Дегтяренко Введение в физику неупорядоченных конденсированных 2011
.pdf
дальний порядокI=а мелкомасштабные флуктуации в нем=не учитыJ ваютсяK=Это приближение предсказывает резкий переход порядокJ беспорядок с повышением температурыK=
=
O.NM.=Ближний порядок и корреляции=
=
Основной недостаток приближения среднего поля= –= полное= пренебрежение корреляциями между спинами на соседних узлахK= Это особенно существенно несколько выше критической точкиI=так= как выше рассмотренное приближение не позволяет принять = во внимание возрастание размеров областей упорядоченностиK= ОтсюJ даI=напримерI= теплоемкость системы в этом приближении приТ= =[= ТM равна нулюK=
Оценим данную корреляциюK=
Приближение=MK=
Рассмотрим изолированную пару изинговых спинов= sN и= sOI= прямое взаимодействие между которыми равно=gNOK=Среднее по анJ самблю=OJх спинов=
|
|
|
åsNsOе |
gNOsNsO |
|
|
|
|
|
||
s s |
|
= |
hq |
|
= th |
gNO |
K= |
EOKOPF= |
|||
O |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
N |
|
|
gNOsNsO |
|
|
|
hq |
|
|||
åе hq
Возможные конфигурацииI= по которым проводится суммиJ рованиеI=показаны ниже:=
==¯===¯===¯¯= N======O======P======4=
Для этой простой системы= полная коррекция совпадает с=
прямойK= Приближение=N=
Рассмотрим системы спинов= Eт.еK= число спинов отлично от= двухFI=обобщая выражение для эффективного поляK=А именноI=выJ числим=«эффективный обменный интеграл»==gэфENIOF=между спином= sNI= находящимся в узле= NI= и спином= sOI= находящимся в соседнем= узлеK=ПолеI=действующее на спин=NI=обусловлено как прямым взаиJ
SN=
=
модействием со спином=sOI=так и всеми эффектамиI=обусловленныJ ми другими спинами=sk=Ek=¹=NI=OFI=в известной мере=«поляризованJ ными»=спинами=sN и=sOK==Можно записать для спина=N=
==
Будем считать= gNl ¹ M только для ближайших соседей к узлу=NK=
Заменим= sl Þ sl K= Такая замена относится только к третьим соJ седямI= т.еK= не= N= и= O= –= приближение по косвенным корреляциямK= Чтобы придать величине= sl точный смыслI=надо ввести функции=
распределения спинов= gO EsNIsO F I= gP EsNI sO IsP F и тK =дKI =с учетом= прежде всего вероятности= gO EsNIsO F найти данные значения спина= sNI sO и определить интересующее нас среднее равенством=
å slgP (sNsOsl )
|
s |
l = |
sl ¹±N |
|
K= |
|
gO (sNsO ) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
Учитывая это приближение и умножив равенство= EOKO4F=на= |
|||||
спин sO I=найдем обменный интеграл= gэф ENI OF := |
|
|
|||
gэф ENIOF = gNO + sO × ågNIl |
sl K= |
||||
|
|
|
lNO |
|
|
Мы отделили спины= sN и= sO от остальной решеткиI=следоваJ тельноI=в формуле только для двух спинов=EOKOPF=под= gNO надо поJ нимать тот самый обменный параметр= gэф ENI OF I= который нужно=
подставитьI=чтобы вычислить истинную корреляционную функцию= в полном ансамблеK=Из формулы=EOKOPF=получаем=
SO=
=
kq × ^rth ( |
sNsO ) = gNO K= |
|
||
Заменяя== gNO на= gэф ENI OF I=получим= |
|
åslgP (sNsOsl ) |
|
|
kq ^rth sNsO = gNO + ågNl ×sO × |
|
|||
l¹O |
=K========EOKORF= |
|||
gO (sNsO ) |
||||
l¹N |
|
|
||
Поскольку= sNsO = ååsNsO gO (sNsO )I =то уравнение было бы =
sN sO
замкнутымI= если бы= gO I= gP были известныK= Можно было бы поJ смотреть еще более высокую цепочку уравненийI= связывающую= gP с= g4 K=
Пусть=kq=[[=gI=раскладывая=^rth=по малому параметруI=полуJ
чим:==
kq ååsNsO gO (sNsO |
=) gNO + å gNl¢sO |
åslgP |
K==========EOKOSF= |
||
gO |
|||||
sN sO |
¢ |
¹NIO |
|
||
l |
|
|
|||
Если использовать приближение= gP (NIOIP) @ gO (NI O)× gO (OIP)× gO (NIP) =
(это приближение из теории вероятностейFI=то получим нелинейное= уравнениеK=Применим еще более грубое приближение:=
gP (sNsOsl ) |
|
» g |
O |
(s |
O |
s |
l |
K==================EOKOTF=) |
||||
|
||||||||||||
g |
O |
(s s |
O |
) |
|
|
|
|
||||
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Здесь игнорируется возможное влияние величины= sN на корреляJ цию между спинами= sO и= sl K= В отсутствие дальнего порядка=
можно линеаризовать левую часть формулы=EOKOSFI=при этом полуJ чается соотношение=
kq ååsNsO gO (sNsO ) = gNO + å gNl¢sOslgO (sOsl ) K=EOKO8F=
sN sO |
l¢¹NIO |
Это уравнение уже является линейнымI=описывающим распростраJ |
|
|
r r |
нение параметра |
ближнего порядка= sNsO º G(o )= G(oN - oO )K= |
Последнее условие= –= = приближение однородного поляI= т.еK= все= определяется разностью координатK= Тогда получим замкнутое= уравнение=
SP=
=
kq ×G(oN - oO =)g oN -( |
r r |
oO + å )g (ol - oN ) |
|
|
l¹N |
|
l¹O |
rr
×G(ol - oO ) K=EOKO9F=
Нам нужно найти Г корреляционную функциюK= Поскольку все= вышесказанное относится к ячеистому беспорядкуI= то введем= фурье-преобразование=
g EqF = |
|
|
r |
r |
r |
|
|
å gNO exp{iq |
(oN - oO )}I=== |
|
|||||
|
oN ¹oO |
r |
r |
r |
|
||
GEqF = å |
|
|
|
|
|||
G(oN - oO exp) {iq |
(oN - oO )}K===========EOKPMF= |
||||||
oN -oO |
|
|
|
|
|
|
|
Обратное преобразование определим как== |
|
|
|
|
|||
GEoF = |
N |
åGEqF × e-iqo K= |
|
|
|||
|
|
|
|||||
Исходное уравнение= |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
r |
r r |
|
|
|
|
|
|
|||
kq ×G(oN - oO =)g oN -( oO + å )g (ol - oN )×G |
(ol - oO )= |
||||||
l¹N l¹O
преобразуется в уравнение для фурье-образов=
r |
r |
r r |
kq ×G(q )= g q( +) å å |
g (ol - oN)×G(ol - oO |
|
oO¹oN ol¹oNI oO
× ) ( r( r - r ))K= exp iq oN oO
Если снять ограничение= ol ¹ oO в соответствующей суммеI=то поJ
r r
явившееся дополнительное слагаемое с= ol = oO просто будет поJ
стояннымI=т.кK=при=Т=®=Тс длина корреляции=x возрастаетI=а радиус=
r r
соответствующего интеграла перекрытия= g Eol - oO F остается поJ
стояннымK= Влиянием этого добавленного постоянного слагаемого= можно пренебречьK=Двойную сумму можно разбить на две части:=
r r |
r |
r |
r |
r r |
iq o |
-o |
|||
å g (ol - oN ×e |
|
() N |
l ) |
×åG(ol - oO |
ol ¹oN |
|
|
|
oO |
|
|
r |
r |
r |
|
|
|
IEOKPNF= |
× |
e |
iq(ol |
-oO ) = |
r |
G |
r |
||
|
|
) |
|
g (q |
) |
q( |
) |
|
тогда уравнение для фурье-образов==
kq ×G(q) = g (q) + G(q)× g (q ) I=
S4=
=
G(q )= |
g (q ) / kq |
K========================EOKPOF= |
|
||
N- g (q )/ kq |
|
|
Спектральная плотность флуктуаций связанна с корреляцияJ
r r
ми ближнего порядка для малых= qK=Пусть= h = oN - oO = a = –=радиус=
ближайших |
соседейK= Поскольку |
взаимодействие |
|
|
локализовано = и |
|||||||||||||||||||
распространяется только на ближайших соседейI= представим его в= |
||||||||||||||||||||||||
виде:= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
N |
|
|
|
ö |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
g (q )= å g reiqh |
» zg çN- |
|
|
qOaO |
÷ I= |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
P |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
è |
|
|
|
|
ø |
|
|
|||||
тогда= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h¹M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bzgM |
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
G(q )» |
|
|
|
|
|
|
» |
|
|
|
|
I==========EOKPPF= |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
æ N |
|
ö |
|
N+ x |
O |
q |
O |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
(N -bzgM +)ç |
|
bzgMaO ÷qO |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è P |
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
N |
bzg |
|
|
|
|
N |
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где= xO = |
|
|
M |
º |
|
|
P с |
× аO I==а=–=параметр решетки=EрисKOKN8FK= |
||||||||||||||||
(N- bzgM |
)Т -Тс |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
=
РисK=OKN8K=Температурная зависимость длины когерентности= x =
=
Обратное преобразование Фурье дает корреляционную функцию=
SR=
=
-o
G(o )= oN × e x(q )K================EOKP4F=
Это выражение легко получить преобразованием==
N |
|
N |
é |
N |
|
N |
ù |
|
º |
× ê |
- |
ú K= |
|||||
N + xO × qO |
|
|
|
|||||
|
iq ëN x - iq N x + iq û |
|||||||
Выражение для корреляционной функции может быть расJ пространено на случай дальнего порядка=i=¹=M:=
G(o )= oN e-o x I=
но меняется корреляционная длина:==
|
|
ì |
|
|
|
N |
Т |
|
|
|
ü |
|
|
|
|
ï |
|
|
|
с |
ï |
|
|
||||
|
O |
|
|
|
O |
|
|||||||
|
ï |
|
|
|
P |
ï |
|
||||||
x |
|
= í |
|
|
|
|
|
|
|
|
ýa |
|
I==========EOKPRF= |
|
|
|
|
|
|
Т |
|
|
|
||||
|
|
ïТ |
с |
- |
|
|
|
ï |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
ï |
|
N - iEq F |
O ï |
|
|
||||||
|
|
î |
|
|
|
|
þ |
|
|
||||
где=iEqF=–=дальний порядокK=
=
O.NN.=Подобие и группа перенормировки= в теории критических явлений=
=
При= q ® qc = x : |
N |
|
® ¥ I=и тогда об отдельных спинах= |
q -qc |
N |
||
|
O |
||
можно сказатьI=что они локально сильно коррелированныI=и внутри= некоторого блока= i = x все спины ориентированы почти одинакоJ воI =т.еK =спины внутри блока ведут себяI =как единое целоеK =Тогда= можно не учитывать внутреннюю структуру такого блока и J рас сматривать фазовый переходI=как коллективное явление в ансамбле= блоковI=взаимодействующих через крупномасштабные корреляцииK=
Имеется решётка размерности=dI=каждому из узлов сопоставJ
ляется спиновая переменная= pl K=Разделим решетку на блоки по= id =
спинов=EрисKOKN9FK=
SS=
=
=
РисK=OKN9K=Спиновые блокиK= p%a =–==средняя поляризованность=
блока= |
|
|
|
||
= |
|
|
|
|
|
Исходный гамильтониан:= |
|
|
|||
-be (p )= |
N |
å h%ll¢p l p l¢ + h å p l I= |
EOKPSF= |
||
O |
|||||
|
lIl¢ |
l |
|
||
|
|
|
|||
где= h= –= напряжённость внешнего магнитного поляK= СоответствуюJ щий гамильтониан системы блоков:=
-be Ep F = |
|
N |
å habpa pb + h |
å pa K== |
EOKPTF= |
||||
% |
% |
|
|
% |
% % |
% |
|
% |
|
|
|
|
O |
aIb |
|
|
a |
|
|
Параметры= |
|
|
|
|
такI= чтобы |
термодинамичеJ |
|||
habI h |
определены |
||||||||
|
|
% |
% |
|
|
|
|
|
|
ские функцииI= соответствующие гамильтониану= e% I= были такими= жеI =как и для= eK= Если рассматривать взаимодействие между блиJ жайшими соседямиI=то=
hll¢ ® hближ.сосK I=
% |
% |
hab ® hближ.блоки K= |
|
Отсюда свободные энергииI= |
приходящиеся на спин и на блокI= |
должны иметь подобный вид= |
|
ST=
=
c (h I h =) |
|
|
N |
% % |
|
|
|
æ i öd |
c Eh I hF K= |
EOKP8F= |
|||
|
ç |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
è a ø |
|
|
||
Аналогично для корреляционных длин= |
EOKP9F= |
|||||
x(h I h =) |
ix(h I h )K= |
|||||
|
% |
% |
|
|||
Это справедливо при=
= ~F= q ® qc = (появление блоковFX= бF=i = x = (блоков многоFK=
Введем параметр приведенной температуры:==
t º q -qc » hc - h K= qc hc
Чтобы условия=EOKP8IOKP9F=удовлетворялисьI=положим=
h% = ixh I= hc - h º t% = iyt K= hc
Тогда вблизи критической точки свободная энергияI=приходящаяся= на один спин:=
- d |
y |
c (t I h ) = t |
y f Et L h x F K==============EOK4MF= |
Корреляционная длина:= |
|
x (t I h )= t - N y F Et L h y x F I================EOK4NF=
здесь=x и=y=–=неизвестные числаI=независящие от=iK=
Можно утверждатьI= что критические индексы данной систеJ мы зависят только от размерности=d решётки и числа компонент=a= спинового вектораK=
S8=
=
РАЗДЕЛ=P=
МОДЕЛИ И МЕТРИКА ТОПОЛОГИЧЕСКОГО= БЕСПОРЯДКА=
P.N.=Беспорядок на уровне атомной структуры=
Чтобы узнатьI= имеет ли место беспорядок замещенияI= необхоJ димо определить исходную кристаллическую решеткуK=В идеально=
упорядоченном кристалле все физические характеристики по опреJ
r
делению строго периодичныK=Для всех векторов решетки= {l} и для=
любой точки= r= любая наблюдаемая величинаI= например плотность= электронов или одноэлектронный потенциалдолжнаI= удовлетвоJ рять условию:=
r |
r |
r |
EPKNF= |
c (r |
)= c (r H l) K= |
||
Вся совокупность узлов решетки может быть получена путем= |
|||
|
|
r |
r r r |
трансляции на вектор= l ® {аNаOаP} K= Создание в кристалле случайJ
ные= «замещения»I= = нарушает это соотношение:= некоторые физичеJ ские параметры становятся уже не инвариантными относительно= группы трансляцийI=т.еK=если условие=EPKNF=не выполняетсяI=то нужно=
задавать всю совокупность={o} K=
В данном разделе рассматриваются системыI=в которых распоJ ложение атомов не соответствует упорядоченной решеткеK= Введем=
r r
набор векторов= {oi }X=вектор= oi =–== указывает положение ядра====iJ
ro= атома в конфигурационном пространствеK= Для простоты будем= считатьI=что все атомы химически одинаковы или образуют одинаJ ковые молекулярные группировкиK= Другими словамиI= для каждого=
r |
|
|
Y w × rc |
|
вектора= oi =J=при= |
r |
рассматриваемая функция удовлетворяJ |
||
ет некой=«ослабленной»=форме равенства=ENFI=например= |
||||
r |
|
r |
r |
EPKOF= |
c (r |
)» c (r H oi )K= |
|||
Теоретические модели топологических неупорядоченных сиJ стем обычно основываются на тех или иных произвольных предпоJ
S9=
=
ложенияхI= призванных отразить указанные выше обстоятельства= без детального анализа совокупности физических условийI=которые= фактически могут реализоваться в окрестности каждого атома=EрисKPKNFK=
Итак:=
NF пусть все атомы в нашей модели одинаковыX=
OF будем рассматривать конденсированнуюI=неупорядоченную сиJ стемуI=подчиняющуюся принципу плотной упаковкиK=
Разрешенные значения векторовI=характеризующих положения=
r
атомов= {oi }I= безусловноI= ограничены жесткими условиямиI= свяJ
занными с физической природой=«атомов»=образцаK=Есть лишь неJ много системI=в которыхI=как в идеальном газеI=можно рассматриJ
r
вать векторы= oi =как независимые случайные переменныеI=изменяJ
ющиеся в пределах всего объема образцаK= Если материал состоит= из довольно плотно упакованных атомов или ионовI=то статистичеJ ские свойства такой структуры будут в основном определяться= жесткостьюI= непроницаемостью частиц и взаимодействием между= нимиK= Основная задача состоит в рассмотрении физических ограJ
ничений упаковки на вероятность реализации того или иного набоJ
r
ра векторов= {oi }K=
|
|
|
= |
|
а |
б = |
в |
||
|
РисKPKNK=Топологический порядок=EаFI=топологический=====бесJ порядок=EбFI==континуальный беспорядок=EвF=
TM=
=