ными осями координат и добавленным началом координат. Иначе говоря, (x; y) A всегда, кроме случая x = 0, y ≠0 и ему симмет-

ричного.

Пример 4. Множество A состоит из главной диагонали и всех точек с целыми координатами.

Пример 5. Множество A состоит из диагонали и замкнутого единичного квадрата. Покажите, что отношение эквивалентности сохранится, если из квадрата «выбросить» его стороны.

§7. Отношение толерантности

Впредыдущей части мы обсудили содержательный смысл отношения одинаковости (эквивалентности) объектов. Не менее важной является ситуация, когда приходится устанавливать сходство объектов. Если одинаковость объектов означает их полную взаимозаменимость в некоторой ситуации, то сходство — это частичная взаимозаменимость, т. е. возможность взаимной замены с некоторыми (допустимыми в данной ситуации) потерями.

Например, два новых компьютера P166 с точки зрения пользователя вполне одинаковы и, значит, взаимозаменимы. Но два компьютера P166 и Intel386 только внешне похожи. Пользователь может согласиться на замену только при отсутствии необходимого выбора.

Двое близнецов бывают настолько одинаковыми, что без риска могут сдавать экзамены друг за друга. Однако если два студента только похожи, то такая проделка, хотя и осуществима, но рискованна.

Если для объектов указано только сходство, то невозможно разбить их на четкие классы так, что внутри класса объекты похожи, а между объектами разных классов сходства нет. В случае сходства возникает размытая ситуация без четких границ. С другой стороны, накапливание несущественных различий у сходных объектов может привести к совершенно непохожим объектам.

Каждый элемент множества несет определенную информацию

опохожих на него элементах. Но не всю информацию, как в случае

—107 —

одинаковых элементов. Здесь возможны разные степени информации, которую один элемент содержит относительно другого.

Превосходная степень от сходства — неразличимость, а вовсе не одинаковость, как может показаться на первый взгляд. Одинаковость — свойство качественно иное. Дело в том, что неразличимые объекты (так же как и сходные) не разбиваются, вообще говоря, на классы так, чтобы в каждом классе элементы не различались, а элементы разных классов заведомо различались.

В самом деле, возьмем множество точек на плоскости. Пусть величина d лежит ниже порога разрешимости глаза, т. е. d — такое расстояние, при котором точки, находящиеся на этом расстоянии, неразличимы зрительно (при выбранном удалении плоскости от наблюдателя). Возьмем теперь n точек, лежащих на одной прямой и отстоящих (каждая от соседних) на расстоянии d. Каждая пара соседних точек неразличима, но если n достаточно велико, первая и последняя точки будут отстоять друг от друга на большое расстояние и заведомо будут различимы. Разумеется, одинаковость есть частный случай неразличимости и сходства.

Традиционный подход к изучению сходства или неразличимости состоит в том, чтобы сначала определить меру сходства, а затем исследовать взаимное расположение сходных объектов. Английский математик Зиман, изучая модели зрительного аппарата, предложил аксиоматическое определение сходства. Тем самым свойства сходства стало возможным изучать независимо от того, как конкретно оно задано в той или иной ситуации: расстоянием между объектами, совпадением каких-то признаков или субъективным мнением наблюдателя.

Введем экспликацию понятия сходства или неразличимости. Определение: Отношение A на множестве M называется отно-

шением толерантности или толерантностью, если оно рефлек-

сивно и симметрично.

Единственность такого определения видна из того, что объект заведомо неразличим сам с собой и, подавно, похож на себя (это выражает рефлексивность отношения). Два объекта сходны или не

— 108 —

сходны независимо от того, в каком порядке их рассматривать (симметричность).

Из примера со зрительной неразличимостью видно, что транзитивность толерантности не обязательно имеет место. Ясно также, что поскольку одинаковость есть частный случай сходства, то эквивалентность должна быть частным случаем толерантности. Сравнивая определения, мы убеждаемся, что так оно и есть.

Рассмотрим примеры, где толерантность задается разными способами.

Пример 1. Множество M состоит из четырехбуквенных русских слов — нарицательных существительных в именительном падеже. Будем называть такие слова сходными, если они отличаются не более чем на одну букву. Известная задача «Превращение мухи в слона» в точных терминах формулируется так. Найти последовательность слов, начинающуюся словом «муха» и кончающуюся словом «слон», любые два соседних слова в которой сходны в смысле только что данного определения. Решение этой задачи:

муха — мура — тура — тара — кара — каре — кафе — кафр — каюр — каюк — крюк — крок — срок — сток — стон — слон.

Пример 2. Пусть p — натуральное число. Обозначим через S p

совокупность всех непустых подмножеств множества {1, 2, ... , p}. Два таких подмножества назовем толерантными, если у них есть хотя бы один общий элемент. Легко видеть, что рефлексивность и симметричность отношения выполнены.

S1 * S2 S3 S4

Множество S p называется (p – 1)-мерным симплексом. Это по-

нятие обобщает понятие отрезка, треугольника и тетраэдра на многомерный случай. Числа 1, 2, 3, ..., p интерпретируются как вершины симплекса. Двухэлементные подмножества — как ребра, трехэлементные — как плоские (двумерные) грани, прочие k-эле- ментные подмножества — как (k – 1)-мерные грани. Число всех

элементов (подмножеств) из S p равно 2p −1.

— 109 —

На рисунке изображены симплексы S1, S2 , S3 и S4 . Толерант-

ность подмножеств (граней) означает наличие у них общих вершин.

Определение. Множество M с заданным на нем отношением толерантности τ называется пространством толерантности. Таким образом, пространство толерантности есть пара (M, τ).

Пример 3. Пространство толерантности S p допускает обобще-

ние на бесконечный случай. Пусть H — произвольное множество. Обозначим через SH совокупность всех непустых подмножеств

множества H. Толерантность τ на SH задается условием:

X τY , если X ∩Y ≠ .

Симметричность и рефлексивность этого отношения очевидны. Пространство SH играет роль «универсального» пространства толерантности.

Пример 4. Пусть p — натуральное число. Обозначим Bp мно-

жество всех точек p-мерного пространства, координаты которых равны 0 или 1. Толерантность в Bp задается правилом: xτy, если

x и y содержат хотя бы одну совпадающую компоненту (координату). Общее количество элементов в Bp равно 2p . Для каждого элемента

x =(a1, a2 , ..., ap )

из множества Bp существует только один не толерантный ему элемент

y =(1−a1, 1−a2 , ..., 1−ap ).

Очевидно, что Bp состоит из всех вершин p-мерного куба.

Пример 5. Рассмотрим пространство толерантности B∞p , компоненты которого принимают любые действительные значения.

— 110 —