Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002)

2.2. ъбдбюй 5 { 10

31

ЪБДБЮЕ ŒТЕНС t СŒМСЕФУС ДЙУЛТЕФОЩН.) œ ФЕПТЙЙ ŒЕТПСФОПУФЕК ТБУУНБФТЙŒБАФ РТПЙЪŒПДСЭХА ЖХОЛГЙА

	(2.15)
G(z; q) = zt eiqx p(t; x) (t 0; |z| < 1) :

x;t

уŒПКУФŒБ ЬФПК ŒЕМЙЮЙОЩ ŒП НОПЗПН БОБМПЗЙЮОЩ УŒПКУФŒБН ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ. рПЛБЦЙФЕ, ЮФП

G(z; q) =	1	;	W (q) =	1	(cos q1	+ : : : + cos qn) :	(2.16)
	1 − zW (q)			n

тБУУНПФТЙН РТПЙЪŒПДСЭХА ЖХОЛГЙА ~( q) ДМС ВМХЦДБОЙК, ОБЮЙОБАЭЙИУС ЙЪ

G z;

ОБЮБМБ ЛППТДЙОБФ, ОП ОЙ ТБЪХ ОЕ ŒПЪŒТБЭБАЭЙИУС ФХДБ ОБ РПУМЕДХАЭЙИ ЫБЗБИ. œЕ-

МЙЮЙОБ ~( q) РП УŒПЙН УŒПКУФŒБН РПИПЦБ ОБ ЖХОЛГЙА зТЙОБ ЮБУФЙГЩ Œ РПМЕ ПФФБМ-

G z;

ЛЙŒБАЭЕЗП ГЕОФТБ (УН. ЪБДБЮЙ 11, 12 Й 13). œ ЮБУФОПУФЙ, ДМС ОЕЕ НПЦОП ОБРЙУБФШ ФБЛПЕ ЦЕ ЙОФЕЗТБМШОПЕ ХТБŒОЕОЙЕ (ОБРПНЙОБАЭЕЕ ХТБŒОЕОЙЕ дБКУПОБ). œЩТБЪЙФЕ

~( q) ЮЕТЕЪ ( q). оБКДЙФЕ ŒЕТПСФОПУФШ ФПЗП, ЮФП ЮБУФЙГБ ОЙЛПЗДБ ОЕ ŒПЪŒТБ-

G z; G z; P

ЭБЕФУС Œ ОБЮБМП ЛППТДЙОБФ. рПЛБЦЙФЕ, ЮФП

P −1 =	G(1; q)	dnq	:	(2.17)
		(2ı)n

ъДЕУШ ЙОФЕЗТБМ ВЕТЕФУС РП ЪПОЕ вТЙММАЬОБ, Ф. Е. РП РЕТЙПДХ ПВТБФОПК ТЕЫЕФЛЙ. œЕТПСФОПУФШ ŒПЪŒТБФБ (2.17) ЙНЕЕФ ОЕФТЙŒЙБМШОХА ЪБŒЙУЙНПУФШ ПФ ТБЪНЕТОПУФЙ

ТЕЫЕФЛЙ n. рПЛБЦЙФЕ, ЮФП Б) P = 0 РТЙ n 2;

Â) 0 < P < 1 ÐÒÉ n > 2; Œ) P → 1 ÐÒÉ n 2.

рПУЛПМШЛХ РЕТЕЮЙУМЕООЩЕ УŒПКУФŒБ ЮХŒУФŒЙФЕМШОЩ ФПМШЛП Л РПŒЕДЕОЙА G(1; q) РТЙ НБМЩИ q, Ф. Е. ОБ ВПМШЫЙИ НБУЫФБВБИ, ПОЙ ЙНЕАФ НЕУФП ДМС РТПЙЪŒПМШОПЗП ДЙЖЖХЪЙПООПЗП ДŒЙЦЕОЙС, Б ОЕ ФПМШЛП ДМС ВМХЦДБОЙС РП ТЕЫЕФЛЕ. фЙРЙЮОБС ДЙЖЖХЪЙПООБС ФТБЕЛФПТЙС ЙНЕЕФ ВЕУЛПОЕЮОП НОПЗП ŒПЪŒТБФПŒ РТЙ n 2, Й ЛПОЕЮОПЕ ЮЙУМП РТЙ n > 2.

ъБДБЮБ 10. œФПТПК РТЙНЕТ ЙУРПМШЪПŒБОЙС ЖХОЛГЙК зТЙОБ | ЙЪ ЬМЕЛФТПДЙОБНЙЛЙ. тБУУНПФТЙН НПДЕМШ РТПŒПДСЭЕК УТЕДЩ, РТЕДУФБŒМСАЭХА УПВПК n-НЕТОХА УЕФЛХ ЙЪ ПДЙОБЛПŒЩИ УПРТПФЙŒМЕОЙК. уЕФЛБ ПВТБЪХЕФ n-НЕТОХА ЛХВЙЮЕУЛХА ТЕЫЕФЛХ, УПРТПФЙŒМЕОЙЕ ЛБЦДПЗП ТЕВТБ ЛПФПТПК ТБŒОП R. пВПЪОБЮЙН ЮЕТЕЪ Rx РПМОПЕ УПРТПФЙŒМЕОЙЕ ТЕЫЕФЛЙ НЕЦДХ ХЪМБНЙ 0 Й x. рПЛБЦЙФЕ, ЮФП

Rx = n	(1 − eiqx) G(1; q) (2ı)n ;
R	dnq

ЗДЕ G(z; q) | ЖХОЛГЙС зТЙОБ, ŒŒЕДЕООБС Œ ЪБДБЮЕ 9. йУУМЕДХКФЕ |x| 1 Œ ЪБŒЙУЙНПУФЙ ПФ ТБЪНЕТОПУФЙ n.

(2.18)

РПŒЕДЕОЙЕ Rx ÐÒÉ

32	змбœб 2. жхолгйс зтйоб

2.3. тЕЫЕОЙС

тЕЫЕОЙЕ 5. рТЕДУФБŒЙН ЗБНЙМШФПОЙБО Œ ŒЙДЕ = + , ЗДЕ

H H0 Hint

H0 = —B0

z

=

0 0

—B0

;

—B

0

= Hint

−

œ

—B1e−i!t—B1ei!t

Hint =

—B1( xcos !t + y sin !t) = ( 0

0 )

РТЕДУФБŒМЕОЙЙ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС i _

(t) , ÇÄÅ

ei—B0t =

Hint(t) = eiH0tHinte−iH0t =

0

e−i—B0t Hint

−

0

ei—B0t

0

e

i—B0t

0

0

e−2i˙t

;

= —B1 e2i˙t

0

ÇÄÅ ˙ = !=2 − —B0. пФУАДБ РПМХЮБЕН ХТБŒОЕОЙС

i _↑ = —B1e−2i˙t

↓; i _↓ = —B1e2i˙t

↑

œŒЕДЕН ОПŒЩЕ РЕТЕНЕООЩЕ:

’↑ = ei˙t ↑ ; ’↓ = e−i˙t

↓ :

хТБŒОЕОЙС ДМС ’¸(t) ОЕ УПДЕТЦБФ СŒОПК ЪБŒЙУЙНПУФЙ ПФ ŒТЕНЕОЙ:

i’↑ + ˙’↑ = —B1’↓; i’↓ − ˙’↓ = —B1’↑;

ÉÌÉ		—B1	˙
	i’ =	−˙	—B1	’:

пВЭЕЕ ТЕЫЕОЙЕ ЬФЙИ ХТБŒОЕОЙК ЙНЕЕФ ŒЙД

(2.19)

(2.20)

(2.21)

(2.22)

(2.23)

(2.24)

(2.25)

	−(1 − –)1=2		−	(1 + –)1=2
’(t) = c+	(1 + –)1=2	ei!t~ + c		(1 − –)1=2	e−i!t~ ;	(2.26)

ÇÄÅ !~ = ˙2 + (—B1)2, – = ˙=!~, Б ЛПЬЖЖЙГЙЕОФЩ c± ЪБŒЙУСФ ПФ ОБЮБМШОЩИ ХУМПŒЙК.

НБФТЙГБ ПРТЕДЕМСЕФУС ЙЪ

(t) = S(t)

(0). уТБŒОЙŒБС У (2.26), РПМХЮБЕН

рПМОБС S-

i˙t

ei˙t

1=2 i!t~

i

1=2

i i!t~

×

S(t) =

0

−(1−–)1=2ei!t~

(1+–)1=2e−i!t~

(2.27)

e−

0

(1+–)

e

(1−–)

e−

1

(1+

–)1=2

−(1−–)1=2

=

W (t)e−i˙t

−i(1−–2)1=2e−i˙t sin !t~

;

×

2

(1−–)1=2

(1+–)1=2

−i(1−–2)1=2ei˙t sin !t~

W (t)ei˙t

ÇÄÅ W (t) = cos !t~

+ i– sin !t~ .

тБУУНПФТЙН ФЕРЕТШ ŒЕТПСФОПУФШ РЕТЕŒПТПФБ УРЙОБ. еЕ НПЦОП ОБКФЙ У РПНПЭША S-НБФТЙГЩ, Б НПЦОП Й РТСНП ЙЪ (2.26). œПУРПМШЪХЕНУС ŒФПТЩН УРПУПВПН. рПУЛПМШЛХ

2.3. теыеойс	33
1	, ФП ЛПЬЖЖЙГЙЕОФЩ c± Œ ŒЩТБЦЕОЙЙ (2.26) ЕУФШ c+ = (1 + –)1=2=2,
ÐÒÉ t = 0 ’ = 0
c− = (1 − –)1=2=2.	пФУАДБ

1 √	2	(e−	i!t~	− e	i!t~		—B1	sin !t~	:
’↓(t) = 2	1 − –					) =	i!~			(2.28)
œЕТПСФОПУФШ ПВОБТХЦЕОЙС УПУФПСОЙС | ↓ ÐÒÉ t > 0 ÒÁŒÎÁ
p↓(t) = |’↓(t)|2 =				(—B1)2
			˙2 + (—B1)2 sin2 !t~ :							(2.29)

еУМЙ ŒЩРПМОЕОП ХУМПŒЙЕ ТЕЪПОБОУБ ! = 2—B0, ÔÏ ˙ = 0, !~ = —B1 Й ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС

S-НБФТЙГЩ ХРТПЭБЕФУС:

cos —B1t

i sin —B1t

:

−

i sin —B1t

−cos —B1t

(2.30)

S(t) =

уППФŒЕФУФŒЕООП, Œ ЬФПН УМХЮБЕ ŒЕТПСФОПУФШ РЕТЕŒПТПФБ УРЙОБ ЕУФШ p

(t) = sin2

—B t.

↓

1

m Hint(t)|n = −eEe

−

(2.31)

m|x|n :

тЕЫЕОЙЕ 6 a. œ РТЕДУФБŒМЕОЙЙ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС

=

eEeiH0txe−iH0t, ПФЛХДБ

|

i(m n)!t

Hint

−

œПУРПМШЪХЕНУС

ПРЕТБФПТБ ЛППТДЙОБФЩ:

ЙЪŒЕУФОЩНЙ НБФТЙЮОЩНЙ ЬМЕНЕОФБНЙ

m|x|n = l0 m|a + a+|n = l0

‹m;n+1

√m + ‹m+1;n √n ;

(2.32)

ÇÄÅ l0 = h=— 2m! | ТБЪНЕТ ПУОПŒОПЗП УПУФПСОЙС ПУГЙММСФПТБ. рПМХЮБЕН

m|Hint(t)|n = −eEl0

‹m;n+1

√m ei!t + ‹m+1;n

√n e−i!t :

(2.33)

фЕРЕТШ ТБУУНПФТЙН

ЪБŒЙУЙНПУФШ ŒЕЛФПТБ УПУФПСОЙС ПФ ŒТЕНЕОЙ. йЪ ХТБŒОЕОЙС ыТЕ-

i

t

, РПМХЮБЕН

ДЙОЗЕТБ Œ РТЕДУФБŒМЕОЙЙ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС, ih— _ = Hint

(t) =

(0) − h—

Hint(t ) (t )dt :

(2.34)

0

йЪ ФБЛПК ЪБРЙУЙ ŒЙДОП, ЮФП РТПЕЛГЙС n| (t) ПФМЙЮОБ ПФ ОХМС ФПМШЛП ОБЮЙОБС У n-ЗП

РПТСДЛБ ФЕПТЙЙ ŒПЪНХЭЕОЙК. рПЬФПНХ				0 √n		n − 1|	(n−1)(t ) dt ;
n| (n)(t) = −i	n|Hint(t )| (n−1)	(t ) dt =	h—		ei!t
	t		ieEl		t
0				0			(2.35)

ЗДЕ ЙОДЕЛУ (n) УПУФПСОЙС (n)(t) ПЪОБЮБЕФ РПТСДПЛ ФЕПТЙЙ ŒПЪНХЭЕОЙК. œŒПДС ЖХОЛГЙЙ un(t) = n| (n)(t) , РПМХЮБЕН ТЕЛХТТЕОФОЩЕ ХТБŒОЕОЙС:

		ieEl	0 √n	t
	un(t) =			ei!t un−1(t )dt ;	(2.36)
		h—

0

34

змбœб 2. жхолгйс зтйоб

РТЙЮЕН u0(t) = 1. тЕЫЙŒ ЙИ, ОБИПДЙН

0

√1

ei!t − 1 :

(2.37)

un(t) = h!—

eEl

n

n!

n

йУЛПНБС ŒЕТПСФОПУФШ W0→n Œ РТЙВМЙЦЕОЙЙ ФЕПТЙЙ ŒПЪНХЭЕОЙК ТБŒОБ

|

n

|

2m!3h—

n!

2

n!

m!3h—

u

(fi )

2 =

e2E2

n 1

2 sin !fi

2n =

1

e2E2(1 − cos !fi )

n :

(2.38)

фЕПТЙС ŒПЪНХЭЕОЙК ТБВПФБЕФ, ЕУМЙ ŒЩТБЦЕОЙЕ Œ ЛŒБДТБФОЩИ УЛПВЛБИ НОПЗП НЕОШЫЕ ЕДЙОЙГЩ.

рЕТŒПЕ ТЕЫЕОЙЕ 6 В. ъБРЙЫЕН ЗБНЙМШФПОЙБО				H =	H0	+ Hint	ЮЕТЕЪ ВПЪЕ-
ПРЕТБФПТЩ:	a+a + 1=2 ;
H0 = h!—		Hint = −eEx = −eEl0(a + a+) ;					(2.39)
	+			a+	= i!a+ :		(2.40)
a = (i=h—)[H0; a] = i![a+a; a] = −i!a ;
(l0 = h=— 2m!). оБКДЕН a(t) Й a (t) Œ УМХЮБЕ, ЛПЗДБ Hint = 0:
пФУАДБ ЙНЕЕН
	a(t) = ae−i!t ;		a+(t) = a+ei!t :				(2.41)

фЕРЕТШ РХУФШ Hint = 0. ъБРЙЫЕН ХТБŒОЕОЙС ДŒЙЦЕОЙС ДМС a Œ РТЕДУФБŒМЕОЙЙ ŒЪБЙНП-
ДЕКУФŒЙС:
	a = (i=h—)[Hint; a] = ieEl0e−i!t						:	(2.42)
оБИПДЙН ТЕЫЕОЙЕ:					fi e−i!tdt = a(0) + — ;
	a(fi ) = a(0) − iEl0							(2.43)
					0
ЗДЕ a(0) | ЛБОПОЙЮЕУЛЙК ВПЪЕŒУЛЙК ПРЕТБФПТ ХОЙЮФПЦЕОЙС, Б
				eEl0	−i!fi	− 1) :
		— =		h!—	(e			(2.44)
пФУАДБ РПМХЮБЕН ЪБŒЙУЙНПУФШ n-ЗП УПУФПСОЙС ПФ ŒТЕНЕОЙ:
	(a+(fi ))n				(a+(0) + — )n
	|n; t = fi =	√n!	|0; t = fi =			√n!	|0; t = fi :	(2.45)
фЕРЕТШ ТБЪМБЗБЕН УПУФПСОЙЕ |0; t = 0 РП УПУФПСОЙСН |n; t = fi :
	n; t = fi |0; t = 0			= 0; t = fi |		(a(0) + —)n
						√n!	|0; t = 0 =
		(—)n
	= √n! 0; t = fi |0; t = 0 :							(2.46)

2.3. теыеойс

35

ъДЕУШ НЩ ŒПУРПМШЪПŒБМЙУШ ФЕН, ЮФП a(0)|0 = 0.

йЪ (2.46) ОБИПДЙН УŒСЪШ НЕЦДХ ŒЕТПСФОПУФСНЙ РЕТЕИПДПŒ:

W

0→n

=

|—|2n W

0→0

;

(2.47)

n!

РТЙЮЕН ХУМПŒЙЕ ОПТНЙТПŒЛЙ

n

W

0→n

= 1 ÄÁÅÔ W

0→0

= e−|—|2 . рПМХЮБЕФУС ТБУРТЕДЕ-

МЕОЙЕ рХБУУПОБ

|—|2n e−|—|2

W

0→n

=

(2.48)

n!

У РБТБНЕФТПН |—|2 = e2E2=mh!— 3 (1 − cos !fi ). рТЙ НБМЩИ — ПФŒЕФ УПŒРБДБЕФ У ТЕЪХМШФБФПН, РПМХЮЕООЩН РП ФЕПТЙЙ ŒПЪНХЭЕОЙК, ЛБЛ Й ДПМЦОП ВЩФШ.

дТХЗПЕ ТЕЫЕОЙЕ 6 В. рТЙŒЕДЕН ТЕЫЕОЙЕ, РПЛБЪЩŒБАЭЕЕ УŒСЪШ ЪБДБЮЙ У ЛПЗЕТЕОФОЩНЙ УПУФПСОЙСНЙ ПУГЙММСФПТБ, ПРТЕДЕМСЕНЩНЙ ЛБЛ УПВУФŒЕООЩЕ УПУФПСОЙС

ПРЕТБФПТБ ХОЙЮФПЦЕОЙС a.

йУФПТЙЮЕУЛЙ, ЛПЗЕТЕОФОЩЕ УПУФПСОЙС ŒРЕТŒЩЕ РПСŒЙМЙУШ Œ ЪБДБЮЕ П НЙОЙНЙЪБГЙЙ ‹x‹p ДМС УПУФПСОЙК ПУГЙММСФПТБ, ТБУУНПФТЕООПК ыТЕДЙОЗЕТПН (1926). рПЪЦЕ ПЛБЪБМПУШ, ЮФП ПОЙ РПМЕЪОЩ Й ŒП НОПЗЙИ ДТХЗЙИ УМХЮБСИ. уРЕГЙЖЙЮЕУЛБС ЛППТДЙОБФОП-ŒТЕНЕООБС УФТХЛФХТБ ЛПЗЕТЕОФОЩИ УПУФПСОЙК ЙУУМЕДПŒБОБ Œ ЪБДБЮЕ 3 Л § 23 [2].

рТЕДУФБŒЙН ЗБНЙМШФПОЙБО Œ ŒЙДЕ

H = h!—	a+a + 21 + –(a+ + a) ;	(2.49)

ÇÄÅ – = −eEl0=h!— . œŒЕДЕН ОПŒЩЕ ПРЕТБФПТЩ

b = a + – ; b+ = a+ + – :

(2.50)

рПУЛПМШЛХ [b; b+] = 1, РЕТЕИПД ПФ a Й a+ Ë b É b+ ПРТЕДЕМСЕФ ЛБОПОЙЮЕУЛПЕ РТЕПВТБЪПŒБОЙЕ. рТЙ ЬФПН ЗБНЙМШФПОЙБО УФБОПŒЙФУС ЮЙУФП ПУГЙММСФПТОЩН:

	b+b + 21 − –2 :	(2.51)
H = h!—

œŒЕДЕН УПВУФŒЕООЩЕ УПУФПСОЙС ПРЕТБФПТБ ХОЙЮФПЦЕОЙС b:

b|” = ”|” :

(2.52)

ъДЕУШ ” НПЦЕФ ВЩФШ МАВЩН ЛПНРМЕЛУОЩН ЮЙУМПН. оЕФТХДОП РТПŒЕТЙФШ, ЮФП

−|”|2=2	∞	”n
|” = e		√n! |n ;	(2.53)
	n=0

ÇÄÅ |n | УПУФПСОЙС ЗБНЙМШФПОЙБОБ (2.51), ПФŒЕЮБАЭЙЕ ЬОЕТЗЙЙ En = h!— (n+1=2−–2). œПЪШНЕН УПУФПСОЙЕ ПУГЙММСФПТБ ДП ŒЛМАЮЕОЙС РПМС: a|0a = 0. йУРПМШЪХС УŒСЪШ a Й b, ОБИПДЙН

b|0a = –|0a ;

(2.54)

36		змбœб 2. жхолгйс зтйоб
Б ЪОБЮЙФ,	∞	–n
2
|0a = e−– =2		√n! |nb :	(2.55)
	n=0

тБЪМПЦЕОЙЕ РП УПУФПСОЙСН |nb РПЪŒПМСЕФ УТБЪХ ОБРЙУБФШ ЪБŒЙУЙНПУФШ ПФ ŒТЕНЕОЙ:

|0a (t) = exp −h— Ht |0a = ei(– −1=2)!t e−– =2 n=0

√n!

|nb ;

(2.56)

i

2

2

∞

(–e−i!t)n

Ô. Å.

b|0a (t) = –e−i!t|0a (t) ;

ПФЛХДБ

(2.57)

a|0a (t) = –(e−i!t − 1)|0a (t) :

(2.58)

пВПЪОБЮЙŒ — = –(e−i!t − 1), РПМХЮБЕН

−|—|2=2

∞

—n

|0a (t) = S(t)|0a = e

√n! |na :

(2.59)

n=0

пФУАДБ ОБИПДЙН УФПМВЕГ S-НБФТЙГЩ:

n S(t)

0

= e−|—|2=2—n=√n! : йУЛПНЩЕ ŒЕТПСФ-

ОПУФЙ РЕТЕИПДПŒ ЕУФШ

|

|

−

0→n

n!

n!

m!3h—

m!3h—

W

= e−|—|2 |—|2n =

1

e2E2

(1

− cos

!t)

n exp

e2E2(1 − cos !t)

(2.60)

пУФБМШОЩЕ НБФТЙЮОЩЕ ЬМЕНЕОФЩ НПЦОП РПМХЮЙФШ ЙЪ УППФОПЫЕОЙК ДМС ЪБŒЙУСЭЙИ ПФ

+ + −i!t + + −i!t

ŒТЕНЕОЙ ПРЕТБФПТПŒ: Sb = b Se , Sa = a Se + —S. пФУАДБ

1	1	n|a+Se−i!t + —S|k − 1
n|S|k = √k n|Sa	+|k − 1 = √k
Й РПМХЮБЕФУС ТЕЛХТТЕОФОБС ЖПТНХМБ:
√n		—	n|S|k − 1 :
n|S|k = √k e−i!t n − 1|S|k − 1 − k

(2.61)

(2.62)

рТЙНЕОСС (2.62) ДПУФБФПЮОП НОПЗП ТБЪ, ŒЩТБЦБЕН

n S

k

ЮЕТЕЪ

0

S

0

= e−|—|2=2 É

РПМХЮБЕН ПВЭХА ЖПТНХМХ:

| |

| |

e−|—|2=2

min(m;n)

n!m!

k!(n

−

k)!(m

−

k)! —n+m−2k e−i!kt:

(2.63)

n|S|m = √m!n!

k=0

тЕЫЕОЙЕ 7. йУРПМШЪХЕН РТЙЮЙООХА ЖХОЛГЙА зТЙОБ

G¸˛ = −i T

¸(r; t)

˛+(r ; t ) = ‹¸˛ G ;

(2.64)

ŒŒЕДЕООХА Œ (2.8). рМПФОПУФШ ЮБУФЙГ У РТПЕЛГЙЕК УРЙОБ ¸ ЕУФШ

n

; t

lim

+

(r

; t

)

¸(r

; t

iG

¸¸(r

= r

; t

=

t

+ 0)

(2.65)

¸(r

) = t →t+0

¸

)

= −

2.3. теыеойс

37

(ÐÒÉ t = t − 0 ЙЪ-ЪБ РЕТЕУФБОПŒЛЙ

É

+ РПМХЮЙМПУШ ВЩ n¸ − 1, РП ПРТЕДЕМЕОЙА

ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ). œ ОБЫЕН УМХЮБЕ УЙУФЕНБ ПДОПТПДОБ, Й G ЪБŒЙУЙФ ФПМШЛП ПФ ТБЪОПУФЙ

r − r É t − t . рПЬФПНХ РЕТЕИПДЙН Œ ЖХТШЕ-РТЕДУФБŒМЕОЙЕ:

¸ = − fi →−0

(

";

p)

(2ı)4 =

n

i

lim

G

e−i"fi d3p d"

= −

i lim

∞

4ıp2 dp

+∞ d"

e−i"fi

p0)

;

(2.66)

fi →−0

(2ı)3

2ı "

−

‰(p) + i‹ sign(p

−

0

−∞

ÇÄÅ fi = t − t , ‰(p) = p2=2m − EF .

лПОФХТ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙС РП " ЪБНЩЛБЕН Œ ŒЕТИОЕК РПМХРМПУЛПУФЙ, РПУЛПМШЛХ fi <

0. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÐÒÉ p > p0 РПМАУ ОЕ ЪБИŒБЮЕО:
		2ı " − ‰(p) + i‹ = 0 ;		(2.67)
		d"	e−i"fi
Á ÐÒÉ p < p0 ÚÁÈŒÁÞÅÎ:			e−i"fi
	d"
	2ı " − ‰(p) − i‹ = ie−i‰(p)fi :			(2.68)

ъОБЛ НОЙНПК ЮБУФЙ i‹ ПРТЕДЕМСЕФ, ЪБРПМОЕОП МЙ УПУФПСОЙЕ У ДБООЩН p. у ХЮЕФПН УРЙОПŒПК ДŒПКЛЙ

		p0	4ıp2 dp
	n = 2		(2ı)3		=	p03=(3ı2) ;				(2.69)
		0
ПФЛХДБ ОБИПДЙН p03 = 3ı2n.
тЕЫЕОЙЕ 8 Б. оБКДЕН
	G¸˛ ("; x; x ) = −i			ei"fi T		¸(x)	˛+(x ) dfi;			(2.70)
ÇÄÅ fi = t − t . œ ЙНРХМШУОПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ
		‹¸˛						p2
G¸˛ ("; p) = " − ‰(p) + i‹ sign " ;						‰(p) =		2m − EF :		(2.71)
рПЬФПНХ		("; p) 2ı = −2m‹¸˛					(p − p1)(p − p2) 2ı :
G¸˛ ("; x; x ) =	eip(x−x )G¸˛									(2.72)
			dp					eip(x−x )	dp
рПМАУЩ РПДЙОФЕЗТБМШОПЗП ŒЩТБЦЕОЙС
			p1;2 = ±κ ;							(2.73)

ÇÄÅ κ = 2m(" + EF + i‹ sign "). åÓÌÉ " > 0, ÔÏ p1 МЕЦЙФ Œ ŒЕТИОЕК РПМХРМПУЛПУФЙ, Б p2 | Œ ОЙЦОЕК, Б ЕУМЙ " < 0, ФП ОБПВПТПФ.

38		змбœб 2. жхолгйс зтйоб
рТЙ x > x ЪБНЩЛБЕН ЛПОФХТ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙС УŒЕТИХ:
	2m ei(x−x )p+	im	ip+(x−x )
G¸˛ ("; x; x ) = −2ıi‹¸˛ 2ı 2p+		= −‹¸˛ p+ e		;	(2.74)

ÇÄÅ p+ = κ sign " | ФПФ ЙЪ РПМАУПŒ p1; p2, ЛПФПТЩК ОБИПДЙФУС Œ ŒЕТИОЕК РПМХРМПУЛПУФЙ. рПŒФПТСФШ ŒЩЮЙУМЕОЙЕ РТЙ x < x ОЕ ОХЦОП, РПУЛПМШЛХ G¸˛ ("; x; x ) = G¸˛ ("; x ; x). (ьФП УМЕДХЕФ ЙЪ ЮЕФОПУФЙ G¸˛ ("; p) РП p.) пЛПОЮБФЕМШОП ЙНЕЕН

	im	ip+|x−x |
G¸˛ ("; x; x ) = −p+ e			‹¸˛ :	(2.75)
тЕЫЕОЙЕ 8 В. œ РТЙУХФУФŒЙЙ УФЕОЛЙ ЖХОЛГЙА зТЙОБ G(1) ОБИПДЙН У РПНПЭША
НЕФПДБ ЙЪПВТБЦЕОЙК:
G¸˛(1)("; x; x ) = G¸˛ ("; x; x ) − G¸˛ ("; x; −x ) ;				(2.76)

ЗДЕ G ДБЕФУС (2.75). пВПУОПŒБФШ ФБЛПК ПФŒЕФ НПЦОП ФБЛ ЦЕ, ЛБЛ Й РТЙ ЙУРПМШЪПŒБОЙЙ НЕФПДБ ЙЪПВТБЦЕОЙК Œ ЬМЕЛФТПУФБФЙЛЕ. œ УБНПН ДЕМЕ, G(1)¸˛ ХДПŒМЕФŒПТСЕФ ХТБŒОЕОЙА

(" − H)G¸˛(1)	("; x; x ) = ‹(x − x ) ‹¸˛	(2.77)

Й ЗТБОЙЮОПНХ ХУМПŒЙА G(1)¸˛ ("; 0; x ) = 0, Б РЕТЕИПД Л ЙЪПВТБЦЕОЙСН ПВЩЮОЩН ПВТБЪПН ЪБНЕОСЕФ ЗТБОЙЮОПЕ ХУМПŒЙЕ ХУМПŒЙЕН БОФЙУЙННЕФТЙЙ.

тЕЫЕОЙЕ 8 Œ. œЩТБЪЙН РМПФОПУФШ ЮЕТЕЪ ЖХОЛГЙА зТЙОБ, ОБКДЕООХА Œ ЮБУФЙ В):

( ) = −		fi →−0 Tr	¸˛	(		)		2ı
n x	i	lim	G(1)		"; x; x		e−i"fi	d" ;

ЗДЕ Tr ПЪОБЮБЕФ ŒЪСФЙЕ УМЕДБ. уХННЙТХС РП УРЙОБН, РПМХЮБЕН

−		fi →−0		" − ‰(p) + i‹ sign ‰(p) (2ı)2
n(x) =	2i	lim		e−i"fi (1 − e−2ipx)	dp d" :

(2.78)

(2.79)

рТЙ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙЙ РП ", РПУЛПМШЛХ fi < 0, ЪБНЩЛБЕН ЛПОФХТ Œ ŒЕТИОЕК РПМХРМПУЛПУФЙ. рПМАУ ЪБИŒБФЩŒБЕФУС РТЙ ‰(p) < 0, Ф. Е. РТЙ p2=2m < EF . оБИПДЙН

n(x) = −2i 2

(1 − e−

2ipx

)

2ıi 2

dp :

(2.80)

(2ı)

p

<2mEF

йОФЕЗТЙТХЕН РП p:

p0

1

p0

(1 − e−2ipx)

e−2ipxdp =

n(x) = 2

2dpı = ı 2p0 −

−p0

−p0

1

2p0

−

sin 2p

x

= n0

1 −

sin 2p0x

;

=

ı

x 0

2p0x

(2.81)

2.3. теыеойс

39

ÇÄÅ n0 | РМПФОПУФШ ŒДБМЙ ПФ УФЕОЛЙ. (лПЬЖЖЙГЙЕОФ Œ (2.81) НПЦОП РТПŒЕТЙФШ, РПДУЮЙФБŒ РМПФОПУФШ ЮБУФЙГ ЛŒБЪЙЛМБУУЙЮЕУЛЙ: n0L = 2(2p0L)=2ıh—.)

рМПФОПУФШ n(x) ПВТБЭБЕФУС Œ ОХМШ ОБ УФЕОЛЕ, Б ŒДБМЙ ПУГЙММЙТХЕФ У РЕТЙПДПН

–0 = ıh=p— 0:

òÉÓ. 2.1

уТБŒОЙН УТЕДОЕЕ ТБУУФПСОЙЕ НЕЦДХ ЬМЕЛФТПОБНЙ d = n−0 1 = ıh=— 2p0 У РЕТЙПДПН ПУГЙММСГЙК –0 | ПОЙ ПФМЙЮБАФУС Œ ДŒБ ТБЪБ. ьФП ПФМЙЮЙЕ УŒСЪБОП УП УРЙОПН ЬМЕЛФТПОПŒ. жЕТНЙЕŒУЛЙЕ ЛПТТЕМСГЙЙ, РТЙŒПДСЭЙЕ Л ПУГЙММСГЙСН, ЙНЕАФУС ФПМШЛП ДМС ЬМЕЛФТПОПŒ У ПДЙОБЛПŒПК РТПЕЛГЙЕК УРЙОБ. рМПФОПУФШ ФБЛЙИ ЬМЕЛФТПОПŒ ЕУФШ n0=2 = –−0 1, ЮФП ЛБЛ ТБЪ УППФŒЕФУФŒХЕФ РЕТЙПДХ ПУГЙММСГЙК.

тЕЫЕОЙЕ 9. тБУУНПФТЙН ŒЕТПСФОПУФШ p(t; x) ВМХЦДБАЭЕК ЮБУФЙГЩ ПЛБЪБФШУС Œ ХЪМЕ x ОБ ЫБЗЕ t. œЕТПСФОПУФЙ ОБ ЫБЗЕ t Й t + 1 УŒСЪБОЩ РТПУФЩН УППФОПЫЕОЙЕН:

p(t + 1; x) =		1	|x − |
			p(t; x )	(2.82)
		2n	x =1
(УХННБ ВЕТЕФУС РП 2n УПУЕДСН	ÕÚÌÁ	x). рЕТЕКДЕН Л ЖХТШЕ-ПВТБЪХ		p(t; q) =
	ÄÁÅÔ
eiqx p(t; x). уППФОПЫЕОЙЕ (2.82)

x

p(t + 1; q) = W (q) p(t; q) ;			W (q) =	1	(cos q1	+ : : : + cos qn) :
				n
оБИПДЙН РТПЙЪŒПДСЭХА ЖХОЛГЙА
G(z; q) =		zt p(t; q) =			1	:
	t 0		1	−	zW (q)
œЕТПСФОПУФЙ p(t; x) ŒЩТБЦБАФУС ЮЕТЕЪ G(z; q) ФБЛ:
p(t; x) =	−i		dz	dnq eiqx		;
(2ı)n+1			zt+1	1 − zW (q)

(2.83)

(2.84)

(2.85)

40	змбœб 2. жхолгйс зтйоб

ЗДЕ ЙОФЕЗТБМ РП dnq ВЕТЕФУС РП ПВМБУФЙ −ı < qi < ı (i = 1; : : : ; n), Б ЙОФЕЗТБМ РП z | РП МАВПНХ ЛПОФХТХ, ПИŒБФЩŒБАЭЕНХ ФПЮЛХ z = 0.

фЕРЕТШ, ЮФПВЩ ОБКФЙ ŒЕТПСФОПУФШ ВМХЦДБОЙК ВЕЪ ŒПЪŒТБФБ Œ ОБЮБМП ЛППТДЙОБФ, ОЕНОПЗП НПДЙЖЙГЙТХЕН РТБŒЙМБ ЙЗТЩ. рТЕДРПМПЦЙН, ЮФП ЮБУФЙГБ ВМХЦДБЕФ УМХЮБКОП, ЛБЛ Й ТБОШЫЕ, ОП, ЛБЛ ФПМШЛП ПОБ РПРБДБЕФ Œ ОБЮБМП ЛППТДЙОБФ, ЕЕ ĂХДБМСАФ У РПМСĄ. œ ЬФПН УМХЮБЕ УŒСЪШ НЕЦДХ p(t + 1; x) Й p(t; x) ВХДЕФ ФБЛБС:

p(t + 1; x) =	2n		x =1 p(t; x ) ÐÒÉ		x = 0,	(2.86)
	1	x
	0	| − |		ÐÒÉ	x = 0.
рЕТЕИПДС Л ЖХТШЕ-ПВТБЪХ p(t; q), РПМХЮБЕН				W (k) p(t; k) (2ı)n :
p(t + 1; q) = W (q) p(t; q) −						(2.87)
					dnk
~		t	p(t; q) РПМХЮБЕФУС ХНОПЦЕОЙЕН (2.86) ОБ z				t+1
рТПЙЪŒПДСЭБС ЖХОЛГЙС G(z; q) =	t 0	z
Й УХННЙТПŒБОЙЕН РП t 0. оБИПДЙН				W (k) G~(z; k) (2ı)n
G~(z; q) (1 − zW (q)) = 1 − z						(2.88)
					dnk

ьФП ХТБŒОЕОЙЕ НПЦОП ЪБРЙУБФШ Œ ФБЛПН ŒЙДЕ:

G~(z; q) = G(z; q) + G(z; q)	˚(z; k) G~(z; k) (2ı)n ;	(2.89)
	dnk

ÇÄÅ ˚(z; k) = G−1(z; k) − 1. (ъБНЕФЙН, ЮФП РП ЖПТНЕ ХТБŒОЕОЙЕ (2.89) ОБРПНЙОБЕФ ХТБŒОЕОЙЕ дБКУПОБ (4.9).)

йЭЕН ТЕЫЕОЙЕ (2.89) Œ ŒЙДЕ

~	–(z) G(z; q) ;		(2.90)
G(z; q) =
ЗДЕ –(z) | ОЕЛПФПТБС ЖХОЛГЙС z. рПДУФБŒМСС (2.90) Œ (2.89), ОБИПДЙН
–(z) = 1 − –(z) (G(z; q) − 1) (2ı)n ;			(2.91)
		dnq
ПФЛХДБ	dnq
–−1(z) =
	G(z; q) (2ı)n	:	(2.92)

тБУУНПФТЙН ŒЕТПСФОПУФШ Pt ФПЗП, ЮФП ЮБУФЙГБ ЪБ t ЫБЗПŒ ОЙ ТБЪХ ОЕ ŒЕТОХМБУШ Œ
		ztPt, ÏÞÅŒÉÄÎÏ, ÅÓÔØ
ОБЮБМП ЛППТДЙОБФ. рТПЙЪŒПДСЭБС ЖХОЛГЙС F (z) =
	t 0
~	–(z)
F (z) = G(z; q = 0) =	1 − z		:	(2.93)