Мы доказали теорему сложения вероятностей: вероятность объединения любых двух событий равна сумме их вероятностей минус вероятность их пересечения.

Совокупность событий {Ak } (конечная или счетная) называется полной группой событий, если хотя бы одно из них обязательно появляется в результате опыта. Другими словами, события {Ak }

образуют полную группу, если их объединение есть достоверное событие:

Ak =Ω.

Из аксиомы сложения вероятностей следует, что если события A1, A2 , ... , An несовместны и образуют полную группу, то сумма их

вероятностей равна 1. Противоположные события несовместны и образуют полную группу, поэтому

P(A) + P(¬A) = 1.

Эта формула очень важна для практики. Во многих задачах вероятность интересующего нас события трудно вычислить, в то время как вероятность противоположного события вычисляется легко. В таких случаях последняя формула дает простой способ вычисления.

§ 8. Условная вероятность

Условной вероятностью P(A|B) события A относительно события B в случае, когда P(B) ≠ 0, называется отношение вероятности пересечения событий A и B к вероятности события B

( ) P(AB)

P A | B = P(B) .

Из этого равенства вытекает, что

P(AB) = P(B)P(A|B).

— 202 —

Таким образом, вероятность совместного появления двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого.

Из определения условной вероятности следует, что условные вероятности различных событий относительно одного и того же события B (P(B) ≠ 0), удовлетворяют аксиомам. Следовательно, вся развиваемая далее теория справедлива и для условных вероятностей.

По индукции легко получить формулу

P(A1 A2 ... An )=P(A1 )P(A2 | A1 )P(A3 | A1 A2 ) ... P(An | A1 A2 ...An−1 ).

Пример 1. В урне 15 шаров — 7 белых и 8 красных. Из урны вынимают последовательно два шара. Найти вероятность того, что оба шара окажутся белыми.

Пусть событие A — первый шар белый, событие B — второй шар белый. Тогда получаем

P(A)=P(B)=157 ,

P(B | A)=P(A | B)=146 ,

P(AB)=157 73 =15 .

Пример 2. В урне 16 шаров — 5 белых, 7 черных и 4 красных. Найти вероятность того, что среди вынутых последовательно из урны четырех шаров первый будет белым, второй — черным, а остальные два — красными.

Обозначаем события: A1 — первый шар белый, A2 — второй шар черный, A3 — третий шар красный, A4 — четвертый шар красный.

— 203 —

Получаем

P(A1 )=165 , P(A2 | A1 )=157 , P(A3 | A1A2 )=144 ,

P(A4 | A1A2 A3 )=133 .

По формуле вероятности пересечения событий имеем

P(A A A A )=					5		7		4		3	=	1	.
1	2	3	4	16		15		14		13		104

Можно показать, что вероятность этого события (A1 A2 A3 A4 ) не

зависит от того, в каком порядке берутся события. Например, пусть события следуют в порядке A3 , A1 , A4 , A2 . Тогда

P(A3 )=164 , P(A1 | A3 )=155 , P(A4 | A3 A1 )=143 ,

P(A2 | A3 A1A4 )=137 , P(A3 A1A4 A2 )=164 155 143 137 =1041 .

Два события называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятности другого, т. е. появление одного из них не содержит никакой информации о другом (не следует путать независимые и несовместные события).

События A и B называются зависимыми, если появление одного из них изменяет вероятность другого.

Для независимых событий A и B

P(A|B) = P(A), P(B|A) = P(B).

В самом деле, вероятность события A, когда известно, что B произошло, есть условная вероятность A относительно B. Если при появлении события B вероятность события A не изменяется, то это означает, что условная вероятность события A относительно B совпадает с вероятностью события A, которую здесь следует называть безусловной.

— 204 —

Для зависимых событий A и B

P(A|B) ≠ P(A), P(B|A) ≠ P(B).

Очевидно, два несовместных события A и B всегда зависимы, потому что появление одного из них исключает другое, т. е.

P(A|B) = P(B|A) = 0.

События A1, A2 , ... , An называются независимыми, если каждое

из них не зависит как от каждого из остальных, так и от всех возможных их пересечений.

Заметим, что для независимости событий A1, A2 , ... , An их по-

парная независимость необходима, но не достаточна.

Пример 3. Пусть A и B — произвольные независимые события,

вероятности которых равны 12 , и C = AB ¬A¬B. Очевидно, что

P(C)=P(AB)+P(¬A¬B)=P(A)P(B)+P(¬A)P(¬B)=12 ,

P(C | A)=P(B)=12 , P(C | B)=P(A)=12 .

Таким образом, A, B, C попарно независимы. Однако P(C|AB) = 1, т. к. если происходит событие AB, то происходит и C. Значит, события A, B, C зависимы.

Пусть события A1, A2 , ... , An независимы. Тогда события An и A1 A2 ...An−1 независимы, события An−1 и A1 A2 ...An−2 независимы, и т. д., события A1 и A2 независимы. Поэтому

P(An | A1 A2 ...An-1 )=P(An ),

P(An−1 | A1 A2 ...An−2 )=P(An−1 ),

.............................................

P(A2 | A1 )=P(A2 ),

— 205 —