§ 3. Основные понятия теории вероятностей

Теория вероятностей — раздел математики, занимающийся изучением закономерностей массовых случайных явлений. Методы теории вероятностей, называемые вероятностными или статистическими, дают возможность производить расчеты, позволяющие делать определенные практические выводы относительно случайных явлений.

Человек в своей практической деятельности постоянно встречается со случайными явлениями. Простейшим примером служат ошибки измерения. Мы знаем, что абсолютно точных измерений не существует, и чем точнее измерительный прибор, тем это более заметно. Измеряя один и тот же предмет, например, взвешивая его на аналитических весах много раз, мы получаем, хотя и близкие, но различные результаты. Это объясняется тем, что результат каждого измерения содержит случайную ошибку и результаты разных измерений содержат различные ошибки. Какова будет ошибка данного конкретного измерения, заранее предвидеть невозможно. Систематизируя результаты в виде графической зависимости, можно убедиться, что экспериментальные точки, если их достаточно много, никогда не ложатся на одну кривую, а всегда заполняют некоторую полосу, т. е. можно говорить о случайном разбросе экспериментальных точек. Этот разброс объясняется как ошибками измерений, так и действием других случайностей.

Случайные явления вызываются вполне определенными причинами. Все явления окружающего мира взаимно связаны и влияют одно на другое. Однако проследить это бесконечное множество связей и определить действие каждой из них принципиально невозможно. Поэтому, изучая то или иное явление, человек ограничивается лишь основными факторами, определяющими его течение, и пренебрегает огромным количеством второстепенных. Это дает возможность глубже проникнуть в суть явления, понять его закономерность. Вместе с тем это и обедняет явление, схематизирует его. Так происходит всегда, когда явление заменяется подходящей упрощенной моделью. Вследствие этого любой закон науки, отражающий суть явления, всегда беднее, уже самого явления. Ни-

— 189 —

какой закон не может характеризовать явление во всей его полноте

имногообразии (всеобщие законы знает только Господь Бог). Наблюдаемые в реальном явлении отклонения от закономерности, вызываемые совместным действием бесчисленного множества неучтенных факторов, и представляют собой случайные явления.

При многократном наблюдении случайных явлений в них самих также можно увидеть определенные закономерности. Изучив эти закономерности, мы получаем возможность в некоторой степени предугадывать результаты действия случайных явлений, ограничивать их влияние и даже целенаправленно использовать их в своей практической деятельности.

Из сказанного ясно, что закономерности случайных явлений могут проявляться только при многократном их наблюдении. Значит, изучению поддаются только такие случайные явления, которые можно, по крайней мере принципиально, наблюдать неограниченное число раз. Такие случайные явления называются массовыми. Изучив закономерности простейших случайных явлений и построив на этой основе соответствующую теорию, можно изучать

иболее сложные случайные явления, в том числе и такие, которые не поддаются непосредственному наблюдению (но которые принципиально мыслимо наблюдать неограниченное число раз).

Как и всякая прикладная наука, теория вероятностей нуждается

висходных экспериментальных данных для расчетов. Раздел теории вероятности, изучающий методы обработки результатов опытов и получения из них необходимых данных, называется мате-

матической статистикой.

Внастоящее время теория вероятностей активно развивается. Она находит большое число самых разнообразных применений

вразличных областях науки и практики. Если в прошлом веке теория вероятностей применялась в физике, теории измерений и теории стрельбы, то в нынешнем столетии она постепенно проникла

ваэродинамику и гидродинамику, радиотехнику, теорию управления, динамику полета, теорию связи, строительную механику, метеорологию, медицину и психологию.

Вповседневной речи часто используются слова «вероятность», «случай», событие, которые связываются обычно с конкретным

—190 —

содержанием того, что при определенных условиях происходит или не происходит. Для построения вероятностной модели приходится определять данные понятия формально, абстрагируясь от конкретного содержания.

Событие характеризуется тем, что при реализации определенного комплекса условий (испытаний или опытов), оно может произойти или не произойти и в то же время, при многократном повторении опытов, доля наблюдений этого события становится близкой к некоторому определенному числу (вероятности события). Поэтому естественно рассматривать вероятность как функцию случайного события.

В следующем пункте переходим к строгим определениям.

§ 4. Пространство элементарных событий

Пусть множество Ω состоит из конечного или бесконечного числа элементов ω. Множество Ω назовем пространством эле-

ментарных событий, а его элементы ω — элементарными событиями.

В реальном опыте элементарным событиям соответствуют взаимоисключающие исходы. В каждом конкретном случае множество Ω выбирается наиболее подходящим образом. Рассмотрим

примеры.

1) Подбрасывание монеты один раз.

Возможными исходами в данном опыте будут: выпадение герба, выпадение решки. Кроме того, возможно, монета встанет на ребро и укатится куда-нибудь и т. д. Можно перечислить ряд исключающих друг друга событий, которые могут произойти с реальной монетой. При математическом описании этого опыта естественно отвлечься от несущественных исходов и ограничиться

только двумя — выпадением герба (ω1 ) и выпадением решки (ω2 ). Таким образом, при описании этого опыта мы полагаем

Ω={ω1, ω2 }.

— 191 —

2) Подбрасывание игральной кости один раз.

В этом опыте имеются шесть исходов, заключающихся в выпа-

дении k очков (k = 1, 2, 3, 4, 5, 6), т. е.

Ω={ω1, ω2 , ω3 , ω4 , ω5 , ω6 }.

3) Стрельба по плоской мишени.

Введем в плоскости мишени прямоугольную систему координат uOv и каждому исходу опыта, попаданию в определенную точку плоскости, поставим в соответствие координаты этой точки. Тогда множеством Ω будет вся плоскость, т. е. множество всех упорядоченных пар действительных чисел. Этот факт мы запишем следующим образом:

Ω = {(u, v): –∞ < u < ∞, –∞ < v < ∞},

где u, v — действительные числа. Поскольку точек с действительными координатами на плоскости бесконечное (несчетное) количество, то и элементарных событий ω бесконечное количество, значит, Ω = {ωα, α S, где S — множество всех упорядоченных пар действительных чисел}.

§5. Случайные события и действия над ними

Впримере 2 § 4 перечислены все взаимоисключающие исходы, которые могут произойти при бросании игральной кости. Однако в этом же опыте можно говорить о случайном событии, состоящем в том, что выпало четное число очков. Это событие

происходит в том случае, когда		опыт	заканчивается одним
из трех элементарных событий		ω2 , ω4	или ω6 . Обозначим
A={ω2 , ω4 , ω6 }; очевидно, что	A Ω. Можно рассмотреть еще
одно событие B ={ω1, ω3 , ω5 },	которое заключается в выпадении

нечетного числа очков; здесь также B Ω.

В примере 3 § 4 событием является, попадание в какую-либо область A плоскости uOv, например, «попасть в десятку» означает

— 192 —

попадание пули в точку, расположенную в наименьшем из 10 концентрических кругов мишени.

Случайными событиями или просто событиями будем называть подмножества множества Ω.

Случайные события обычно обозначаются большими латинскими буквами A, B, C и т. д. Событие в опыте, которое задается подмножеством A Ω, происходит только в тех случаях, когда происходит какое-либо элементарное событие из A.

Событие Ω назовем достоверным, а — невозможным событием.

Операции над событиями тождественны операциям над множествами. Это объясняется тем, что каждое событие связано с определенным множеством исходов опыта так, что оно обязательно происходит при появлении одного из исходов, принадлежащих этому множеству, и не происходит в противном случае.

Объединением или суммой двух событий A и B называется сложное событие C = A B (C = A + B), состоящее в появлении хотя бы одного из событий A или B.

Пересечением или произведением двух событий A и B называется событие C = A ∩ B (или C = AB), состоящее в совместном появлении событий A и B.

Эти понятия проще всего иллюстрируются геометрически. Так, например, если событие A — попадание случайной точки в область A, а B — попадание случайной точки в область B, то объединение AB это событие, состоящее в попадании случайной точки в область A B, а пересечение — попадание случайной точки в область AB.

События A и B называются несовместными, если AB = .

Приведенные определения можно распространить на любое число событий. Операции объединения и пересечения событий обладают такими же свойствами, как и операции над множествами.

Событием, противоположным событию A, называется непоявление A, которое обозначается ¬A. Ясно, что событие A противоположно событию ¬A, т. е. ¬(¬A) = A.

— 193 —

Примерами противоположных событий могут служить попадание и промах при одном выстреле, отказ прибора в данном интервале времени и его исправная работа в том же интервале и т. п. Очевидно, что противоположные события несовместны, а их объединение представляет собой достоверное событие:

A¬A = , A ¬A = Ω.

Ясно также, что

A = A, A = , A Ω = Ω, AΩ = A.

Последние соотношения легко согласуются с соответствующими законами логики (раздел I, глава 2).

Отметим некоторые свойства действий над событиями.

1. Для любых событий A и B событие ¬A ¬B противоположно событию AB:

¬A ¬B = ¬ (AB).

Это свойство легко обобщается на объединение любого количества событий As , s S (S — некое множество индексов),

¬As =¬∩ As .

s S s S

Событие ¬A¬B представляет собой совместное появление ¬A и ¬B, т. е. противоположно появлению хотя бы одного из событий A или B:

¬A¬B = ¬ (A B).

Вообще для любого множества событий As , s S ,

∩¬As =¬ As .

s S s S

Последние четыре формулы выражают принцип двойственности: операции объединения и пересечения меняются местами при переходе к противоположным событиям.

— 194 —

Из установленных в разделе I, главе 1 свойств операций объединения и пересечения следует, что для любых событий A и B

A = AΩ = A(B ¬B) = AB A¬B.

Легко видеть, что события AB и A¬B несовместны. Поэтому формула позволяет представить событие A как объединение двух непересекающихся событий.

Если событие A обязательно происходит при появлении некоторого другого события B, то говорят, что событие B есть подсобытие события A (или часть A) и пишут B A или A B .

Если события A и B могут появиться или не появиться только вместе, т. е. B A и A B , то они называются эквивалентными

(A = B).

Элементарное событие не содержит никаких подсобытий, кроме невозможного события и самого себя. Это означает, что элементарное событие не разделяется на несовместные события, ни одно из которых не является невозможным.

В конце § 3 отмечалось, что вероятность будет рассматриваться как функция от случайного события. Пусть Ω — пространство элементарных событий. Пусть, далее, каждому ω Ω сопоставлено число P(ω) такое, что

P(ω)≥0 и ∑P(ω)=1 .

ω Ω

Число P(ω) называется вероятностью элементарного события ω. Под вероятностью события A понимается число

P(A)= ∑P(ω).

ωA

Пример 1. При двукратном бросании монеты можно считать, что пространство элементарных событий есть

Ω = {ГГ, ГР, РГ, РР},

где Г = «герб», Р = «решка». Здесь нет никаких оснований полагать, что одно какое-либо элементарное событие вероятнее друго-

— 195 —

го. Говорят, что в этом случае имеется 4 равновозможных исхода испытания (опыта). Рассмотрим событие A, заключающееся в выпадении герба и решки. Распространена следующая формулировка классического определения вероятности: вероятностью события A

называется отношение числа благоприятствующих ему исходов к числу всех исходов испытания. Легко видеть, что число всех исходов испытания равно 4, а число исходов, благоприятствующих A – 2,

поэтому P(A)= 24 =12 .

Пример 2. Этот пример показывает, что пространство элементарных событий не всегда бывает конечным.

Два лица 1 и 2, начиная с первого, поочередно бросают монету до тех пор, пока не выпадет герб. Выигрывает тот, кто сделает последний ход. Возможные состояния игры есть

ω1 =г, ω2 = рг,

ω3 = ррг.

..........

Пусть Ω={ω1,ω2,....}, тогда P(ω1)=2−1, P(ω2 )=2−2 , P(ω3 )=2−3 ,

..., P(ωk )=2−k . Поскольку P(Ω)=12 +14 + ... + 21k + ..., то P(Ω) = 1 (как сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии). Пусть событие A — выигрывает лицо 1, тогда A={ω2k+1}. Вероятность того, что выигрывает лицо 1 вычисляется по формуле:

P(A)=∑P(ω2k+1 )=12 +18 +321 + ... + 22k+11 + ... = 23 .

k≥0

Пример 3. Вернемся к условию задачи о стрельбе по плоской мишени (пример 3 из § 4). Будем предполагать, что стрелок обязательно попадает в квадрат, описанный около внешней окружности мишени. Поскольку квадрат содержит бесконечное (несчетное) ко-

— 196 —