§ 5. Функции многих переменных. Частные производные и полный дифференциал

Рассмотрим функцию, определенную не на промежутке числовой прямой, а на части плоскости. Тогда аргументом будет служить упорядоченный набор (кортеж) (x; y). Если закон f каждой точке

(x; y) из некоторой области на плоскости ставит в соответствие

единственное число z , то говорят, что на этой области определена функция двух переменных z = f (x, y) . График такой функции рас-

полагается уже не на плоскости, а в
пространстве (с введенной системой
координат), и представляет собой, во-
обще говоря, некоторую поверхность.
Например,	z =x+2y	—		плоскость,
z =x2 +y2	— параболоид			вращения
(см. рисунок).
Аналогично можно			определить
функцию трех, четырех,			и вообще, n аргументов. Мы рассмотрим
только функции двух переменных.
Пусть задана некая функция z = f (x, y)						двух переменных. Если
существует	и конечен	предел lim			f (x+∆x, y)− f (x, y)				,	вычис-
				∆x→0		∆x
ленный при постоянном			y , то он называется частной производной
данной функции по переменной x и обозначается							∂f	или		f ′(x, y) .
							∂x			x

Частная производная функции по переменной y определяется и

обозначается аналогично.

При вычислении частной производной по одной из переменных, вторая переменная считается константой. Рассмотрим задачу.

Вычислить частные производные функции z =2x+x2 y−tgy .

— 136 —

Решение.

1)∂∂xz =(2x)′x +(x2 y)′x −(tgy)′x =2+2xy−0=2(1+xy) .

2)∂∂yz =(2x)′y +(x2 y)′y −(tgy)′y =0+x2 −cos12 y =x2 −cos12 y .

Частные производные также являются функциями от переменных x и y , поэтому их вновь можно дифференцировать. Второе

дифференцирование приводит к частным производным второго порядка. Таких производных функция f (x, y) имеет, вообще гово-

ря, четыре: производная второго порядка по x , производная второго порядка по y и две, так называемые, смешанные производные.

Найдем перечисленные производные.

∂2 f

∂

∂f

2xy)′x =2y ;

=

=(2+

∂x

2

∂x

∂x

∂2 f

∂

∂f

1

′

2sin y

=

= x2 −

=−

;

2

∂y

2

3

∂y

∂y

cos

y

cos

y

y

∂2 f

∂

∂f

=

=(2+2xy)′

=2x ;

∂y∂x

∂y ∂x

y

∂2 f

∂

∂f

1

′

=

= x2 −

=2x .

∂x∂y

cos2

y

∂x

∂y

x

Две последние — смешанные производные — оказываются равными. Можно показать, что это верно для всех функций, имеющих непрерывные частные производные второго порядка.

По аналогии определяются частные производные более высоких порядков, а также частные производные функций с числом переменных больше, чем 2.

— 137 —

Пусть функция z = f (x, y) имеет частные производные первого

порядка. Тогда приращение (полное приращение) функции по переменным x и y можно записать в виде

∆f (x, y) = A ∆x+B ∆y +α( ∆x2 +∆y2 ) ,

где A и B — числа, не зависящие от ∆x и ∆y , и α — бесконечно малая более высокого порядка, чем ∆x или ∆y .

Главная (линейная) часть приращения функции называется ее полным дифференциалом первого порядка. Можно было бы доказать, что выражение для полного дифференциала имеет вид

df =∂∂fx dx+∂∂fy dy .

§ 6. Экстремумы функций многих переменных

Рассмотрим эти понятия на примере функции двух переменных. Напомним определение экстремума функции одной перемен-

ной. Значение функции f (x0 ) называется максимумом (миниму-

мом) функции f (x) , если неравенство f (x0 ) > f (x) ( f (x0 ) < f (x) выполняется для всех значений x ≠x0 из некоторой окрестности

точки x0 , т. е. промежутка (x0 −ε, x0 +ε). Число ε>0 — радиус

окрестности, может быть достаточно малым, главное, чтобы такая окрестность существовала.

Определение экстремума функции двух (и более) переменных точно такое же. В двумерном случае окрестность точки (x0 ; y0 )

уже не интервал числовой прямой, а открытый круг (круг без ограничивающей его окружности) на плоскости с центром в этой точке и радиусом ε . В трехмерном случае окрестность точки есть открытый шар. В случае большего числа переменных окрестность также называется шаром.

— 138 —

Теорема. Пусть функция z = f (x, y) определена в некоторой области D декартовой плоскости и (x0 ; y0 ) — внутренняя точка

области D . Если в этой точке имеется экстремум и в ней существуют все частные производные функции, то все эти производные равны нулю. Эта теорема выражает необходимое условие экстремума для функции многих переменных.

Некоторые из частных производных в точке (x0 ; y0 ) могут и не

существовать, но в ней также может быть экстремум. Поэтому точками «подозрительными» на экстремум будут точки, в которых все частные производные равны нулю или какая-нибудь из них не существует.

Необходимое условие еще не гарантирует наличие экстремума. Чтобы сформулировать достаточное условие экстремума, введем некоторые обозначения.

Пусть (x0 ; y0 ) — стационарная точка, т. е. в ней все частные

производные		первого	порядка равны			нулю.
A= f ′′	(x , y ) ,	B = f ′′	(x , y ) ,	C = f ′′	(x , y ) и
xx	0 0	xy	0 0	yy	0	0

(дискриминант).

Теорема (достаточный признак экстремума):

Обозначим

D = AC −B2

Если (x0 ; y0 ) — стационарная точка и D >0 , то функция имеет в точке (x0 ; y0 ) экстремум, а именно, максимум при A<0 (или

C <0 ) и минимум при A>0 (или C >0 ); если D <0 , то экстремума нет;

если D =0 , то требуется дополнительное исследование. Рассмотрим следующую задачу. Найти экстремумы функции

z =xy(1−x−y) .

Решение. Область определения функции — вся плоскость. Легко видеть, что частные производные первого и второго порядка существуют также на всей плоскости, поэтому точками, подозрительными на экстремум, могут быть лишь стационарные точки.

— 139 —

Найдем производные первого порядка и решим систему урав-

∂z

нений ∂x

∂z

∂y

Имеем

∂z

=0∂x∂∂yz =0

=0

=0.

									1		1
	y(1−x−y)−xy =0		(		) (	) (	)
				0;0				,		;
	x(1−x−y)−xy =0				,	0;1 , 1;0			3		3	.

Получилось четыре стационарных точки. Теперь мы должны проверить значение дискриминанта в каждой из них. Имеем

∂ ∂z

A= =−2y ; ∂x ∂x

	∂		∂z		∂		∂z
C =				=−2x ; B =				=1−2x−2 y ;
							∂x
	∂y		∂y		∂y

D = AC −B2 =4xy−(1−2x−2y)2 .

1)D(0;0) =−1 — экстремума нет;

2)D(0;1) =−1 — экстремума нет;

3)D(1;0) =−1 — экстремума нет;

			1		1		1		2
	4)	D		;		=		— экстремум есть, и поскольку A=−		<0	, то
			3		3		3		3

			1		1		1
	это максимум. Значение максимума —	z		;		=		. График
			3		3		27

функции (поверхность!) в окрестности точки максимума показан на рисунке.

Иногда приходится находить экстремумы функции z = f (x, y) при некотором условии, наложенном на переменные x и y . Это условие назовем уравнением связи и обозначим ϕ(x, y) =0 . Для

— 140 —

отыскания таких экстремумов воспользуемся так называемой функцией Лагранжа. С ее помощью задача сводится к исследованию на обычные экстремумы.

Функция Лагранжа имеет вид u = f (x, y)+λϕ(x, y) , где λ —

некоторый постоянный множитель.

Необходимые условия экстремума функции Лагранжа имеют

вид

∂u∂x =0∂u =0∂y

ϕ(x, y) =0

∂f ∂ϕ∂x +λ ∂x =0∂f +λ∂ϕ=0 .∂y ∂y

ϕ(x, y) =0

Из этой системы находятся неизвестные x , y и λ , а затем, ис-

пользуя достаточное условие экстремума, определяют его наличие (или отсутствие) и значение.

Задача. Найти экстремумы функции z =x2 −y2 при условии

2x−y =3 .

Решение. Запишем функцию Лагранжа

u =x2 −y2 +λ(2x−y−3).

— 141 —