПСОЙЕ ЮБУФЙГЩ НБУУЩ m=2 Œ

ÐÏÌÅ

U

, Á

ЖХОЛГЙС зТЙОБ G

0

= 1=(˙

q2

=m +i0). рПМОБС ЖХОЛГЙС зТЙОБ, ЪБРЙУБООБС

0

−

Œ ПРЕТБФПТОПН ŒЙДЕ, ЕУФШ

G = G

0

+ G0`P G

0 =

˙0

− q2

1

+ i0

:

(4.79)

=m + Uv

œЪСŒ ПУОПŒОПЕ УПУФПСОЙЕ |0v ХТБŒОЕОЙС ыТЕДЙОЗЕТБ У РПФЕОГЙБМПН Uv (4.77) Й НБУУПК m=2, ОБИПДЙН ЪБЛПО ДЙУРЕТУЙЙ:

			q2	|
˙0 =		0v	|		0v		:	(4.80)
			m	+ Uv

дМС РЕТŒПК РПРТБŒЛЙ Л ХТПŒОА ЬОЕТЗЙЙ ДПУФБФПЮОП ŒЪСФШ НБФТЙЮОЩК ЬМЕНЕОФ РП ОЕŒПЪНХЭЕООПНХ УПУФПСОЙА |0v v=0. рПДУФБŒМСС ˙0 = ˙ − P 2=4m, Б ŒНЕУФП Uv | ЖХТШЕПВТБЪ ŒЩТБЦЕОЙС (4.77), РПМХЮБЕН

	P 2
˙ = "0 +	2M − fi 2v2 0| qx2 U (q)|0 :	(4.81)

82	змбœб 4. œъбйнпдекуфœхаэйе юбуфйгщ

дМС ГЕОФТБМШОП-УЙННЕФТЙЮОПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС U (q) = U (|q|) ПУОПŒОПЕ УПУФПСОЙЕ ФПЦЕ УЙННЕФТЙЮОП, Й НПЦОП ХУТЕДОЙФШ qx2 РП ОБРТБŒМЕОЙСН:

		qx2 = q2=3 :
ъБНЕОСЕН v ОБ P=2m Й q2 ÎÁ − 2:		4m +	12m2 0| 2U |0 0
	˙ = "0 + P 2				:
		1	fi 2
фБЛЙН ПВТБЪПН, ЬЖЖЕЛФЙŒОБС НБУУБ ЕУФШ			≈ 2m − (2fi 2	=3) 0| 2U |0 0 :
M = 2m	+ 6m2 0| 2U |0 0
1	fi 2		−1

(4.82)

(4.83)

(4.84)

фП ЮФП ЪБРБЪДЩŒБОЙЕ РТЙŒПДЙФ Л ХНЕОШЫЕОЙА ЬЖЖЕЛФЙŒОПК НБУУЩ, НПЦОП РПОСФШ ФБЛ. œ ДŒЙЦХЭЕКУС УЙУФЕНЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ ĂПФУФБЕФĄ ПФ ЮБУФЙГ, Й ЬЖЖЕЛФЙŒОП ХНЕОШЫБЕФУС. рПФЕОГЙБМШОБС СНБ УФБОПŒЙФУС ВПМЕЕ НЕМЛПК Й ХТПŒЕОШ ŒЩФБМЛЙŒБЕФУС ŒŒЕТИ. рПЬФПНХ ПВБ ЬЖЖЕЛФБ, ŒПЪОЙЛБАЭЙИ ŒУМЕДУФŒЙЕ ДŒЙЦЕОЙС, | ЛЙОЕФЙЮЕУЛБС ЬОЕТЗЙС ГЕОФТБ НБУУ Й ŒЩФБМЛЙŒБОЙЕ ХТПŒОС ЙЪ-ЪБ ПУМБВМЕОЙС РПФЕОГЙБМБ, ЙНЕАФ ПДЙОБЛПŒЩК ЪОБЛ.

œ ДЕКУФŒЙФЕМШОПУФЙ, ЪБДБЮХ НПЦОП ТЕЫЙФШ ŒППВЭЕ ВЕЪ ДЙБЗТБНН. йЪ-ЪБ ЪБРБЪДЩŒБОЙС ЮБУФЙГБ ĂŒЙДЙФĄ ŒФПТХА ЮБУФЙГХ ОЕ Œ ФПЮЛЕ r, Б Œ ФПЮЛЕ r = r − vt. рПЬФПНХ ЬЖЖЕЛФЙŒОЩК РПФЕОГЙБМ, ДЕКУФŒХАЭЙК ОБ ОЕЕ, ОЕУЛПМШЛП ПФМЙЮБЕФУС ПФ U (r). рПРТБŒЛХ Л РПФЕОГЙБМХ, НБМХА РТЙ vfi r0, ÇÄÅ r0 | ТБЪНЕТ ŒПМОПŒПК ЖХОЛГЙЙ УŒСЪБООПЗП УПУФПСОЙС, ОЕФТХДОП ОБКФЙ, ТБЪМБЗБС U (|r − vt|) Œ ТСД РП НБМПНХ t. рТЙ ЬФПН ŒЛМБД ПФ ЮМЕОБ ТБЪМПЦЕОЙС РЕТŒПЗП РПТСДЛБ УПЛТБЭБЕФУС РТЙ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙЙ РП ХЗМБН, Й ОЕПВИПДЙНП ТБУУНПФТЕФШ ŒФПТПК ЮМЕО ТБЪМПЦЕОЙС:

	1	@2U
‹U (r) =	2	@r¸@r˛ v¸v˛ t2 :	(4.85)

хУТЕДОСС ЬФП ŒЩТБЦЕОЙЕ РП t (РП ТБУРТЕДЕМЕОЙА (2fi )−1 exp(−|t|=fi )) Й РП r (РП ТБУРТЕДЕМЕОЙА | (r)|2), УОПŒБ РПМХЮБЕН (4.83).

йОФЕТЕУОП УТБŒОЙФШ ТЕЪХМШФБФ (4.83) У НБУУПК РПМСТПОБ, ЛПФПТБС ŒУЕЗДБ ВПМШЫЕ НБУУЩ ЬМЕЛФТПОБ. œ ПВПЙИ УМХЮБСИ ЙЪНЕОЕОЙЕ НБУУЩ РТПЙУИПДЙФ ВМБЗПДБТС ЪБРБЪДЩŒБОЙА ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС. тБЪОЩЕ ЪОБЛЙ РПРТБŒЛЙ Л НБУУЕ ПФŒЕЮБАФ ТБЪОПК ЖЙЪЙЛЕ. œ УМХЮБЕ РПМСТПОБ, УПУФПСОЙЕ, П НБУУЕ ЛПФПТПЗП ЙДЕФ ТЕЮШ, УХЭЕУФŒХЕФ Й ВЕЪ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС. уŒСЪБООПЕ ЦЕ УПУФПСОЙЕ ДŒХИ ЮБУФЙГ УБНП ŒПЪОЙЛБЕФ ВМБЗПДБТС ФПНХ УБНПНХ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙА, ЛПФПТПЕ РЕТЕОПТНЙТХЕФ НБУУХ.

тЕЫЕОЙЕ 20. рЕТЕКДЕН Œ ЖХТШЕ-РТЕДУФБŒМЕОЙЕ Й, УПЗМБУОП (1.36), ЪБРЙЫЕН ЗБ-

НЙМШФПОЙБО Œ ŒЙДЕ = + , ÇÄÅ

H H0 Hint

H0 =	ı	"q aq+aq 2dqı ;	Hint =	ı	iJ2 sin q (a−q aq + a−+q aq+) 2dqı ;	(4.86)
	−ı			−ı

4.4. теыеойс	83
ÇÄÅ "q = 2(J1 cos q − B). жХОЛГЙС зТЙОБ ĂОЕŒПЪНХЭЕООПКĄ ЪБДБЮЙ:
G0("; q) = 1=(" − "q + i‹ sign ") :	(4.87)

œ УППФŒЕФУФŒЙЙ УП УФТХЛФХТПК , Œ ДЙБЗТБННОПК ФЕИОЙЛЕ ЕУФШ ДŒЕ ŒЕТЫЙОЩ ĂŒЪБ-

Hint

ЙНПДЕКУФŒЙСĄ, УПРТСЦЕООЩЕ ДТХЗ ДТХЗХ (ТЙУ. 4.12):

V =

+

010011

òÉÓ. 4.12

ьФЙН ДŒХН ŒЕТЫЙОБН УППФŒЕФУФŒХАФ ŒЩТБЦЕОЙС 2iJ2 sin q É −2iJ2 sin q УППФŒЕФУФŒЕООП. рПРТБŒЛЙ Л ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ, ŒЩЮЙУМЕООЩЕ РП ФЕПТЙЙ ŒПЪНХЭЕОЙК, ЙНЕАФ ŒЙД (ТЙУ. 4.13)

	+	101100
	E,p	E,p −E,−p	E,p
+	01	01	+...
	01	01
	01	01

E,p −E,−p E,p −E,−p E,p

òÉÓ. 4.13

пВТБФЙН ŒОЙНБОЙЕ ОБ ФП, ЮФП ЪОБЛЙ " ЮЕТЕДХАФУС. фБЛ РПМХЮБЕФУС РПФПНХ, ЮФП РП РТБŒЙМХ УПИТБОЕОЙС 4-ЙНРХМШУБ Œ ŒЕТЫЙОЕ, УХННБ "¸ ŒУЕИ ŒИПДСЭЙИ МЙОЙК ТБŒОБ УХННЕ "¸ ŒЩИПДСЭЙИ МЙОЙК, ЕУМЙ ПОЙ ЕУФШ, ЙМЙ ОХМА, ЕУМЙ ŒЩИПДСЭЙИ МЙОЙК ОЕФ. фП ЦЕ УБНПЕ УРТБŒЕДМЙŒП ДМС ЙНРХМШУПŒ.

йЪ-ЪБ ЮЕТЕДПŒБОЙС ЪОБЛПŒ ПФМЙЮОЩ ПФ ОХМС ФПМШЛП РПРТБŒЛЙ ЮЕФОПЗП РПТСДЛБ, РТЙЮЕН Œ ЛБЦДПН РПТСДЛЕ 2n ЙНЕЕФУС ŒУЕЗП ПДЙО ЗТБЖЙЛ. ьФПНХ ЗТБЖЙЛХ УППФŒЕФУФŒХЕФ ŒЩТБЦЕОЙЕ

(−4J22 sin2 q)n G0n+1("; q)G0n(−"; −q) :			(4.88)
уХННБ РП n РТЕДУФБŒМСЕФ УПВПК ЗЕПНЕФТЙЮЕУЛХА РТПЗТЕУУЙА. рПМХЮБЕН
G("; q) =	G0("; q)
	1 + 4J22 sin2qG0(";q)G0(−";−q)
=	" + 2(J1 cos q −B)	:	(4.89)
"2 − 4((J1 cos q − B)2 + J22 sin2 q) + i‹

уРЕЛФТ ПРТЕДЕМСЕФУС РПМАУБНЙ: " = ±2 (J1 cos q − B)2 + J22 sin2 q. ъОБЛ НОЙНПК ЮБУФЙ i‹ Œ (4.89) ХЛБЪЩŒБЕФ, ЮФП ŒЕТИОСС ŒЕФŒШ УППФŒЕФУФŒХЕФ РХУФЩН УПУФПСОЙСН, Б

84	змбœб 4. œъбйнпдекуфœхаэйе юбуфйгщ

ОЙЦОСС | ЪБРПМОЕООЩН.

тЕЫЕОЙЕ 21 Б. ьЖЖЕЛФЙŒОПЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ НПЦЕФ ВЩФШ ŒЩТБЦЕОП ЮЕТЕЪ ДŒХИЮБУФЙЮОХА ЖХОЛГЙА зТЙОБ ЖЕТНЙПОПŒ:

˝(!; r) = 2i	G("+; r)G("−; r) 2d"ı ;		"± = " ± !=2 :	(4.90)
жХОЛГЙС зТЙОБ Œ ЛППТДЙОБФОП-ЮБУФПФОПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ,
m
G("; r) = −2ı|r|ei sign " κ(")|r| ;		κ(") = (p02 + 2m")1=2		(4.91)

ВЩМБ ОБКДЕОБ Œ ТЕЫЕОЙЙ ЪБДБЮЙ 22 (УН. (5.25)), Б НОПЦЙФЕМШ 2 Œ (4.90) ŒПЪОЙЛБЕФ ЙЪ-ЪБ УРЙОПŒПЗП ŒЩТПЦДЕОЙС.

œЩТБЦЕОЙЕ (4.90) ЕУФШ ОЕ ЮФП ЙОПЕ ЛБЛ РПМСТЙЪБГЙПООЩК ПРЕТБФПТ ЖЕТНЙЗБЪБ ˝(!; k) Œ ЛППТДЙОБФОП-ЮБУФПФОПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ. рПМСТЙЪБГЙПООЩК ПРЕТБФПТ ˝(!; k) ВХДЕФ ОБКДЕО Œ ЪБДБЮЕ 24 Б РТЙ НБМЩИ ! EF É |k| p0 (УН. ŒЩТБЦЕОЙЕ (5.39)). пДОБЛП, ИПФС ИБТБЛФЕТОБС ЬОЕТЗЙС ПФДБЮЙ РТЙ ТБУУЕСОЙЙ ФСЦЕМПК ЮБУФЙГЩ ОБ ЖЕТНЙПОБИ ПЛБЪЩŒБЕФУС НОПЗП НЕОШЫЕ EF , ИБТБЛФЕТОЩК РЕТЕДБООЩК ЙНРХМШУ НПЦЕФ ПЛБЪБФШУС РПТСДЛБ p0. рПЬФПНХ ОБН РПФТЕВХЕФУС ВПМЕЕ ПВЭЕЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС ˝(!; k), УРТБŒЕДМЙŒПЕ РТЙ НБМЩИ ! EF Й РТПЙЪŒПМШОЩИ k. œ РТЙОГЙРЕ ДМС ПФЩУЛБОЙС ˝(!; r) НПЦОП ВЩМП ВЩ ŒПУРПМШЪПŒБФШУС ФПЮОЩН ŒЩТБЦЕОЙЕН (8.53) ДМС ˝(!; k), ЛПФПТПЕ ВХДЕФ РПМХЮЕОП Œ ЪБДБЮЕ 44, ПДОБЛП ПЛБЪЩŒБЕФУС ВПМЕЕ ХДПВОЩН РЕТЕКФЙ Л РТЕДЕМХ ! EF ОЕРПУТЕДУФŒЕООП Œ ŒЩТБЦЕОЙЙ (4.90).

юФПВЩ ХУФБОПŒЙФШ УŒСЪШ НЕЦДХ ЬЖЖЕЛФЙŒОЩН ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕН Ve¸ (!; r) Й РПМСТЙЪБГЙПООЩН ПРЕТБФПТПН, ПВТБФЙН ŒОЙНБОЙЕ ОБ ТПМШ ЮБУФПФОПК ДЙУРЕТУЙЙ Ve¸ (!; r). лБЛ ВЩМП ŒЩСУОЕОП Œ ЪБДБЮЕ 18, Œ ПФУХФУФŒЙЕ ЮБУФПФОПК ДЙУРЕТУЙЙ (Ф. Е. ДМС НЗОПŒЕООПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФЙС) ŒУЕ ДЙБЗТБННЩ У ЪБНЛОХФЩНЙ РЕФМСНЙ ПВТБЭБАФУС Œ ОХМШ Œ УЙМХ БОБМЙФЙЮЕУЛЙИ УŒПКУФŒ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ ЮБУФЙГЩ, ŒЩТБЦБАЭЙИ РТЙОГЙР РТЙЮЙООПУФЙ. рПЬФПНХ Œ ПФУХФУФŒЙЕ ЮБУФПФОПК ДЙУРЕТУЙЙ ŒУЕ РПРТБŒЛЙ Л ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ ЮБУФЙГЩ ФПЦДЕУФŒЕООП ТБŒОЩ ОХМА. рТЙОЙНБС ŒП ŒОЙНБОЙЕ ЬФП ПВУФПСФЕМШУФŒП, Б ФБЛЦЕ ФП, ЮФП ОБУ ЙОФЕТЕУХАФ НБМЩЕ РЕТЕДБООЩЕ ЮБУФПФЩ ! EF , ПЛБЪЩŒБЕФУС ХДПВОЩН СŒОП ŒЩДЕМЙФШ ЪБŒЙУСЭХА ПФ ! ЮБУФШ РПМСТЙЪБГЙПООПЗП ПРЕТБФПТБ (4.90). œ ТЕЪХМШФБФЕ ЬЖЖЕЛФЙŒОПЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ НПЦЕФ ВЩФШ ЪБРЙУБОП УМЕДХАЭЙН ПВТБЪПН:

Ve¸ (!; r) = –2 (˝(!; r) − ˝(! = 0; r)) :

(4.92)

œЕМЙЮЙОБ κ(") Œ ЙОФЕТЕУХАЭЕК ОБУ ПВМБУФЙ |"| EF РТБЛФЙЮЕУЛЙ РПУФПСООБ, РПЬФПНХ ЪБНЕОЙН κ(") Œ (4.91) ОБ κ(" = 0) = p0. йОФЕЗТБМ РП " Œ (4.90) РПУМЕ ЬФПЗП ŒЩЮЙУМСЕФУС ЬМЕНЕОФБТОП:

			m2 sin2 p	0|	r	(sign "+ sign "	− −	1) d"	= −i|!|F (r) ; (4.93)
Ve¸ (!; r) = 2i–2						| (2ı)2r2		2ı
	–2m2
F (r) =	2ı3r2 sin2(p0|r|) :								(4.94)

4.4. теыеойс

85

пВТБФЙН ŒОЙНБОЙЕ ОБ ФП, ЮФП ОБКДЕООПЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС Ve¸ (!; k) ЕУФШ РТПЙЪŒЕДЕОЙЕ ЖХОЛГЙК ! Й r. фБЛБС ЖБЛФПТЙЪБГЙС УРТБŒЕДМЙŒБ МЙЫШ Œ РТЕДЕМЕ |!| EF Й ОЕ ЙНЕЕФ НЕУФБ ДМС ФПЮОПЗП РПМСТЙЪБГЙПООПЗП ПРЕТБФПТБ (8.53).

рЕТЕКДЕН Œ ЙНРХМШУОПЕ РТЕДУФБŒМЕОЙЕ:

Ve¸ (!; k) = −i|!|

F (r)e−ikrd3r = −i|!|F (k)

(4.95)

йОФЕЗТБМ РП d3r ОЕФТХДОП ŒЩЮЙУМЙФШ 2 Œ РПМСТОЩИ ЛППТДЙОБФБИ:

|k|

F (k) = 2ı3

k

sin

(p0r) sin(|k|r)

r

= ı

– m

0| |

ÐÒÉ

> 2p0

.

(4.96)

8ı–2m2

∞

2

dr

1

2 2

k −1

ÐÒÉ

k

2p0

,

| |

0

| |

пФУЕЮЛБ РТЙ |k| = 2p0 Œ РПМХЮЕООПН ŒЩТБЦЕОЙЙ (4.96) ПЪОБЮБЕФ, ЮФП РТЙ ТБУУЕСОЙЙ У НБМПК РЕТЕДБЮЕК ЬОЕТЗЙЙ РЕТЕДБООЩК ЙНРХМШc ОЕ НПЦЕФ ВЩФШ ВПМШЫЕ ДЙБНЕФТБ ЖЕТНЙ-УЖЕТЩ 2p0.

тЕЫЕОЙЕ 21 В. тБУУНПФТЙН УПВУФŒЕООП-ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛХА ЮБУФШ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ ФСЦЕМПК ЮБУФЙГЩ:

˚("; p) = i	G0(" − !; p − k) Ve¸ (!; k) (2ı)3		2ı ;	(4.98)
		d3k	d!
ÇÄÅ	1
		; Ve¸ (!; k) = −i|!|F (k) :
G0("; p) = " − p2=2M + i‹				(4.99)

рПУЛПМШЛХ Ve¸ (!; k) |!|, ЙОФЕЗТБМ РП ! Œ (4.98) ЖПТНБМШОП ТБУИПДЙФУС. ьФБ ТБУИПДЙНПУФШ ЕУФШ УМЕДУФŒЙЕ РТЙВМЙЦЕООПЗП ИБТБЛФЕТБ ОБЫЕЗП ŒЩТБЦЕОЙС (4.95) ДМС Ve¸ , ÓÐÒÁŒÅÄÌÉŒÏÇÏ ÌÉÛØ ÐÒÉ |!| EF . тЕЗХМСТЙЪХЕН ЙОФЕЗТБМ РП !, ХМХЮЫЙŒ ЕЗП УИПДЙНПУФШ ЪБ РТЕДЕМБНЙ ПВМБУФЙ −!0 < ! < !0, ÇÄÅ !0 ≈ EF . фБЛБС ТЕЗХМСТЙЪБГЙС ФТЕВХЕФ ОЕЛПФПТПК ПУФПТПЦОПУФЙ, РПУЛПМШЛХ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ Ve¸ (!; k) ДПМЦОП ХДПŒМЕФŒПТСФШ ПВЭЙН ФТЕВПŒБОЙСН БОБМЙФЙЮОПУФЙ РП !. фБЛ, РТЙ БОБМЙФЙЮЕУЛПН РТПДПМЦЕОЙЙ У РПМХПУЙ ! > 0 ДПМЦОП РПМХЮБФШУС ЪБРБЪДЩŒБАЭЕЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ (БОБМЙФЙЮОПЕ Œ ŒЕТИОЕК РПМХРМПУЛПУФЙ Im ! > 0), Б РТЙ РТПДПМЦЕОЙЙ У РПМХПУЙ ! < 0 | ПРЕТЕЦБАЭЕЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ (БОБМЙФЙЮОПЕ Œ ОЙЦОЕК РПМХРМПУЛПУФЙ Im ! < 0). фТЕВХЕНЩН ХУМПŒЙСН БОБМЙФЙЮОПУФЙ НПЦОП ХДПŒМЕФŒПТЙФШ, ОБРТЙНЕТ, ТЕЗХМСТЙЪП-

ŒБŒ ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС Ve¸ (!; k) УМЕДХАЭЙН ПВТБЪПН:
	Ve¸ (!; k) = −i|!| i!0 +0		|!|	F (k) ;		(4.100)
		i!		n
2рТЙ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙЙ РП r = |r| Œ (4.96) ЙУРПМШЪПŒБО ЙОФЕЗТБМ
∞	dr	ı
					− sign(˛ − 2¸))
	sin2(¸r) sin(˛r) r	= 8 (2 sign ˛ − sign(˛ + 2¸)				(4.97)

0

86	змбœб 4. œъбйнпдекуфœхаэйе юбуфйгщ

ЗДЕ n | ДПУФБФПЮОП ВПМШЫПЕ РПМПЦЙФЕМШОПЕ ЮЙУМП.

фЕРЕТШ РТПЙОФЕЗТЙТХЕН ŒЩТБЦЕОЙЕ (4.98) РП !. ъБНЕФЙН, ЮФП ЕУМЙ ВЩ ЖХОЛГЙС Ve¸ (!; k) ВЩМБ БОБМЙФЙЮОБ Œ РПМХРМПУЛПУФЙ Im ! < 0, ФП ЙОФЕЗТБМ ВЩМ ВЩ ТБŒЕО ОХМА РП ФЕПТЕНЕ лПЫЙ. рПЬФПНХ ХДПВОП ŒЩЮЕУФШ ЙЪ ЙОФЕЗТБМБ (4.98) ФБЛПЕ ЦЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ, Œ ЛПФПТПН ЖХОЛГЙС Ve¸ (!; k) РТЙ ! > 0 ЪБНЕОЕОБ ОБ ТЕЪХМШФБФ БОБМЙФЙЮЕУЛПЗП РТПДПМЦЕОЙС У РПМХПУЙ ! < 0. дЕКУФŒХС ФБЛЙН ПВТБЪПН, РПМХЮБЕН

			˚("; p) =		A("; p − k)F (k) (2ı)3 ;					(4.101)
									d3k
ÇÄÅ		T";p + !		ıp ln		0 T";p ";p	−	ı0	; T";p =	2M − " − i‹ : (4.102)
A("; p) = −ı			=
1	!0	!d!		T";	!	+ T		!		p2
	0

(рТЙ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙЙ РП ! > 0 НЩ ПВТЕЪБМЙ ЙОФЕЗТБМ ОБ ! = !0, ŒПУРПМШЪПŒБŒЫЙУШ ВЩУФТЩН ХВЩŒБОЙЕН РПДЙОФЕЗТБМШОПЗП ŒЩТБЦЕОЙС Œ (4.100) РТЙ ! !0.) ъБНЕФЙН, ЮФП ŒФПТЩН УМБЗБЕНЩН −!0=ı Œ ŒЩТБЦЕОЙЙ (4.102) ДМС A("; p) НПЦОП РТЕОЕВТЕЮШ, РПУЛПМШЛХ ЕЗП ŒЛМБД Œ ˚("; p) УŒПДЙФУС Л ЛПОУФБОФЕ, ДБАЭЕК РПРТБŒЛХ Л ИЙНЙЮЕУЛПНХ РПФЕОГЙБМХ ЮБУФЙГЩ ЙЪ-ЪБ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС У ЖЕТНЙ-ЗБЪПН. лТПНЕ ФПЗП, РПД ЪОБЛПН МПЗБТЙЖНБ Œ (4.102) НПЦОП РТЕОЕВТЕЮШ T";p РП УТБŒОЕОЙА У !0.

йОФЕЗТБМ РП d3k Œ ŒЩТБЦЕОЙЙ (4.101) НПЦОП ŒЩЮЙУМЙФШ УМЕДХАЭЙН ПВТБЪПН. рЕТЕКДЕН Л РЕТЕНЕООЩН k = |k| É q = |p − k| РП ЖПТНХМЕ (4.38):

1

∞

p+k

T";q

!

˚("; p) = (2ı)2p

ln T

";q

qdq :

kdk

F (k)

ı

0

(4.103)

0

|p−k|

йОФЕЗТЙТПŒБОЙЕ РП ПВМБУФЙ |p − k| < q < p + k ÄÁÅÔ

(p ± k)2

B

(k) = M x2

[1 + 2 ln (!

=x)]

x+ ;

x

=

−

"

−

i‹ :

(4.104)

";p

4ı

0

|x−

±

2M

у ХЮЕФПН (4.96) РПМХЮБЕФУС УМЕДХАЭЕЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ:

∞

2 2

2p0

(4.105)

˚("; p) = (2ı)2p B";p(k)F (k)kdk = ı(2ı)2p

B";p(k)dk

1

– m

0

0

йОФЕЗТЙТПŒБОЙЕ Œ (4.105) ЬМЕНЕОФБТОП. пДОБЛП РПМХЮБАЭЕЕУС ŒЩТБЦЕОЙЕ ŒЕУШНБ ЗТПНПЪДЛП Й НЩ ОЕ ВХДЕН ЕЗП ŒЩРЙУЩŒБФШ.

тБУУНПФТЙН УПВУФŒЕООП-ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛХА ЮБУФШ ˚("; p) ПФДЕМШОП РТЙ ЬОЕТЗЙСИ ЮБУФЙГЩ " ВПМШЫЙИ Й НБМЩИ РП УТБŒОЕОЙА У "M = 2p20=M . дМС ОБИПЦДЕОЙС БУЙНРФПФЙЛ СŒОПЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ (4.105) ПЛБЪЩŒБЕФУС ОЕ ПЮЕОШ ХДПВОЩН. вПМЕЕ РТПУФПК РХФШ | ŒЕТ-

ОХФШУС Л ŒЩТБЦЕОЙСН (4.101), (4.102) Й ŒЩРПМОЙФШ ТБЪМПЦЕОЙЕ:
A("; p − k) = ı T";p	ln (!0=T";p)	ÐÒÉ |p| |k| ,			(4.106)
1	2	ÐÒÉ	p	k ,
	ln (2M !0=k ) + 1
		|	| |	|

4.4. теыеойс

87

ЗДЕ ŒП ŒУЕИ УМХЮБСИ РПДТБЪХНЕŒБЕФУС, ЮФП " ≈ p2=2M , РПУЛПМШЛХ ОБУ ЙОФЕТЕУХЕФ ПЛТЕУФОПУФШ НБУУПŒПК РПŒЕТИОПУФЙ ЮБУФЙГЩ. œ ТБЪМПЦЕОЙЙ (4.106) НЩ ПРХУФЙМЙ ОЕЪБŒЙУСЭЙЕ ПФ " Й p ЮМЕОЩ, РПУЛПМШЛХ ПОЙ ДБАФ МЙЫШ ОЕУХЭЕУФŒЕООЩК УДŒЙЗ ИЙНЙЮЕУЛПЗП РПФЕОГЙБМБ ЮБУФЙГЩ, Б ФБЛЦЕ ЮМЕОЩ РТПРПТГЙПОБМШОЩЕ pk, РПУЛПМШЛХ ПОЙ ПВТБЭБАФУС Œ ОХМШ РТЙ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙЙ Œ (4.101).

оБУ ЙОФЕТЕУХЕФ ПВМБУФШ ОЕ УМЙЫЛПН ВПМШЫЙИ ЬОЕТЗЙК " !0 ≈ EF . œ ЬФПК ПВМБУФЙ МПЗБТЙЖН Œ ŒЩТБЦЕОЙЙ (4.106) ПЛБЪЩŒБЕФУС ВПМШЫЙН, Й РПЬФПНХ УПВУФŒЕООПЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛХА ЮБУФШ (4.101) ДПУФБФПЮОП ŒЩЮЙУМЙФШ У МПЗБТЙЖНЙЮЕУЛПК ФПЮОПУФША:

˚("; p) = ¸T";p

ln (!0

="M )

ÐÒÉ " "M ,

;

(4.107)

ln (!0

=T";p)

ÐÒÉ "M

"

!0 ,

ÇÄÅ ¸ =

1 F

r=0

= –2m2p2=(2ı4). рПУЛПМШЛХ T

";p

=

−

G−1("; p), РЕТЕОПТНЙТПŒБООБС

ı

0

ЖХОЛГЙС зТЙОБ

G("; p) = 1=(" − p2=2M − ˚("; p))

(4.108)

ЙНЕЕФ РПМАУ РТЙ " = p2=2M . рПМХЮБЕФУС, ЮФП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ У ЖЕТНЙ-ЗБЪПН ОЙЛБЛ ОЕ ŒМЙСЕФ ОБ ЪБЛПО ДЙУРЕТУЙЙ ФСЦЕМПК ЮБУФЙГЩ. йОЩНЙ УМПŒБНЙ, ОБКДЕООБС УПВУФŒЕООП-ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛБС ЮБУФШ ДБЕФ ФПМШЛП РЕТЕОПТНЙТПŒЛХ ŒЩЮЕФБ a Œ ТБЪМПЦЕОЙЙ G("; p) = a=(" − p2=2M + i‹) ŒВМЙЪЙ РПМАУБ.

пВУХДЙН РЕТЕОПТНЙТПŒЛХ ŒЩЮЕФБ a ВПМЕЕ РПДТПВОП. лБЛ УМЕДХЕФ ЙЪ (4.107), РПРТБŒЛБ Л ŒЩЮЕФХ ЙНЕЕФ РПТСДПЛ ŒЕМЙЮЙОЩ ¸ ln (!0="M ). б РПУЛПМШЛХ "M !0, ФП ДБЦЕ РТЙ НБМПН ¸ ЬФБ РЕТЕОПТНЙТПŒЛБ НПЦЕФ ВЩФШ ŒЕУШНБ ВПМШЫПК. рТЕДУФБŒМСЕФ ЙОФЕТЕУ ТБУУНПФТЕФШ ЪБДБЮХ РТЙ

¸ 1; ¸ ln (!0="M ) 1 :

(4.109)

œ ЬФПК ПВМБУФЙ, У ПДОПК УФПТПОЩ, ŒУЕ ЕЭЕ НПЦОП РПМШЪПŒБФШУС ФЕПТЙЕК ŒПЪНХЭЕОЙК РП НБМПНХ ¸, Б У ДТХЗПК УФПТПОЩ | РЕТЕОПТНЙТПŒЛБ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ ПЛБЪЩŒБЕФУС ŒЕУШНБ УЙМШОПК.

юФПВЩ ОБКФЙ ЖХОЛГЙА зТЙОБ, ŒПУРПМШЪХЕНУС РТЙЕНПН, ОПУСЭЙН ОБЪŒБОЙЕ НЕФПДБ ТЕОПТНЗТХРРЩ (УН. ЪБДБЮХ 13). тБУУНПФТЙН ЛБЛ ЖХОЛГЙС зТЙОБ G("; p) ЪБŒЙУЙФ

ПФ РБТБНЕФТБ ХМШФТБЖЙПМЕФПŒПК ПВТЕЪЛЙ !0. ъОБС ЬФХ ЪБŒЙУЙНПУФШ, НПЦОП ŒПУУФБОПŒЙФШ ЪБŒЙУЙНПУФШ G ПФ " Й p, РПУЛПМШЛХ ŒУС ЪБŒЙУЙНПУФШ ПФ !0 НПЦЕФ ВЩФШ ŒЩТБЦЕОБ ЮЕТЕЪ ВЕЪТБЪНЕТОЩК РБТБНЕФТ !0=T";p. юФПВЩ РПМХЮЙФШ ЪБŒЙУЙНПУФШ ПФ !0 РПМЕЪОП ТБУУНПФТЕФШ РТПЙЪŒПДОХА @G=@!0 Й ŒЩЮЙУМЙФШ ЕЕ, ДЙЖЖЕТЕОГЙТХС РП ПФДЕМШОПУФЙ ЮМЕОЩ ДЙБЗТБННОПЗП ТСДБ ДМС G. (иПД ТБУУХЦДЕОЙК РТЙ ЬФПН ОБРПНЙОБЕФ ТЕЫЕОЙЕ ЪБДБЮЙ 13.) œ ОЙЪЫЕН РПТСДЛЕ РП ЛПОУФБОФЕ УŒСЪЙ – ХТБŒОЕОЙЕ ТЕОПТНЗТХРРЩ ЙНЕЕФ УМЕДХАЭЙК ŒЙД:

@G("; p) = G2("; p)	@˚("; p) =	¸ G("; p) :	(4.110)
@!0	@!0	!0
œ ХТБŒОЕОЙЙ (4.110) НЩ ЙУРПМШЪПŒБМЙ ŒЩТБЦЕОЙЕ (4.107) Œ ПВМБУФЙ "M " ¸ !0.

тЕЫБС ХТБŒОЕОЙЕ @ ln G=@!0 = ¸=!0, РПМХЮБЕН УФЕРЕООХА ЪБŒЙУЙНПУФШ G !0 . пФУАДБ РПМХЮБЕН, ЮФП ЪБŒЙУЙНПУФШ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ ПФ " Й p ЙНЕЕФ УФЕРЕООХА ЖПТНХ (4.33), РТЙЮЕН ЛПЖЖЙГЙЕОФ a0 Œ (4.33) ÅÓÔØ !0¸.

88	змбœб 4. œъбйнпдекуфœхаэйе юбуфйгщ

тЕОПТНЗТХРРХ Œ ЪБДБЮБИ ФБЛПЗП ФЙРБ, ŒППВЭЕ ЗПŒПТС, УМЕДХЕФ РТЙНЕОСФШ ВПМЕЕ БЛЛХТБФОП, ХЮЙФЩŒБС ОБТСДХ У РПРТБŒЛБНЙ Л ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ ФБЛЦЕ Й РПРТБŒЛЙ Л ŒЕТЫЙОЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС. рТЙŒЕДЕН ДМС ЪОБФПЛПŒ УППФŒЕФУФŒХАЭЕЕ ŒЩЮЙУМЕОЙЕ.

ьБФТБŒПЮОЩЕ ЖХОЛГЙС зТЙОБ Й ŒЕТЫЙОБ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС ЕУФШ G0("; p) = 1=(" − p2=2M + i‹) É `0 = –. ъБРЙЫЕН РЕТЕОПТНЙТПŒБООЩЕ ŒЕМЙЮЙОЩ Œ ŒЙДЕ

G("; p) = Z(‰) G0("; p) ; `(‰) = g(‰) – ;

(4.111)

ЗДЕ ЖХОЛГЙЙ Z É g, ЪБŒЙУСЭЙЕ ПФ ‰ = ln(!0="), ПРЙУЩŒБАФ ТЕОПТНЙТПŒЛХ Œ ТЕЪХМШФБФЕ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙС РП УФЕРЕОСН УŒПВПДЩ У ЬОЕТЗЙСНЙ " < E < !0. рТЙ ЬФПН ХТБŒОЕОЙЕ (4.110) РЕТЕРЙЫЕФУС ФБЛ:

@Z=@‰ = ¸Z3g2

(4.112)

(¸ = –2m2p20=2ı4, ЛБЛ Й ŒЩЫЕ). фЕРЕТШ ОЕПВИПДЙНП ЪБНЛОХФШ УЙУФЕНХ ХТБŒОЕОЙК, ДПВБŒЙŒ ХТБŒОЕОЙЕ ТЕОПТНЗТХРРЩ ДМС g(‰). оЕФТХДОП РТПŒЕТЙФШ, ЮФП РПРТБŒЛБ Л ŒЕТЫЙОЕ `0 = – Œ ОЙЪЫЕН РПТСДЛЕ РП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙА ДБЕФУС ДЙБЗТБННПК, РПЛБЪБООПК ОБ ТЙУ. 6.2. ьФБ ДЙБЗТБННБ УПДЕТЦЙФ МПЗБТЙЖНЙЮЕУЛХА ТБУИПДЙНПУФШ:

‹` = −¸– ln(!0=") (" "M ) :

(4.113)

у ХЮЕФПН ŒЙДБ РЕТЕОПТНЙТПŒБООЩИ ŒЕМЙЮЙО (4.111) РПМХЮБЕН ХТБŒОЕОЙЕ ТЕОПТНЗТХРРЩ ДМС ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС:

@g=@‰ = −¸Z2g3 :

(4.114)

тЕЫЙН ФЕРЕТШ УЙУФЕНХ ХТБŒОЕОЙК (4.112), (4.114) У ОБЮБМШОЩН ХУМПŒЙЕН Z(0) = g(0) = 1. оЕФТХДОП РТПŒЕТЙФШ, ЮФП ЬФЙ ХТБŒОЕОЙС ПУФБŒМСАФ ЙОŒБТЙБОФОПК ŒЕМЙЮЙОХ Zg. рПЬФПНХ g = 1=Z ÐÒÉ ŒÓÅÈ ‰.

ьФП РПЪŒПМСЕФ РЕТЕРЙУБФШ ХТБŒОЕОЙЕ ДМС Z Œ ŒÉÄÅ @Z=@‰ = ¸Z, ÞÔÏ ÄÁÅÔ Z(‰) = ‰¸. фБЛЙН ПВТБЪПН, ВПМЕЕ БЛЛХТБФОПЕ ТБУУНПФТЕОЙЕ РТЙŒПДЙФ Л ФПК ЦЕ УБНПК УФЕРЕООПК ЪБŒЙУЙНПУФЙ (4.33). рТЙ ЬФПН ŒЩСУОСЕФУС, ЮФП ПУМБВМЕОЙЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС ŒУМЕДУФŒЙЕ РЕТЕОПТНЙТПŒПЛ ФПЦЕ ПРЙУЩŒБЕФУС УФЕРЕООПК ЪБŒЙУЙНПУФША: `(") = –("=!0)¸.

çÌÁŒÁ 5.

йДЕБМШОЩК ЖЕТНЙ-ЗБЪ

5.1. ьМЕЛФТПОЩ ОБ ЖЕТНЙ-РПŒЕТИОПУФЙ

œ ЬФПК ЗМБŒЕ УПВТБОЩ ОЕЛПФПТЩЕ ЪБДБЮЙ, ЛБУБАЭЙЕУС УŒПКУФŒ ЙДЕБМШОПЗП ЖЕТНЙЗБЪБ. уФТПЗП ЗПŒПТС, ŒУЕ ПОЙ НПЗМЙ ВЩ ВЩФШ ТЕЫЕОЩ ВЕЪ РТЙНЕОЕОЙС ДЙБЗТБНН. (йДЕБМШОЩК ЗБЪ | ŒЕЭШ РТПУФБС!) пДОБЛП, РПУЛПМШЛХ ЖЕТНЙ-ЗБЪ ОБУ ЙОФЕТЕУХЕФ, Œ ПУОПŒОПН, ЛБЛ ŒПЪНПЦОПУФШ ПРТПВПŒБФШ ДЙБЗТБННОХА ФЕИОЙЛХ, НЩ ОЕ ВХДЕН ЙУРПМШЪПŒБФШ ДТХЗЙЕ НЕФПДЩ ТБУЮЕФБ.

рПНЙНП ЬФПЗП, УМЕДХЕФ УЛБЪБФШ, ЮФП Œ ЪБДБЮБИ У ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕН, ЛПФПТЩЕ ВХДХФ ТБУУНПФТЕОЩ Œ УМЕДХАЭЙИ ЗМБŒБИ, ŒЩЮЙУМЕОЙС ŒП НОПЗПН ПРЙТБАФУС ОБ ВПМЕЕ РТПУФЩЕ ŒЩЮЙУМЕОЙС ДМС ЙДЕБМШОПЗП ЗБЪБ. пЛБЪЩŒБЕФУС, ЮФП Œ ДЙБЗТБННБИ У ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕН НПЦОП ŒЩДЕМЙФШ ФБЛ ОБЪЩŒБЕНЩЕ ЬМЕНЕОФБТОЩЕ ВМПЛЙ. œЩТБЦЕОЙС, УППФŒЕФУФŒХАЭЙЕ ЬФЙН ВМПЛБН, РП УŒПЕНХ ŒЙДХ ФБЛЙЕ ЦЕ, ЛБЛ ДМС ЙДЕБМШОПЗП ЗБЪБ. оБРТЙНЕТ, РПМСТЙЪБГЙПООЩК ПРЕТБФПТ, ŒПЪОЙЛБАЭЙК Œ ФЕПТЙЙ ЬМЕЛФТПО-ЖПОПООПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС Й Œ ФЕПТЙЙ ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ, РП УŒПЙН УŒПКУФŒБН ПЛБЪЩŒБЕФУС ВМЙЪПЛ Л ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФЙ ЙДЕБМШОПЗП ЗБЪБ (УН. ЪБДБЮЙ 24, 31, 44 { 46).

пУФБОПŒЙНУС ОБ ŒБЦОПН УŒПКУФŒЕ УЙННЕФТЙЙ ЖЕТНЙ-ЗБЪБ. тЕЮШ ЙДЕФ П ФБЛ ОБЪЩŒБЕНПК ЬМЕЛФТПО-ДЩТПЮОПК УЙННЕФТЙЙ ОБ ЖЕТНЙ-РПŒЕТИОПУФЙ, ЙНЕАЭЕК НЕУФП

РТЙ ЬОЕТЗЙЙ ЬМЕЛФТПО{ДЩТПЮОЩИ ŒПЪВХЦДЕОЙК НБМПК РП УТБŒОЕОЙА У ЬОЕТЗЙЕК жЕТНЙ. лБЛ РТБŒЙМП, ЙОФЕТЕУОЩЕ ДМЙООПŒПМОПŒЩЕ Й ОЙЪЛПЮБУФПФОЩЕ ЬЖЖЕЛФЩ Œ ЖЕТНЙЗБЪЕ Й ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ УŒСЪБОЩ У ŒПЪВХЦДЕОЙСНЙ ŒВМЙЪЙ ХТПŒОС жЕТНЙ. рПЬФПНХ МПЗЙЮОП РТЙ ŒЩЮЙУМЕОЙЙ ФБЛЙИ ŒЕМЙЮЙО ŒЩДЕМСФШ ЬФПФ ŒЛМБД ЪБТБОЕЕ. дМС ЬФПЗП РПМШЪХАФУС УМЕДХАЭЙН ФЕИОЙЮЕУЛЙН РТЙЕНПН. œП ŒУЕИ ДЙБЗТБННБИ РТЕОЕВТЕЗБАФ ЪБŒЙУЙНПУФША РМПФОПУФЙ УПУФПСОЙК (") ŒВМЙЪЙ ХТПŒОС жЕТНЙ ПФ ЬОЕТЗЙЙ " = ‰(p), Й РПМБЗБАФ (") = 0 = p0m=(2ı2h—3). рТЙ ЬФПН ЙОФЕЗТБМЩ РП ЙНРХМШУБН РТЕПВТБЪХАФУС УМЕДХАЭЙН ПВТБЪПН:

		d3p	→	0	∞
	: : :	(2ı)3		4ı		: : : dn d‰ ;	(5.1)
					−∞ |n|=1

ÇÄÅ n = p=|p| | ЕДЙОЙЮОЩК ŒЕЛФПТ. оБ ЦБТЗПОЕ ЬФП ОБЪЩŒБЕФУС ĂРЕТЕИПД ПФ ЙОФЕ-

89

90	змбœб 5. йдебмшощк жетнй-збъ

ЗТЙТПŒБОЙС РП p Л ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙА РП ‰Ą. нЕФПД ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙС РП ‰ ПВСЪБО УŒПЕК РПРХМСТОПУФША ПВЕУРЕЮЙŒБЕНПК ЙН ФПЮОПК УЙННЕФТЙЙ НЕЦДХ ЮБУФЙГБНЙ Й ДЩТЛБНЙ У РТПЙЪŒПМШОПК ЬОЕТЗЙЕК, Б ОЕ РТЙ " = "F (УН. ЪБДБЮХ 25), Й РПНЙНП ЬФПЗП ФПНХ ПВУФПСФЕМШУФŒХ, ЮФП ЙОФЕЗТЙТПŒБФШ РП ‰ ПВЩЮОП МЕЗЮЕ (УН. ЪБДБЮЙ 23, 24).

уМЕДХЕФ ПФНЕФЙФШ, ЮФП ЬМЕЛФТПО{ДЩТПЮОБС УЙННЕФТЙС СŒМСЕФУС РТЙВМЙЦЕООПК. пДОБЛП, РПРТБŒЛЙ, ОБТХЫБАЭЙЕ ЬФХ УЙННЕФТЙА, ПЛБЪЩŒБАФУС ŒБЦОЩ ФПМШЛП ЕУМЙ Œ ЪБДБЮЕ УХЭЕУФŒЕООЩ УПУФПСОЙС, ДБМЕЛЙЕ ПФ ХТПŒОС жЕТНЙ. œПЪНПЦОПУФШ РЕТЕКФЙ РТЙ ТБУУНПФТЕОЙЙ ЛБЛПЗП-МЙВП ЗТБЖЙЛБ Л ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙА РП ‰ ПЪОБЮБЕФ, ЮФП ЙЪХЮБЕНЩК ЬЖЖЕЛФ ĂУЙДЙФ ОБ ЖЕТНЙ-РПŒЕТИОПУФЙĄ. œ ЪБДБЮБИ ЬФПЗП Й УМЕДХАЭЙИ ТБЪДЕМПŒ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙЕ РП ‰ ПЛБЦЕФУС ŒЕУШНБ РПМЕЪОЩН.

5.1.1. жПТНХМБ лХВП.

œ ЬФПН РХОЛФЕ НЩ ТБУУНПФТЙН ЪБДБЮХ П ОБИПЦДЕОЙЙ ДЙОБНЙЮЕУЛПК ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФЙ, ПРЙУЩŒБАЭЕК ЛБЛПК{МЙВП МЙОЕКОЩК ПФЛМЙЛ УЙУФЕНЩ ОБ РЕТЕНЕООПЕ ŒОЕЫОЕЕ РПМЕ. у РТБЛФЙЮЕУЛПК ФПЮЛЙ ЪТЕОЙС, ŒПРТПУ П ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФЙ РТЕДУФБŒМСЕФ УХЭЕУФŒЕООЩК ЙОФЕТЕУ, РПУЛПМШЛХ ВПМШЫЙОУФŒП ŒЕМЙЮЙО, ЙЪНЕТСЕНЩИ ЬЛУРЕТЙНЕОФБМШОП, ЙНЕАФ ИБТБЛФЕТ МЙОЕКОЩИ ПФЛМЙЛПŒ (УН. ЗМ. 11). уФБОДБТФОЩК НЕФПД ТБВПФЩ У ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФША ЙУРПМШЪХЕФ ЪБРБЪДЩŒБАЭЙЕ Й ПРЕТЕЦБАЭЙЕ ЗТЙОПŒУЛЙЕ ЖХОЛГЙЙ (УН. ЖПТНХМХ (5.10)), Б ФБЛЦЕ, Œ ВПМЕЕ УМПЦОЩИ УМХЮБСИ, | НБГХВБТПŒУЛХА ФЕНРЕТБФХТОХА ФЕИОЙЛХ Й БОБМЙФЙЮЕУЛПЕ РТПДПМЦЕОЙЕ У НОЙНЩИ ДЙУЛТЕФОЩИ ЮБУФПФ ОБ ДЕКУФŒЙФЕМШОЩЕ ŒЕЭЕУФŒЕООЩЕ (УН. ЖПТНХМХ (7.28)). оП ЕУМЙ УЙУФЕНБ ОЕŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭБС, НПЦОП РПУФХРЙФШ РТПЭЕ.

œПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ ŒЕМЙЮЙОЩ A РП ПФОПЫЕОЙА Л ŒЕМЙЮЙОЕ B, ДБЕФУС ФБЛ ОБЪЩŒБЕНПК ЖПТНХМПК лХВП

	i	∞	[A(t); B(0)] ei!t dt ;
(!) =	h—			(5.2)
		0

ŒЩŒПД ЛПФПТПК РТЙŒЕДЕО, ОБРТЙНЕТ, Œ [5], § 126. юФПВЩ ОБКФЙ УТЕДОЕЕ ЛПННХФБФПТБ Œ (5.2) РП ПУОПŒОПНХ УПУФПСОЙА УЙУФЕНЩ ОЕŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЙИ ЮБУФЙГ, ЪБРЙЫЕН

A

B

РТЕДУФБŒМЕОЙЙ ŒФПТЙЮОПЗП ЛŒБОФПŒБОЙС:

ПРЕТБФПТЩ Й

Œ

+

i(Ek

Em)t

+

i(Ek

Em)t

m

k e−

−

Bmk m

k e− −

:

(5.3)

A(t) =

Amk

; B(t) =

m k

m k

фЕРЕТШ РПДУФБŒЙН ЬФЙ ŒЩТБЦЕОЙС Œ ЛПННХФБФПТ

A t ; B

, Й ТБУЛТПЕН УТЕДОЕЕ

РП ФЕПТЕНЕ œЙЛБ. тЕЪХМШФБФ ŒЩЗМСДЙФ ФБЛ 1:

−

[

( )

(0)]

−

−

(!) =

Amk Bkm

n(Em) − n(Ek )

:

(5.4)

m k

Ek Em

!

i‹

1ъДЕУШ НЩ ВХДЕН УЮЙФБФШ ФЕНРЕТБФХТХ ТБŒОПК ОХМА. пФНЕФЙН, ПДОБЛП, ЮФП ŒЩЮЙУМЕОЙЕ РП ЖПТНХМЕ лХВП ŒУЕЗДБ МЕЗЛП ТБУРТПУФТБОЙФШ ОБ ЛПОЕЮОЩЕ ФЕНРЕТБФХТЩ. рТЙ T > 0 ХУТЕДОЕОЙЕ Œ (5.2) ВЕТЕФУС РП ТБŒОПŒЕУОПНХ ФЕТНПДЙОБНЙЮЕУЛПНХ УПУФПСОЙА, Й РТЙ ŒЪСФЙЙ УТЕДОЕЗП РП ФЕПТЕНЕ œЙЛБ ŒПЪОЙЛБАФ ЪБŒЙУСЭЙЕ ПФ ФЕНРЕТБФХТЩ ЮЙУМБ ЪБРПМОЕОЙС УПУФПСОЙК ЮБУФЙГ. оБРТЙНЕТ, ДМС ЖЕТНЙПОПŒ Œ (5.4) УМЕДХЕФ РПМПЦЙФШ n(E) = 1=(eE=T + 1).