личество точек, то и элементарных исходов испытания будет несчетное количество (считается, что след пули — точка, а не круг). Рассмотрим событие A, заключающееся в попадании во внутренний круг (10 очков). Тогда полагаем

P(A)= площадь внутреннего круга . площадь квадрата

Здесь использовано геометрическое определение вероятности.

§ 6. Алгебра событий. Аксиомы теории вероятностей

Множество событий, для которых определены вероятности, будем называть полем событий и обозначать T.

Чтобы принятая модель случайных явлений могла служить для построения теории вероятностей, поле событий T должно обладать определенными свойствами.

Во-первых, если вероятность определена для события A, то она должна быть определена и для противоположного события ¬A. Значит, поле событий должно содержать вместе с любым входящим в него событием A и противоположное событие ¬A, т. е. если

A T, то ¬A T.

Во-вторых, если вероятность определена для некоторых событий A и B, то она должна быть определена и для пересечения AB, чтобы можно было найти условные вероятности. Значит, если

A, B T, то и AB T.

Множество событий, обладающих данными двумя свойствами, называется алгеброй событий. Таким образом, поле событий T должно быть алгеброй событий.

Изучим основные свойства поля событий, вытекающие из его определения как алгебры событий.

Пусть A и B — любые два события, принадлежащие полю T. По определению противоположные события ¬A и ¬B и их пересечение ¬A¬B также принадлежат T. Но тогда и событие ¬ (¬A¬B), противоположное событию ¬A¬B, принадлежит полю T. Событие,

— 197 —

противоположное пересечению ¬A¬B, согласно принципу двойственности, совпадает с объединением событий, противоположных событиям ¬A и ¬B, т. е. событием A B. Следовательно, поле T содержит вместе с любыми двумя событиями A и B и их объединение A B.

Из этого свойства следует, что поле событий T содержит достоверное событие Ω. В самом деле, для любого события A, принадлежащего T, противоположное ему событие ¬A также принадлежит T. Значит, и A ¬A = Ω T.

В силу ассоциативности операций пересечения и объединения событий поле T содержит любые конечные пересечения и объединения входящих в него событий.

Наконец, поле T содержит невозможное событие как противоположное достоверному событию Ω.

Рассмотренные свойства поля достаточны для большей части применений теории вероятностей. Однако для решения некоторых сложных задач, выдвигаемых практикой, необходимо потребовать, чтобы поле событий T содержало не только конечные, но и все счетные объединения входящих в него событий, т. е.

∞

Ak T , если Ak T (k =1,2,...).

1

Алгебра событий, обладающая таким свойством, называется

σ-алгеброй (сигма-алгеброй) или борелевским полем событий.

Очевидно, что σ-алгебра содержит также все счетные пересечения входящих в нее событий. Это следует из принципа двойственности для случая счетного множества событий.

Наименьшим полем событий, являющимся алгеброй, очевидно, будет поле T ={ ,Ω}. Если Ω — конечное множество, состоящее

из n элементарных событий, то множество всех его подмножеств (сочетаний) будет равно

Cn0 +Cn1 + ... +Cnn =2n

— 198 —

и состоит, таким образом, из конечного числа элементов. Если Ω бесконечное множество, то и множество всех его подмножеств (сочетаний) будет бесконечным.

Перейдем к основным аксиомам теории вероятностей. Аксиома 1. Каждому событию A T соответствует неотрица-

тельное число — вероятность этого события P(A). Аксиома 2. Вероятность достоверного события равна 1.

Аксиома 3. Вероятность объединения несовместных событий равна сумме их вероятностей, т. е.

n n

P Ai =∑P(Ai ), если Ak Ah = при k ≠h .

1 1

Это верно как для конечного числа событий A1, A2 , ... , An , так и

для бесконечного (счетного) множества событий.

Построение теории вероятностей на основе данных аксиом принадлежит А. Н. Колмогорову, который в своих работах положил начало созданию теории вероятностей как строгой математической науки.

Вероятность события A T есть, как уже говорилось, число. Поэтому вероятность можно трактовать как функцию, ставящую в соответствие некоторому событию A T определенное число P(A). Функцию P(A), удовлетворяющую аксиоме 3, называют аддитивной, или счетно-аддитивной, если множество событий бесконечно (часто пишут также «σ-аддитивна»). Счетно-аддитивная функция множества называется мерой. В силу аксиомы 1 и аксиомы 3 вероятность P(A) представляет собой неотрицательную σ-аддитивную функцию множества, т. е. неотрицательную меру.

Пространство элементарных событий Ω с заданной на нем алгеброй или σ-алгеброй множеств T и определенной на T вероятностью — неотрицательной мерой P(A), A T , называется вероят-

ностным пространством и обозначается (Ω, T, P). Можно говорить, что математической моделью любого случайного явления в современной теории вероятностей служит вероятностное пространство.

— 199 —

Соотношение между событиями некоторого множества событий и их вероятностями обычно называют распределением вероятностей. Значит, вероятность P(A) как функция множества A T определяет распределение вероятностей на T.

Распределение вероятностей можно определить вероятностями всех элементарных событий только в случае конечного или счетного множества этих событий. В большей же части задач, например, в задачах определения геометрических вероятностей, множество элементарных событий несчетно, причем, как правило, ни одно из них не может считаться существенно более вероятным, чем другое. Поэтому вероятность каждого элементарного события равна нулю

иникак не определяет распределение вероятностей. Именно поэтому распределение вероятностей в общем случае определяется функцией множества P(A).

Рассмотренная модель охватывает все задачи теории вероятностей. В каждой вероятностной задаче можно определить некое вероятностное пространство, однако часто пространство элементарных событий оказывается сложным. Впрочем, так же часто задача

ине требует знать конкретную структуру пространства элементарных событий. Поэтому пространство можно не задавать в общем виде, а ограничиться предположением о его существовании.

§ 7. Свойства вероятностей. Полная группа событий

Рассмотрим некоторые свойства вероятностей, вытекающие из аксиом. Так как невозможное событие несовместно с любым событием A, то из аксиомы 3 следует, что

P(A ) = P(A) + P( ).

С другой стороны, т. к. A = A, то

P(A ) = P(A).

Следовательно, P( ) = 0, т. е. вероятность невозможного события равна нулю.

— 200 —

Из свойств операций теории множеств следует, что если B A, то A = B + A¬B. Но тогда по аксиоме 3

P(A) = P(B) + P(A¬B),

откуда следует, что

P(B) ≤ P(A).

Значит, если событие B может произойти только с событием A, то вероятность события B не может быть больше вероятности события A.

Так как любое событие A может произойти только вместе с достоверным событием Ω,

A = AΩ Ω,

тоникакое событие неможет иметьвероятность большую, чем1, т. е. 0 ≤ P(A) ≤ 1.

Как отмечено в § 5, всякое событие A может быть представлено в виде объединения двух несовместных событий

A=AB A¬B.

Сдругой стороны легко видеть, что для любых множеств A и B верно соотношение

A B = A¬B + B,

где множество A B разбивается на сумму (объединение) двух непересекающихся множеств. Заменив во второй формуле «множество» на «событие» и найдя вероятности в обеих формулах, получаем

P(A) = P(AB) + P(A¬B),

P(A B) = P(A¬B) + P(B).

Выразим из первой формулы P(A¬B) и подставим во вторую

P(A B) = P(A) + P(B) – P(AB).

— 201 —