x +		1		x		=	7
	1	3			3	3
			5						2
x −					x	=−				.
	2	3			3	3

Очевидно, эта система имеет бесконечное множество решений, причем переменная x3 принимает произвольные действительные

значения (она называется свободной), а переменные x1 и x2 — принимают значения в зависимости от x3 .

Общее решение записывают так:

		7		1	x		2		5	x	; x
			−			; −		+				,
		3		3			3		3
					3					3	3

где x3 R .

§ 4. Матричный метод решения систем линейных алгебраических уравнений

С помощью теории матриц любую систему линейных алгебраических уравнений можно представить и решить в простой и наглядной форме.

Пусть задана система уравнений общего вида. Неизвестные x1, x2 , ... , xn и свободные члены b1,b2 , ... ,bm представим как векторы — столбцы

x1			b1
x			b
	2			2
X =		,	B =		.
.			.
x			b
	n			m

Коэффициенты aij при неизвестных запишем в виде матрицы порядка m×n

— 82 —

a11 a12 ... a1n
a	a		... a	2n
21	22
A=					.
.................
	a		... a
a		m2
m1				mn

Тогда система может быть записана в виде одного матричного уравнения

AX =B

(1)

относительно неизвестной матрицы-столбца X.

Под решением матричного уравнения (1) понимают такую мат- рицу-столбец X, которая обращает данное уравнение в верное равенство. Это возможно не для всякой матрицы A, а только для квадратной и невырожденной.

Итак, пусть A-матрица коэффициентов системы квадратная (m =n) и невырожденная. В таком случае существует обратная

матрица A−1 . Очевидно, что A−1 согласована с матрицами AX и B.

Умножив обе части матричного уравнения (1) слева на матрицу A−1 , получим

A−1 (AX )= A−1B .
Отсюда с учетом свойств умножения матриц, следует
(A−1 A)X = A−1B .
Так как A−1 A=E , а EX = X , то
X = A−1B .	(2)

Вектор-столбец неизвестных X определяется однозначно. Убедимся, что этот вектор удовлетворяет уравнению (1). Подставив соотношение (2) в уравнение (1), получим

A(A−1B)=B , откуда B =B .

— 83 —

Итак, матрица-столбец (2) удовлетворяет уравнению (1), следовательно, является его единственным решением.

Пример. Решить матричным методом систему линейных уравнений

4x1 +x2 +x3 =56x1 +3x2 +4x3 =1 .7x1 +2x2 +5x3 =2

Решение. Запишем систему в виде матричного уравнения

4 1 1 x1 56 3 4 x2 = 1 .7 2 5 x 23

Найдем обратную матрицу A−1

		7				−	3			1
		17					17			17
				2			13			10
	−									−				.
				17			17					17
				9				1		6
	−					−
				17				17		17

По формуле (2) находим решение системы

		7				−	3					1
		17					17			17
															5 2
−1				2			13					10
X = A	B = −									−					1 = −1 .
				17			17					17
				9				1				6				2 −2
	−					−
				17				17				17

Таким образом, x1 =2, x2 =−1, x3 =−2 .

— 84 —

§ 5. Ранг матрицы

Необходимость введения понятия ранга матрицы поясним следующими рассуждениями.

Рассмотрим две квадратные матрицы второго порядка

1 2		1 2
A=		и B =	.
3 4		2 4

Легко видеть, что det A=−2 и det B =0 . При этом равенство нулю определителя матрицы B обусловлено пропорциональностью

еестрок (столбцов).

Вобщем случае взаимосвязь между элементами строк (столбцов) матрицы может быть более сложной, чем прямая пропорциональность. Рассмотрим, например, матрицу третьего порядка

1 2 3

A= 4 5 6 .7 8 9

Здесь также определитель равен нулю. Легко убедиться в том, что элементы третьей строки a3 j связаны с элементами первой a1 j

и второй a2 j строк формулой

a3 j =2a2 j −a1 j , j =1, 2,3.

Это равенство можно разрешить относительно a2 j или a1 j :

a2 j = 12 (a1 j +a3 j ),

a1 j =2a2 j −a3 j .

Все эти соотношения показывают, что в рассматриваемой матрице элементы любой строки могут быть представлены в виде линейной комбинации соответствующих элементов двух других

— 85 —

строк. Аналогичные взаимосвязи имеют место и для столбцов матрицы A.

Приведенные примеры показывают, что всякая матрица, помимо своего порядка m×n должна характеризоваться дополнительным показателем, устанавливающим максимальное число линейно независимых строк (столбцов). Таким показателем и является ранг.

Рангом r(A) матрицы A называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Отличный от нуля минор наивысшего порядка называется базисным.

Из определения следует, что рангом обладает всякая матрица. Ранг матрицы считается равным нулю только в том случае, если все ее элементы равны нулю. Если в матрице есть хотя бы один отличный от нуля элемент, то ее ранг не менее единицы. В том случае, когда все миноры k-го и выше порядков равны 0, ранг матрицы меньше k.

Пример. Определить ранг матрицы

2	3	7	1	−2
	4	1	4	3
5
A=	8	9	1	5	.
6
	6	14	2
4				−4

Решение. Данная матрица имеет порядок 4×5 . Следовательно, наивысший порядок миноров этой матрицы kmax =min{4, 5}=4 . Число различных миноров четвертого порядка, порождаемых данной матрицей, равно N4 =C54C44 =5 . Эти миноры имеют следующие номера столбцов:

(1, 2, 3, 4), (1, 2, 3, 5), (1, 2, 4, 5), (1, 3, 4, 5), (2, 3, 4, 5).

Можно заметить, что элементы 4-й строки матрицы пропорциональны соответствующим элементам 1-й строки. Значит, все миноры 4-го порядка равны нулю. Следовательно, ранг матрицы меньше четырех.

— 86 —

Приступим к проверке миноров 3-го порядка. Если из общего их числа N3 =C43C53 =40 найдется хотя бы один, отличный от ну-

ля, то r(A) = 3.

Возьмем, к примеру, главный минор

2	3	7
	4
M = 5		1 .
	8
6		9

Вычислим этот определитель и получим 51. Таким образом, наивысший порядок отличного от нуля минора равен 3, значит, r(A) = 3. При этом главный минор третьего порядка является базисным.

Базисных миноров в матрице может быть несколько. Так, в матрице A базисным является любой минор 3-го порядка, не содержащий одновременно элементов 1-й и 4-й строк.

Отметим, что вычисление ранга матрицы лучше всего проводить по методу Жордана–Гаусса, рассмотренного в предыдущих разделах.

Из свойств определителей следует, что ранг матрицы не изменится:

•при транспонировании матрицы, т. е. r (A)=r (A′);

•при перестановке каких-либо строк (столбцов);

•при умножении строки (столбца) на любое, не равное нулю, число;

•при сложении одной строки (столбца) с другой строкой (столбцом), умноженной на любое число k.

ÉãÄÇÄ 4. éнзйтЦзаь

Отношения, а в особенности, бинарные или иначе двуместные отношения так же важны для психолога, как и функциональные зависимости для представителя естественных наук. Объекты, изучаемые психологом, вступают друг с другом в различные много-

— 87 —