заочникам / диф ур / Lectures - 3

Теперь нужно определить значения							постоянных						C1 ,C2 из						начальных
условий s(0) 1, s' (0) 2 :
s(0)	2		sin 3 0 C 0 C					1, значит,				C				1
							2							2
9				1
s' (0)		2		cos 3 0 C		2 ;			2	C 2	; C						8	.
3					1			3		1					1	3
Значит, закон движения задается формулой s(t)													2	sin 3x					8	x 1
												9							3

Замечание: В общем случае при решении задачи Коши или краевой задачи для определения произвольных постоянных приходится решать систему линейных уравнений.

2) Рассмотрим уравнение, не содержащее неизвестной функции и,

возможно, нескольких	последовательных	младших производных:
F x, y k , y k 1 ,..., y n 0
В этом случае заменой y k	z можно понизить порядок уравнения.
Пример: Найти общее решение уравнения x2 y'''		y'' 2 .

Решение: Заменим младшую из присутствующих в уравнении производных

на

новую

неизвестную

функцию

y'' z ,

тогда

y''' z '

и

уравнение

можно записать в виде

z '

z 2

.

Найдем

общее

решение

полученного

x 2

уравнения с разделяющимися переменными.

dz

z 2

;

dz

dx

;

1

1

C

;

z

x

dx x 2

z 2

x 2

z

x

1

C x 1

1

Возвращаемся к переменной

y : y ''

x

и рассмотрим сначала

C x

1

1

случай C1 0 .

x

1 x C 1

C 1

1

C 1

y '

dx

1

1

dx

1

1

dx

x C

x C 1

C x 1

C

1

C

1

1

1

1

1

1

1

1

x

1

1

x

ln x

C

ln x

C

2

2

2

C1

C1

C1

C1

C1

C1

33

x y

C1

1

C12

ln

	1
x			C	dx
	C			2
	1

x2

2C1

	1		1
		x		ln x
	2
			C1
	C1

C1

	1		1
		x			C	x C	3
	2
					2
	C1		C1

Если C 0 , то

y'' x ,

y '

x2

C

; y

x2

C

x C

.

2

2

3

1

2

2

3) Рассмотрим уравнение, не содержащее

независимой переменной

x :

F y, y' ,..., y n

0 . Будем

считать

функцию

y новой

независимой

переменной, а

функцию

z y '

-

новой неизвестной

функцией

от

независимой

переменной

y .

Тогда

y ''

dz

dz

dy

z '

z ,

dx

dy

dx

d z ' z

d z ' z

y '''

dy

z ''

z z ' 2

z z '' z 2 z z ' 2

и т. д.

dx

dy

dx

то есть порядок уравнения понижается на 1.

Пример: Решить краевую задачу yy ''

y' 2

, y 0 e, y 1 e2

Решение: найдем общее решение уравнения; для этого сделаем замену:

y ' z , y''

z ' z

yzz ' z 2 .

Значит, либо

z 0 , и тогда

y ' 0 и

y C ; либо получаем уравнение с

разделяющимися переменными yz ' z .

y

dz

z ;

dz

dy

; ln z ln y ln C

; z C y

dy

z

y

1

1

y' C y ;

dy

C y ;

dy

C dx ; ln y C x C

; y eC1x C2 .

1

dx

1

y

1

1

2

Определим значения постоянных

C ,C

2

из условий y 0 e, y 1 e2 :

y 0 eC1 0 C2

1

e , значит,

eC2

e и

C

2

1 .

y 1 eC1 C2

eC1 1 e2 ,

значит, C 1

1

Решение краевой задачи:

y e x 1 .

34

Линейные дифференциальные уравнения (элементы общей теории)

Определение:	Линейным		дифференциальным			уравнением	называется
уравнение вида		x y n 1 ... p x y' p				x y f x ,
y n p	n 1
			1		0
где f x , p0 x , p1 x ,...,			pn 1 x - заданные функции.
Если при этом	f x 0 ,		то уравнение называется линейным однородным
дифференциальным уравнением.
Теорема (свойства решений линейного однородного уравнения)
1) Если функция		y0 x	является	решением линейного			однородного
уравнения, то при любом значении постоянной C функция							Cy0 x будет
решением того же уравнения.
2) Если функции		y1 x	и y2 x являются решениями линейного
однородного уравнения, то функция				y1 x y2 x будет решением того

же уравнения.

3) Если комплексная функция действительного переменного u(x) iv(x) является решением линейного однородного уравнения, то каждая из

функций u(x), v(x)

также будет решением того же уравнения.

Доказательство: 1)

пусть функция y0 x является решением уравнения

y n p

n 1

x y n 1 ... p x y'

p

0

x y 0 .

Тогда

равенство

1

y n p

n 1

x y n 1 ... p

x y'

p

0

x y

0

0

является тождеством.

0

0

1

0

Подставим

функцию

Cy0 x

в

выражение

y n p

n 1

x y n 1 ... p x y'

p

0

x y

:

1

Cy

0

n

p

n 1

x Cy

0

n 1 ... p x Cy

0

' p

0

x Cy

1

Cy(n) Cp

n 1

x y(n 1)

... Cp x y'

Cp

0

x y

0

0

1

C y(n) p

n 1

x y(n 1)

... p x y' p

0

x y 0 ,

1

значит, Cy0

x - решение дифференциального уравнения.

2)

Пусть

y1 x

и

y2 x

-

решения уравнения

y n

p

n 1

x y n 1 ... p x y' p

0

x y 0 ,

1

35

тогда

равенства

y n p

n 1

x y n 1

... p

x y'

p

0

x y 0

и

1

1

1

1

1

y n p

n 1

x y n 1 ... p

x y' p

0

x y

2

0

являются

2

2

1

2

тождествами.

y1 x y2 x

Подставим

функцию

в

выражение

y n p

n 1

x y n 1 ... p

x y' p

0

x y :

1

y y

2

n p

n 1

x y

y

2

n 1 ... p x y

y

2

'

p

0

x y

y

2

1

1

1

1

1

y n

p

n 1

x y

n 1 ... p

x y'

p

0

x y

1

1

1

1

1

0 .

y n

p

n 1

x y n 1 ... p

x y'

p

0

x y

2

2

2

1

2

3) Без доказательства

Следствие1: Если

y1 x , y2 x ,...yn x решения линейного однородного

уравнения,

то

при любых значениях постоянных

1 ,2 ,... n

функция

y 1 y1 x 2 y2 x ... n yn x

будет

решением

того

же

уравнения.

Следствие 2: Тождественно равная нулю функция является решением

любого линейного однородного уравнения.

При изучении n-мерного векторного пространства было введено понятие

линейной зависимости векторов. Сейчас это понятие будет распространено

на функции.

y1 x , y2 x ,...yn x

Определение:

Функции

называются

линейно

зависимыми, если существуют числа 1 ,

2 ,... n

не все равные нулю и

такие, что 1 y1 x 2 y2 x ... n yn x 0 при любых значениях

переменной

x .

В

противном

случае

функции

y1 x , y2 x ,...yn x

называются линейно независимыми.

Примеры:

1)

Функции

y1 x x, y2 x 2x

линейно

зависимы,

т.к.

2y1 x y2 x 0 .

2) Функции

y

x 1, y

2

x sin 2 x, y

3

x cos2 x

также

линейно

1

зависимы, т.к.

y3 x y2

x y1 x 0 .

36

3)

Функции

y

0

x 1, y x x, y

2

x x2 ,...y

n

x xn

линейно

1

независимы, т. к.

при любых

значениях

0 ,1 ,2 ,... n

многочлен

0

1

x

2

x2 ,...

n

xn

может

быть равен нулю не более чем

при n

различных значениях переменной x .

Определение:

Определителем

Вронского5

множества

функций

y1 x , y2

x ,...yn x называется

y1

y2

...

yn

W x

y '

y

'

...

y '

1

2

n

...

....

...

...

y n 1

y n 1

... y n 1

1

2

n

Теорема (определитель Вронского и линейная зависимость)

Если

функции

y1 x , y2

x ,...yn

x

линейно зависимы,

то их определитель

Вронского равен нулю. Если решения линейного однородного дифференциального уравнения y1 x , y2 x ,...yn x линейно независимы,

то составленный из них определитель Вронского не равен нулю тождественно.

Без доказательства.

Замечание: С помощью определителя Вронского можно проверять линейную независимость решений линейного однородного дифференциального уравнения.

Пример:	Проверить, будут			ли		линейно		зависимыми		функции
1) y x	sin x, y	2	x cos x 2)		y	x ex , y	2	x e2 x , y	3	x e3x
1					1
Решение:	1)	W x sin x			cos x sin 2 x cos 2				x 1 0 .
			cos x		sin x

Функции y1 x sin x, y2 x cos x линейно независимы.

5 Вронский Юзеф (1776-1853) польский математик и философ-мистик.

37

линейно независимы, то любое

2)

	e x	e2 x	e3x		e x	e2 x	e3x	e x 8e5 x 6e5 x 2e6 x
W x	e x	2e2 x	3e3x		0	e2 x	2e3x
	e x	4e2 x	9e3x		0	3e2 x	8e3x

Поскольку 2e6 x 0	, то функции y	x ex , y	2	x e2 x , y	3	x e3x
	1

линейно независимы.

Теорема (о подмножестве множества линейно независимых функций)

Если функции y1 x , y2 x ,...yn x

подмножество этого множества состоит из линейно независимых функций.

Без доказательства.

Пример: Если 1 , 2 ,... n - попарно различные числа, то функции

e 1x , xe 1x , x2e 1x ,..., xn e 1x , e 2 x , xe 2 x , x2e 2 x ,..., xne 2 x

………………

e n x , xe n x , x2e n x ,..., xne n x

линейно независимы.

Определение: Множество n линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения порядка n называется

фундаментальной системой решений этого уравнения.

Теорема (о существовании фундаментальной системы решений)
Если	функции p0 x , p1				x ,..., pn 1 x			непрерывны на некотором
интервале a;b , то на этом интервале								существует	фундаментальная
система					решений				уравнения
y n	p	n 1	x y n 1	... p x y' p		0	x y 0
					1
Без доказательства.
Теорема (об общем решении линейного однородного уравнения)
Если	y1 x , y2 x ,...yn x				фундаментальная система решений линейного
однородного				уравнения,				тогда	функция
y x C1 y1 x C2 y2 x					... Cn yn	x ,		где	C1 ,C2 ,...,Cn -

38

произвольные постоянные, является общим решением линейного однородного уравнения.

Без доказательства.

Теорема (об общем решении линейного неоднородного уравнения)

Пусть

y0

x

-

общее решение

однородного

уравнения

y n p

n 1

x y n 1 ... p

x y' p

0

x y 0

, а

y x

-

какое-либо

1

1

решение

неоднородного

уравнения

y n p

n 1

x y n 1 ... p

x y' p

0

x y f

x ,

тогда

функция

1

y0 x y1

x является общим решением неоднородного уравнения.

Доказательство:

подставим

функцию

y0 x y1 x

в

выражение

y n p

n 1

x y n 1 ... p

x y' p

0

x y :

1

y

0

y n

p

n 1

x y

0

y

n 1 ... p

x y

0

y

' p

0

x y

0

y

1

1

1

1

1

y n p

x y n 1 ... p x y'

p

x y

0

n 1

0

1

0

0

0

0 f (x) f (x) .

y n p

n 1

x y

n 1

... p

x y'

p

0

x y

1

1

1

1

1

Теорема доказана.

Контрольные вопросы:

1.Каковы геометрическая и физическая интерпретации дифференциального уравнения второго порядка?

2.Какие дифференциальные уравнения допускают понижение порядка? Каким образом можно понизить порядок таких уравнений?

3.Что называется линейным дифференциальным уравнением? Каковы свойства решений линейного однородного дифференциального уравнения?

4.Какие функции называются линейно независимыми? Каковы свойства таких функций?

5.Что называется фундаментальной системой решений линейного однородного дифференциального уравнения? Как строится общее решение линейного однородного дифференциального уравнения? Как строится общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения?

Задачи для самостоятельного решения:

1.Доказать третью часть теоремы о свойствах решений линейного однородного уравнения.

2.Доказать теорему о подмножестве множества линейно независимых функций.

3.Доказать теорему об общем решении линейного однородного дифференциального уравнения.

39

Лекция 5(39) Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами имеет вид

y n a		n 1	y n 1	... a y'	a	0	y f x ,
где f x -				1
	заданная функция a0 , a1 ,..., an 1 - заданные действительные
числа. Если	при		этом	f x 0 ,	то		уравнение	называется линейным
однородным		дифференциальным					уравнением	с	постоянными

коэффициентами.

Из теоремы о существовании фундаментальной системы решений следует,

что любое линейное уравнение с постоянными коэффициентами

имеет

фундаментальную систему решений.

Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами

Будем искать решение уравнения y n

a

n 1

y n 1 ... a y' a

0

y 0

1

в виде

y e x .

Тогда

y' e x , y'' 2 e x , …,

y n

n e x .

Подставим

функцию

y e x

и

ее

производные в дифференциальное

уравнение6:

n e x a

n 1

n 1e x ... a e x

a

e x 0 . Сократим равенство на

1

0

e x : n a

n 1

n 1 ... a a

0

0 . Таким образом, функция

y e x

1

будет решением уравнения y n a

n 1

y n 1

... a y' a

0

y 0

тогда и

1

только тогда, когда число является корнем алгебраического уравнения

n a	n 1	n 1	... a a		0	0 .
			1
Определение:			Уравнение	n a			n 1	n 1 ... a a	0	0	называется
								1

характеристическим уравнением дифференциального уравнения

y n an 1 y n 1 ... a1 y' a0 y 0 .

Рассмотрим отдельно четыре случая.

6 Идея принадлежит Л. Эйлеру.

40

Случай 1: Пусть характеристическое уравнение имеет ровно n различных

действительных			корней 1 , 2 ,..., n .			Тогда каждая	из функций
e 1x , e 2 x ,..., e n x			является			решением	уравнения
y n a	n 1	y n 1	... a y' a	0	y 0 .	Поскольку, в	соответствии с
			1

примером предыдущей лекции, эти функции линейно независимы и их

ровно n

, то

e 1x , e 2 x ,..., e n x

- фундаментальная система

решений

дифференциального уравнения.

Пример: Найти общее решение уравнения y''' 5y'' 6 y'

0

Решение: Составим характеристическое уравнение: 3

52

6 0 .

Корни

этого

уравнения

равны

1

0, 2

2, 3 3 ,

значит,

фундаментальная

система

решений

состоит

из

функций

y e0 x

1, y

2

e2 x , y

3

e3x ,

и,

следовательно,

общее

решение

1

дифференциального уравнения имеет вид y C C

2

e2 x

C

e3x .

1

3

Случай 2: Все корни характеристического уравнения различны, но среди них не все корни действительны.

Пусть a ib - комплексный корень характеристического уравнения и b 0 . Тогда, поскольку коэффициенты характеристического уравнения – действительные числа, то число a ib также является корнем характеристического уравнения.

e x e a ib x eax eibx eax cos bx i sin bx eax cos bx ie ax sin bx

По теореме о свойствах решений линейного однородного уравнения каждая

из функций eax cos bx, eax sin bx	является решением этого уравнения.
Определитель Вронского этих функций равен
eax cos bx	eax sin bx
W x aeax cos bx beax sin bx	aeax sin bx beax cos bx

e2ax a cos bx sin bx b cos2 bx e2ax a cos bx sin bx bsin 2 bx

be2ax 0 , значит, эти функции линейно независимы.

e x e a ib x eax e ibx eax cosbx i sin bx eax cos bx ieax sin bx

и, значит, корню a ib в фундаментальной системе решений соответствуют функции eax cos bx,eax sin bx . Добавление любой из этих

41

функций в множество функций eax cos bx, eax sin bx делает это множество

линейно зависимым. Значит, каждой паре комплексно сопряженных корней характеристического уравнения соответствует в фундаментальной системе пара линейно независимых функций.

Пусть 1 , 2 ,..., k , k 1 ,..., n - все корни характеристического уравнения, эти корни попарно различны и 1 , 2 ,..., k - действительные числа, k 1 ,..., n - комплексные, но не действительные числа. Тогда каждому действительному числу i в фундаментальной системе решений соответствует функция e i x , а каждой паре комплексно сопряженных чисел , – пара линейно независимых функций eax cos bx, eax sin bx . Общее

количество функций в фундаментальной системе решений равно количеству корней характеристического уравнения и, в соответствии с примером предыдущей лекции, все эти функции линейно независимы.

Пример 1: Найти общее решение дифференциального уравнения

y IV y 0 .

Решение: Решим характеристическое уравнение 4 1 0 :

2 1 2 1 0 ; 1 1 2 1 0 ;

1 1, 2 1, 3 i, 4 i . По формуле Эйлера

eix cos x i sin x , значит, фундаментальная система решений состоит из функций ex , e x , cos x,sin x и общее решение имеет вид

							y C ex	C			e x C					3	cos x C								4	sin x
						1		2
Пример 2: Решить задачу Коши y'''														4y''							13y'					0 , y 0 1,
y' 0 2 ,						y'' 0 3
Решение: составим и решим характеристическое уравнение:
3		42 13 0 ;						2 4 13 0 ;															0 ,
																								1
				4			4 2 4 13
													4		36								4 6i				2 3i
	2,3
						2								2										2
Общее решение: y C								C				e2 x cos 3x C												e2 x		sin 3x .
						1		2														3
Найдем значения постоянных C1 ,C2 ,C3																		:			y(0) C1 C2 1,
y'		C		2	2e2 x cos 3x 3e2 x sin 3x C														2e2 x sin 3x 3e2 x cos 3x
																	3

42