заочникам / диф ур / Lectures - 3

y1 x, C1 , C2 ,..., Cny2 x, C1 , C2 ,..., Cn

..........

yn x, C1 , C2 ,..., Cn

где t - независимая переменная, x, y, z - функции этой переменной.

Решением системы будет множество функций x t , y t , z t , которые

можно интерпретировать как координаты в пространстве, зависящие от некоторого параметра t . То есть каждому решению системы соответствует некоторая параметрически заданная линия в пространстве. Аналогично, решению системы второго порядка будет соответствовать линия на плоскости XOY .

Физическая интерпретация: рассмотрим ту же систему третьего порядка. Если параметр t интерпретировать как время, а функции x, y, z как

координаты в пространстве, то решению системы будет соответствовать некоторое движение материальной точки в пространстве. Решению системы второго порядка будет соответствовать некоторое движение материальной точки на плоскости.

y1y2

Определение: Если из общего решения

yn

системы дифференциальных уравнений удается выразить постоянные

C1

1

x, y1 , y2 ,...yn

C

2

2

x, y , y

2

,...y

n

1

..........

,

C

n

n

x, y , y

2

,..., y

n

1

то каждая из функций 1 ,2 ,...,n

называется

интегралом

системы

дифференциальных уравнений.

y

'

y

2

Пример:

Общее

решение системы

1

имеет вид

y2'

y1

y

С sin x С

cos x

1

1

2

. Рассматривая эти два равенства как систему

y2

C1 cos x C2 sin x

линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных C1 ,C2 ,

С y

cos x y sin x

получим

1

2

1

,

значит,

интегралами

системы

C1

y1 cos x y2 sin x

53

являются	функции	1 x, y1 , y2 y2 cos x y1 sin x	и
2 x, y1 , y2 y1 cos x y2 sin x .

Системы линейных дифференциальных уравнений

Определение: Системой линейных дифференциальных уравнений называется система вида

y '

a y

a

y

... a

y

f

'1

11 1

12

2

1n

n

1

y

2

a21 y1

a22 y2

... a2n yn

f 2

,

...................................

y

'

a

y

a

n2

y

2

... a

nn

y

n

f

n

n

n1 1

где aij , fi -

заданные функции, зависящие от

одной

независимой

переменной x ; y1 , y2 ,..., yn

- неизвестные функции, зависящие от той же

переменной.

Если при этом

f1

f2

... fn

0 , то система называется однородной

системой линейных дифференциальных уравнений.

Обозначим

y

f

a

a

...

a

1

1

11

12

1n

y

2

f 2

a21

a22

...

a2n

Y

...

,

f

...

,

A

...

... ... ...

,

an2

...

yn

f n

an1

ann

тогда систему линейных дифференциальных уравнений можно записать в

виде Y ' A Y

f , где Y

' - производная вектор-функции Y .

Теорема (свойства решений однородной линейной системы)

1)

Если

Y -

решение

системы

Y '

A Y , то при любом

значении

0

постоянной С

вектор-функция СY

будет решением той же системы.

0

2) Если Y

и Y

2

- решения системы Y '

A Y , то вектор-функция Y

Y

1

1

2

также будет решением той же системы.

3)

Если

комплексная

вектор-функция действительной переменной

Y0

U iV ,

где U ,V

- действительные вектор-функции,

является

54

решением системы Y '

A Y ,

то каждая из вектор-функций U ,V также

будет решением той же системы.

Доказательство:

1) Пусть

Y - решение системы

Y '

A Y . Тогда равенство Y

' A Y

0

0

0

является тождественно верным.

CY '

CY

' C A Y

A CY

, что и требовалось.

0

0

0

0

2)

Пусть

Y

и

Y

-

решения

системы

Y

' A Y , тогда

равенства

1

2

Y '

A Y

и Y '

A Y

являются тождественно верными.

1

1

2

2

Y

Y

'

Y ' Y

' A Y

AY A Y

Y , что и требовалось.

1

2

1

2

1

2

1

2

3)

Пусть

комплексная

вектор-функция

действительной

переменной

Y0

U iV ,

где

U ,V

- действительные

вектор-функции,

является

решением

системы

Y

' A Y

,

тогда равенство Y ' A

Y

является

0

0

тождественно верным.

'

'

U

iV

A U

iV ;

U

' iV

AU iAV

приравнивая отдельно действительную и мнимую части равенства, получим
	'
U '		AU и V '		AV ,
что и требовалось. Теорема доказана.
				0,0,...,0 является решением
Следствие 1: нулевая вектор-функция			0

любой однородной системы линейных уравнений.

Доказательство: Это следует из первого пункта доказанной теоремы, если

принять C 0 .
Следствие 2: Если Y			и Y	2	-		решения системы Y ' A Y , то вектор-
		1
функция Y1	Y2	также будет решением той же системы.
Доказательство:		Поскольку			Y	2	- решение системы	Y ' A Y , то по
первому пункту доказанной теоремы, вектор-функция								Y2	также будет

решением той же системы. По второму пункту теоремы, вектор-функция Y1 Y2 Y1 Y2 также будет решением той же системы.

55

Следствие

3:

если вектор-функции

Y1 ,Y2 ,...,Yn

являются

решениями

' A

системы

Y

Y ,

то при

любых

числах

C ,C

2

,...C

n

функция

1

Y

C Y

C Y

... C Y

также будет решением той же системы.

0

1 1

2

2

n n

Доказательство:

Поскольку

Y ,Y ,...,Y

-

решения, то, по

первому

1

2

n

пункту теоремы, C1Y1 ,C2Y2 ,...,CnYn

- тоже решения. Используя результат

C

второго пункта теоремы, получим, что C Y

Y

-

решение. Еще раз

1 1

2

2

используя тот же результат, получим,

что C1Y1 C2Y2

C3Y3

- решение.

И т.д.

Определение:

Вектор-функции

Y1 ,Y2 ,...,Yn

называются

линейно

зависимыми, если существуют числа 1 ,					2 ,... n , не все равные 0 и такие,
что 1Y1		2Y2	... nYn	0 . В противном случае эти вектор-функции

называются линейно независимыми.

Определение: Множество n линейно независимых решений однородной линейной системы порядка n называется фундаментальной системой решений однородной системы линейных дифференциальных уравнений.

Определение: Определителем Вронского множества вектор-функций

y

y

11

21

y12

y22

Y

...

,Y

...

,...,Y

1

2

n

y1n

y2n

называется определитель

y11

y21 ...

W x

y12

y22 ...

...

... ...

y1n

y2n ...

		y		n1
		yn2
		...
		ynn
	yn1
	yn2		.
	...
	ynn

Теорема (о линейной независимости решений системы)

1) Если вектор-функции Y1 ,Y2 ,...,Yn линейно зависимы в интервале

a,b , то их определитель Вронского равен нулю в каждой точке этого интервала.

56

2)Если решения Y1 ,Y2 ,...,Yn однородной системы линейных

дифференциальных уравнений линейно независимы в интервалеa,b , то их определитель Вронского не равен нулю ни в одной

точке этого интервала.
Без доказательства.

Теорема (об общем решении однородной системы) Если Y1 ,Y2 ,...,Yn -

фундаментальная система решений системы линейных однородных

дифференциальных			уравнений, то ее	общее решение имеет вид
С1Y1	С2Y2	... СnYn , где C1 ,C2 ,...Cn		- произвольные постоянные.

Без доказательства.

Контрольные вопросы:

1.Что называется порядком системы дифференциальных уравнений? Что называется нормальной системой дифференциальных уравнений? Почему обычно изучаются системы, не содержащие производных выше первого порядка?

2.Как формулируется задача Коши для системы дифференциальных уравнений? Каковы геометрический и физический смыслы системы дифференциальных уравнений второго и третьего порядков?

3.Что называется системой линейных дифференциальных уравнений? Каковы свойства решении однородной системы линейных дифференциальных уравнений?

4.Что называется фундаментальной системой решений для системы линейных дифференциальных уравнений? Как составляется общее решение системы линейных дифференциальных уравнений?

Задачи для самостоятельного решения:

1.Доказать, что при преобразовании системы дифференциальных уравнений указанным в начале лекции методом с целью получим систему, в которой количество уравнений совпадает с количеством неизвестных.

2.Доказать первую часть теоремы о линейной независимости решений системы.

3.Доказать теорему об общем решении однородной системы.

Лекция 7(41) Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Однородные системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами

Определение: Системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами называется система вида

57

y '

a

y

a

y

... a

y

f

'1

11 1

12

2

1n

n

1

y

2

a21 y1

a22 y2

... a2n yn

f 2

,

...................................

y

'

a

y

a

n2

y

2

... a

nn

y

n

f

n

n

n1 1

где aij - заданные

числа,

fi

- заданные функции, зависящие

от одной

независимой переменной

x ; y1 , y2 ,..., yn

-

неизвестные

функции,

зависящие от той же переменной.

Если при этом f1 f2 ... fn

0 , то система называется однородной

системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными

коэффициентами.

Запишем

систему

линейных дифференциальных

уравнений

в виде

Y '

A Y

f , где Y ' - производная вектор-функции Y .

y '

a

y

a

y

... a

y

'1

11

1

12

2

1n

n

y

2

a21 y1

a22 y2

... a2n yn

Будем искать решение системы

...................................

y

'

a

n1

y

a

n2

y

2

... a

nn

y

n

n

1

e x

1

e x

где 1 , 2 ,..., n

в виде Y

2

,

- постоянные,

не все равные нулю,

...

n e

x

- также

некоторая постоянная.

Подставим

эту

вектор-функцию в

систему:

1

e x

a

e x

a

2

e x

... a

n

e x

11

1

12

1n

e x

a

e x a

e x

... a

e x

2

2

2n

n

21

1

22

...................................

e

x

a

e

x

a

e

x

...

a

e

x

n

1

n2

2

nn

n

n1

Поделим каждое из уравнений системы на e x , перенесем все слагаемые в одну часть и приведем подобные:

58

a11		1 a12 2								... a1n n						0
a		1	a		22				2	... a			2n		n	0
	21
			...................................
a		1	a	n2			2	... a			nn				n	0
	n1

Получили систему линейных алгебраических уравнений относительно

неизвестных 1 , 2 ,..., n . Если определитель системы не равен нулю, то
система	имеет	единственное		(и	очевидное)			решение
1 2	... n	0 . Чтобы у системы			были		ненулевые решения
необходимо и достаточно, чтобы
		a11	a12	...	a1n
		a21	a22	...	a2n		0
		...	...	...	...
		an1	an2	... ann
Это	уравнение	относительно		неизвестной				называется

характеристическим уравнением системы дифференциальных уравнений.
Таким образом, вектор-функция	Y	является решением	системы
дифференциальных уравнений тогда	и	только тогда, когда	является

корнем характеристического уравнения или, что то же самое, собственным

	a		a	...	a
		11	12		1n
числом матрицы	a21		a22	...	a2n
	A	... ... ... ...				.
			an2	...
	an1				ann

Рассмотрим три случая:

Случай 1: Пусть все корни характеристического уравнения действительны

и различны. Подставим первый корень		1 в	матрицу A E , получим
некоторую матрицу A 1 . В	качестве	чисел		1	,	2	,...,	n	можно	взять
алгебраические дополнения	элементов	первой			строки			матрицы		A 1 .
										2 в
Получим некоторое решение Y1 . Затем подставим второй корень
матрицу A E , получим некоторую		матрицу			A 2 . В качестве чисел

59

1 , 2 ,..., n можно взять алгебраические дополнения элементов первой
строки матрицы A 2 . Получим еще одно решение
																										Y		2	, и т.			д. Получив
																										n ,
решение Yn , соответствующее последнему корню																														составим				общее
решение системы С1Y1 С2Y2													...				СnYn .
																			y '		5y 4z
Пример: Найти общее решение системы
																			z '		4 y 5z
					5	4				A E								5				4			2				10 9
Решение:			A					,
						5												4			5
					4
1 1, 2			9
1)		1,		тогда A 1					5 1							4			4			4
																								. Алгебраические
1											4
													5 1						4			4
											A		4, A						4 , значит,													4e x
дополнения первой строки:																											Y						x	.
												11					12												1
																														4e
2)		9 ,		тогда A 2					5 9								4			4					4
	2																										,
											4					5
																	9				4 4
												4e9 x
A11 4, A12 4 ,								Y2
												4e				9 x
											C									4e x								4e9 x
Общее решение: Y C Y													Y			C						x	C								9 x
								1 1					2 2				1									2		4e
																			4e
4C e x				4C		e9 x
		1			2				, значит,
				x	4C2 e		9 x
4C1e
y 4C ex				4C		e9 x		, z 4C ex										4C		e9 x .
		1			2								1						2

Случай 2: Пусть все корни характеристического уравнения различны, но среди них не все корни действительны. Решения, соответствующие действительным корням определяются так же, как и в первом случае. Пусть

0 a ib - комплексный корень характеристического уравнения, тогда

60

0 a ib также корень характеристического уравнения. Сначала ищем

				e	a ib x
решение в виде комплексной вектор-функции Y			1			, затем
		2 e			a ib x

отделяем действительную и мнимую части.

y '

Пример: найти общее решение системы

z '

2		1			A E				2
Решение: A				,
	1	2							1

2 y z

y 2z

1		2 4 5 ,
2

1,2

2 i .

Подставляем в матрицу А ровно один корень из сопряженной пары:

A 1

2 2 i

1

i

1

.

1

2 2 i

1

i

Алгебраические дополнения первой строки:

A11 i, A12

1

ie 2 i x

ie 2 x cos x i sin x

ie 2 x cos x e2 x

sin x

Y

e

2 i x

e

2 x

e

2 x

cos x ie

2 x

cos x i sin x

sin x

e2 x sin x

e2 x cos x

2 x

i

2 x

. Значит, действительные вектор-

e

e

cos x

sin x

e2 x

sin x

e2 x

cos x

функции

Y

2 x

и Y

2 x

составляют

1

2

e

e

cos x

sin x

фундаментальную систему решений, и общее решение имеет вид

Y0

C		e2 x sin x				C		e2 x		cos x
1		e	2 x				2	e	2 x
				cos x						sin x

	C e2 x sin x C e			2 x cos x
	1	2
	C e	2 x cos x C		e2 x sin x
	1		2

Следовательно,

y C1e2 x sin x C2e2 x cos x , z C1e2 x cos x C2e2 x sin x .

Случай 3: Пусть среди корней характеристического уравнения есть кратные. Если 0 - корень кратности k , то ему будет соответствовать

61

			P (x)e	0 x
			1
		P2 (x)e		0 x	, где	P (x), P (x),..., P (x) - многочлены
решение вида Y
			...			1	2	n
				0 x
		Pn (x)e

степени k 1, зависящие в совокупности от k произвольных постоянных, значения которых можно определить подстановкой в уравнения системы.

					y '			5y 3z
Пример: Найти общее решение системы									.
					z '			3y z
5	3		A E				5		3		2	4 4 ,
Решение: A		,
							3		1
3	1

1,2																									e2 x					С x C
	2 .		Общее				решение				ищем					в			виде					Y0			2 x					1						2		, т. е.
y e2 x C x C							, z e2 x C												.						e					C3 x C4
						2							x C				4				При				этом					в			ответе						должны
			1									3
остаться ровно две произвольные постоянные.
Подставим функции y e2 x											C x C							2		, z e2 x C						x C						4	и их
												1													3
производные y' e2 x 2C x 2C														2		C , z ' e2 x 2C															x 2C						4		C		3	в
										1										1										3
систему:
e2 x 2C x 2C						2	C			5e2 x C x C											2			3e2 x C					x C					4
e2 x 2C		1							1					1													3									.
		3	x 2C			4	C			3e2 x C x C													2	e2 x C				3		x C					4
									3							1
Сократим на e2 x						и приведем подобные:
3С1 3С3 x C1 3C2 3C4																	0
3C 3C				3	x		3C	2		C	3	3C			4			0 .
	1

Многочлен тождественно равен нулю, тогда и только тогда, когда равны нулю все его коэффициенты, значит,

3C1 3C3 0
	3C2			3C4		0
C1
	3C1			3C3		.
						0
3C	2	C	3	3C	4	0

62