Дегтяренко Введение в физику неупорядоченных конденсированных 2011

=

РисK=OKNOK=Граница встречных доменов=Eпунктирная линияF=

=

O.T. Размер и области упорядочения и= упорядоченные домены=

=

Из вышесказанного следуетI= что числа заполнения узлов заJ мещаемой решетки не полностью определяются параметрами= ближнего и дальнего порядков=EOKSFI=EOKTF=и=EOKNSFK=СистемаI=в котоJ рой происходят кооперативные явленияI= обладает следующим хаJ рактерным свойством:= даже очень короткодействующие силы моJ гут привести к распространению порядка на довольно большие= расстоянияK= ОднакоI= надо сказатьI=что при данной температуре эти= расстояния могут быть и не бесконечно большимиK= Для описания= таких состояний с промежуточным порядком необходимо изучить=

uuuur

поведение корреляционной функции= G(olIl¢ ) в зависимости от=

расстояния между узлами решетки=EрисKOKNPFK= Как можно видеть в= дальнейшемI= различные теории критических явлений приводят =к различным типам зависимости этой функции от расстояния=oI=темJ пературы и обменного параметра= gK= На больших расстоянияхI= одJ накоI=всегда получаются выражения вида=

G(o )~ o-n ×exp(- ox ========================EOKNTF=)

RN=

=

=

РисK=OKNPK= Функция ГEoF= J= характеристика ближнего порядкаI= рассчитанная для последовательных координационных сфер в J би нарном сплавеK= Кривая хорошо описывается плавной функцией вида= EOKNTF=

=

Показатель степени= n зависит от размерности решетки и от = природы сил взаимодействияX= главную рольI= однакоI= здесь играет= показательная функцияI= которая очень быстро убывает на расстояJ нияхI=превышающих корреляционную длину=xK=Последняя величиJ наI=или связанная с ней длина=iI=определяемая соотношением=

iO = òoO ×G(o )× d PoòG o ×(d P)o I= EOKN8F=

как раз и характеризуют размер области упорядочения в рассматJ риваемом материалеK=

Таким образомI= температурная зависимость= x описывает изJ менение=«хаотичности»=магнитной системы или сплаваK=При очень= высоких температурахI= когда= x стремится к нулюI= рассматриваеJ мый ансамбль совершенно неупорядоченK= При понижении темпеJ ратуры возникает ближний порядок= Eв пределах одной= –= двух поJ

RO=

=

стоянных решеткиFK= При более низких температурах величина= x= становится очень большой и описывает критические флуктуации= спина или концентрацииK=ТемператураI=при которой длина= x обраJ щается в бесконечностьI= соответствует установлению дальнего поJ рядка=–=это есть критическая температура перехода порядок=–=бесJ порядок= qc = Eв ферромагнетике это температура КюриI =в антиферJ

ромагнетике= –= = температура НееляFK= При температурах ниже= qc = предельное значение= G¥ =оказываетсяI=отличным от нуляI=и система= находится в упорядоченном состоянииK=

Размер области упорядочения можно непосредственно измеJ рить дифракционными методамиK=Температурная зависимость корJ реляционной длины=x вблизи температуры= qc исследовалась весьJ ма тщательно=EрисKOKN4FK==

=

РисKOKN4K= Температурная зависимость параметров типичJ ного ферромагнетикаW= G¥ = –= параметр дальнего порядкаX= GpIo = –=

параметр ближнего порядкаX= `m = –= удельная теплоемкостьI= c= –= восприимчивость=

=

Вместе с тем одной лишь скалярной корреляционной функJ ции= EOKNTF =еще не достаточно для описания локального порядка в =

uuuur

классической системе спиновых векторовK=Пусть величина= G(olIl¢ )=

для ближайших соседей оказалась лишь немного меньше своего=

максимально возможного значения= p	l	×p	¢ K =Зная только это I =
		l

RP=

=

нельзя сделать выбор между двумя возможностями:=в системе есть= лишь малое число соседних атомов с перевернутыми спинамиI=лиJ

бо темI= что спины всех соседних узлов слегка отклонились= от направления вектора= pl =EрисK=OKNRFK=

В действительности интересующая нас информация содерJ жится в двухузельной функции распределения= mO (plIpl¢ ) K= ПоJ

следняя определяет вероятность найти два спина= pl и= pl¢ в двух= указанных узлахI= принадлежащих любой системе из данного анJ самбляK==

=

=

РисK= OKNRK= Одно и то же значение локального параметра=

uuuur

G(olIl¢ ) может описывать почти упорядоченное состояние с неJ

сколькими перевернутыми спинами= EаF= или с большим числом отJ клоненных спинов=EбF=

=

Даже в простейшем случаеI =когда эта вероятность зависит= только от угла= q между направлениями спиновI= корреляционная= функция дает лишь среднее значение=cosq:=

plIpl¢	= òòpl ×pl¢ × mO (plIpl¢ d)pl × dpl¢ ~	EOKN9F=
	=
~ p O òcos q× mO Ecos qF × d Ecos qFK
Т.еK= функция	корреляции= ГEoFI= представляющая собой	интеграл=

mO I=содержит менее подробное описание системыI=чем функция= mO K=

R4=

=

При температурах, близких к критической температуре Tc ,

когда размер области упорядочения достаточно велик, длину ξ можно рассматривать как характерный размер кластера одинаковых атомов или упорядоченного домена. Однако при более скромной степени локального порядка ошибочно представлять себе образец как совокупность упорядоченных областей в неупорядоченной матрице.

Как это ни парадоксально, но, обратившись к изучению упорядоченных доменов, можем вместе с тем убедиться, что почти каждый атом принадлежит бесконечному домену с идеальным АB- упорядочением (рис. 2.16).

Рис. 2.16. К чему относится выделенный атом: к кластеру, состоящему из атомов только типа А, или к области идеального порядка типа АВ

Такие «кластеры» или «домены» взаимно проникают друг в друга, образуя очень сложную топологическую структуру.

Бесконечная система полностью описывается только значением функционалом распределения бесконечного порядка.

Для описания доменной границы нужно знать как минимум 4-частичную функцию распределения 4 (SA,SA′,SA′′,SA′′′).

2.8. Спектральный беспорядок

JJG

Пусть произвольная случайная переменная uA соответствует узлу решетки с номером A . Роль этой переменной может играть,

55

например, магнитный момент локализованного спина или смещение атома из своего узла. Предположим, что рассматриваемая физическая модель обладает трансляционной инвариантностью решетки. Тогда можно ввести новые переменные с помощью преобразования Фурье:

	G	1	GG		1
	U (q )=		∑uAeiqA , uA	=
		N			N
			A

GG

∑ (G) −iq

U q e A .

G

q(позначениям взонеБриллюэна)

Рассмотрим

статистическую

корреляционную

функцию:

G

Γ(h )= uA*uA+h

. Для нее можно получить:

Γ(h )≡ uA*uA+h = 1 ∑uA*uA+h =

G

N

A

G

G

G

1

1

G

G

1

G

−

G

′′

+

′

=

∑

∑U (q′)eiq

A

∑U

(q′′)e

iq

(A

h) =

N

N

N

A

qG′

qG′′

= 1 ∑∑U (qG′)U (qG′′)e−iq′′h
		G	G
	N	G G
		q′ q′′
	1	GG
=		∑U (qG)U (qG)e−iqh .
	N
		G
		q

1		G G G		.
	∑e	iA(q′−q′′)	=
N
	A

Корреляционная функция представляет собой фурье-образ квадрата спектральной амплитуды возбуждения. (Эта теорема оказывается верной и в общем случае). При соответствующих условиях спектральное представление беспорядка заметно упрощает задачу.

Введем дополнительную гипотезу: пусть амплитуды мод

G	статистически независимы для разных	G	. Такую систему
U (q)		q

можно рассматривать как спектрально неупорядоченную. Действительно, статистические свойства ее определяются скорее перемен-

56

ными в обратном пространствеI=а не в пространстве узловK== Рассмотрим модель спектрального беспорядка на примере=

задачи о спиновых волнах в ферромагнетикеK= Будем исходить из= системы с гамильтонианом:=

		N	r r	r r
	e = -		å g (oll¢ p)lpl¢ - måple I=
		O
			lIl¢	l

предполагаяI= что она близка к идеально упорядоченному состояJ ниюI=когда параметр дальнего порядка близок к единицеK=

r

Переменная= ul будет обозначать амплитуду отклонения спиJ

на от максимального значения=	(z )	= pM K= Введем операторы рожJ
	pl

дения и уничтожения спиновой волны=–= aq+ I aq K=

Продольная спиновая корреляционная функция задается выJ ражением:==

(z ) (z )	O		N	+		r r
		- OpM			e	iqo	K=
pl pl+o	» pM		k	å aq aq
				q

С помощью стандартных линейных преобразований можно= привести гамильтониан к виду:=

e = åhwqaq+aq K= q

Пусть обменное взаимодействие распространяется только на= z= ближайших соседейI= находящихся на расстоянии= aK= Далее запиJ шем выражение для спектра магнонов:==

r	(	rr	)
r
hwq = åOpg (h ) N - e-iqh				+	m	ep K=

h

Поскольку в последующих выкладках будем работать в облаJ сти малых=qI=то можем разложить экспоненту по аргументу и расJ крыть сумму по взаимно противоположным соседям:=

hwq » z Op (N-N + iqa + qOaO )+ z Op (N -N - iqa + qOaO )+ mep =

O O =

= OpzgaOqO + mepK

RT=

=

Средний квадрат амплитуды илиI= что то же самоеI= магнонное= число заполнения выражается через обычную функцию распредеJ ления:==

aq+aq = nq = éëexp(hwq kq -Nùû-N)K=

В приближении= hwq << kq получим=

nq » kq hwq K=

Рассмотрим корреляционную функцию при больших=oK=СумJ му теперь можно заменить интеграломK= УчитываяI= что основной= вклад дадут слагаемые с малым=qI=получим:=

N

rr

kq

s

rr

(

z

)

z

)

+

eiqod Pq

(

iqo

pl

pl+o ~ k åq

aq aq e

»

ò

~

(Op P)

k

OpgzaOqO +

m

ep

EOKOMF=

rr

I=

~ ò

eiqo

dPqI

q

O

O

+ c

где= cO =

m

ep

K=

OgzaO

В

последнем

интегралеI= переходя

к сферическим

координаJ

тамI=запишем:=

r r

Opp¥

iqo cos q

¥

iqo

-iqo

e

iqo

Op

e

- e

ò

dPq = ò òò

e

qOdq sin qd qdj =

ò

qdq =

q

O

+ c

O

O

+ c

O

io

q

O

O

M M M

q

M

+ c

Op

+¥

eiqo

Op

¶

+¥

eiqo

Op

¶

e-co

=

ò

qdq = -

ò

dq = -

Opi

=

io

O

O

O

O

Oic

-¥ q

+ c

o ¶o

-¥ q

+ c

o ¶o

= OpO e-co K o

Таким образомI=продольная спиновая корреляционная функция=

pl(	z	z	~	N	r r
		)pl+( o)		k	å aq+aq eiqo =
					q

R8=

=

пропорциональна= e-co I=причем характерная длина ее изменения=

o
	N		OgzaO
(длина корреляцииF= lхар ~		=		K=============================EOKONF=

cmep

При= e ® M I= lхар ® ¥ K=ВидноI=чтоI=поскольку= lхар ~ g I=то чем= больше взаимодействие между спинамиI=тем дальше в системе расJ пространяется корреляцияK=

=

O.9.=Термодинамика ячеистого беспорядка=

=

Рассмотрим магнетик==в модели Изинга=

H = - N		ååg × pl	× pl¢ - e åpl I=
{		r	r	r	r
	O	¢			l
		l l

r

где= e –=внешнее полеX=g=–=интеграл перекрытия характеризует взаJ имодействие спиновK=

Простейший феноменологический подход к этой проблеме:=

априори предполагаетсяI= что среднее значение каждого спина=

r

p ¹ M I= а затем показываютI= что этой величине отвечает самосоJ

гласованное полеI=действующее на каждый спинK=Эффективное поле=

® r r e эф = z × g × p + e I=

здесь=z=–= координационное число решеткиK= В результате получаем= приближение среднего поля:=

{® r

H= -åe эф ×pl K=

Вприближении термодинамического равновесия среднее= значение спина равно=

R9=

=

ì r ® ü

ppïíplebpl e эф ïý

		r		ï			ï		N
		p	=	î			þ I== b =			K=
				ì	r ®				kq
							ü
				ï	bp e	эф	ï
				pp íe			ý
				ï			ï
				î			þ
Если рассмотреть упрощенную модель ИзингаI=то=
	r
ENF	pl	= ±N=
EOF	r
	e Z=MI==
тогда=EрисKOKNTF=					ebzg - e-bzg
			r	= i =					æ zg ö
			p		ebzg + e-bzg			= th ç		÷ K==========EOKOOF=
									è kq ø
										=
РисK=OKNTK=Температурная зависимость параметра порядJ
ка Изинга в приближении среднего поля=
=
Теория	среднего		поля= –=		приближение				когерентного поля=

®

e эф =–=когерентная=часть статических флуктуационных полейI=дейJ

ствующих на каждый спин со стороны ближайших соседейK= Это= обменное взаимодействиеK=Это приближение полностью описывает=

SM=

=