Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Lectures - 3

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.05.2015

Размер:

2.49 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 178 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>


сходится, тогда сходится и его остаток	bn , значит,	частичные суммы
	n N 1
этого остатка ограничены. Поскольку	an bn , то	тем более будут

ограничены частичные суммы остатка	an , и этот остаток сходится.

n N 1

Значит, сходится и ряд an . Расходимость доказывается аналогично.

n 1

Теорема доказана.

Следствие: Если существует предел lim an L , то из сходимости

n bn

положительного ряда

следует

сходимость

положительного ряда

n 1

an , а из расходимости an следует расходимость bn .

n 1

Примеры: 1) ряд

сходится,

т.к.

, а ряд

n 1

сходится, т.к. является обобщенным гармоническим рядом при 2 1.

2) Ряд

расходится,

т.к.

, а ряд

n 1

n 0,5

n 1

расходится.

Теорема

(признак

Коши)

Пусть

дан

ряд

положительными

n 1

элементами, тогда

Если lim n an

1, то ряд an

сходится

n 1

Если lim n an

1 , то ряд an

расходится

n 1

Доказательство: Обозначим b n

A 1 . Выберем число

0 такое,

что A 1.

Пусть

lim n a

По определению предела последовательности найдется номер N такой, что

для всех

номеров n N

будет выполняться неравенство bn A .

Рассмотрим

последовательность

A n

(сходящаяся

b n

A , то

геометрическая

прогрессия).

Поскольку

A n . По признаку сравнения ряд сходится.

A 1. Выберем

0 такое,

что A 1.

Пусть теперь

lim n

Снова по определению предела найдется номер N такой, что для всех

номеров n N

будет выполняться неравенство b n

1. Значит, и

Ряд

1 1 ... 1 ...

расходится

(по необходимому признаку

сходимости),

значит,

по

теореме сравнения расходится

и ряд an .

n 1

Теорема доказана.

Пример: Ряд

сходится. По признаку Коши:

n 1

lim n

lim

0 1

lim n

n n

Теорема (признак Даламбера7) Пусть дан ряд an .

n 1

an 1

Если lim

то ряд an

сходится

n 1

an 1

Если lim

1 ,

то ряд an

расходится

n 1

Без доказательства.

7 Даламбер Жан Лерон (1717-1783) французский математик, механик и философ. Труды по математическому анализу, теории дифференциальных уравнений, теории рядов, алгебре, механике.

Пример: Ряд

сходится. По признаку Даламбера

n 1

; a

3n 1

, lim

an 1

lim

3n 1

lim

0 1.

n 1 !

n 1

n a

n n 1 !

n n

Теорема (интегральный признак сходимости) Пусть

y f x

непрерывная,

положительная и монотонно убывающая функция

одной

действительной переменной. Ряд

f n

сходится тогда и только тогда,

n 1

когда сходится несобственный интеграл f (x)dx .

Доказательство: Пусть F (x) - какая-либо первообразная функции

f (x) .

Поскольку

f (x) 0 ,

то F (x) -

возрастающая функция,

значит,

существует конечный или бесконечный предел lim F (x) .

Рассмотрим

частичные

суммы

ряда

F (n 1) F (n) :

F 2 F(1) ,

n 1

A2 F 2 F(1) F(3) F(2) F(3) F(1) ,

F 3 F(1) F(4) F(3) F(4) F(1) ,…,

F (n) F (1)

f (x)dx .

Значит,

если

lim F (x) , то

ряд

F (n 1) F (n)

сходится,

n 1

противном случае – расходится. По формуле конечных приращений на промежутке n; n 1

F(n 1) F(n) f (n ) ,

где 0;1 . Значит, поскольку функция f (x) монотонна, то f n 1 F n 1 F n f n

				n
Если сходится ряд	F (n 1) F (n) lim			f (x)dx f (x)dx , то
	n 1		n	1	1
	n 1			1	1

по признаку сравнения сходится и ряд f n 1 . Тогда, по теореме об
			n 1

остатках, сходится	и	ряд	f n .	Аналогично, если		ряд
			n 1

F (n 1) F (n)		f (x)dx	расходится,	то	расходится и	ряд
n 1		1

f n . Теорема доказана.

n 1

Пример: Проверить сходимость ряда

Решение: Рассмотрим интеграл

	dx	d ln x		dy
						ln y	0
	x ln x		ln x		y

1		1		0

расходится. Значит, расходится и ряд

Контрольные вопросы:

n ln n

n 1

. Интеграл

n ln n .

n 1

1.Какой числовой ряд называется сходящимся? Что называется остатком ряда? Сформулируйте теорему об остатках.

2.Как можно складывать сходящиеся ряды и умножать сходящийся ряд на число? сформулируйте необходимый признак сходимости.

3.Что называется гармоническим рядом? При каком условии сходится обобщенный гармонический ряд? Сформулируйте признак сравнения рядов.

4.Сформулируйте признаки Коши и Даламбера сходимости рядов. Сформулируйте интегральный признак сходимости.

Задачи для самостоятельного решения:

1.Доказать вторую часть теоремы о признаке сходимости рядов.

2.Доказать справедливость признака Даламбера.

Лекция 9(43) Основы теории рядов (окончание)

Сходимость произвольных рядов

Рассмотрим ряд an , в котором лишь конечное количество элементов

n 1

отрицательно, остальные положительны. Тогда среди отрицательных элементов есть элемент с наибольшим номером N . Следовательно, остаток

an содержит только положительные элементы. По теореме об остатках

n N 1


сходимость ряда an	равносильна сходимости его			остатка	an и,
n 1					n N 1

таким образом, вопрос о сходимости ряда an			сводится к исследованию
		n 1

сходимости положительного ряда		an .
		n N 1

Пусть все элементы ряда	an	отрицательны и	an bn , bn		0 . Тогда
	n 1

по теореме о сходимости и линейных операциях			an	bn . В ряде
			n 1	n 1

bn все элементы положительны, значит, и в этом случае					вопрос о

n 1

сходимости сводится к рассмотрению положительного ряда.

Рассмотрим ряд an , в котором лишь конечное количество элементов

n 1

положительно, остальные отрицательны. Тогда an	bn , где
n 1	n 1

bn 0 и вопрос о сходимости снова сводится к положительному ряду.

В связи с этим осталось рассмотреть ряды, в которых имеется бесконечное количество как положительных, так и отрицательных элементов.

Определение:

Ряд

называется

абсолютно сходящимся,

если

n 1

сходится ряд

n 1

Теорема

(об

абсолютной

сходимости)

Если

ряд

абсолютно

n 1

сходится, то он сходится.

Доказательство:

Пусть

p1 , p2 ,..., pl ,...

положительные элементы ряда

an ,

q1 , q2 ,..., qm ,...

его

отрицательные элементы. Обозначим

n 1

где

суммируются

все

положительные

n 1

элементы,

входящие

частичную

сумму

Sk ,

где

n 1

суммируются

модули

всех

отрицательных

элементов,

входящих

частичную сумму

Sk .

Поскольку

Pl Sk

ряд

сходится,

то

n 1

сходится и ряд pn .

Обозначим pn

P .

n 1

Рассмотрим

ряд

Поскольку

Sk ,

то

ряд

n 1

qn сходится. По теореме о сходимости и арифметических

n 1

операциях

ряд

сходится.

Пусть

qn Q .

Поскольку

ряд

n 1

an содержит

бесконечное

количество

как

положительных,

так

n 1

отрицательных элементов, то при

k , будет также l и m .

Рассмотрим Sk

Qm :

lim

lim Pl

lim Qm P Q .

n 1

Теорема доказана.

Замечание: Существуют сходящиеся, но не абсолютно сходящиеся ряды.

Примеры: 1) Ряд

абсолютно сходится, т.к. сходится ряд

n 1

sin n

2) Ряд

сходится, т.к. ряд

n 1

Определение:

Знакочередующимся

называется

ряд

an ,

элементы

n 1

которого удовлетворяют условию an an 1

0 для любого числа n .

Замечание:

знакочередующийся

ряд

принято записывать

виде

с1 с2

с3

с4

...

или

с1

с2 с3

с4

... ,

где

все

элементы

сi 0 .

Теорема (признак Лейбница) Если слагаемые знакочередующегося ряда
монотонно убывают по абсолютной величине	сn 1 сn и стремятся к
нулю lim сn 0 , то ряд сходится.
n

Доказательство: Рассмотрим частичную сумму, состоящую из четного
числа	слагаемых	С2m c1 c2			c3 c4 ... c2m 1 c2m .
Поскольку	сn 1 cn ,	то	сn	cn 1 0	и	последовательность таких
частичных		сумм		возрастает.				Поскольку
С2m c1 c2 c3 c4			c5	... c2m	и	сn cn 1	0 ,	сi 0 , то
С2m c1 .	Значит, последовательность частичных сумм						С2m	возрастает и

ограничена сверху числом c1 , следовательно, она имеет предел

lim С2m C .

Рассмотрим теперь

С2m 1 С2m c2m .

lim С2m 1	lim С2m
m	m

частичную сумму нечетного числа слагаемых

По условию теоремы		lim cn 0 , значит,
		n
lim c2m	C 0 C . Значит, lim Сn		C и ряд
m		n

сходится. Теорема доказана.

A . Но,

							1	n 1
Примеры: Из теоремы Лейбница следует, что сходятся ряды							1	,
						n 1	n
	1		,	1		.
		n				n
n 1 2n 1
n 1 2n 1			n 1		n

Замечание: легко проверить, что ни один из этих рядов не сходится абсолютно.

Определение: Если ряд сходится, но не абсолютно сходится, то такой ряд называется условно сходящимся.

			1	n 1		1		1	1
Рассмотрим условно сходящийся	ряд				1					...,
			n			2		3	4
		n 1

выберем произвольное число A	и	переставим			в ряде		элементы по

следующему правилу: сначала соберем ровно столько идущих по порядку положительных элементов , чтобы их сумма была больше, чем A , затем добавим к полученной сумме ровно столько идущих подряд отрицательных элементов, чтобы новая сумма стала меньше, чем A , затем опять по тому же правилу добавим положительные элементы, чтобы новая сумма стала больше, чем A и т. д. Легко понять, что в пределе получится число поскольку это число было выбрано произвольно, значит, перестановкой элементов в данном ряде можно добиться того, чтобы его «сумма» была равна любому числу. Это еще раз подчеркивает, что с бесконечными суммами нельзя обращаться как с конечными: нельзя переставлять слагаемые и даже не всегда можно произвольным образом расставлять скобки.


Теорема	Римана8	(об условно сходящихся	рядах) Пусть	ряд an
				n 1
условно	сходится,	тогда для любого числа	A можно так	переставить

элементы в ряде an , что сумма ряда с переставленными элементами

n 1

будет равна A . Кроме того, можно так переставить элементы ряда, что ряд с переставленными элементами будет расходиться.

Без доказательства.

8 Риман Бернхард (1826-1856)	немецкий математик. Основоположник геометрического
направления в теории функций,	создатель одной из неевклидовых геометрий. Труды по

алгебраическим функциям, теории дифференциальных уравнений, теории чисел, тригонометрическим рядам и теории интеграла.

Степенные ряды

Рассмотрим

последовательность

функций

f1 x , f2 x ,..., fn x ... и

составим из них ряд

f1 x

f 2 x ...

f n x ... f n x .

n 1

Определение:

Ряд

f1 x

f 2 x ...

f n x ... f n

называется

n 1

функциональным рядом.

Примеры: 1) f n x

f n x

...

n 1

f n x xn , f n x x x 2 x3 ...

n 1

f n x sin nx ,

f n x sin x sin 2x sin 3x ...

n 1

Если в функциональный ряд вместо переменной

x подставить какое-либо

число, получится сходящийся или расходящийся числовой ряд. Пусть X -

множество всех значений

переменной

x , при которых

ряд

f n x

n 1

сходится. Тогда можно говорить, что на множестве чисел

определена

функция одной действительной переменной F (x) f n x , значениями

n 1

которой являются суммы соответствующих числовых рядов.

Определение: Множество чисел X , при которых сходится ряд

f n x ,

n 1

называется областью сходимости этого ряда.

Определение:

Если

fn x an x x0 n , где

x0 , an -

действительные

x x0 n

a0 a1 x x0 a2 x x0 2 ...

числа, то

ряд

n 0

называется степенным рядом.

Примеры: x n

x x 2

x3 ... ,

n 0

n x 1 n x 1 2 x 1 2 3 x 1 3 ...,

n 0

1 x

...

n 0

Теорема Абеля9

(об

интервале сходимости) Областью сходимости

степенного

ряда

an x x0 n является

открытый,

полуоткрытый

или

n 0

замкнутый

интервал

концами в точках

x0 R

и x0 R , где

некоторое действительное число или .

Доказательство: Рассмотрим сначала ряд

an x n a0 a1 x a2 x2 a3 x3 ....

n 0

Этот ряд обязательно сходится при x 0 . Допустим, что этот ряд сходится еще в какой-либо точке x1 , тогда по необходимому признаку сходимости,

lim a

x n 0 и, значит,

найдется число

такое, что

M для

всех номеров n . Возьмем любое число x2

такое, что

, и составим

ряд

an x2n

. Поскольку

n 0

x2n

n 1

и ряд

будучи

геометрической

прогрессией

со знаменателем

n 0

сходится,

то по теореме о

сходимости

арифметических

9 Абель Нильс Хенрик (1802-1829) норвежский математик. Доказал, что алгебраические уравнения степени выше 4-ой неразрешимы в радикалах. Один из создателей теории эллиптических функций, автор первой работы по интегральным уравнениям. Труды по теории чисел и рядов.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 178 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке диф ур

#
30.05.20152.49 Mб32Lectures - 3.pdf
#
30.05.20152.41 Mб55Lecture_on_DE_(full).pdf
#
30.05.2015883.02 Кб34Теор_курс дифуры и ряды.pdf