Дегтяренко Введение в физику неупорядоченных конденсированных 2011

ким образомI= рассматриваемый тип беспорядка подчиняется топоJ логическим ограничениямK= Последние несколько изменяют статиJ стические свойства распределения протонов вблизи любого данноJ го узлаK==

=

РисKOK9K= «Прямоугольная вода»K= Конфигурация протонов в= узле с координатами=EuIvF=определяется конфигурациями на строJ ке=u=и в столбце=v=

=

Данная модель для льда представляет собой частный случай= целого класса систем с водородными связямиK=Ионные соединения= –=гомологи КНOРО4=EhamF=J=кристаллизуются в сложной структуреI= в которой ионы= EРО4FJP занимают узлы тетрагональной решетки= алмазаK=Каждый ион фосфата связан с четырьмя ближайшими сосеJ дями при помощи протонаI=который может находиться на том или= другом конце связиK=Как и у льдаI=неупорядоченным конфигурациJ ям протоновI= удовлетворяющим условию льдаI= соответствует= большая остаточная энтропияK= Значение последней для топологии= алмаза точно такое жеI=как и для гексагональной решетки льда со= структурой вюрцита=EрисKOKNMFK=

4N=

=

=

РисK=OKNMK=Структура дигидрофосфата калия=EhamFK= КажJ дый тетраэдр= EmlQF= связан с каждым из четырех его соседей= с помощью протонаI= который может смещаться к любому концу= связиK= Двухямная потенциальная поверхность= –= одна из моделей= сегнетоэлектриков=

=

O.4.=Метрика ячеистого беспорядка=

=

Идеальный ячеистый беспорядок встречается редкоK=Для того= чтобы это понять достаточно рассмотреть обычный сплав= замещения:=здесь на фоне ячеистого беспорядкаI=связанного с= присутствием атомов разных сортов в узлах решеткиI=всегда= присутствует элемент топологического беспорядкаI=связанный с= темI=что атомы разных сортов имеют разный размерI=что в свою= очередь вносит искажения в структуру самой решеткиK=

Рассмотрим неупорядоченный сплав=^BK=Пусть= k AB =–=число= пар=АВ в сплавеK=Тогда вероятность==

=m=	Z= lim	(	k	AB	L EN wk F	)	=
AB	k ®¥				O
–= есть вероятностьI= с которой можно встретить							в сплаве смешанJ
ную пару=ABK=

4O=

=

Если корреляции не учитываютсяI=то= m= G	Z=O ×`	A	×`= =Eтак=
AB			B

называемая модель случайной засыпкиFK=Коэффициент=O=возникает= из-за тогоI= что рассматривается возможность расположения пары= AB сначала на одной подрешеткеI=затем на другойK=

Меру наличия корреляций можно определить следующей= функцией:==

GAB =Z= N РАВ - САСВ K=======================EOKRF= O

Функция= GAB показываетI= насколько величина= mAB отличаJ ется от соответствующей величины в модели случайной засылкиK=

Величину ближнего порядка ранее определили как==

		N	РАВ - САСВ
=s= Z=		O					K=
		Р	m~x - `		`
	N
	O		АВ	A		B

ОтметимI=что= GAB отличается от=s лишь перенормировкойK=

Если попытаться рассматривать корреляции за пределами=NJй= корреляционной сферыI= то можно ввести корреляционную функJ цию как=

G(o= )Z= NO Р (R )- САСВ K==============================EOKSF=

Следует ожидатьI =что она будет спадать до нуля при увелиJ чении расстояния=oK=

Чтобы выражение типа=EOKSF=имело смыслI=надо взять среднее= по ансамблюI= составленному из квазибесконечного числа копий= рассматриваемой системы= Eэти средние будем обозначать угловыJ ми скобками= FK= Далее надо воспользоваться какой-нибудь из=

эргодических теорем и приравнять результат усреднения поJ ан самблю среднему по времени или по пространству для данного= макроскопического образцаK==

НапримерI= рассматривая магнитную системуI= можно ввести= корреляционную функцию для направлений спинов в узлах= l и= l¢ I= разделенных расстоянием= olIl¢ Ее удобно записать в виде=

4P=

=

GEolIl¢F = pl × pl¢ - pl × pl¢ ===============================EOKTF=

=

O.R.=Применение модели Изинга для различных= неупорядоченных систем ячеистого беспорядка=

=

Рассматривая эти переменные= plI pl¢ как спины ИзингаI= поJ лучаем удобный аппаратI=который можно применить к случаю биJ нарного сплаваK=ТакI=отрицательное значение= GEolIl¢F соответствуJ

ет избытку атомов с противоположными= «спинами»= EтK= еK= атомов= противоположного типаF= в рассматриваемых узлахX=в противном= случае преобладают атомы того же самого типа=EрисKOKNNFK==

=

O.R.N.=Магнетики=

=

Ближний порядок возникает за счет короткодействующих=

сил взаимодействия между атомами или спинамиK= НапримерI= в=
случае магнетика вводится гамильтониан ГейзенбергаI= состоящий=
из суммы слагаемых вида= HlIl¢ = -glIl¢ × pl × pl¢ K=
Они описывают взаимодействие между спинамиI= располоJ
женными в узлах l и= l¢ K=По условию при обменном интеграле= g	¢ =
	lIl

стоит знак минусI= так что случаю ферромагнитного упорядочения= (тK= еK= параллельным спинамF= соответствует положительное значеJ ние=gK=В полный гамильтониан системы вводится и слагаемоеI=опиJ сывающее влияние внешнего магнитного поля на магнитный моJ мент каждого спина==

		N		uur
	H = -		åglIl¢ × pl × pl¢ - måpl × e K==============EOK8F=
		O
			lIl¢	l

44=

=

=

РисK= OKNNK= Конфигурация частиц в модели Изинга= EаFK= Она= может описыватьW=расположение спинов=EбFX=расположение атоJ мов в бинарном сплаве= EвFX= расположение частиц в решеточном= газе=EгF=

=

В общем случае обменный интеграл= glIl¢ может как угодно =

зависеть от направления и длины вектора= olIl¢ K=Однако чаще всего=

имеют дело с моделямиI=в которых этот интеграл считается отличJ ным от нуля только для ближайших или ближайших и следующих= за ними соседейK= Для некоторых особых типов кристаллов можно= ввести анизотропное взаимодействиеI= рассматривая= g как тензор K = При этом=

HlIl¢ = -gP × plE zF × plE¢zF - g^ ×EplE xF × plE¢xF + plE yF × plE¢xF F K= EOK9F=

Гамильтониан модели Изинга получается отсюдаI=если налоJ

жить на спины условие квантования= plEzF и пренебречь величиной= g^ K=Переобозначив соответствующие переменныеI=получим=

4R=

=

	H = -	N	åglIl¢ ×sl ×sl¢ -		× e E zF ×åsl K=	EOKNMF=
				m
		O
			lIl¢		l

=

O.R.O. Сплавы=

=

Модель Изинга можно использовать для описания межатомJ ных взаимодействий в бинарном сплавеK= ДопустимI= напримерI= что= парам атомов= ААI= АВ и= ВВ отвечают соответственно энергии= fAA I=

fAB I=fBB K=Тогда полная энергия системы запишется в виде=

b = k AA ×fAA + kBB ×fBB + k AB ×fAB =

При этом числа пар каждого типа ограничены соотношениями= Ok AA + k AB = z × k A = и== OkBB + k AB = z × kB K=

ДалееI=по условиюI=число=s=равно=HN=или=JN=в зависимости от тогоI= занят ли данный узел атомом типа=А=или=BK=Отсюда вытекает дальJ нейшее соотношение:=

åsl = k A - kB I= ååsl × sl¢ = O(k AA + kBB - k AB ) =

ll l¢

Соответственно для энергии получаем:=

b = -

N

æ

N

N

ö

ååsl × sl¢ -

çfAB -

fAA

-

fBB

÷

×

4

O

O

è

ø

l l¢

=

EOKNNF=

z

z

N

N

-

(f

-f

× ) s

l

+

æf

-

f

-

f

öK

4

BB

AA

å

4

ç

AB

O

AA

O

BB ÷

l

è

ø

С точностью до постоянного слагаемого это выражение совJ падает с правой частью формулы= EOKNMFK= Таким образомI= ближний= порядок в сплаве будет таким жеI =как и в магнетике ИзингаI =если= роль= «обменного интеграла»= и напряженности магнитного поля= играют соответственно выражения=

g =

N

æf -

N

f -

N

f

ö I=

× e Ez F =

z

(f -f K=

)

m

ç

AB

O

AA

O

BB ÷

4

BB AA

O è

ø

НапримерI=если=g=[=MI=то атомы данного сорта стремятся объJ единиться в кластерыI= подобно томуI= как в ферромагнетике предJ

4S=

=

почтительной оказывается параллельная ориентация спиновK= С= другой стороныI= при= g= Y=M= наблюдается тенденция к образованию= пар неодинаковых атомов= J= соответственно противоположным= спинам в антиферромагнетикеK=ОднакоI=если энергияI=необходимая= для замещения атома= А= атомом= ВI= не зависит от состояния блиJ жайших соседей и величина= g обращается в нульI =то система окаJ зывается совершенно неупорядоченнойK=

В случае=«решеточного газа» выражение для энергии дается= по-прежнему формулой= EOKNNFI= только под= fAA теперь надо пониJ мать энергию взаимодействия между атомамиI= а равенство= fAB = Z= fBB =Z=M=обозначает энергииI=связанные с наличием=«дырок»K==

=

O.R.P. Сегнетоэлектрики=

=

Аппарат теории спинов Изинга можно также использовать =в теории сегнетоэлектриков и антисегнетоэлектриковI=но в этом слуJ чае необходимо описывать как минимум тетрагональную решетку= и взаимодействие четырех протоновK= Опуская выкладкиI=приведем= вид получаемого гамильтониана:=

Hl = -gM - åå già × sli ×slà - gT ×slN × slO ×slP × sl4 K======EOKNOF=

à iY à

Параметры= gM I= già I= gT можно выразить через энергииI=соотJ

ветствующие различным локальным конфигурациямK= ОчевидноI= что взаимодействие между четырьмя спинами= Eс параметром= gT F=

учитывать необходимоI= в его отсутствие модель становится физиJ чески неправдоподобнойK= К сожалениюI= именно это слагаемое =и мешает созданию точной теории перехода порядок= –= беспорядок= даже для плоской решеткиK=

=

O.S.=Дальний порядок=

=

Рассмотрим некоторые обобщения ранее представленных реJ зультатовK= НапримерI= классическую магнитную систему с гамильJ

4T=

=

тонианом=EOK8FK= Если обменный интеграл= g положителенI= то миниJ

мум энергии системы соответствует ферромагнитному основному=

uur

состоянию:= все спиновые векторы= pl ориентированы в направлеJ нии внешнего магнитного поля= НK= С другой стороныI=при отрицаJ тельном=Eдля ближайших соседейF=обменном интеграле=g основное= состояние оказывается антиферромагнитнымK=

Аналогично в случае сплава одинаковым атомам энергетичеJ ски выгодно сгруппироваться в большие кластерыI= в результате= чего возникает разделение фаз чистого металла=А и чистого металJ ла= ВK= Рассмотрим объемно-центрированную кубическую решеткуI= узлы которой образуют две взаимопроникающие простые кубичеJ ские подрешетки= a и= b такI =что каждый узел подрешетки= a окруJ жен узлами подрешетки= b и наоборотK= Энергия будет минимальJ нойI=если во всех узлах=a спины равныI=скажемI= pa I=а во всех узлах=

b локализованы противоположные спины= pb =Z=J pa K=В сплаве этоJ

му аналогична упорядоченная фаза с одинаковой концентрацией= компонентI=в которой атомы=А образуют подрешетку=aI=а атомы=В=–= подрешетку=bK=

Первичная задача здесь состоит в определении наиболее веJ роятного типа упорядочения для системы с заданными силами= взаимодействияK= Эта задача отнюдь не тривиальнаI= так как её= решение зависит от природы сил взаимодействийI=от концентраJ ций компонент и от геометрии исходной кристаллической решетJ

киK==

ТакI= чтобы возникла упорядоченная фаза сплава= CuP^uI= осJ новная гранецентрированная кубическая решетка должна раздеJ литься на четыре взаимопроникающие простые кубические решетJ киX =три из них должны состоять из атомов меди I =а четвертая= J =из= атомов золотаK= Возможности образования все более и более сложJ ных упорядоченных фаз в металлических сплавах почти безграJ ничныK=

Не тривиальна также роль взаимодействия данного атома со= следующими ближайшими соседямиK= В магнитной системе может= наблюдаться геликоидальное или спиральное упорядочениеK= При=

48=

=

I=======================EOKN4F=)

`)A = (rb - `B ) (N- `B

этом векторы спинов поворачиваются вокруг винтовой осиI= когда= происходит перемещение вдоль нормали к ферромагнитно упоряJ доченным плоскостямK= ОтметимI= что шаг винта не имеет ничего= общего с постоянной решетки исходного кристалла:= магнитное= упорядочение представляет собой новую структуру с другой групJ пой симметрииK= Более тогоI= векторы намагниченности отдельных= слоев не обязаны лежать в плоскостях этих слоев=J=надо лишьI=чтоJ бы угол между векторамиI= принадлежащими последовательным= слоямI= оставался постояннымK= Какая именно упорядоченная конJ фигурация возникнет на самом делеI=зависит от других слагаемых в= гамильтонианеI= напримерI= от энергии магнитной анизотропии = в каждом узлеK= Так может возникнуть конфигурацияI= соответствуюJ щая винтовой фигуре на поверхности конусаI= ось которого совпаJ дает с осью винта=EсмK=рисKOKOFK=

Если= первичную задачу удается решить или угадатьI =то возJ никает вопрос:= как описывать отклонения от некоторой предполаJ гаемой картины дальнего порядка?= В случае ферромагнетика этоI= казалось быI=достаточно простоK=Можно думатьI=напримерI=что векJ тор спина= pk принимает некоторое среднее значениеI= меньшееI= чем максимальная компонента= p K=Этот эффект можно было бы изJ мерить как уменьшение полного магнитного момента кристалла=j= по сравнению с максимальным его значением= k ×m ×p K= СоответJ ственно параметр дальнего порядка запишется в виде=

o = M (k ×m ×p)= pk p K==============EOKNPF=

Для простого антиферромагнетика или ферромагнетика роль= аналогичных параметров будут играть средние значения намагниJ ченности подрешетокK=

В теории бинарных сплавов обычно вводят параметр порядка= Брэгга=–=Вильямса:=

o = (ra - `A

здесь через= ra обозначена доля узлов подрешетки= aI= занятых=

«только»=атомами=АI=и тK=дK=На языке модели Изинга это выражение= для=o можно переписать в виде:=

49=

=

	o =		N	{ sa		- sb }
			O				K==================EOKNRF=
				N
	N -				{ sa	+ sb	}
				O

Эти параметрыI= однакоI= определяются неоднозначноK= В слуJ чае антиферромагнетика надо сначала определить подрешеткиI=что= предполагает выполнение некоторой нефизической операции= Eили= наблюденияFI=нарушающей симметриюK=Выражение для=o оказываJ ется несостоятельнымI=если в кристалле нашлась хотя бы одна граJ ница между встречными доменамиI= пересекающая весь образец=

(рисKOKNOFK=

В случае бинарного сплава с положительным значением инJ теграла= g величина= sl вообще не содержит информации о дальJ

нем порядкеK= ДействительноI= это есть просто разность концентраJ ций двух компонентI= не зависящая от тогоI= происходит лиI=наприJ мерI =в кристалле образование кластеров и выделение фаз отдельJ ных компонент или нетK =Более тогоI =можно ожидатьI =что даже в= простом ферромагнитном образце результирующая намагниченJ ность будет очень невеликаK= ДействительноI= порядокI= дальний в= микроскопическом масштабеI= будет на самом деле иметь место =в нескольких больших доменахI= векторы намагниченности последJ них будут в значительной мере взаимно уничтожатьсяK==

В отсутствие сильного магнитного поляI= задающего физичеJ ски выделенное направлениеI=среднее значение= pl в равновесном=

ансамбле частиц будет равно нулюK=

Таким образомI= гораздо= удобнее характеризовать дальний= порядокI= задавая пределI= к которому стремится корреляционная=

функция на больших расстоянияхK Рассмотрим общее выражение= uuuur

G¥ = lim G(olIl¢ )I====================================EOKNSF=

olIl¢®¥

uuuur

где функция= G(olIl¢ ) определена так жеI =как и в= EOKSFI =EOKTFK =Если=

указанный здесь предел не равен нулюI=то в системе имеется дальJ ний порядокK==

RM=

=