Дегтяренко Введение в физику неупорядоченных конденсированных 2011

где=q=–=температураI= bc =–=энергия ФермиI=то эти нарушения счиJ

таются малымиK= На этих условиях строится теория идеального= твердого телаK==

Напомним основные положения теории кристаллического= твердого телаK=

NK= Гамильтониан кристалла учитывает все виды энергии= электронов и ядер:=кинетическую энергию электронов и ядерI=энерJ гию взаимодействия частиц и энергию всех частиц во внешнем поJ леK=Уравнение Шредингера для кристалла содержит=PEz=HNFk=переJ менных и в общем виде не решаетсяK=

OK= Адиабатическое приближение позволяет разделить коорJ динаты электронов и ядерI=что упрощает уравнениеK=Гамильтониан= кристалла разбивается на электронную= Не= = и ядерную= ez= частиI= а= волновая функция кристалла представляется в виде произведения= волновой функции ядер и электроновK=По энергии при этом достиJ

гается точность порядка= me j K=Из теоретического рассмотрения=

выпадают некоторые процессыI= связанные с тепловым колебанием= решеткиK=

PK= Волновая функция ядер определяется усредненным двиJ жением электроновI=а волновая функция электронов=зависит только= от мгновенного положения ядерK=

4K= Движение некоторого электрона зависит от состояния= движения всех остальных электроновI=но поскольку оно само влияJ ет на движение остальных электроновI= то движение всех электроJ нов является взаимосогласованнымK= Это позволяет ввести величиJ нуI=представляющую собой энергию=электрона в поле всех остальJ ных электронов с учетом его воздействия на их движениеK=Это поле= носит название самосогласованногоK=

RK= Благодаря введению самосогласованного поля уравнение= для системы электронов сводится к системе уравнений для одного= электронаK=Самосогласованное поле в принципе может быть найдеJ но из решения системы уравнений Хартри или Хартри-Фока= EволJ новая функция выражается через определитель СлэтераFK=

SK= Введение самосогласованного поля позволяет рассматриJ вать электроны как частицы невзаимодействующиеK= Тем самым=

NN=

=

квантовая механика подтверждает представление об электронном= газеI=как газе идеальномI=но только в периодических системахK=

TK=Решение уравнения Шредингера для электрона в периодиJ ческом поле имеет вид волны или функции БлохаK= Энергия элекJ трона является функцией волнового вектораK=

8K= Трансляционной симметрии поля решетки должна соотJ ветствовать сохраняющаяся физическая величинаI=называемая кваJ зиимпульсомK=

9K= Оператор квазиимпульса коммутирует с гамильтонианом= поля решеткиX=его собственные функции есть функции БлохаI=собJ ственные значения импульса= p связаны с волновым вектором= kK= Энергия является функцией квазиимпульса и волнового вектораI= а= уравнение определяет в пространстве=p или=k поверхностьI=называJ емую изоэнергетическойK=

NMK= Если кристалл поместить в полеI= не обладающее периоJ дичностью решеткиI=то квазиимпульс меняется во времени в соотJ ветствии с минус градиентом этого поляK==

NNK= Важнейшим понятиемI= используемым для описания двиJ жения электрона в твердом телеI= является понятие эффективной= массы= mGK= Она определяется как тензорI= обратный тензору обратJ ной эффективной массыK=Тензор обратной эффективной массы==есть= величинаI= равная второй производной от энергии по квазиимпульJ суK= В окрестности экстремума энергия является квадратичной= функцией по отклонениям от точки экстремумаI= поэтому масса= не= зависит от импульса и обратно пропорциональна второй производJ ной энергии в точке экстремумаK=

NOK= В окрестности минимума энергии компоненты массы= меньше массы свободного электронаK= В окрестности максимума= энергии==–==тG=Y=MK=В окрестности экстремума энергии изоэнергетиJ ческие поверхности являются эллипсоидамиK=Электрон испытывает= ускорение только под действием внешней силыI=поля решетки проJ являют себя темI=что ускорение определяется эффективной массойK=

В случае скалярной эффективной массы электрон движется против= электрического поляI= если он находится в окрестности минимума= энергииK=Если же он находится в окрестности максимума энергииI= то его ускорение направлено по направлению электрического поляI=

NO=

=

т.еK=он движется как частица с положительной эффективной массой=

и=положительным зарядомK=

NPK= При действии внешней силы= c квазиимпульс электрона= меняетсяK=Если сила=c=не зависит от времениI= то траекторией элекJ трона в пространстве квазиимпульса=Eи волнового вектораF=являетJ ся прямая линияI= определяемая направлением силы= cK= Движение= электрона в= k-пространстве означаетI= что энергия электрона меняJ етсяI=и он переходит с одной поверхности энергии на другую в реJ зультате работы внешних силK=

N4K= Обратное= k-пространство разбивается на эквивалентные= областиI= содержащие все различные состоянияK= Эти области назыJ ваются зонами БриллюэнаK= ЗонаI= симметричная относительно= начала координатI= называется основной зоной БриллюэнаK= Она= определяет набор возможных различных значений волнового векJ тора=

В идеальном кристалле удается ввести одноэлектронное приJ

ближение:= это квазичастицыI= которые между собой не взаимоJ

действуют=(фононы тоже не взаимодействуютFK= ИтакI=если условия=ENKNF=не выполняютсяI=то=

-при нарушении периодичности потенциала все виды квазичаJ стиц взаимодействуютX=

-возможно образование= «примесных»= областей спектра возJ буждений системыI= напримерI= локализованных электронных=

(дырочныхF=уровней или локальных мод колебанийI=связанных= с локальными нарушениями периодичностиK=

=

N.N.=Основные примеры однородно== неупорядоченных конденсированных систем=

=

NK= ЖидкостьK Нарушения дальнего порядка обусловлены= тепловым движением атомовI= динамические отклонения которых= носят нерегулярный характерK= Описание системы статистическоеI= зависящее от времениK= Любой элемент жидкости с течением= времени будет проходить через множество состоянийK=

NP=

=

OK=АморфныеI=стеклообразные состояния конденсированного=

веществаK= Нарушения носят= «биографический»=характерI= они стаJ тические и случайныеK=Двигаясь от одного элемента макросистемы= к другомуI= будем встречать разные конфигурации с вероятностьюI= которая допускается данной системойK= Описание системы статиJ стическоеK=

PK=Сильнолегированные полупроводникиK=Нарушения дальнего=

порядка периодичности потенциала для носителей связаны с хаоJ тическим пространственным расположением примесных заряженJ ных центровK=В большинстве случаевI= условия= ENKNF= при низких= температурах не выполняютсяK= Возникает потенциалI= обусловленJ ный суммой дальнодействующих кулоновских потенциалов примеJ сей и не имеющий отношения к матрицеK=Концентрация же носитеJ лей мала= EполупроводникF= для тогоI= чтобы создать эффективную= экранировку дальнодействия таких центровK==

4K=Поверхность материалаK Структурные дефекты поверхноJ сти обусловлены адсорбциейI= закономерностями роста поверхноJ сти кристаллита=Eступеньки ростаFK=Потенциал вблизи поверхности= сильно флуктуируетK=

RK= Неупорядоченные сплавыK= Расположение узлов в ячейках= структуры более или менее упорядоченоI= но вероятность найти= определенный тип атомовI=находящихся в этих узлахI= случайнаяK= Вероятность встретить ту или иную конфигурацию зависит от стеJ пени упорядоченностиK= Примером могут быть облученные быстJ рыми частицами пленки сверхпроводящих соединений со структуJ

рой=^NRK=

SK=Кристаллы с неупорядоченным расположением структурJ

ных вакансийK=Примером могут быть облученные быстрыми частиJ цами пленки сверхпроводящих соединений со структурой ВТСПK=

TK=Кристаллы с большим значением времени Максвелловской=

релаксацииK ИзвестноI= что длинноволновые флуктуации объемной= плотности носителей заряда и соответственно электростатического= потенциала экспоненциально затухают с характерным временем:==

tj = oe (e) I= 4psN

N4=

=

где= sN –=проводимость на частоте= t-jN I= oe (e) =–=вещественная часть= диэлектрической проницаемостиK==

Если характерное время задачи= tM < tj I=то при пропускании=

через вещество сильных токов они сами будут формировать флукJ туацию электроновI=что приводит к созданию неупорядоченного= потенциалаK=Это среда с нелинейным откликом на импульсный токK= Рассмотрим вопрос о томI= что такое много или мало дефекJ товK= Пусть потенциальная энергия носителей состоит из периодиJ

ческой части и непериодической добавки= t =tрег + s% (rr) K= ПоJ

следнее слагаемое создается в материале хаотическим распределеJ нием примесей= nd K=Эти примеси создают дальнодействующий куJ

лоновский потенциалK= Потенциальная энергия электронов в полеI= созданном дефектами:==

r

s% (rr )= åv (rr - oi )I==============================ENKOF=

i

здесь суммирование проводится по всем примесямK==

Суммарное поле оказывается хаотичным по пространствуI=

uur

поскольку совокупность= {oi }–== случайное множествоK= В веществе=

с небольшой концентрацией носителей длина экранировки зарядов= может быть достаточно большойK==

Обозначим характерную длину	падения потенциала= –= rM K=
g-N –= радиус локализации электронаI=	занимающего примесный=

уровень= Eв среде орбита связанного электрона увеличивается в деJ сятки раз по сравнению с боровским радиусомFK==

Рассмотрим два случая для пробной частицыI= которой соотJ ветствует волна де Бройля= l K==

NK=Пусть= nd-N P –=среднее расстояние между примесямиK=Тогда=

условию= nd-NP >> x = m~x {=rM IlI g-N}соответствует условие малого=

количества дефектов=EрисKNKOFK=

NR=

=

=

РисKNKOK=Соотношение между характерными длинамиI=соотJ ветствующее малой концентрации дефектов=

ДействительноI= в таком случае в электронных характеристиJ ках системы в каждом акте рассеяния пробной частицы фигурирует=

r

только один центр рассеянияK= В выражении=s% (rr )= åv (rr - oi ) в=

i

сумме по= i реализуется только одно слагаемоеI= поскольку частица= (электронF=в каждый данный момент эффективно взаимодействует= только с одним ближайшим центромI= и это взаимодействие не заJ висит от расположения всех остальных центровK= Потенциальная= энергия электрона фактически оказывается неслучайнойI=несмотря= на случайный характер элементов структурыK=

OK=Рассмотрим условие= nd-NP << x = m~x {=rM I lI g-N}(рисKNKPFK=

=

РисKNKPK=Соотношение между характерными длинамиI=соотJ ветствующее большой концентрации дефектов=

NS=

=

Тогда электрон взаимодействует одновременно с несколькими ценJ трами рассеянияI= его потенциальная энергия зависит от конфигуJ рации этой группыI=т.еK=она случайная функцияK=В этом случае высок= вклад корреляционных эффектовK=

N.O.=Некоторые экспериментальные данные по= неупорядоченным системам=

=

Зонная структура идеального полупроводника содержит заJ полненную валентную зону и зону проводимостиI=разделенные заJ прещенной зоной Dbg (рисKNK4FK==

=

РисKNK4K= Схематическое изображение зонной структуры= полупроводникаK= Показаны прямые и непрямые переходы между= зонами при поглощении фотонов=EаFX= плотность числа состояний= (бFX= зависимость коэффициента поглощения от частоты =для идеального и неидеального полупроводника=EвF=

=

К полупроводникам относят веществаI= проводимость котоJ рых в сильной степени зависит от составаI=структуры кристалла и= внешних условийK=Проводимость полупроводниковI= как правилоI= возрастает при сообщении им энергии путем нагреваI= освещенияI= облучения ядерными частицамиI=она зависит от давленияI=внешних= электрических и магнитных полейK=

В полупроводниках существуют два механизма проводимоJ сти:= носителями заряда являются свободные электроны и свободJ

NT=

=

ные дыркиK= В чистом полупроводнике число дырок равно числу= электроновI=такой полупроводник называется собственнымK==

ПримесьI= поставляющая свободные электроныI= называется= донорнойX= примесьI= поставляющая свободные дыркиI= называется= акцепторнойK=Носители зарядаI=имеющиеся в большем количествеI= называются основнымиX=носители зарядаI= имеющиеся в меньшем= количествеI=называются неосновнымиK=

Полупроводниковое веществоI= в котором концентрации акJ цепторной и донорной примеси равныI= называется скомпенсироJ ванным полупроводникомK=

Для неупорядоченных полупроводников можно отметить чеJ тыре результатаK=

NK=Спектр поглощения электромагнитного излученияK==

Для= полупроводника он зависит частоты= wK= Если= hw < Dbg I=

то вещество прозрачноI=если= hw > Dbg I=то происходит поглощениеI=

с забросом электрона в зону проводимости и образованием дырки в= валентной зоне= EрисK =NK4FK =В случае идеальной структуры спектр = поглощения имеет вид резкой пороговой зависимостиK= В=

неупорядоченном полупроводнике эта зависимость размываетсяK=

OK=Фотоэлектронная эмиссия=Eвнешний фотоэффектFK=Это исJ пускание электронов твёрдыми телами или жидкостями под дейJ ствием электромагнитного излучения в вакуум или другую средуK==

Напомним основные закономерности этого явления для идеJ ального полупроводника=Eзаконы фотоэффектаFK=

-Количество эмитируемых электронов= Eвеличина фототокаF= пропорционально интенсивности падающего излученияK==

-Для каждого вещества при определённом состоянии егоJ по верхностиI= обусловливающем его работу выходаI= существует=

длинноволновая граница фотоэффекта= –= lMI= за которой= Eпри=====

l=[=lMF=фотоэффект не наблюдаетсяK=Длинноволновой границе= lM соответствует пороговая энергия фотонов=hnM=EnM=Z=сLlMFK=

-Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов линейно= возрастает с частотой=n падающего излучения и не зависит от= его интенсивности:=

N8=

=

EmuO L OFm~x = hn - hnM K=

Эти законы строго выполняются лишь при температуре=Т=Z=MКK= При= q= [M =К наблюдается фотоэффект и при = l= Y= lMI =но при этом = квантовый выход малK==

В полупроводниках порог фотоэффекта определяется выраJ жением:=

hnM ==Dbg + c I==============================================ENKPF

где= Dbg = –= ширина запрещенной зоныI= c –= электронное сродствоI=

равное высоте потенциального барьера на границе образца = для электронов проводимостиK= Величина= hnM иногда называется для= полупроводников фотоэлектрической работой выходаK==

Для большинства чистых полупроводников= hnM = [ =PIR =эВI =и= фотоэффект наблюдается только в УФ-области спектраK=

=

РисKNKRK= Квантовый выход в запрещенной области фотоJ эффекта= N= –= = чистый полупроводникI= O= –= = полупроводник= = с приJ месями=

В неупорядоченном полупроводнике можно наблюдать фоJ тоэффектI=связанный с возбуждением электронов с уровней примеJ сейI= дефектов и поверхностных состоянийI= расположенных в заJ

N9=

=

прещённой зонеI= при= hn =Y= hnM					с небольшим квантовым выходом=
(рисKNKRFK=
PK=Статическая проводимость полупроводниковK==
Для температурной зависимости проводимости неидеальных=
полупроводников			можно	выделить			четыре		областиK= Во всех=
случаях она имеет термоактивируемый характерI= но с разными=
энергиями активацииK=
PKNK=Если рассмотреть чистый полупроводникI=с запрещенной=
зоной= DEg I=	то		следует отметить следующееK= При							высоких=
температурах	основным			процессом			является		заброс	носителей=
через запрещенную зонуK= В этом температурном интервале=
проводимость имеет температурную зависимость:=
					s » sNe	-Dbg Ohq		I=======================ENK4F=
определяемуюI=		в	основномI= температурной						зависимостью=
концентрации носителейK=
PKOK= При			комнатной		температуре				и	более = низко
температурах=	Eq=	YY= DEg F= на			первое		место		выходит наличие=
примесейI=которые создают локальные уровни в запрещенной зонеK=
Если концентрация			примесей		мала= kd ×EaÁ* FP <<N I= то примесное=
состояние сохраняет свою индивидуальностьK=

s» sO expæç -bO ö÷ I== bO » MKN ¸ MIMNэВ===Eсотни градусовF=ENKRF=

èhq ø

Проводимость	таких		слаболегированных				= систе
осуществляется за счет заброса электрона с примесных уровней = в
зону проводимостиK=		q << bO
PKPK= При	температурах=				такие	процессы=
«вымораживаются»I=и существенным становится вклад от прыжков=
электронов по примесям за счет малогоI= но конечного перекрытия=
волновых функций примесных состоянийK=Здесь:==
		æ -E		ö
	s = sP expç			P	÷ I========================ENKSF=
		è q		ø

OM=

=