Составим и решим систему для определения точек, подозрительных на экстремум

2x+2λ=0

−2 y−λ=0 .

2x−y−3=0

Решением системы является точка (x0 ; y0 ; λ0 )=(2;1;−2). Нетрудно показать, исследовав функцию z(x, y) при условии y =2x−3 , что точка (2;1) будет точкой максимума. Значение максимума равно 3.

ÉãÄÇÄ 3. àзнЦЙкДг

§ 1. Неопределенный интеграл

Из программы средней школы неопределенный интеграл известен также как множество первообразных. К неопределенному интегралу приводит задача о нахождении функции, производная которой известна. Операция нахождения неизвестной функции по ее известной производной называется интегрированием. Функция F(x) , производная которой равна f (x) , называется первообразной

для f (x) .

Если F(x) есть первообразная для f (x) , то F(x)+C , где C — произвольное действительное число, также первообразная для f (x) . Действительно, если F′(x) = f (x) , то для любого действительного числа C

(F(x)+C)′=F′(x)+C′= f (x)+0= f (x) .

Поэтому всякая интегрируемая функция имеет бесконечное множество первообразных, которое называется неопределенным интегралом и обозначается так:

— 142 —

∫ f (x)dx =F(x)+C ,

где f (x) — подынтегральная функция, f (x)dx — подынтеграль-

ное выражение, dx — дифференциал переменной интегрирования. Приведем некоторые простейшие свойства неопределенного

интеграла, следующие непосредственно из его определения. Производная от неопределенного интеграла равна подынте-

гральной функции, т. е. (∫ f (x)dx)′=(F(x)+C)′= f (x) . Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынте-

гральному выражению, т. е. d (∫ f (x)dx)=(∫ f (x)dx)′dx = f (x)dx .

∫F′(x)dx =∫ f (x)dx =F(x)+C =∫dF(x) .

Поскольку операции интегрирования и дифференцирования взаимно обратны с точностью до константы, можно записать таблицу основных интегралов от элементарных функций.

∫dx =x+C

∫xndx =

xn+1

+C, n ≠−1

n+1

∫

dx

=ln

x

+C

∫axdx =

ax

+C

x

ln a

∫sin xdx =−cos x+C

∫cos xdx =sin x+C

∫

dx

=tgx+C

∫

dx

=−ctgx+C

2

x

2

cos

sin

x

∫

dx

=

1

arctg

x

+C

∫

dx

=arcsin

x

+C

2

2

a

2

2

a +x

a

a

a

−x

dx

1

x−a

∫

dx

+C

∫

=

ln

+C

=ln

x+ x2 ±a2

2

2

2

2

x −a

2a

x+a

x ±a

— 143 —

Интегрирование, вообще говоря, операция значительно более трудная, чем дифференцирование. Чтобы воспользоваться таблицей, часто бывает необходимо преобразовать подынтегральное выражение, что может оказаться непростой задачей. Кроме таблицы, следует пользоваться также свойствами неопределенного интеграла, приведенными ниже, и методами интегрирования, простейшие из которых рассматриваются в следующем разделе.

Основные свойства неопределенного интеграла.

1. ∫cf (x)dx =c∫ f (x)dx (постоянный множитель выносится за знак интеграла).

2. ∫(g(x)+h(x))dx =∫g(x)dx+∫h(x)dx (интеграл от суммы

функций равен сумме интегралов от этих функций).

3. Интеграл от линейной комбинации функций равен линейной комбинации интегралов от этих функций.

Примеры:

1. Найти интеграл ∫(x x +2sin x)dx .

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию и представим интеграл в виде линейной комбинации

3

3

∫(x x +2sin x)dx =∫ x2 +2sin x dx =∫x2 dx+2∫sin xdx =

=52 x52 −2cos x+C .

2.Взять интеграл ∫esin x cos xdx .

Решение. В таблице такого интеграла нет. Вначале преобразуем подынтегральное выражение. Имеем:

esin x cos xdx =esin xd (sin x).

Мы заменили переменную интегрирования x на sin x и интеграл стал табличным. Станет понятнее, если в последнем выраже-

— 144 —

нии заменить sin x , скажем, на t . Тогда получится et dt и задача сводится к нахождению табличного интеграла ∫et dt . Таким обра-

зом, ∫esin x cos xdx =∫et dt =et +C =esin x +C .

§2. Методы интегрирования

1.Метод замены переменной.

Для сведения интеграла к табличному, часто приходится находить подходящую замену переменной x =ϕ(t) , где ϕ(t) — моно-

тонная, непрерывно дифференцируемая (имеющая непрерывную производную) функция новой переменной t . При этом исходный интеграл преобразуется к виду

∫f (x)dx =∫ f (ϕ(t))d(ϕ(t)) =∫ f (ϕ(t))ϕ′(t)dt .

Впоследнем примере интегрирования мы уже применили данный метод. Рассмотрим еще примеры.

1. Найти интеграл ∫cos 5 x dx .

5 x4

Решение. Введем подстановку 5 x =t , т. е. x =t5 и подставим под интеграл. Имеем

∫	cost	d(t5 ) =∫	5t4 cost		dt =5∫costdt =5sin t +C =5sin		5 x +C .
	t4		t4
Легко проверить дифференцированием, что полученный ре-
зультат оказывается правильным.
2. Найти интеграл ∫				2xdx		.
				2
				x +3

Решение. Заметим, что дифференциал знаменателя равен числителю ( d (x2 +3)=2xdx ), поэтому данный интеграл можно запи-

— 145 —

сать как ∫	d(x2 +3)				, а это уже табличный интеграл ∫	dt	. Таким
	x	2	+3			t
образом, ∫	2xdx			=ln(x2 +3)+C .
	2
	x +3

Отсюда следует полезная формула:

∫f ′f((xx)dx) =ln f (x) +C .

3.Найти интеграл ∫(4x−2)6 dx .

Решение. Возводить в шестую степень и затем расписывать интеграл в виде суммы интегралов нерационально, поэтому сделаем

	замену t =4x−2 .	Тогда		dt =d(4x−2) =4dx , откуда dx =				1	dt .
								4
	Подставляем данные выражения в интеграл и получаем
	∫	1	t6dt =	t7	+C =	(4x−2)7	+C .
		4		28		28

Можно показать, что верна общая формула

∫f (ax+b)dx = 1a F(ax+b)+C .

2.Метод «по частям».

Так называется метод интегрирования, основанный на формуле

∫udv =uv−∫vdu ,

где u =u(x) и v =v(x) — непрерывно дифференцируемые функ-

ции. Нахождение «левого» интеграла сводится к нахождению «правого», который соответствующим подбором функций u(x) и

v(x) , оказывается проще левого. Этот метод обычно применяется

когда подынтегральная функция представляет собой произведение алгебраической функции на трансцендентную.

— 146 —