Дегтяренко Введение в физику неупорядоченных конденсированных 2011

воды эти озера начнут разрастаться и смыкаться друг с другомI =в= конечном счетеI=образуя связный океанI=омывающий всю системуK==

=

=

РисK=SKNMK=Изоэнергетические контуры в случайном потенциале= (аFX= разрез АА потенциального рельефаI= на котором видны обJ ласти локализованных состояний=EбF=

=

Выше критического уровня= b =Vc в системе имеются= делоJ кализованные= электронные состоянияI= и она способна проводить= электрический ток по цепи дозволенных для движения каналовK=

Задача об определении порогового значения= Vc для= протеJ

кания по континууму= точно решается в случае пространства двух=

r

измеренийK= Поскольку потенциальная энергия= V (o) симметрична=

по отношению к положительным и отрицательным отклонениям от= нулевого среднего значенияI= топология= «разрешенных»= областей= при энергии=b должна быть такой жеI=как и топология=«запрещенJ ных»=областей при энергии=–bK=

N4N=

=

Аналогично решению=порога протекания= pc =NO в задаче о=

протекании по узлам плоской сетки с треугольными ячейками= можно сказатьI= что одновременное протекание по областям обоих= указанных типов невозможноK=Таким образомI=уровень протекания= должен быть= Vc = M K=Это соответствует ситуацииI=в которой разреJ шенная область занимает точно половину всего объемаK==

Это рассуждение не удается обобщить на случай трех измеJ ренийK= Но вполне правдоподобноI= что в континуальной модели= протекание становится возможнымI= когда= «разрешенные»= области= заполняют ту же= критическую долю объемаI= что и в случае регуJ лярных решетокI=составленных из шаровK=В дальнейшем будет поJ казаноI= что эта величина оказывается приблизительно одинаковой= для нескольких решеток различной структурыK=Кроме тогоI=гипотеJ за о томI=что для трехмерных случайных полей=

hc » MKNR =========================================ESK4TF=

согласуется с результатом численного расчета по методу МонтеJ КарлоK=Если теперь проинтегрировать распределение=ESK4SFI=выбрав= верхний предел интегрирования такI= чтобы объем разрешенных= областей под соответствующим уровнем составлял указанную доJ лю полного объемаI=то получим=

Vc » -W K==================================ESK48F=

Это соотношение дает приближенный рецепт определения порога=

протекания в гауссовом случайном поле с дисперсией= WO K= Его= можно рассматривать и как оценку положения= края подвижности= для электронов в такой системеK=

=

N4O=

=

РАЗДЕЛ=T=== ПЕРКОЛЯЦИЯ=

=

T.N=Введение.=Терминология=

=

Термин= «перколяция»= использовался для противопоставлеJ ния диффузииK=Если в случае диффузии имеем дело со случайным= блужданием частицы в регулярной средеI= то в случае перколяции= речь идет о регулярном движении= EнапримерI= течении жидкости= или токаF =в случайной средеK =ОказалосьI =что перколяция является= удобной моделью для описания широкого класса явленийI=которые= принято называть критическимиK=В химии теория перколяции приJ меняется для описания процессов полимеризации или связывания= маленьких молекул в макромолекулы= EгелиFK= В биологии распроJ странение эпидемий можно описать с помощью модели связейK=Эта= же модель описывает пожар в лесуI=если вероятность передачи инJ фекции от больного животного к здоровому заменить на вероятJ ность распространения огня от горящего дерева к соседнемуK=КроJ ме тогоI= теория находит широкое применение для описания разJ личных неупорядоченных систем в химии и физике:= пористые и= аморфные материалыI=включая и тонкие пленкиX=неупорядоченные= ионные проводникиX=галактические структурыK== С другой стороныI= задача оказалась весьма интересной и с точки зрения чистой матеJ матикиK=

Большинство результатов теории перколяции получено в реJ зультате компьютерного моделированияK= ВыяснилосьI= что теория= перколяции имеет точки соприкосновения с рядом новых и Jпер спективных направлений наукиI= напримерI= перколяционные проJ цессы могут приводить к самоорганизации и образованию струкJ турK= ОбъектыI= которые образуются при перколяцииI= являются= фракталамиK=

Несмотря на тоI=что в теории перколяции получен ряд строJ гих результатовI=а в ее применении достигнуты значительные успеJ хиI= она находится еще в процессе становленияI= многое еще предJ стоит понятьI=доказатьI=применитьK=

N4P=

=

Слово= перколяция= (регсоl~tionF= означает протеканиеK= В русJ ской литературе можно встретить различные названия этой теории:= теория перколяции или теория протекания и даже теория просачиJ ванияK= ПожалуйI= наиболее распространенными задачами теории= перколяции являются= решеточные задачи: задача узлов и задача==

связейK=

Решеточные модели в первую очередь представляют интерес= с теоретической точки зренияI=именно для них доказан ряд строгих= утверждений и соотношенийK= К настоящему времени процессы= протекания на решетках изучены и поняты достаточно хорошоK==

Рассмотрим бесконечную квадратную сеткуK==

=

РисKTKNK=Задача узлов=EаF=и задача связей=EбF=на квадратJ ной решетке=

Назовем точки пересечения линий=узлами=(в математических= работах их обычно называют= вершинамиI= в старых статьях можно= встретить термин=атомFK=Сами линии будем называть=связями=(маJ тематики используют термин=реброFK=

В задаче связей ищут ответ на вопрос : =какую долю связей= нужно удалить=EперерезатьFI=чтобы сетка распалась на две части?=В= задаче узлов блокируют узлы= Eудаляют узелI= перерезают все вхоJ дящие в узел связиF= и ищутI= при какой доле блокированных узлов= сетка распадется=EрисK=TKNFK=ПонятноI=что квадратная сетка является= только одной из возможных моделейK=Можно рассматривать перкоJ

N44=

=

ляцию на треугольнойI=шестиугольной сеткахI= деревьяхI= трехмерJ ных решеткахI= напримерI= кубическойI= в пространстве с размерноJ стью больше трехK=Сетка не обязательно должна быть регулярнойK= Рассматриваются процессы и на случайных решеткахK=

Цепочка связанных объектовI= напримерI= черных квадратовI= называется в теории перколяции= кластерK= КластерI= соединяющий= две противоположные стороны системыI= называется= перколяционJ нымI=бесконечнымK==Изучение свойств бесконечного кластера=J еще= одна из задач теории перколяцииK=Ниже порога перколяции имеютJ ся только= кластеры конечного размераK= В теории перколяции расJ сматриваются также следующие вопросы=EрисKTKOF:=

-структура субкритической и суперкритической фазX=

-что происходит вблизи порога перколяцииX=

-какова структура перколяционного кластераX=

-каковы значения и свойства различных макроскопических веJ личинI=какI=напримерI=средний размер кластераX=

-что происходит при изменении структуры решетки и размерJ ности пространстваK=

а==============================================б===========================================в=

РисK= TKOK= Перколяционная задача узлов на квадратной решеткеW= = = = = =

а=J= x Y xc X=б=J= x » xc X=в=J= x [ xc =

В= континуальной перколяции= рассматриваются задачи жестJ ких и пересекающихся сфер или эллипсоидовI=положения которых= в пространстве не ограничены жесткими рамками периодической= решеткиK= ПустьI= напримерI= на проводящей плоскости вырезаны= круглые дырыI=центры которых распределены по плоскости хаотичеJ

N4R=

=

скиK= При некоторой критической концентрации дыр проводящая= плоскость станет изоляторомK= Модели такого рода позволяют опиJ сатьI=напримерI=прыжковую проводимость в полупроводникахK=

T.O.=Задачи перколяции на регулярных решетках=

=

Пример=NK=NPT×NPT=решетка=EmhysKoevK=N9T4=ВатсонI=ЛисF=

В этом эксперименте= EрисKTKPF= определялосьI= при каком коJ личестве светлых узлов прекратится протекание тока по системеK= На рисKTKP= блокированные узлы показаны черными кружкамиI= а= неблокированные= –= светлымиK= Черный узел означает разрыв конJ такта между четырьмя проволокамиI= которые связывают узелI= светлый узел сохраняет контактK=Через черные узлы электрический= ток не течет ни в каком направленииI=через светлые узлы ток течет=

в любом направленииK=

	uc =	kсв	=	число неблокированных узлов	K=
		k м		полное число узлов
				=

РисK= TKPK= Схема эксперимента Ватсона и ЛисаI= исходная= сеткаI= количество узлов на рисунке сильно уменьшено= EаFX= кусок= сетки с блокированными узлами=EбF=

N4S=

=

ЗначениеI= вычисленное в результате нескольких испытанийI= оказалось равно uc » MIR9 K= ОднакоI= очевидноI= что на конечной реJ шетке значение порога= –=величина случайнаяK= НапримерI= на конечJ ной решетке всегда существует конечная вероятность появления миJ

нимального значения порога= Eдля решетки= NPT×NPT= uсmin = N FI= NPT

одна линия осталась неповрежденнойK= Можно сделать следующие выводы:==

-в данной задаче порог был случайной величинойX==

-необходимо усреднение по реализациям разрезанияK=

-порог зависит от полного числа узлов системеK=

Если система бесконечнаI=то предел= lim @ MIR9 оказывается=

k ®¥

достоверной величинойK==

Рассмотрим это на решетке=O×O=EрисKTK4FK=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

РисK=TK4K=Расчет сетки=O×OW=а=–=исходная сеткаX=б=–=блокироJ ван один узелX=вI=гI=д=–=блокированы два узла=

В случае=вF=ток прерывается после тогоI=как блокирован треJ тий узелI=так что= xc =N4 K=В случаях=гF=и=дF=ток прерывается после= тогоI=как блокирован второй узелI=так что= xc =NO K=Три случая=вFI=гF= и=дF=равновероятныK=

N4T=

=

Легко понятьI=что в этой задаче вероятность реализации поJ рога= xc =N4 равна= t (xc =N4) =NP I= а= xc =NO = –= t (xc = NO) = OP K=

Среднее значение вероятности: uc = åuct (uc ) = R L NO = MK4 I=

дисперсия=Jd O EO ´ OF = åE u cO - uc O FX d O E u c F =NL TO K=

Пример= OK= Рассмотрим еще одну модель= –= магнетикK= На= рисKTKR==представлен разбавленный магнетик=Eатомы со спином буJ дем называть светлымиI=а без спинов=–=темнымиFK=Будем называть= два магнитных атома=связанными друг с другомI=если они стоят ряJ домI=или если они соединены цепочкой стоящих рядом магнитных= атомовK=На рисKTKR=магнитные атомы образуют один кластер из чеJ тырех атомовI=один кластер из двух атомов и пять кластеров из одJ ного атомаK= Границы кластеров показаны штриховыми линиямиK= Моменты разных кластеров могут быть направлены в разные стоJ роныK=

=

РисK=TKRK=Кусок плоской решетки с магнитными=EсветлымиF=и= немагнитными=EтемнымиF=атомами=

В нарисованной реализации системы протекания не будетK==

	ˆ
m (u )= lim	kсветл (k )
	K=
k ®¥	k

N48=

=

ˆ

Здесь= kсветл =–=количество светлых узловI=принадлежащих самому=

большому кластеруK= По определению= u = kсв K= ОчевидноI= что=

kполн

при=u=Z=N=вероятность существования бесконечного кластера равна= единице====mENF=Z=N=EрисKTKSFK=При определенной концентрации светJ лых узлов возникает бесконечный кластер I =т.еK =существует порог= uc K=Здесь следует отметить несколько моментовK=

NK Существует порог= ucI= при котором возникает= = бесконечJ ный кластерK=

OK ПредположимI=что= uc ~NK=ПричинI=по которым некоторый= узел не принадлежит бесконечному кластеруI=может быть две:=

аF=если он темныйI=то вероятность такого события=tN : (N - u ) X= бF=если он светлыйI=то вокруг него должны быть только темные=

узлыI= т.еK= t : (N - u z)I= здесь= z= –= число ближайших соседейK= ПолJ
	O
ная вероятность событияI=что данный узел принадлежит бесконечJ
ному кластеру:= mEu F =N-nEu F					или= mEu F =N - EN - u F - EN- u Fz » u K=
PK	При=	u Y u c в		системе существуют только конечные=
кластерыK=Бесконечных кластеров нетK=
4K	При=	u = uc		светлые		узлы	изолированыK= Кратность=
кластера=К=»=NK=
RK	При=	kполн ® ¥ = Eбесконечная					системаF= справедливо=
представление о достоверном значении порога протеканияI=тK=еK=это=
значение	не		зависит	от	той	последовательностиI=			которой=
происходит		случайная		расстановка магнитных и немагнитных=
атомов= Eсуществует маловероятная						реализация		прямого	путиI= но=
вероятность		эта	крайне	мала FK =В конечной				системе	четко =

определенного порога нетK=Есть область шириной= dEk F I=в которую=

попадают пороги протекания при разных реализацияхK=Увеличение= размеров системы приводит к стягиванию этой критической= области в точку=

N49=

=

uc = lim (u c (k )) = MIR9 K= k ®¥

=

= = = = = =

=

РисKTKSK= Фрагмент плоской решетки с магнитными= EсветJ лыеF= и немагнитными= EтемныеF= атомами в случае большой конJ центрации магнитных атомовK=Все магнитные атомы за исключеJ нием атома В принадлежат одному кластеру и имеют одинаковое= направление магнитных моментов=

SK Из обобщения результатов численного моделирования на=

	ЭВМ полученоI=что==	`	= dEk F I=здесь=k=J=число узлов в системеI=
		k v O

ν=–=индекс радиуса корреляцииI=С=Z=MKR4I=ν=Z=NKPK=

TK Порог протекания является самоусредняющейся= величинойK=

=

T.P.=Перколяция на решетке Бёте=

=

Рассмотрим решётку БётеI= представляющую собой= искусственную математическую модельI= для которой можно= получить точное решениеK= Решётка Бёте представляет собой= регулярное деревоI= одним из свойств её является тоI= что веточки= связей не пересекаются=EсмK=рисK=TKTFK=

NRM=

=