к‡Б‰ВО II. ЗЗЦСЦзаЦ З ДзДгаб

ÉãÄÇÄ 1. èкЦСЦг а зЦикЦкхЗзйлнъ

§ 1. Числовые последовательности

Числовой последовательностью называется функция xn = f (n) ,

определенная на множестве натуральных чисел. В школьном курсе математики изучаются два вида числовых последовательностей — арифметическая и геометрическая прогрессии. Эти прогрессии могут быть заданы соответствующими формулами:

an =a1 +d (n−1) и bn =b1qn−1 .

В этом случае говорят, что последовательность задается аналитически.

Еще примеры:

(1)	c =(−1)n				1		:	−1;				1	; −			1	;	1	;...
	n				n						2				3			4
(2)	dn =	n2		:		1	;		4	;	9	;	16		;... .
		n+1			2			3			4		5

Кроме аналитического отметим еще рекуррентный способ задания последовательности. При этом очередной член последовательности (начиная с некоторого) находится по известным предыдущим членам. Например, арифметическая и геометрическая прогрессия этим способом задаются так:

an =an−1 +d и bn =q bn−1 .

Последовательность (xn ) называется ограниченной сверху

(снизу), если существует такое число M(m), что	xn ≤M (xn ≥m)
для всех n N . Например, последовательность	(dn ) ограничена

— 116 —

	снизу, т. к. все ее члены не меньше, чем	1	(m=	1	) , но сверху эта
		2		2

последовательность не ограничена.

Последовательность (cn ) ограничена и сверху, и снизу. Можно взять, например, m=−1 и M = 12 . Такие последовательности на-

зываются просто ограниченными. Очевидно, что всякую ограниченную последовательность можно «накрыть» некоторым отрезком числовой прямой (при этом m — левый, а M — правый концы отрезка).

Последовательность (xn ) называется возрастающей (неубывающей), если для всех n N выполняется соотношение xn ≥xn−1 . Аналогично определяется невозрастающая последовательность.

Последовательность (dn )		является возрастающей, т. к. нера-
венство
	n2	≥	(n−1)2
	n+1		(n−1)+1

выполняется для каждого n N . Возрастающие или убывающие последовательности называются монотонными. Последовательность (cn ) не монотонна, т. к. она не убывает и не возрастает.

§2. Предел числовой последовательности

Вдополнение к предыдущим, введем еще две последовательности:

fn =2−1n и hn =(−1)n .

Легко видеть, что по мере увеличения номера n, последовательность (cn ) приближается к 0, последовательность ( fn ) — к 2, по-

следовательность (dn ) стремится к +∞, а последовательность (hn ) не приближается ни к числу — ни к бесконечности.

— 117 —

Первые две последовательности называются сходящимися, или имеющими конечный предел. Две последние называются расходящимися, причем (dn ) имеет бесконечный предел, а (hn ) не имеет

никакого предела.

Говорят, что последовательность (xn ) сходится к числу A, если для любого сколь угодно малого числа ε>0 найдется такое натуральное число (номер) n0 , что для всех n >n0 выполняется нера-

венство an −A <ε.

Известно, что модуль разности двух действительных чисел равен расстоянию между ними на числовой прямой. Этот факт позволяет геометрически интерпретировать понятие сходимости. Рассмотрим следующую задачу. Найти наименьший номер члена

последовательности

( fn ) , начиная с которого расстояние между

числом 2 и членами последовательности становится меньше

1

.

10

Решение. Требуется найти наименьшее натуральное n ,

при ко-

тором выполняется

неравенство

fn −2

1

−2

1

. После

=

2

−

<

n

10

простейших преобразований получаем

1

<

1

, откуда n >10 . Зна-

10

n

чит, наименьшим натуральным числом, удовлетворяющим условию задачи будет n0 =10 , и все члены последовательности ( fn ) с

	номерами,					большими	10, окажутся внутри				интервала
		1		1				1
	2−		;2+			, который	называется			-окрестностью	числа 2.
		10		10				10

В общем случае, задавая ε>0 сколь угодно малым, мы ищем n0 , которое может оказаться весьма большим. Сходимость последовательности к числу A будет иметь место, если номер n0 обязательно отыщется при любом допустимом ε. Это значит, что за пределами ε-окрестности числа A останется пусть и большое, но конечное число членов, в то время как внутри ε-окрестности их будет бесконечно много.

— 118 —

Если последовательность (xn ) сходится к числу A, то A называется ее пределом, что записывается так:

lim xn = A .

n→∞

Члены последовательности (dn ) при возрастании n становятся больше любого наперед заданного числа ε>0 , поэтому говорят, что (dn ) стремится к бесконечности, и пишут

lim dn =+∞.

n→∞

Последний предел также можно трактовать на языке окрестностей, для чего необходимо определить ε-окрестность бесконечности.

Окрестностью бесконечности (ε-окрестностью) называется объединение числовых промежутков (−∞;−ε) (ε;+∞) . Тогда тот

факт, что последовательность (dn ) стремится к бесконечности, можно сформулировать так: для любой ε-окрестности бесконечности найдется такой номер n0 , что все члены последовательности с номерами большими, чем n0 , окажутся в этой окрестности.

§ 3. Предел функции

Числовая последовательность — это частный случай числовой функции. Область определения последовательности есть множество N натуральных чисел, изображаемых изолированными точками на числовой прямой. Пределы последовательностей рассматриваются только при n →∞, при этом «точка» ∞ является предельной точкой области определения, т. е. такой точкой, в любой ε-окрест- ности которой найдутся точки из области определения.

Рассмотрим теперь функцию f (x) непрерывного аргумента. В этом случае любая точка x0 из области определения функции является ее предельной точкой и можно рассматривать предел функции при x → x0 .

— 119 —

Число A называется пределом функции y = f (x) при x → x0 , если для любого сколь угодно малого числа ε > 0 найдется зависящее от ε число δ > 0 и такое, что для всех x ≠x0 , удовлетворяющих

неравенству x−x0 <δ, имеет место неравенство f (x)−A <ε. При этом пишут:

lim f (x) = A .

x→x0

Смысл наличия этого предела заключается в том, что какую бы малую ε-окрестность точки A мы не указали, найдется δ-окрест-

ность точки		x0 , что как только x попадет в δ-окрестность, соот-
ветствующее		f (x) попадет в ε-окрестность.
Приведем без доказательства некоторые простейшие свойства
пределов.
1.	Если предел функции существует, то он единственный.
2.	Если	f (x) =C (константа) , то	для любого x0 D( f )
lim f (x) =C .
x→x0
3.	Если	существуют конечные	пределы lim g(x) = A и
			x→x0

lim h(x) =B , то:

x→x0

•	lim (ag(x)+bh(x)) =aA+bB , где a и b — числа;
	x→x0
•	lim (g(x) h(x)) = A B ;
	x→x0
•	lim	g(x)	=	A	, если B ≠0 .
		h(x)
	x→x0			B

Кроме того, часто используются также следующие формулы:

• lim	sin x		=1		(первый замечательный предел);
	x
x→0
		1		x	1
• lim 1+					=lim(1+ y)y =e (второй замечательный предел).
			x
x→∞					y→0

— 120 —