Дегтяренко Введение в физику неупорядоченных конденсированных 2011

оннойI=связаны те узлыI=которые попадают в область влияния друJ гого узлаK=

=

8.P.=Температурная зависимость прыжковой= проводимости=

=

Температурная зависимость особенно существенно = для аморфных полупроводниковI=где уровни созданы не примесьюI= а= искажениями самой структурыK= = Температура такая низкаяI= что=

eià ³ Orià I=т.еK=система настолько замороженаI=что фононов с необJ kq a

ходимой энергии нетK=Теперь все определяется температурным слаJ гаемымI=но в первом приближенииI=поскольку=eià= разбросаны=Eиз-за= флуктуацийF=в некоторой полосеI= то всегда можно найти какие-то= узлы с малым отличием по энергииI=пусть и далекие друг от друга= (напримерI= с одинаковым окружением заряженных центровFK= Для= таких выделенных центров по-прежнему главным будет не темпеJ

ратурное слагаемое eià I=а= Orià K==

kq

a

NK=Таким образом можно отбросить вопрос разности уровней=

и построить скелет по принципу=выделенных соседей=

æ

-O

o - o

ö

æ

-Oa r

ö

sià ~ exp

ç

i

à

÷ I s

=

4p rP I

s

~ exp

ç

N s

÷

I=где= a = MI8T K=

ç

a*

÷ k

P

s

a

N

è

ø

è

ø

OK=Пусть скелет бесконечного кластера будет как в=8KOK==

æ Dià		ö	Dià
fià ~ expç		÷ I=		³ NK=
			q
è hq		ø
=
=

=

=

=

=

N9N=

=

=

=

=======

=

=

=

=

=

РисK=8K8K=Система с прыжками переменной длины==

=

При высоких температурах=EрисK=8K8F=путь протекания может= проходить через центры с любыми примесными уровнямиK= При= низких температурах электрон может совершить прыжок только на= примесный уровень с той же энергиейK= На рисK= 8K8= это показано= кружкамиI=одинаково густо заштрихованнымиK=

=

РисK=8K9K=Уровни энергий примесей==

=

Уровни энергий примесейI=показанные на рисK8K9==в интерваJ ле=DI=создают зону=

=

s	æ	-Oar		ö
	~ exp ç	s - bt		÷ K=
	è	a	q	ø

Это соответствует зависимости==

s		= s	(k		exp)	æ	-	eP	ö I=
	P			d		ç
		P						q	÷
						è			ø

но при более низких температурах это не такK=

N9O=

=

Величина= t определяется количеством примесей I =так как= именно они определяют разброс энергетических уровней в энергеJ тическом пространствеK=

t ~ ksd ~ nd ~ rs-P I====где= rs ® nd K=

В бесконечном кластере= EсмK= подраздел= K8KOF= задействованы= не все примесные центрыI=а только теI=которые имеют небольшой= разброс по энергииK= Их концентрация= nd¢ I =т.еK =выбраны только те=

примесиI= которые удобны= nd¢ ® rs¢ K=Такие примеси имеют разброс= D I=меньшийI=чем=t:=

D = gt ~ nD ~

N

I=

d

rs¢P

¢

¢

=

rs

K= Т.еK= в случае возможноJ

gNL P

где= nd = g × nd I= следовательно= rs

сти оптимизации по энергетической размазке= D проводимость=

можно записать в виде==

OarD

æ

-N

ö

æ

bt g ö

ç

-Oar

bt

÷

s ~ exp ç -

s

-

÷ ===или== s(g )= exp ç

s

g P -

q

g ÷ K=

ç

a

*

q ÷

ç

a

*

÷

è

ø

{

ç

123

c

÷

è

d

ø

ИнтерпретацияW выбрали в физическом пространстве облаJ стиI= имеющие определенное выгодное окружение= (оптимальный=

разброс по энергии и расстояниюFK=

Функция= f (g) имеет минимум по параметру=g==

	-	N
f (g )= -d g P - cgI									=
df					æ d ö			P
	= M ®® g		*					4	K
					= ç		÷
d g
					è Pc ø

N9P=

=

æ

æ ar

ö

P

N ö

4

*

ç

÷

f (g

) = ====== ®=========== s ~ exp

ç

-

P

ç

s

÷

(t

4

÷)K============E8KOF=

*

ç

4

è

a

ø

q

÷

è

ø

Нужно найти соседа в многомерном пространствеI=оптимальJ ного и по энергииI=и по расстояниюK=

=

ПримечаниеW= оказывается в тонких пленках проводимость= также может иметь перколяционный характер= Eчерез скелет= кластераFI=поскольку их поверхность не сплошнаяI=а островковаяK=

=

N94=

=

РАЗДЕЛ=9= ЛОКАЛИЗАЦИЯ И ДЕЛОКАЛИЗАЦИЯ==

НОСИТЕЛЕЙ.=АНАЛИЗ С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ== ПЕРКОЛЯЦИОННОГО ПОДХОДА=

9.N.=Локализация электронов в неупорядоченных= системах=

Из эксперимента следует:=

-при малой концентрации примесей состояние электрона= локаJ

лизованоX=

-при большой концентрации примесей состояние электрона=деJ

локализованоX=

Можно предположитьI=что при определенных концентрациях=

примесей= nd* в примесной зоне появляется полоса энергийI=для коJ торой соответствующие состояния электронов делокализованыI=т.еK= наличие трансляционной симметрии не обязательноK=

Будем рассматривать кристаллI= в который введена примесьI= создающая электронное состояние с энергией=bM внутри запрещенJ ной зоныK=

При увеличении концентрации= nd плотность уровней с энерJ гией порядка= bM возрастает и при некоторой конечной концентраJ

ции= nd* возникает примесная зонаI=имеющая конечную ширинуK= Если примеси расположены регулярноI= то можно использоJ

вать результаты решенияI= напримерI= задачи Кронига-Пенни для= любой концентрации примесей:=

- действительноI=возникает размытие уровня в зону шириной=tX=

- состояниеI= принадлежащее этой зонеI= характеризуется волноJ

r

вым вектором= k и волновые функции близки к плоским волJ намI=тK=еK=делокализованыK=

Однако качественно очевидноI= что если= nd малоI= то состояJ ние должны быть локализованыK=

N9R=

=

Казалось быI= что причина локализации в хаотичном распоJ

ложении примесейK= Если примеси расположены хаотичноI= то отJ

r

сутствует трансляционная симметрияI= следовательно= k = – плохое= квантовое число и зона не обладает стандартными свойствамиK=Это= значитI=что электронная волновая функция не расплывается по зоне= (центрамFI=т.еK=состояние оказывается локализованнымK=

Переход от локализации к делокализацииI= происходящей при= изменении концентрации примесей=Eизменении энергииFI=называетJ ся переходом АндерсонаK==

Учет сколь угодно слабых флуктуацийI= рассматриваемый в= одноэлектронном приближенииI–=переход АндерсенаK=

Учет электрон-электронного взаимодействия в идеальных= периодических системах=–=переход МоттаK=

=

9.O.=Узкие зоны и переход Мотта=

=

Из предыдущего ясноI= что задачи типа Кронига–Пенни не= описывают переход локализация=–=делокализацияK=

ДействительноI= допустимI= что примесные атомы располагаJ ются периодически в матрице основного материалаK= Матрица= A= имеет период решетки= аI =и в нее внедрены примеси со своей реJ шеткой=BI=обладающей периодом=bK=

Потенциал примесной подрешетки можно записать как=

s% (rr )= å u (r - rà ) I=

àÎB

где суммирование идет по узлам подрешетки= BK= Пусть известны= волновые функции= jn и энергии= bn электронов на одном примесJ ном атомеI=находящемся в матрицеK=

	é	O		ù
	ê-	h		D + u (r - rà újn)= bnjn K=======================E9KNF=
		Om G
	ê			ú
	ë			û
				N9S=

=

r uur

Мы учли потенциал матрицы= AI =введя эффективную массу = носителей=mGK= ДействительноI= если атом помещается в среду с диJ электрической проницаемостью εI= то его боровский радиус увелиJ чивается в сотни раз==

аG	= MI RP ´NM-8 ´ e	æ	m	ö I=
		ç
Б	14243		* ÷
		è m ø

aБM

где=e=»=NM=¸NRI=mG=»=MINmeK=

Ограничимся случаемI=когда состояния=n невырожденыK=

Для простоты будем считатьI= что= tI= ширина примесной зоJ

ныI= меньше расстояния между	уровнями= bn и	будем	рассматриJ
вать энергетический интервал	в окрестности	одного	из уровней=
bn º eM K=

Искомая волновая функция является решением электронной= задачи для подрешетки=B=

	é	O		ù
	ê-	h		D +s% (rr )ú Y = E × Y K=
		Om G
	ê			ú
	ë			û

и конструируется из волновых функций для примесного атома=E9KNF=

r	uur	a à	O
Y = åa à × jEr - r=à FI= = = = =å				=NK=
à	à

Такое стандартное разложение по атомным волновым функJ циям= jn должно быть хорошим приближениемI= если радиус локаJ

лизации волновых функций= j мал по сравнению с периодом подJ решетки= В= –= bMK= ДействительноI= основной вклад в энергию дают= области пространстваI=в которых волновая функция=Y великаI т.еK=в= сфере действия одного из примесных центровI= где и= «работает»= уравнение=E9KNFK=

Значение коэффициентов=aà= следует искать из принципа миJ нимума полной энергии=bK ОтметимI=что среднее значение энергии=

не является квадратичной формой коэффициентов=aàI=т.кK= jEr - rà F I=

соответствующие разным узламI=неортогональныK=

N9T=

=

b = Y

G

e Y =

Y G

-

hO

D + å u (r - rà

r

ò

OmG

Yd)t K=

àÎB

Подставляя= Y* = åa*k jG (r - rk

)и= Y = åal j(r - rl ) I= с условием=

нормировки получим=Eкак в методе сильной связиF:=

òYG×e ×Y×dt

b =

=

òYG ×Y×dt

ì

ü

* *

r r

é %

r

ù

=

r r ï

(

)

(

)

r r ï

a j

Er -r F

í

a s

r

r -r

ý

e a jEr -r F+

-u

jEr -r F d t

òå k

k

ï

M å l

l

å l

ë

l

û

l ï

=

k

î

l

l

þ

K

*

*

r

r

r

r

òåak

×al ×j

Er -rk F×jEr

-rl F×dt

kIl

УчитываяI=что= åak* × al × òj*Err - rrk F ×jErr - rrl F × dt = k =–=число узлов=

k Il

подрешетки=BI=получим=

*

*

r r

F

×

é %

r

r r

ù

r r

åak

× al × òj

Er - rk

ës (r

)- u (r

- rl û)×jEr - rl F × d t

= eM +

kIl

K=

b

k

В силу трансляционной симметрии подрешетки=В:=

b = eM +

N

å ak* × ak +m × fm I=====================E9KOF=

k

kIm

где= eM = –= уровень

примесного атома

в

матрицеI=

fm = –= энергетичеJ

ский интеграл перекрытия==

*

r

é %

ù

fm =òjm ës

-ue û jedr K=

Выделяя в=E9KOF=слагаемое с=m=Z=MI=получим=

b = eM - ` +

N

å ak* × ak +m × fm K=

k

k ImEm¹MF

N98=

=

- b

ОчевидноI= что= fm :e a* = EпредполагаемI= что волновая функция=

- r

примесного атома имеет простейший вид= e a* FK= Можно показатьI= что набор= ak минимизирует значение энергииI= если коэффициенты= имеют вид==

a= Z=k	JNL O	r	r
		× expEi × k × r F K=
k			m

Тогда в приближении ближайших соседей по подрешетке= В= (кубическойFI= получим известный результат приближения сильной= связи:=

b = Of (bM )×(cos kxbM + cos k ybM + cos kzbM ) I=

т.еK=ширина подзоны= Db =Oz f (bM ) K=В частности для простой кубиJ

ческой решеткиI=где=z=Z=S=и для малых=k==

b = Sf (b			)- f (b )× k O ×bO K=
		M
	O		O
Введем обозначение= m** º	h		I=тогда=== b = (hk**)	K=
	OfMb	O
		M	Om

Величина= mGG играет роль эффективной массы электронов в = образовавшейся энергетической зоне для примесной подрешетки=BK= С ростом периода этой подрешетки= bM эффективная масса= mGG= эксJ поненциально растетK=Действительно==

**			N		expEb	L a*F
m=	:			Z	M		K==================E9KPF=
		f	bO		bO
			M M		M

При этомI=каким бы большим не было=bMI=состояние электроJ на в этой примесной зоне является модулированной плоской волJ нойI=и электрон остается делокализованнымK==

ОтметимI=что зонаI=образованная примесямиI=заполнена не боJ лее чем наполовинуI= поскольку каждая примесь дает=Eили забираетF= один электронI= а каждый уровень дважды вырожден по спинуK= ТаJ ким образомI= получаетсяI= чтоI= если примеси действительно распоJ ложены периодическиI= то проводимость электронов в этой зоне меJ таллическая при сколь угодно малой концентрации примесейK=

N99=

=

ЗаметимI= что при увеличении= bM ширина зоны будет уменьJ шаться==

Db = Oz f (bM ): exp (J bM=L a* )I========================E9K4F=

и задача рассматривается как одноэлектронная для примесного= центраK= Именно в этом причина противоречия с вопросом о делоJ кализацииK=

Одноэлектронное приближение хорошо работает при расчете= широких зон металлов и оказывается недопустимым в случае узких= зонK= Уже отмечалосьI= что волновая функция электрона= Y вблизи= каждого=à-го узла слабо отличается от узельной=jàK==Оценим ситуаJ циюI= когда на одном примесном центре находятся два электронаK=

Энергия такого состояния порядка= rM » eOaБ* : MINэВI= боровский=

радиус:= а*	= MIRP´NM-8 ´ e	æ	m	ö K=
		ç
Б	14243		* ÷
		è m ø

aБM

Если эта энергия меньше ширины зоныI=т.еK==

rM <<t » Db » Oz f (bM ): exp (J bM=L a* )I=

то перестройка волновой функции связанная с взаимодействием= электронов незначительна=Eтак обстоит в хороших металлахFK=

В нашем случае?=При больших значениях=bM== rM >>t » Db » Oz f (bM ): exp (J bM=L a* )K=

Пусть=bM великоK=На каждом узле примесной подрешетки разJ решены два уровня= bM и= bM +rM K=Если на узле один электронI=то из= этих двух уровней будет заполнен только нижнийK==

OMM=

=